第二章 第十二讲
A组 基础巩固
一、选择题
1．下列值等于1的是 ( ) A．1xdx
0
B．1(x＋1)dx
0
C．11dx
0
1D．1dx
2
0
[答案] C
[解析] 11dx＝x|10＝1.
0
π
2．曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积为 ( )
2
π
A．2 (sinx－cosx)dx
0π
C．2 (cosx－sinx)dx
0
[答案] D
π
B．24 (sinx－cosx)dx
0π
D．24 (cosx－sinx)dx
0
ππ2
[解析] 当x∈[0，]时，y＝sinx与y＝cosx的图象的交点坐标为(，)，作图可知曲
242π
线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积可分为两部分；一部分是曲
2π
线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积；另一部分是曲线y＝sinx，
4ππ
y＝cosx与直线x＝，x＝所围成的平面区域的面积．且这两部分的面积相等，结合定积分42定义可知选D．
3．若a＝2x2dx，b＝2x3dx，c＝2sinxdx，则a，b，c的大小关系是 ( )
000
A．a＜c＜b C．c＜b＜a [答案] D
B．a＜b＜c D．c＜a＜b
181422232
[解析] a＝2x2dx＝x3|20＝，b＝xdx＝x|0＝4，c＝sinxdx＝－cosx|0＝1－cos2＜334
0
0
0
2，∴c＜a＜b.
4．如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为 ( )
1
A．2|x2－1|dx
0
B．|2(x2－1)dx|
0
C．2(x2－1)dx
0
D．1(x2－1)dx＋2(1－x2)dx
01
[答案] A
[解析] 由曲线y＝|x2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即2
0
|x2－1|dx，选A．
5．已知复数z＝a＋(a－2)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则a(4－x2＋x)dx的值为
0
( )
A．2＋π C．4＋2π [答案] A
[解析] 因为复数z＝a＋(a－2)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，所以a－2＝0，a＝2. 1222222
(4－x＋x)dx＝4－xdx＋xdx＝π＋x|＝π＋2，故选A． 20
20
0
0
π
B．2＋ 2D．4＋4π
6．如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)＝sinx(x∈(0，π))及直线x＝a(a∈(0，π))1与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是 ( )
4
7π
A．
12
2π
B．
3
2
3π
C．
4[答案] B
5πD．
6
6
[解析] 由题意知，构成试验的全部区域是矩形OACB，面积为ax·＝6.记“向矩形OABC
a内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A，则构成事件A的区域即为阴影部分面积，
1－cosa1
S＝asinxdx＝－cosx|a＝，所0＝1－cosa，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝64
0
1以cosa＝－.
2
2π
又a∈(0，π)，所以a＝. 3
二、填空题
7.1(ex＋x)dx＝________.
0
1
[答案] e－ 2
11
[解析] 1(ex＋x)dx＝(ex＋x2)|10＝e＋－1 22
0
1＝e－. 2
8．1－x2＋2xdx＝________.
0
π
[答案]
4
[解析] 1－x2＋2xdx表示
0
y＝－x2＋2x与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形的面积． 由y＝－x2＋2x得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)． 又∵0≤x≤1，
1π
∴y＝－x2＋2x与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形为个圆，其面积为.∴1－x2＋2x
44
0
π
dx＝. 4
9．设a＝πsinxdx，则曲线y＝f(x)＝xax＋ax－2在点(1，f(1))处的切线的斜率为________.
0
[答案] 4＋2ln2
π[解析] ∵a＝πsinxdx＝(－cosx)|0＝2，
0
3
∴f(x)＝x·2x＋2x－2. ∴f ′(x)＝2x＋x·2xln2＋2.
∴曲线在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝f ′(1)＝4＋2ln2.
10．如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.
[答案]
2
e2[解析] 因为函数y＝ex与函数y＝lnx互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，又函数y＝ex与直线y＝e的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－1exdx)＝2e－2ex|10＝
0
S阴影22e－(2e－2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P＝＝2.
S正方形e
三、解答题
11．(1)A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站．电车行驶t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t m/s，到C点的速度达24 m/s，从C点到B点站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：
①A，C间的距离；②B，D间的距离．
(2)设力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x轴正向相同，求力F(x)对质点M所作的功.
[答案] (1)①240 m ②240 m (2)342 J [解析] (1)①设A到C经过t1 s，由1.2t1＝24，
2020
得t1＝20 s．所以AC＝∫01.2tdt＝0.6t2|0＝240(m)．
②设从D到B经过t2 s，由24－1.2t2＝0，得t2＝20 s. 所以DB＝∫200(24－1.2t)dt＝240 m.
10102(2)W＝∫1F(x)dx＝∫1(x＋1)dx
110＝(x3＋x)|1＝342. 3
∴力对质点M所作的功为342 J.
12．定义一个对应法则：P(m，n)→P′(m，n)(m≥0，n≥0)．现有直角坐标平面内的点A(1,9)与点B(9,1)，点M是线段AB上的动点，按定义的对应法则：M→M′，当点M在线段AB上从点A开始运动到点B时，求由点M的对应点M′的轨迹与圆(x－2)2＋(y－5)2＝17所
4
围成的曲线M′下方部分的面积.
417π
[答案] ＋
32
[解析] 由题意知点M所在直线的方程为x＋y＝10(1≤x≤9)，设点M(t,10－t)(1≤t≤9)，
x＝t
M′(x，y)，则，即点M′的轨迹方程为y＝10－x2(1≤x≤3)．因为过(1,9)，(3,1)两点
y＝10－t
的直线方程为y＝－4x＋13，由题意知，所求面积由曲线y＝10－x2(1≤x≤3)与直线y＝－4xπ
＋13围成的面积加半圆的面积组成，即所求面积S＝3[(10－x2)－(－4x＋13)]dx＋×17＝3
2
1
1
17π417π
(－x2＋4x－3)dx＋＝＋.
232
B组 能力提升
lnx，x＞0，
1．若函数f(x)＝x＋a3t2dt，x≤0，f(f(1))＝8，则实数a的值为 ( )
0
A．1 C．－1 [答案] B
33
[解析] 因为f(1)＝ln1＝0，f(0)＝0＋a3t2dt＝t3|a0＝a，所以由f(f(1))＝8得，a＝8，解
B．2 D．－2
0
得a＝2.
πππ1
2．设a＝∫－2cos(x＋)dx，则二项式(ax－)6的展开式中x的系数为 ( )
224xA．240 C．－6 [答案] A
πππππππππ
[解析] 由于∫－2cos(x＋)dx＝∫－(cosx－sinx)dx＝∫－cosxdx＝－∫－sinxdx＝
2242222222，则a＝2，(ax－故选A．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AC＝2，O为AC的中点，抛物线的一部分在矩形内，点O为抛物线的顶点，点B，D在抛物线上，在矩形内随机地投一点，则此点落在阴影部分的概率为________.
1
[答案]
3
[解析] 取BD的中点E，以O为坐标原点，OE所在直线为x轴，OA所在直线为y轴
5
B．193 D．7
16142)＝(2x－)6的展开式中x的系数为C262(－1)＝240，xx
23
建立直角坐标系，则抛物线方程为y2＝x，曲边三角形AOB的面积为1－1xdx＝1－x|1＝
320
0
1
，又矩形ABDC的面积为2，根据几何概型的概率计算公式得，此点落在阴影部分的概率3
1×231为＝.
23
4．已知函数f(x)＝ln|x|(x≠0)，函数g(x)＝(1)当x≠0时，求函数y＝g(x)的表达式；
(2)若a＞0，函数y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2，求a的值；
27
(3)在(2)的条件下，求直线y＝x＋与函数y＝g(x)的图象所围成图形的面积．
36a
[答案] (1)g(x)＝x＋ (2)a＝1
x7
(3)＋ln3－2ln2 24[解析] (1)∵f(x)＝ln|x|，
1
∴当x＞0时，f(x)＝lnx，f ′(x)＝，
x当x＜0时，f(x)＝ln(－x)，f ′(x)＝11·(－1)＝. x－x
1
＋af ′(x)(x≠0).
f ′x
a
∴当x≠0时，函数y＝g(x)＝x＋.
xa
(2)由(1)知当x＞0时，g(x)＝x＋，
x
∴当a＞0，x＞0时，g(x)≥2a，当且仅当x＝a时取等号． ∴函数y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2a. ∴依题意得2a＝2.∴a＝1.
(3)由1
y＝x＋，x
7
＋ln3－2ln2. 24
27y＝x＋，36
解得13
y＝6
1
3x1＝
2
x＝22，5.
y＝22
273271
∴直线y＝x＋与函数y＝g(x)的图象所围成图形的面积S＝2[(x＋)－(x＋)]dx＝
36x236
5．学校操场边有一条小沟，沟沿是两条长150米的平行线段，沟宽AB为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米.
6
(1)求水面宽；
(2)如图①所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？
(3)现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切，(如图②所示)，问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？
[答案] (1)2米 (2)1002立方米 (3)2
米 2
[解析] (1)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为y＝ax2，－1≤x≤1.
则由抛物线过点B(1,2)，可得a＝2.
2
于是抛物线方程为y＝2x2，－1≤x≤1.当y＝1时，x＝±，由此知水面宽为2米．
2
2222
(2)V＝2×1502 (1－2x2)dx＝300[－()3]＝1002(立方米)．
232
0
(3)为使挖的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切． 设切点P(t,2t2)(0＜t≤1)是抛物线弧OB上的一点，过点
P作抛物线的切线得到如图所示的直角梯形OCDE，则切线CD的方程为y－2t2＝4t(x111
－t)，于是C(t,0)，D(t＋，2)．
222t
tt1
记梯形OCDE的面积为S，则S＝(＋＋)≥2，
222t
122
当且仅当t＝，t＝时，等号成立，所以改挖后的沟底宽为米时，所挖的土最少．
2t22
7
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