课时跟踪检测(二十八) 平面向量的概念及其线性运算
一抓基础,多练小题做到眼疾手快
―→―→―→
1.已知O,A,B是同一平面内的三个点,直线AB上有一点C满足2AC+CB=0,则OC=( ) ―→―→
A.2OA-OB 2―→1―→C.OA-OB 33
―→―→
B.-OA+2OB 1―→2―→
D.-OA+OB
33
―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→
解析:选A 依题意,得OC=OB+BC=OB+2AC=OB+2(OC-OA),所以OC=2OA-OB. ―→1―→―→―→―→
2.(2019·石家庄质检)在△ABC中,点D在边AB上,且BD=DA,设CB=a,CA=b,则CD=( )
212A.a+b 3334C.a+b 55
21
B.a+b 3343D.a+b 55
―→1―→―→1―→―→―→―→―→1―→―→1―→―→2―→1
解析:选B ∵BD=DA,∴BD=BA,∴CD=CB+BD=CB+BA=CB+(CA-CB)=CB+
2333331―→2
CA=a+b.
33
―→―→―→
3.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是( ) A.矩形 C.梯形
B.平行四边形 D.以上都不对
―→―→―→―→―→―→―→
解析:选C 由已知,得AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC,故AD∥BC. ―→―→
又因为AB与CD不平行,所以四边形ABCD是梯形.
―→1―→―→―→2―→
4.(2018·扬州模拟)在△ABC中,N是AC边上一点且AN=NC,P是BN上一点,若AP=mAB+AC,
29则实数m的值是________.
―→1―→―→―→1―→
解析:如图,因为AN=NC,P是BN上一点.所以AN=AC,
2321―→2―→
mAB+AN,因为B,P,N三点共线,所以m+=1,则m=. 333
1答案:
3
―→1―→―→
5.在△ABC中,∠A=60°,∠A的平分线交BC于点D,若AB=4,且AD=AC+λAB (λ∈R),则AD的
4长为________.
13
解析:因为B,D,C三点共线,所以+λ=1,解得λ=,如图,
44
过点D分别作AC,―→―→2―→
AP=mAB+AC=
9
―→1―→―→3―→
AB的平行线交AB,AC于点M,N,则AN=AC,AM=AB,因为在△ABC中,∠A=60°,∠A的平分线交
44BC于点D,所以四边形ANDM为菱形,因为AB=4,所以AN=AM=3,AD=33.
答案:33
二保高考,全练题型做到高考达标
―→―→―→
1.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是( ) A.A,B,D C.B,C,D
B.A,B,C D.A,C,D
―→―→―→―→―→―→―→
解析:选A AD=AB+BC+CD=3a+6b=3AB.因为AB与AD有公共点A,所以A,B,D三点共线. 2.已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线反向,则实数λ的值为( ) A.1 1
C.1或-
2
1
B.-
21
D.-1或- 2
解析:选B 由于c与d共线反向,则存在实数k使c=kd(k<0),于是λa+b= k [a+2λ-1b].
整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.
λ=k,
由于a,b不共线,所以有
2λk-k=1,
1
整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-.
21
又因为k<0,所以λ<0,故λ=-.
2
―→―→
3.(2019·浙江六校联考)在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,设AB=a,AD―→
=b,则向量BF=( )
12A.a+b
3312C.-a+b
33
12B.-a-b
3312D.a-b
33
AB―→2
=2,所以BF=EC3
BF
解析:选C 如图,因为点E为CD的中点,CD∥AB,所以EF=112―→2―→―→2
b-a=-a+b. BE=(BC+CE)=33233
1
4.(2018·遂昌期初)已知a,b是两个不共线的非零向量,且起点在同一点上,若a,tb,(a+b)三向量的终点
3在同一直线上,则实数t的值为( )
A.2 2C.
3
B.1 1D. 2
11
解析:选D 由题可设(a+b)=λa+μtb,因为a,tb,(a+b)三向量的终点在同一直线上,所以有λ+μ=1.
3312121
所以=λ,μ=,所以=t,解得t=. 33332
―→―→―→―→5.(2019·丹东五校协作体联考)P是△ABC所在平面上的一点,满足PA+PB+PC=2AB,若S△ABC=6,则△PAB的面积为( )
A.2 C.4
B.3 D.8
―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→
解析:选A ∵PA+PB+PC=2AB=2(PB-PA),∴3PA=PB-PC=CB,∴PA∥CB,且方向相―→
S△ABCBC|CB|
同,∴==→=3,
S△PABAP―
|PA|
S△ABC
∴S△PAB==2.
3
―→―→―→―→―→
6.已知O为△ABC内一点,且2AO=OB+OC,AD=tAC,若B,O,D三点共线,则t的值为________. ―→―→―→解析:设线段BC的中点为M,则OB+OC=2OM. ―→―→―→―→―→因为2AO=OB+OC,所以AO=OM,
→1―→1――→1―→1―→―→1―→1―→
则AO=AM=(AB+AC)=AB+tAD=AB+AD.
42444t111
由B,O,D三点共线,得+=1,解得t=.
44t31
答案:
3
―→―→―→―→―→―→
7.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,BC2=16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM|=________. ―→―→―→―→―→―→
解析:由|AB+AC|=|AB-AC|可知,AB⊥AC, 则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线, ―→1―→
因此,|AM|=|BC|=2.
2答案:2
―→―→―→1
8.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且BC=a,CA=b,给出下列命题:①AD=a
2111―→―→―→―→―→
-b;②BE=a+b;③CF=-a+b;④AD+BE+CF=0.
222
其中正确命题的个数为________.
1―→―→―→1―→―→
解析:BC=a,CA=b,AD=CB+AC=-a-b,故①错;
221―→―→1―→
BE=BC+CA=a+b,故②正确;
22
11―→1―→―→1
CF=(CB+CA)=(-a+b)=-a+b,故③正确;
22221111―→―→―→
AD+BE+CF=-b-a+a+b+b-a=0,故④正确.
2222∴正确命题为②③④. 答案:3
9.设e1,e2是两个不共线的向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.
―→―→―→
(1)求证:A,B,D三点共线;
―→
(2)若BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.
―→―→―→
解:(1)证明:由已知得BD=CD-CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2, ―→
∵AB=2e1-8e2, ―→―→∴AB=2BD.
―→―→
又∵AB与BD有公共点B, ∴A,B,D三点共线. ―→
(2)由(1)可知BD=e1-4e2,
―→
∵BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线, ―→―→
∴BF=λBD (λ∈R), 即3e1-ke2=λe1-4λe2,
λ=3,得 -k=-4λ.
解得k=12.
―→―→―→―→
10.已知a,b不共线,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE―→=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由.
―→―→
解:由题设知,CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存―→―→
在实数k,使得CE=kCD,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,
整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
t-3+3k=0,6
因为a,b不共线,所以有解得t=.
5t-2k=0,
6
故存在实数t=使C,D,E三点在一条直线上.
5三上台阶,自主选做志在冲刺名校
1
1.如图,在△ABC中,点D在线段BC上,且满足BD=DC,
2―→―→―→―→
直线AB,AC于不同的两点M,N,若AM=mAB,AN=nAC,则( )
过点D的直线分别交
A.m+n是定值,定值为2 B.2m+n是定值,定值为3 11
C.+是定值,定值为2 mn
21
D.m+n是定值,定值为3
―→―→―→―→―→―→―→―→
解析:选D 因为M,D,N三点共线,所以AD=λAM+(1-λ)AN.又AM=mAB,AN=nAC,所以AD=2―→―→―→1―→―→―→1―→1―→―→1―→2―→
λmAB+(1-λ)nAC.又BD=DC,所以AD-AB=AC-AD,所以AD=AC+AB.比较系数知λm=,(1
222333121
-λ)n=,所以m+n=3,故选D.
3
―→―→―→
2.(2019·长沙模拟)在平行四边形ABCD中,M为BC的中点.若AB=λAM+μDB,则λ-μ=________. ―→―→―→解析:如图,在平行四边形ABCD中,AB=DC,所以AB= ―→―→―→1―→―→1―→―→―→1―→―→AM+MB=AM+CB=AM+(DB-DC)=AM+(DB-AB)=
2223―21→―→1―→―→2―→1―→
所以AB=AM+DB,所以AB=AM+DB,所以λ=,μ=,
2233331所以λ-μ=.
3
1
答案:
3
―→―→―→
3.已知O,A,B是不共线的三点,且OP=mOA+nOB (m,n∈R). (1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线; (2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1. 证明:(1)若m+n=1,
―→―→―→―→―→―→则OP=mOA+(1-m)OB=OB+m(OA-OB), ―→―→―→―→∴OP-OB=m(OA-OB), ―→―→―→―→
即BP=mBA,∴BP与BA共线. ―→―→
又∵BP与BA有公共点B, ∴A,P,B三点共线. (2)若A,P,B三点共线, ―→―→
则存在实数λ,使BP=λBA, ―→―→―→―→∴OP-OB=λ(OA-OB). ―→―→―→又OP=mOA+nOB.
―→1―→1―→AM+DB-AB,
22
―→―→―→―→
故有mOA+(n-1)OB=λOA-λOB, ―→―→
即(m-λ)OA+(n+λ-1)OB=0.
―→―→
∵O,A,B不共线,∴OA,OB不共线,
m-λ=0,∴∴m+n=1. n+λ-1=0,
因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容