课时跟踪检测（二十八） 平面向量的概念及其线性运算
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
―→―→―→
1．已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C满足2AC＋CB＝0，则OC＝( ) ―→―→
A．2OA－OB 2―→1―→C.OA－OB 33
―→―→
B．－OA＋2OB 1―→2―→
D．－OA＋OB
33
―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：选A 依题意，得OC＝OB＋BC＝OB＋2AC＝OB＋2(OC－OA)，所以OC＝2OA－OB. ―→1―→―→―→―→
2．(2019·石家庄质检)在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DA，设CB＝a，CA＝b，则CD＝( )
212A.a＋b 3334C.a＋b 55
21
B.a＋b 3343D.a＋b 55
―→1―→―→1―→―→―→―→―→1―→―→1―→―→2―→1
解析：选B ∵BD＝DA，∴BD＝BA，∴CD＝CB＋BD＝CB＋BA＝CB＋(CA－CB)＝CB＋
2333331―→2
CA＝a＋b.
33
―→―→―→
3．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( ) A．矩形 C．梯形
B．平行四边形 D．以上都不对
―→―→―→―→―→―→―→
解析：选C 由已知，得AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，故AD∥BC. ―→―→
又因为AB与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形．
―→1―→―→―→2―→
4．(2018·扬州模拟)在△ABC中，N是AC边上一点且AN＝NC，P是BN上一点，若AP＝mAB＋AC，
29则实数m的值是________．
―→1―→―→―→1―→
解析：如图，因为AN＝NC，P是BN上一点．所以AN＝AC，
2321―→2―→
mAB＋AN，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝. 333
1答案：
3
―→1―→―→
5．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且AD＝AC＋λAB (λ∈R)，则AD的
4长为________．
13
解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，
44
过点D分别作AC，―→―→2―→
AP＝mAB＋AC＝
9
―→1―→―→3―→
AB的平行线交AB，AC于点M，N，则AN＝AC，AM＝AB，因为在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交
44BC于点D，所以四边形ANDM为菱形，因为AB＝4，所以AN＝AM＝3，AD＝33.
答案：33
二保高考，全练题型做到高考达标
―→―→―→
1．已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( ) A．A，B，D C．B，C，D
B．A，B，C D．A，C，D
―→―→―→―→―→―→―→
解析：选A AD＝AB＋BC＋CD＝3a＋6b＝3AB.因为AB与AD有公共点A，所以A，B，D三点共线． 2．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为( ) A．1 1
C．1或－
2
1
B．－
21
D．－1或－ 2
解析：选B 由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝ k [a＋2λ－1b].
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
λ＝k，
由于a，b不共线，所以有
2λk－k＝1，
1
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.
21
又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.
2
―→―→
3．(2019·浙江六校联考)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设AB＝a，AD―→
＝b，则向量BF＝( )
12A．a＋b
3312C．－a＋b
33
12B．－a－b
3312D．a－b
33
AB―→2
＝2，所以BF＝EC3
BF
解析：选C 如图，因为点E为CD的中点，CD∥AB，所以EF＝112―→2―→―→2
b－a＝－a＋b. BE＝(BC＋CE)＝33233
1
4．(2018·遂昌期初)已知a，b是两个不共线的非零向量，且起点在同一点上，若a，tb，(a＋b)三向量的终点
3在同一直线上，则实数t的值为( )
A．2 2C．
3
B．1 1D． 2
11
解析：选D 由题可设(a＋b)＝λa＋μtb，因为a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一直线上，所以有λ＋μ＝1.
3312121
所以＝λ，μ＝，所以＝t，解得t＝. 33332
―→―→―→―→5．(2019·丹东五校协作体联考)P是△ABC所在平面上的一点，满足PA＋PB＋PC＝2AB，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为( )
A．2 C．4
B．3 D．8
―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：选A ∵PA＋PB＋PC＝2AB＝2(PB－PA)，∴3PA＝PB－PC＝CB，∴PA∥CB，且方向相―→
S△ABCBC|CB|
同，∴＝＝→＝3，
S△PABAP―
|PA|
S△ABC
∴S△PAB＝＝2.
3
―→―→―→―→―→
6．已知O为△ABC内一点，且2AO＝OB＋OC，AD＝tAC，若B，O，D三点共线，则t的值为________． ―→―→―→解析：设线段BC的中点为M，则OB＋OC＝2OM. ―→―→―→―→―→因为2AO＝OB＋OC，所以AO＝OM，
→1―→1――→1―→1―→―→1―→1―→
则AO＝AM＝(AB＋AC)＝AB＋tAD＝AB＋AD.
42444t111
由B，O，D三点共线，得＋＝1，解得t＝.
44t31
答案：
3
―→―→―→―→―→―→
7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝________. ―→―→―→―→―→―→
解析：由|AB＋AC|＝|AB－AC|可知，AB⊥AC， 则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线， ―→1―→
因此，|AM|＝|BC|＝2.
2答案：2
―→―→―→1
8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列命题：①AD＝a
2111―→―→―→―→―→
－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝0.
222
其中正确命题的个数为________．
1―→―→―→1―→―→
解析：BC＝a，CA＝b，AD＝CB＋AC＝－a－b，故①错；
221―→―→1―→
BE＝BC＋CA＝a＋b，故②正确；
22
11―→1―→―→1
CF＝(CB＋CA)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；
22221111―→―→―→
AD＋BE＋CF＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正确．
2222∴正确命题为②③④. 答案：3
9．设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.
―→―→―→
(1)求证：A，B，D三点共线；
―→
(2)若BF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
―→―→―→
解：(1)证明：由已知得BD＝CD－CB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ―→
∵AB＝2e1－8e2， ―→―→∴AB＝2BD.
―→―→
又∵AB与BD有公共点B， ∴A，B，D三点共线． ―→
(2)由(1)可知BD＝e1－4e2，
―→
∵BF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线， ―→―→
∴BF＝λBD (λ∈R)， 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
λ＝3，得 －k＝－4λ.
解得k＝12.
―→―→―→―→
10．已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE―→＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．
―→―→
解：由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存―→―→
在实数k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
t－3＋3k＝0，6
因为a，b不共线，所以有解得t＝.
5t－2k＝0，
6
故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．
5三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1
1．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，
2―→―→―→―→
直线AB，AC于不同的两点M，N，若AM＝mAB，AN＝nAC，则( )
过点D的直线分别交
A．m＋n是定值，定值为2 B．2m＋n是定值，定值为3 11
C.＋是定值，定值为2 mn
21
D.m＋n是定值，定值为3
―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：选D 因为M，D，N三点共线，所以AD＝λAM＋(1－λ)AN.又AM＝mAB，AN＝nAC，所以AD＝2―→―→―→1―→―→―→1―→1―→―→1―→2―→
λmAB＋(1－λ)nAC.又BD＝DC，所以AD－AB＝AC－AD，所以AD＝AC＋AB.比较系数知λm＝，(1
222333121
－λ)n＝，所以m＋n＝3，故选D.
3
―→―→―→
2．(2019·长沙模拟)在平行四边形ABCD中，M为BC的中点．若AB＝λAM＋μDB，则λ－μ＝________. ―→―→―→解析：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝DC，所以AB＝ ―→―→―→1―→―→1―→―→―→1―→―→AM＋MB＝AM＋CB＝AM＋(DB－DC)＝AM＋(DB－AB)＝
2223―21→―→1―→―→2―→1―→
所以AB＝AM＋DB，所以AB＝AM＋DB，所以λ＝，μ＝，
2233331所以λ－μ＝.
3
1
答案：
3
―→―→―→
3．已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB (m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 证明：(1)若m＋n＝1，
―→―→―→―→―→―→则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)， ―→―→―→―→∴OP－OB＝m(OA－OB)， ―→―→―→―→
即BP＝mBA，∴BP与BA共线． ―→―→
又∵BP与BA有公共点B， ∴A，P，B三点共线． (2)若A，P，B三点共线， ―→―→
则存在实数λ，使BP＝λBA， ―→―→―→―→∴OP－OB＝λ(OA－OB)． ―→―→―→又OP＝mOA＋nOB.
―→1―→1―→AM＋DB－AB，
22
―→―→―→―→
故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB， ―→―→
即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0.
―→―→
∵O，A，B不共线，∴OA，OB不共线，
m－λ＝0，∴∴m＋n＝1. n＋λ－1＝0，
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