第十一章全等三角形综合复习
切记:“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
ACFBDE。例1. 如图,A,F,E,B四点共线,ACCE,BDDF,AEBF,ACBD。求证:
例2. 如图,在ABC中,BE是∠ABC的平分线,ADBE,垂足为D。求证:21C。
ABC90。ABBC,F为AB延长线上一点,BEBF,例3. 如图,在ABC中,点E在BC上,
连接AE,EF和CF。求证:AECF。
例4. 如图,AB//CD,AD//BC,求证:ABCD。
例5. 如图,AP,CP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线,它们交于点P。求证:BP为MBN的平分线。
例6. 如图,D是ABC的边BC上的点,且CDAB,ADBBAD,AE是ABD的中线。求证:AC2AE。
例7. 如图,在ABC中,ABAC,12,P为AD上任意一点。求证:ABACPBPC。
同步练习
一、选择题:
1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )
A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等
C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等
2. 根据下列条件,能画出唯一ABC的是( )
A. AB3,BC4,CA8 B. AB4,BC3,A30
C. C60,B45,AB4 D. C90,AB6
3. 如图,已知12,ACAD,增加下列条件:①ABAE;②BCED;③CD;④BE。其中能使ABCAED的条件有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
4. 如图,12,CD,AC,BD交于E点,下列不正确的是( )
A. DAECBE B. CEDE
C. DEA不全等于CBE D. EAB是等腰三角形
5. 如图,已知ABCD,BCAD,B23,则D等于( )
A. 67 B. 46 C. 23 D. 无法确定
二、填空题:
6. 如图,在ABC中,C90,ABC的平分线BD交AC于点D,且CD:AD2:3,
AC10cm,则点D到AB的距离等于__________cm;
7. 如图,已知ABDC,ADBC,E,F是BD上的两点,且BEDF,若AEB100,
ADB30,则BCF____________;
8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠,BC,BD为折痕,则CBD的大小为_________;
9. 如图,在等腰RtABC中,C90,ACBC,AD平分BAC交BC于D,DEAB于E,若AB10,则BDE的周长等于____________;
10. 如图,点D,E,F,B在同一条直线上,AB//CD,AE//CF,且AECF,若BD10,
BF2,则EF___________;
答案
例1. 思路分析:从结论ACFBDE入手,全等条件只有ACBD;由AEBF两边同时减去EF得到AFBE,又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件,可以是CFDE,也可以是AB。
由条件ACCE,BDDF可得ACEBDF90,再加上AEBF,ACBD,可以证明
ACEBDF,从而得到AB。
解答过程:ACCE,BDDF
ACEBDF90
在RtACE与RtBDF中
AEBFACBD
∴RtACERtBDF(HL)
AB
AEBF
AEEFBFEF,即AFBE
在ACF与BDE中
AFBE
ABACBD
ACFBDE(SAS)
例2. 思路分析:直接证明21C比较困难,我们可以间接证明,即找到,证明2且1C。也可以看成将2“转移”到。
那么在哪里呢?角的对称性提示我们将AD延长交BC于F,则构造了△FBD,可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB,可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。
解答过程:延长AD交BC于F
在ABD与FBD中
ABDFBDBDBDADBFDB90 ABDFBD(ASA 2DFB
又DFB1C 21C。
例3. 思路分析:可以利用全等三角形来证明这两条线段相等,关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的ABE绕点B顺时针旋转90到CBF的位置,而线段CF正好是CBF的边,故只要证明它们全等即可。
解答过程:
ABC90,F为AB延长线上一点
ABCCBF90
在ABE与CBF中
ABBCABCCBFBEBF
ABECBF(SAS)
AECF。
例4. 思路分析:关于四边形我们知之甚少,通过连接四边形的对角线,可以把原问题转化为全等三角形的问题。
解答过程:连接AC
AB//CD,AD//BC
12,34
在ABC与CDA中
12ACCA43
ABCCDA(ASA)
ABCD。
例5. 思路分析:要证明“BP为MBN的平分线”,可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明,故应过点P向BM,BN作垂线;另一方面,为了利用已知条件“AP,CP分别是MAC和NCA的平分线”,也需要作出点P到两外角两边的距离。
解答过程:过P作PDBM于D,PEAC于E,PFBN于F
AP平分MAC,PDBM于D,PEAC于E
PDPE
CP平分NCA,PEAC于E,PFBN于F
PEPF
PDPE,PEPF
PDPF
PDPF,且PDBM于D,PFBN于F
BP为MBN的平分线。
例6. 思路分析:要证明“AC2AE”,不妨构造出一条等于2AE的线段,然后证其等于
AC。因此,延长AE至F,使EFAE。
解答过程:延长AE至点F,使EFAE,连接DF
在ABE与FDE中
AEFEAEBFEDBEDE
ABEFDE(SAS)
BEDF
ADFADBEDF,ADCBADB
又ADBBAD
ADFADC
ABDF,ABCD
DFDC
在ADF与ADC中
ADADADFADCDFDC
ADFADC(SAS)
AFAC
又AF2AE
AC2AE。
例7. 思路分析:欲证ABACPBPC,不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差,故用两边之差小于第三边来证明,从而想到构造线段ABAC。而构造
ABAC可以采用“截长”和“补短”两种方法。
解答过程:法一:
在AB上截取ANAC,连接PN
在APN与APC中
ANAC12APAP
APNAPC(SAS)
PNPC
在BPN中,PBPNBN
PBPCABAC,即AB-AC>PB-PC。
法二:
延长AC至M,使AMAB,连接PM
在ABP与AMP中
ABAM12APAP
ABPAMP(SAS)
PBPM
在PCM中,CMPMPC
ABACPBPC。
同步练习的答案
一、选择题:
1. A 2. C 3. B 4. C 二、填空题:
6. 4 7. 70 8. 90 9. 10 5. C
10. 6
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