平舆县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． Sn是等差数列{an}的前n项和，若3a8－2a7＝4，则下列结论正确的是（ ） A．S18＝72 C．S20＝80 2． 若复数
B．S19＝76 D．S21＝84
（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．6
3． 某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）
A． =0.7x+0.35 B． =0.7x+1 C． =0.7x+2.05
4． 双曲线4x2+ty2﹣4t=0的虚轴长等于（ ） A．
B．﹣2t C．
D．4
B． D．上是减函数，那么b+c（ ）
C．有最小值
D．有最小值﹣
D． =0.7x+0.45
5． 对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣2） A．有最大值
B．有最大值﹣
6． 抛物线x=﹣4y2的准线方程为（ ） A．y=1 B．y=
C．x=1 D．x=
7． 已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA
上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）
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A． B．或36+
C．36﹣
D．或36﹣
8． 下列四个命题中的真命题是（ ）
A．经过定点P0x0,y0的直线都可以用方程yy0kxx0表示
B．经过任意两个不同点P1x1,y1、P2x2,y2的直线都可以用方程yy1x2x1xx1y2y1 表示
xy1表示 abD．经过定点A0,b的直线都可以用方程ykxb表示
C．不经过原点的直线都可以用方程9． 下列命题中正确的是（ ） （A）若pq为真命题，则pq为真命题
ba2”的充分必要条件 ab （C） 命题“若x23x20，则x1或x2”的逆否命题为“若x1或x2，则x23x20”
（ B ） “a0，b0”是“
2（D） 命题p:x0R，使得x0x010，则p:xR，使得x2x10
10．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（ ）
A．M∪N B．（∁UM）∩N C．M∩（∁UN） D．（∁UM）∩（∁UN）
11．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
12．集合U=R，A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2}
C．{x|0＜x≤1}
D．{x|x≤1}
二、填空题
13．某工厂的某种型号的机器的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）的统计资料如表：
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x y 6 2 8 3 10 5 12 6 =0.7x+
，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修
根据上表数据可得y与x之间的线性回归方程
费用约为 万元．
14．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为 ．
15．已知tanβ=，tan（α﹣β）=，其中α，β均为锐角，则α= ．
16．由曲线y=2x2，直线y=﹣4x﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为 ．
17．平面内两定点M（0，一2）和N（0,2），动点P（x，y）满足为曲线E，给出以下命题： ①m，使曲线E过坐标原点； ②对m，曲线E与x轴有三个交点；
③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；
④若P、M、N三点不共线，则△ PMN周长的最小值为2m＋4;
⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN 的面积不大于m。
其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号） 18．二面角α﹣l﹣β内一点P到平面α，β和棱l的距离之比为1：度．
，动点P的轨迹
：2，则这个二面角的平面角是
三、解答题
19．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．
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20．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
，且离心率e=，设F1，F2是椭圆的左、右焦点，
过F2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M，N两点，直线F1M，F1N分别与直线x=4相交于P，Q两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求△F2PQ面积的最小值．
21．已知平面直角坐标系xoy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为0），设点A（1，）． （1）求该椭圆的标准方程；
，右顶点为D（2，
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于B，C两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线BC的方程．
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22．已知函数f（x）=sin2x+（Ⅱ）当x∈[﹣
23．已知p：
24．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为．
（Ⅰ）求甲队分别以4：2，4：3获胜的概率；
（Ⅱ）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．
222
，q：x﹣（a+1）x+a＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
2
（1﹣2sinx）．
（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；
，
]时，求f（x）的值域．
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平舆县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】
【解析】选B.∵3a8－2a7＝4， ∴3（a1＋7d）－2（a1＋6d）＝4，
18×17d17
即a1＋9d＝4，S18＝18a1＋＝18（a1＋d）不恒为常数．
2219×18d
S19＝19a1＋＝19（a1＋9d）＝76，
2同理S20，S21均不恒为常数，故选B. 2． 【答案】C
【解析】解：复数故选C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的分类，是基础题．
3． 【答案】A
【解析】解：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得， =4.5， =3.5． 因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a，解得a=0.35． 故选A．
=
，它是纯虚数，则a=﹣6．
【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．
4． 【答案】C
22
【解析】解：双曲线4x+ty﹣4t=0可化为：
∴
故选C．
5． 【答案】B
22
∴双曲线4x+ty﹣4t=0的虚轴长等于
【解析】解：由f（x）在上是减函数，知 f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈， 则
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⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤﹣故选B．
6． 【答案】D
．
2
【解析】解：抛物线x=﹣4y即为
y2=﹣x， 可得准线方程为x=故选：D．
7． 【答案】D
【解析】
【分析】由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可． 【解答】解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界）， 有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：
．
故选D 8． 【答案】B 【解析】
或
．
考
点：直线方程的形式.
【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式，对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线；直线的斜截式方程只能表示斜率存在的直线；直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线；直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行和过原点的直线，此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111] 9． 【答案】D
【解析】对选项A，因为pq为真命题，所以p,q中至少有一个真命题，若一真一假，则pq为假命题，
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a故选项B错误；命题“若x23x20，2的充分必要条件是a,b同号，
b则x1或x2”的逆否命题为“若x1且x2，则x23x20”，故选项C错误；故选D．
故选项A错误；对于选项B，10．【答案】B
【解析】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}， ∴∁UM={0，1}， ∴N∩（∁UM）={0，1}， 故选：B．
【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．
11．【答案】A
【解析】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6）， 该同学通过测试的概率为故选：A．
12．【答案】B
【解析】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（∁UB）．A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}， 则∁UB={x|x≥1}，
则A∩（∁UB）={x|1≤x＜2}． 故选：B．
【点评】本题主要考查Venn图表达 集合的关系和运算，比较基础．
=0.648．
ba二、填空题
13．【答案】 7.5
【解析】解：∵由表格可知=9， =4， ∴这组数据的样本中心点是（9，4）， 根据样本中心点在线性回归直线∴4=0.7×9+∴
，
=0.7x+
上，
=﹣2.3，
=0.7x﹣2.3，
∴这组数据对应的线性回归方程是∵x=14，
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∴=7.5，
故答案为：7.5
【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求a的值，这样使得题目简化，注意运算不要出错．
14．【答案】
．
【解析】解：由题意画出几何体的图形如图
由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大． ∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=在RT△SHO中，OH=
OC=
OS
CH=
．
∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1， ∴体积V=故答案是
Sh=．
×
×2×1=
2
．
【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．
15．【答案】
．
【解析】解：∵tanβ=，α，β均为锐角， ∴tan（α﹣β）=∴α=
．
=
=，解得：tanα=1，
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故答案为：．
【点评】本题考查了两角差的正切公式，掌握公式是关键，属于基础题．
16．【答案】
【解析】解：由方程组
解得，x=﹣1，y=2故A（﹣1，2）．如图，
121
故所求图形的面积为S=∫﹣1（2x）dx﹣∫﹣1（﹣4x﹣2）dx
．
=﹣（﹣4）=
故答案为：
【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．
17．【答案】①④⑤
解析：∵平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足|∴
•
=m
①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；
②令y=0，可得x2+4=m，∴对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确；
|•|
|=m（m≥4），
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③曲线E关于x轴对称，但不关于y轴对称，故不正确； ④若P、M、N三点不共线，|
|+|
|≥2
=2
，所以△PMN周长的最小值为2
+4，正确；
⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积为2S△MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确． 故答案为：①④⑤．
18．【答案】 75 度．
【解析】解：点P可能在二面角α﹣l﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P在二面角α﹣l﹣β的内部
时，如图，A、C、B、P四点共面，∠ACB为二面角的平面角，
由题设条件，点P到α，β和棱l的距离之比为1：
故答案为：75． 键．
：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．
【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x）， ∴y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期． （2）令x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，
2
∴f（﹣x）=﹣2x﹣x，
2
又f（﹣x）=﹣f（x），
2
∴在x∈[﹣2，0]，f（x）=2x+x，
22
∴x∈[2，4]，那么x﹣4∈[﹣2，0]，那么f（x﹣4）=2（x﹣4）+（x﹣4）=x﹣6x+8，
由于f（x）的周期是4，所以f（x）=f（x﹣4）=x﹣6x+8， ∴当x∈[2，4]时，f（x）=x﹣6x+8．
2
2
（3）当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x．
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∴f（0）=0，f（1）=1，
当x∈[2，4]时，f（x）=x﹣6x+8，
2
∴f（2）=0，f（3）=﹣1，f（4）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+0﹣1+0=0， ∵y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．
∴2016=4×504
即求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=0．
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=504×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]=504×0=0，
【点评】本题主要考查函数周期性的判断，函数奇偶性的应用，综合考查函数性质的应用．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
，且离心率e=，
∴
22
，解得a=4，b=3，
∴椭圆C的方程为=1．
），
（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（﹣代入椭圆∴
22
，化简，得（3t+4）y+6ty﹣9=0，
，，
设M（x1，y1），N（x2，y2），又F1（﹣1，0），F2（1，0）， 则直线F1M：∴令μ=∵y=
=
|∈[1，=
），则在[1，
，令x=4，得P（4，|=15×|
=180×）上是增函数， ）min=
．
，
），同理，Q（4，
|=180×|
）， |，
∴当μ=1时，即t=0时，（
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【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．
21．【答案】
【解析】解；（1）由题意可设椭圆的标准方程为∵右顶点为D（2，0），左焦点为∴a=2，
，
．
， ．
，c为半焦距．
∴该椭圆的标准方程为
（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点M（x，y）．
由中点坐标公式可得，解得．（*）
∵点P是椭圆上的动点，∴．
把（*）代入上式可得，可化为．
即线段PA的中点M的轨迹方程为一焦点在x轴上的椭圆
（3）①当直线BC的斜率不存在时，可得B（0，﹣1），C（0，1）． ∴|BC|=2，点A
到y轴的距离为1，∴
=1；
．
②当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx，B（x1，y1），C（﹣x1，﹣y1）（x1＜0）． 联立∴∴|BC|=
22
，化为（1+4k）x=4．解得
，
=
． =2
．
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又点A到直线BC的距离d=．
∴==，
∴==，
令f（k）=，则
．列表如下：
．
令f′（k）=0，解得
又由表格可知：当k=
综上可得：当k=
时，函数f（x）取得极小值，即
→1．
，即
取得最大值2，即
．
．
而当x→+∞时，f（x）→0，
时，△ABC的面积取得最大值
【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式及“代点法”、分类讨论的思想方法、直线与椭圆相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立解方程组、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性及其极值．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+=2（sin2x+由2kπ+
≤2x+
cos2x）=2sin（2x+≤2kπ+
2
（1﹣2sinx）=sin2x+
cos2x
），
≤x≤kπ+
（k∈Z），
（k∈Z）得：kπ+
，kπ+
故f（x）的单调减区间为：[kπ+（Ⅱ）当x∈[﹣
，
]（k∈Z）；
]，2sin（2x+
）∈[0，2]，
]时，（2x+）∈[0，
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所以，f（x）的值域为[0，2]．
23．【答案】 【解析】解：由p：
，
⇒﹣1≤x＜2，
2222
方程x﹣（a+1）x+a=0的两个根为x=1或x=a， 22
若|a|＞1，则q：1＜x＜a，此时应满足a≤2，解得1＜|a|≤
当|a|=1，q：x∈∅，满足条件， 综上﹣本题的关键．
24．【答案】
．
2
当|a|＜1，则q：a＜x＜1，此时应满足|a|＜1，
【点评】本题主要考查复合命题的应用，以及充分条件和必要条件的应用，结合一元二次不等式的解法是解决
【解析】解：（Ⅰ）设甲队以4：2，4：3获胜的事件分别为A，B， ∵甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为， ∴
，
和
．
，
∴甲队以4：2，4：3获胜的概率分别为
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为5，6，7， ∴
，P（X=6）=
7 ，P（X=7）=
，
∴随机变量X的分布列为
X 5 6 p ． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，独立重复试验概率的乘法公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．
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