高中数学基础知识

一、理解集合中的有关概念

（1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。

集合元素的互异性：如：A{x,xy,lg(xy)}，B{0,|x|,y}，求A； （2）集合与元素的关系用符号，表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；

整数集 ；有理数集 、实数集 。 （4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。 注意：区分集合中元素的形式：如：

B{y|yx22x1}A{x|yx22x1}D{x|xx22x1}；；

；

C{(x,y)|yx22x1}；

E{(x,y)|yx22x1,xZ,yZ}；

yF{(x,y')|yx22x1}；G{z|yx22x1,z}

x（5）空集是指不含任何元素的集合。（{0}、和{}的区别；0与三者间的关系）

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为AB，在讨论的时候不要遗忘了A的情况。 如：A{x|ax22x10}，如果AR，求a的取值。 二、集合间的关系及其运算

（1）符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点

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与直线（面）的关系 ；

符号“,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

（2）AB{_________ ___________}；AB{_______________________}；

___________} CUA{_________（3）对于任意集合A,B，则：

①AB___BA；AB___BA；AB___AB； ②ABA ；ABA ；

CUABU ；CUAB ；

③CUACUB ； CU(AB)； （4）①若n为偶数，则n ；若n为奇数，则

n ；

②若n被3除余0，则n ；若n被3除余1，则若n被3除余2，则n ； n ；三、集合中元素的个数的计算：

（1）若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为

_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。

（2）AB中元素的个数的计算公式为：

Card(AB) ；

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（3）韦恩图的运用：

四、A{x|x满足条件p}，B{x|x满足条件q}，

若 ；则p是q的充分非必要条件A_____B； 若 ；则p是q的必要非充分条件A_____B； 若 ；则p是q的充要条件A_____B； 若 ；则p是q的既非充分又非必要条件

__________；_

五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同

的 ；

注意：“若pq，则pq”在解题中的运用， 如：“sinsin”是“”的 条件。 六、反证法：当证明“若p，则q”感到困难时，改证它的等价命题“若q则p”成立， 步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，

得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。

矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命

题；3、导出一个恒假命题。

适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、

“唯一”等字眼时。

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至多有正面词语 否定 等于 至少有一正面词语 个 否定

二、函数

一、映射与函数：

（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：

如：若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}；问：A到B的映射有 个，B到A的映射有 个；A到B的函数有 个，若A{1,2,3}，则A到

B的一一映射有 个。

大于 小于 是 都是 一个 至多有n 任意的 所有的 个 任意两个 函数y(x)的图象与直线xa交点的个数为 个。 二、函数的三要素： ， ， 。

相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)

（1）函数解析式的求法：

①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：

（2）函数定义域的求法： - 4 -

①yf(x)，则 ； ②y2nf(x)(nN*)g(x)则 ；

③y[f(x)]0，则 ； ④如：ylogf(x)g(x)，则 ；

⑤含参问题的定义域要分类讨论；

如：已知函数yf(x)的定义域是[0,1]，求(x)f(xa)f(xa)的定义域。

⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为r，扇形面积为S，则Sf(r) ；定义域为 。 （3）函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：f(x)ax2bxc,x(m,n)的形式；

②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：yaxb ,x(m,n)；

cxd④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本不等式法：转化成型如：yx(k0)，利用平均值不等式公

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kx式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 求下列函数的值域：①yabx； (a0,b0,ab,x[1,1])（2种方法）

abxx2x3x2x3②y；③y,x(,0)（2种方法）,x(,0)（2种方

xx1法）；

三、函数的性质：

函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）

导数法（适用于多项式函数） 复合函数法和图像法。

应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关

系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。 判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。

周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),

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则T为函数f(x)的周期。

其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.

应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。

常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）

平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过 平移得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。

（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量a（ｍ，ｎ）平移的意义。 对称变换 y=f(x)→y=f(－x),关于ｙ轴对称 y=f(x)→y=－f(x) ,关于ｘ轴对称

y=f(x)→y=f|x|,把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称

y=f(x)→y=|f(x)|把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称。（注意：它是一个偶函数） 伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),

y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。

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一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；

如：yf(x)的图象如图，作出下列函数图

象：

（1）yf(x)；（2）yf(x)； （3）yf(|x|)；（4）y|f(x)|； （5）yf(2x)；（6）yf(x1)； （7）yf(x)1；（8）yf(x)； （9）yf1(x)。 五、反函数： （1）定义：

（2）函数存在反函数的条

件： ；

（3）互为反函数的定义域与值域的关

系： ；

（4）求反函数的步骤：①将yf(x)看成关于x的方程，解出xf1(y)，若有两解，要注意解的选择；②将x,y互换，得yf1(x)；③写出反函数的定义域（即yf(x)的值域）。 （5）互为反函数的图象间的关

系：

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y y=f(x) O (2,0) (0,-1) x ；

（6）原函数与反函数具有相同的单调性；

（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它

一定不存在反函数。

如：求下列函数的反函数：f(x)xf(x)log222x3(x0)；

2x；f(x)x21x2(x0) x1七、常用的初等函数：

（1）一元一次函数：yaxb(a0)，当a0时，是增函数；当a0时，是减函数；

（2）一元二次函数：

一般式：yax2bxc(a0)；对称轴方程是 ；顶点为 ；

两点式：ya(xx1)(xx2)；对称轴方程是 ；与x轴的交点为 ；

ya(xk)2h；顶点式：对称轴方程是 ；顶点为 ；

①一元二次函数的单调性：

当a0时： 为增函数； 为减函数；当a0时： 为增函数； 为减函数；

②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为ya(xk)2h的形式，

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Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则

在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端a0时：点处取得；

在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端a0时：点处取得；

Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则

a0时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距

离对称轴较远的端点处取得；

a0时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距

离对称轴较远的端点处取得；

有三个类型题型：

(1)顶点固定，区间也固定。如：yx2x1,x[1,1]

(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。

(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．yx2x1,x[a,a1]

③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程

f(x)ax2bxc0的两根为x1,x2；则：

根的情况 x1x2k x1x2k - 10 -

x1kx2 等价命题 在区间(k,)上在区间(,k)有两根 上有两根 在区间(k,)或(,k)上有一根 充要条 件 注意：若在闭区间[m,n]讨论方程f(x)0有实数解的情况，可先利用

在开区间(m,n)上实根分布的情况，得出结果，在令xn和

xm检查端点的情况。

（3）反比例函数：y(x0)ya（4）指数函数：yax(a0,a1)

axc xb指数运算法则： ； ； 。

指数函数：y=ax (a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0指数运算法则： ； ； ； 对数函数：y=logax (a>o,a≠1) 图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0- 11 -

要能够画出函数图象的简图。

注意：（1）yax与ylogax的图象关系是 ；

（2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。

（3）已知函数f(x)log1(x2kx2)的定义域为R，求k的取值范围。

2已知函数f(x)log1(x2kx2)的值域为R，求k的取值范

2围。

六、yx(k0)的图象：

定义域： ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性： 是增函数； 是减函数。 七、补充内容：

抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型： ①f(x1x2)f(x1)f(x2)正比例函数f(x)kx(k0)

②f(x1x2)f(x1)f(x2)；f(x1x2)f(x1)f(x2) ； ③f(x1x2)f(x1)f(x2)；f(1)f(x1)f(x2) ； ④f(x1)f(x2)2f(x1x2xx2)f(1) ； 22xx2kx三、导 数

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１．求导法则：

(c)/=0 这里c是常数。即常数的导数值为０。

(xn)/=nxn－1 特别地：(x)/=1 (x－1)/= ()/=－x-2 (f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) (k•f(x))/= k•f/(x) ２．导数的几何物理意义：

k＝f/(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0))的切线的斜率。 V＝s/(t) 表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。 ３．导数的应用： ①求切线的斜率。

②导数与函数的单调性的关系

㈠f(x)0与f(x)为增函数的关系。

f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x)x3在(,)上单调递增，但f(x)0，∴f(x)0是f(x)为增函数的充分不

1x必要条件。

㈡f(x)0时，f(x)0与f(x)为增函数的关系。

若将f(x)0的根作为分界点，因为规定f(x)0，即抠去了分界点，此时f(x)为增函数，就一定有f(x)0。∴当f(x)0时，f(x)0是

f(x)为增函数的充分必要条件。

㈢f(x)0与f(x)为增函数的关系。

一定可以推出f(x)0，但反之不一定，因为f(x)0，f(x)为增函数，

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即为f(x)0或f(x)0。当函数在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数，函数不具有单调性。∴f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件。

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。

㈣单调区间的求解过程，已知yf(x) （1）分析 yf(x)的定义域;（2）求导数 yf(x)（3）解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为减区间。

我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数yf(x)在某个区间内可导。 ③求极值、求最值。

注意：极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。

f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值。

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但是，当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0 判断极值，还需结合函数的单调性说明。

4.导数的常规问题：

（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；

（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）； （3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。

2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

四、不等式

一、不等式的基本性质：

注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

(2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：

①若ab>0，则。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。

③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。

④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比

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1a1b较它们的大小

二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

ab ab（当且仅当ab时取等号）

2ab2基本变形：①ab ；() ；

2若a,b0，则

a2b2ab2②若a,bR，则ab2ab，()

2222基本应用：①放缩，变形；

②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。

当

abp（常数），当且仅当

时， ；

当

abS（常数），当且仅当

时， ；

常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数y4x91 (x)的最小值 。

24x211的最小xy②若正数x,y满足x2y1，则

值 。

三、绝对值不等式：   

注意：上述等号“＝”成立的条件；

四、常用的基本不等式： - 16 -

（1）设a,bR，则a20,(ab)20（当且仅当 时取等号）

（2）|a|a（当且仅当 时取等号）；|a|a（当且仅当 时取等号）

（3）ab,ab0； ； 五、证明不等式常用方法：

（1）比较法：作差比较：AB0AB

作差比较的步骤：

⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。 ⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的

完全平方和。

⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的

符号。

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差

来比较大小。

（2）综合法：由因导果。

（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证„„只需证„„，只需证„„ （4）反证法：正难则反。

（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

放缩法的方法有：

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1a1b1a1b⑴添加或舍去一些项，如：a21a；n(n1)n ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶

log3lg5(利用基本不等式，如：

lg3lg52)lg15lg16lg4； 2n(n1)n(n1) 2⑷利用常用结论：

Ⅰ、k1kⅡ、

度大）

Ⅲ、111111 （程度小） () ；22kk1(k1)(k1)2k1k11k1k12k；

11111111 ； （程22k(k1)k1kk(k1)kk1kk（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，

化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如： 已知x2y2a2，可设xacos,yasin； 已知x2y21，可设xrcos,yrsin(0r1)；

x2y2已知221，可设xacos,ybsin；

abx2y2已知221，可设xasec,ybtan；

ab（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等

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式；

六、不等式的解法： （1）一元一次不等式：

Ⅰ、⑴若a0，则 ；⑵若a0，则 ； axb(a0)：Ⅱ、axb(a0)：⑴若a0，则 ；⑵若a0，则 ； （2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对进行讨论：

（5）绝对值不等式：若a0，则|x|a ；

|x|a ；

注意：(1).几何意义：|x|： ；

|xm|： ；

(2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：

⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若a0 则|a| ；②若a0则

|a| ；③若a0则|a| ；

(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边

为非负值。

(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间

讨论”的方法来解。

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（6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；

⑴

f(x)0 ；⑵g(x)f(x)0 ； g(x)⑶

f(x)0 ；⑷g(x)f(x)0 ； g(x)（7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然

后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。

（8）解含有参数的不等式：

解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：

①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.

②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.

③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根

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的大小,设根为x1,x2（或更多）但含参数，要分x1x2、x1x2、x1x2讨论。

五、数列

本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前n项和Sn，则其通

1项为an若a1S1满足a1S2S1,则通项公式可写

SnSn1(n2,nN).S(n1),成anSnSn1.（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标. ①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是n的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.

a1(1qn)(q1)及②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为Sn1qSnna1(q1)；已知Sn求an时，也要进行分类；

③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整 体思想求解.

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（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错. 一、基本概念： 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、

数列的定义及表示方法： 数列的项与项数： 有穷数列与无穷数列： 递增（减）、摆动、循环数列： 数列{an}的通项公式an： 数列的前n项和公式Sn:

等差数列、公差d、等差数列的结构： 等比数列、公比q、等比数列的结构：

二、基本公式：

9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=S1(n1)SnSn1(n2)

10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

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11、等差数列的前n项和公式：Sn=na1Sn=nann(a1an)n(n1) d Sn=

22n(n1)d 2当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k

(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；

aaqa1(1qn)当q≠1时，Sn= Sn=1n

1q1q三、有关等差、等比数列的结论

14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、„„仍为等差数列。

15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则amanapaq 16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则amanapaq

17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、„„仍为等比数列。

18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

- 23 -

19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{anbn}、an1、仍为等比数列。 bnbn20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？) 24、{an}为等差数列，则ca (c>0)是等比数列。

n25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c1) 是等差数列。 26. 在等差数列an中：

（1）若项数为2n，则 S偶S奇nd （2）若数为2n1则，S奇S偶an1 27. 在等比数列an中： （1） 若项数为2n，则 （2）若数为2n1则，

S偶S奇q

S奇S偶S偶S奇an1 ann1， S2n1an1(2n1) nS奇a1S偶q

- 24 -

四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。 28、分组法求数列的和：如an=2n+3n 29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

n31、倒序相加法求和：如an=nC100

32、求数列{an}的最大、最小项的方法：

0① an+1-an=„„0 如an= -2n2+29n-3

0② an1an19n(n1)1 (an>0) 如an= n101③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=解：

(1)当 >0,d<0时，满足

n 2n15633、在等差数列an中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求

的项数m使得取最大值.

(2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

六、平面向量

1．基本概念：

向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、

- 25 -

相等向量。 2．

加法与减法的代数运算：

(1)A1A2A2A3An1AnA1An．

(2)若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）则ab=（x1x2,y1y2）． 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。 以向量AB=a、AD=b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量

AC=a+b,BD=b－a,DB=a－b

且有︱a︱－︱b︱≤︱ab︱≤︱a︱+︱b︱．

向量加法有如下规律：a＋b=b＋a(交换律); a+(b+c)=(a+ b)+c （结合律）;

a+0=a a＋(－a)=0.

3．实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量。 (1)︱a︱=︱︱²︱a︱;

(2) 当＞0时，a与a的方向相同；当＜0时，a与a的方向相

反；当=0时，a=0． (3)若a=（x1,y1），则²a=（x1,y1）． 两个向量共线的充要条件：

(1) 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=a．

(2) 若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）则a∥bx1y2x2y10．

- 26 -

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使得a=1e1+ 2e2． 4．P分有向线段P1P2所成的比：

设P1、P2是直线l上两个点，点P是l上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使P1P=PP2， 叫做点P分有向线段P1P2所成的比。当点P在线段P1P2上时，＞0；当点P在线段P1P2或P2P1的延长线上时，＜0；

分点坐标公式：若P1P=PP2；P1,P,P2的坐标分别为（x1,y1）,（x,y）,

x2xx11）；则yy1y21x2xx1yy12y22（x2,y25．

（≠－1）， 中点坐标公式：．

向量的数量积：

（1）．向量的夹角：

已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB= （001800）叫做向量a与b的夹角。 （2）．两个向量的数量积：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a²b=︱a︱²︱b︱cos． 其中︱b︱cos称为向量b在a方向上的投影． （3）．向量的数量积的性质：

若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）则e²a=a²e=︱a︱cos (e为单位向量);

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a⊥ba²b=0x1x2y1y20（a，b为非零向量）;︱a︱

=aax12y12; cos=

xxyyab=2122122． 2abx1y1x2y2(4) ．向量的数量积的运算律：

a²b=b²a;(a)²b=(a²b)=a²(b);(a＋b)²c=a²c+b²c．

6.主要思想与方法：

本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

七、立体几何

1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

．．．．．．．

能够用斜二测法作图。

2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；

会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。

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3.直线与平面

①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。

②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。

③直线与平面垂直的证明方法有哪些？

④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}

⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线. 4.平面与平面

(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况） (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。

(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面

垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。 (4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：

①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；

- 29 -

直接法体积法

②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。

③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法。 5．棱柱

（1）掌握棱柱的定义、分类，理解直棱柱、正棱柱的性质。 （2）掌握长方体的对角线的性质。

（3）平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些

几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质。 （4）S算？

（5）V=Sh 特殊的棱柱的体积如何计算？ 6．棱锥

１． 棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）

２． 相关计算：S侧＝各侧面的面积和 ，V=Sh 7．球的相关概念：S球=4πR2 V球＝πR3 球面距离的概念

4313侧

＝各侧面的面积和。思考：对于特殊的棱柱，又如何计

8．正多面体：掌握定义和正多面体的种数（是哪几个？） 。 掌握欧拉公式：V+F-E=2 其中：V顶点数 E棱数 F面数

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9．会用反证法证明简单的命题。如两直线异面。 主要思想与方法： 1．计算问题：

（1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算

异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②补形法.

直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影.

二面角 方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算 （2）空间距离(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离.

(4)两条平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离.

(7)两个平行平面之间的距离.

七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.

在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的

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距离是难点.

求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的

长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.

求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求

直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距

离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.

．．

2．平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变 3．在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想： ①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问

题转化成平面图形去解决.

②将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.

③补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形.

④利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高.

⑤平行转化

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⑥垂直转化

八、平面解析几何 （一）直线与圆知识要点

１．直线的倾斜角与斜率k=tgα，直线的倾

斜角α一定存在，范围是[0,π]，但斜率不一定存在。牢记下列图像。 斜率的求法：依据直线方程 依据倾斜角 依据两点的坐标

２．直线方程的几种形式，能根据条件，合理的写出直线的方程；能

够根据方程，说出几何意义。

３．两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件。会判断两条

直线的位置关系。（斜率相等还有可能重合） ４．两条直线的交角：区别到角和夹角两个不同概念。 ５．点到直线的距离公式。

６．会用一元不等式表示区域。能够解决简单的线性规划问题。 ７．曲线与方程的概念，会由几何条件列出曲线方程。 ８．圆的标准方程：(x－a)2+(y－b)2=r2

圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 注意表示圆的条件。

K O 。

π α - 33 -

圆的参数方程：xarcos

ybrsin掌握圆的几何性质，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。 圆锥曲线方程 （二）、圆锥曲线 １． 椭圆及其标准方程

第一定义、第二定义标准方程（注意焦点在哪个轴上）(a、b、c、e的几何意义，准线方程，焦半径) 椭圆的简单几何性质：椭圆的参数方程xacos,ybsin,当点P在椭圆上时，　　　可用参数方程设点的坐标，把问题转化为三角函数问题。２．双曲线及其标准方程：

第一定义、第二定义（注意与椭圆相类比） 标准方程（注意焦点在哪个轴上）双曲线的简单几何性质：(a、b、c、e的几何意义，准线方程，焦半径，渐近线)３．抛物线及其标准方程：

定义，以及定义在解题中的灵活应用　　（抛物线上的点到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。） 标准方程（注意焦点在哪个轴上，开口方向，p的几何意义）四种形式抛物线的简单几何性质：(焦点坐标，准线方程，与焦点有关的结论)直线与圆锥曲线：

位置关系，经常抓为方程的解的情况。 弦长。运用韦达定理解决面积。注意合理分析注意点：

（1）注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解

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（2）要学会变形使用两点间距离公式d(x2x1)2(y2y1)2，当已知

直线l的斜率k 时，公式变形为d1k2x2x1或

d11y2y1；当已知直线的倾斜角时，还可以得到2kdx2x1sec或dy2y1csc

（3）灵活使用定比分点公式，可以简化运算. （4）会在任何条件下求出直线方程.

（5）注重运用数形结合思想研究平面图形的性质 解析几何中的一些常用结论：

１． 直线的倾斜角α的范围是[０，π)

２． 直线的倾斜角与斜率的变化关系：当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角α的增大而增大。当α是钝角时，k与α同增减。 ３． 截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。 ４． 两直线：L1 A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0 L1⊥L2A1A2+B1B2=0

５． 两直线的到角公式：L1到L2的角为θ，tanθ=夹角为θ，tanθ=|

k2k1 1k1k2k2k1| 注意夹角和到角的区别 1k1k2６． 点到直线的距离公式，两平行直线间距离的求法。 ７． 有关对称的一些结论

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① 点（ａ，ｂ）关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x的对称点分别是 （ａ，－ｂ），（－ａ，ｂ），（－ａ，－ｂ），（ｂ，ａ） ② 如何求点（ａ，ｂ）关于直线Ax+By+C=0的对称点

③ 直线Ax+By+C=0关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x的对称的直线方程分别是什么，关于点（ａ，ｂ）对称的直线方程有时什么？ ④ 如何处理与光的入射与反射问题？

８．曲线f(x,y)=0关于下列点和线对称的曲线方程为：

（１）点(a.b) （２）ｘ轴 （３）ｙ轴 （４）原点 （５）直线y=x （６）直线y=－x （７）直线x＝ａ ９．点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。

点P(x0,y0),圆的方程：(x－a)2+(y－b)2=r2. 如果(x0－a)2+(y0－b)2>r2点P(x0,y0)在圆外； 如果 (x0－a)2+(y0－b)2- 36 -

10．圆上一点的切线方程：点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上，那么过点P的切线方程为：x0x+y0y=r2.

11.过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果只求出了一条，那么

另外一条就是与ｘ轴垂直的直线。

12.直线与圆的位置关系，通常转化为圆心距与半径的关系，或者利用垂径定理，构造直角三角形解决弦长问题。ｄ>r相离 d=r相切 d13．圆与圆的位置关系，经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系。设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r,R d>r+R两圆相离 d＝r+R两圆相外切 |R－r|把两式相减得相交弦所在直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0 15.圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。

x2y216.焦半径公式：在椭圆22＝１中，F１、F２分别左右焦点，

abP(x0,y0)是椭圆是一点，则：(1)|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0

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(2)三角形PF１F２的面积如何计算

17．圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。 18．直线y=kx+b和圆锥曲线f(x,y)=0交于两点P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) 则弦长P1P2=1k2|x1x2|

19.双曲线的渐近线的求法（注意焦点的位置）已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的方程。

20.抛物线中与焦点有关的一些结论：（要记忆） 解题思路与方法：

高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有4个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题：

（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，

对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键.

（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，

可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注

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意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. （3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥

曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程.

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.

定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当

椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为

mx2+ny2=1(m＞0,n＞0).

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.

（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角

形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和

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分比定理及圆锥曲线定义.

（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点

弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.

（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综

合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围. （7）参数方程，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解.

九、排列组合与二项式定理

１． 计数原理

①加法原理：N=n1+n2+n3+„+nM (分类) ②乘法原理：N=n1²n2²n3²„nM (分步) ２． 排列（有序）与组合（无序） Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)„(n－m+1)=Cnm =n(n1)(n2)(nm1)m!n!

(nm)!m!n! Ann =n! (nm)!Cnm= Cnn－m Cnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k•k!=(k+1)!－k!

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３． 排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排

排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）

插空法（解决相间问题） 间接法和去杂法等等 在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答. 经常运用的数学思想是：

①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想. ４． 二项式定理：

①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+„+ Cnran－rbr+„+ Cn n－1abn

－1

+ Cnnbn

特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+„+Cnrxr+„+Cnnxn

②通项为第r+1项： Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。

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③主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m

最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）

所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+„+Cnr+„+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和

Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+„＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+„=2n -1

5.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。

6．二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。

十、概率统计

１．必然事件 P(A)=1，不可能事件 P(A)=0，随机事件的定义 02.等可能事件的概率：（古典概率）P(A)=

m 理解这里m、ｎ的意义。 n 互斥事件（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生，这时P(A•B)=０）P(A+B)=P（A）+ P(B)

对立事件（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生。这时P(A•B)=０）P（A）+ P(B)＝１

独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A•B)＝P(A) •

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P(B)

独立重复事件（贝努里概型）

Pn(K)=Cnkpk(1－p)k 表示事件A在n次独立重复试验中恰好发．．．生了次的概率。 ．．k．．

P为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。

特殊：令k=0 得：在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为．．．．．．．．Pn(０)=Cn0p0(1－p)n =(1－p)n

令k=n得：在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为．．．．．．．．Pn(n)=Cnnpn(1－p)0 =pn 3.统计

总体、个体、样本、，样本个体、样本容量的定义；

抽样方法：1简单随机抽样：包括随机数表法，标签法；2系统抽样 3分层抽样。

11n样本平均数：x(x1x2x3xn)xi

nni1样本方差：S2 =[(x1－x)2+(x2－x)2+ (x3－x)2+„+(xn－x)2] 样本标准差：s=S2 作用：估计总体的稳定程度

理解频率直方图的意义，会用样本估计总体的期望值和方差，用样本频率估计总体分布。

题型示例

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1n一、选择题

1.设a、bR,2ab1,则24ab4a2b2有

（ ）

21 2A．最大值1 B．最小值 C．最大值14D．最小值

542. 某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四位同学分别给出下列四个结果：①C62；②

3456C62C6C6C6；③267；④A62．其中正确的结论是（ ）

A．仅有① B．仅有② C．②和③ D．仅有③ 3. 将函数y＝2x的图像按向量a平移后得到函数y＝2x＋6的图像，给出以下四个命题：①（-3.0）；②（0，a的坐标可以是a的坐标可以是6）；③；④a的坐标可以是（-3，0）或（0，6）a的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

x1a24. 不等式组，有解，则实数a的取值范围是（ ）

x42a A．（-1，3） B．（-3，1） C．（-∞，1）（3，＋∞） D．（-∞，-3）（1，＋∞）

5. 设a＞0，f(x)ax2bxc，曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y＝f（x）对称轴距离的取值范围为（ ） A．[0，] B．[0，

1a1bb1] C．[0，||] D．[0，||] 2a2a2a- 44 -

π46. 已知f(x)奇函数且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有则一定正确的是（ ）

A．f(3)f(5) B．f(3)f(5) C．f(5)f(3)

f(x1)f(x2)0x1x2D．f(3)f(5)

7. 将半径为R的球加热，若球的半径增加R，则球的体积增加V（ ）

A．πR3R B．4πR2R C．4πR2 D．4πRR

8. 等边△ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起，使平面

43APQ⊥平面BPQC，若折叠后AB的长为d，则d的最小值为（ ）

A．

35103aa B．a C．a D．4444sin4cos49. 锐角、满足22＝1，则下列结论中正确的是（ ）

cossin A． B． C． D． 10. 若将向量a＝（2，1）转绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量b的坐标为（ ） A．(2) 223223232232) B．() C．(，，，) D．(，

2222222π2π2π2π2π411. 若直线mx＋ny＝4和⊙O∶x2y24没有交点，则过（m，n）的直

x2y2线与椭圆1的交点个数（ ）

94- 45 -

A．至多一个 B．2个 C．1个 D．0个

22xy12. 在椭圆221上有一点abP，F1、F2是椭圆的左右焦点，△F1PF2为直则

这

样

的

点

P

角三角形，有

Ａ．４个或６个或８个 Ｂ．4个 Ｃ．6个 Ｄ．8个

13. 对于任意正整数n，定义“n的双阶乘n!!”如下： 当n是偶数时，n!!=n²(n-2)²(n-4)„„6²4²2； 当n是奇数时，n!!=n²(n-2)²(n-4)„„5²3²1

现在有如下四个命题：①(2003!!)²(2002!!)=2003!；②2002!!=21001²1001!；

③2002!!的个位数是0； ④2003!!的个位数是5. 其中正确的命题有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

14. 甲、乙两工厂元月份的产值相等，甲工厂每月增加的产值相同，乙工厂的产值的月增长率相同，而７月份甲乙两工厂的产值又相等，则４月份时，甲乙两工厂的产值高的工厂是 （ ） Ａ．甲工厂 Ｂ．乙工厂 Ｃ．一样 Ｄ．无法确定

15. 若log2x1logax2log(a1)x30(0a1)，则x1，x2，x3的大小关系是

a（ ）

- 46 -

A．x3x2x1 B．x2x1x3 C．x2x3x1 D．x1x3x2 16. 现用铁丝做一个面积为1平方米、形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的铁丝各一根供选择，其中最合理（即够用，浪费最少）的一根是（ ）．

A．4.6米 B．4.8米 C．5.米 D．5.2米

N，且i≤n．若17. 定义akaiai1ai2an，其中i,nkinf(x)(1)Ckk02003k2003(3x)axki020032003ii则ak的值为 ( )

k12003A．2 B．0 C．-1 D．-2 18. 设实数m、n、x、y满足m2n2a，x2y2b，其中a、b为正的常数，则myny的最大值是（ ） A．ab B．

2ab C．2ab D．

aba2b22

19. 给出平面区域如图所示，若使目标函数z＝ax＋y（a＞0）取最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（ ）

A． B． C．4 D． 20. 已知等比数列{an}满足：a1a2a3a4a53，

2222a12a2a3a4a512，则a1a2a3a4a5的值是（ ）

351453 A．9 B．4 C．2 D． 21. 已知正二十面体的各面都是正三角形，那么它的顶点数为（ ）

- 47 -

14 A．30 B．12 C．32 D．10 22. 如果A、B是互斥事件，那么（ ）

A．A＋B是必然事件B．AB是必然事件 C．A与B一定不互斥 D．A与B可能互斥，也可能不互斥

23. 某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表： 表1 市场供给量

单价 2 （元/kg） 供给量 50 （1000kg） 表2 市场需求量

单价 4 （元/kg） 需求量 50 （1000kg） 根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（ ）

A.（2.3，2.6）内 B．（2.4，2.6）内 C．（2.6，2.8）内 D．（2.8，2.9）内

- 48 -

2.4 2.8 3.2 3.6 4 60 70 75 80 90 3.4 2.9 2.6 2.3 2 60 65 70 75 80 二、填空题

1．设直线2xy430与抛物线y223x交于Ｐ、Ｑ两点，Ｏ为坐标原点，则POQ ．

2．函数fx对于任何xR，恒有fx1x2fx1fx2,若f83,则

f2= ．

3．把11个学生分成两组，每组至少1人，有 种不同的分组方法．

4. 设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q＝_______．

x2y25. 点B1、B2是椭圆221（a＞b＞0）的短轴端点，过右焦点

abF作

x轴的垂线交于椭圆于点P，若|FB2|是|OF|、|B1B2|的等比中项（O为

坐标原点），则

|PF|________． |OB2|6. 某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆，测得近地点

A距离地面m(km)，远地点B距离地面n(km)，地球半径为R(km)，关于

这个椭圆有以下四种说法：

①焦距长为nm；②短轴长为(mR)(nR)；③离心率

enm；④若以AB方向为x轴正方向，F为坐标原点，则与F对

mn2R(mR)(nR)，其中正确的序号为________．

(nm)- 49 -

应的准线方程为x7. 如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么其第四个面可能是： ①等边三角形；②等腰直角三角形；③锐角三角形；④锐角三角形；⑤直角三角形．那么结论正确的是________．（填上你认为正确的序号）

8. 某工程的工序流程图如图所示，（工时单位：天），现已知工程总时数为10天，则工序c所需工时为__天． 三、解答题 1．设(1)

22xyF1、F2分别为椭圆C:221(ab0)的左、右两个焦点． ab若椭圆C上的点A(1,)到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭

32圆C的方程和焦点坐标； (2)

设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹

方程；

已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，

x2y2那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线221写出

ab具有类似特性的性质，并加以证明． 2．已知函数f(x)xx51313,g(x)xx51313

（1）证明f(x)是奇函数，并求f(x)的单调区间.

- 50 -

（2）分别计算f(4)5f(2)g(2)和f(9)5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)

和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明. 3.非负实数x1、x2、x3、x4满足：x1+x2+x3+x4=a（a为定值，a>0） （1）若x1+x2≤1，证明：1x11x21x1x21

（2）求1x11x21x31x4的最小值，并说明何时取到最小值.

4．已知f(x)(x1)2,g(x)4(x1)，数列an满足a12,(an1an)g(an)f(an)0． （1）用an表示an1；

（2）求证：an1是等比数列；

（3）若bn3f(an)g(an1)，求bn的最大项和最小项．

5．如图，MN是椭圆

x2y2C1：221(ab0)的一

ab条弦，A（－2,1）是MN的中点，以A为焦点，以椭圆C1的左准线l为相应准线的双曲线C2与直线MN交于点B（－4，－1）。设曲线C1、C2的离心率分别为e1、e2。

（1）试求e1的值，并用a表示双曲线C2的离心率e2；

（2）当e1e2=1时，求|MB|的值。

- 51 -

6．已知函数f(x)2sinx(sinxcosx)．

（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；

（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间[，]上的图像．

x2y27.已知双曲线221(ab0)右支上一点P在x轴上方，A、B分别

abx2y2是椭圆221的左、右顶点，连结AP交

aby P C π2π2椭圆于点C，连结PB并延长交椭圆于D，若

A 0 D B x △ACD与△PCD的面积恰好相等． （1）求直线PD的斜率及直线CD的倾角；

（2）当双曲线的离心率为何值时，CD恰好过椭圆的右焦点？ 8. 如图．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成角为，且侧面ABB1A1垂直于底面ABC． （1）求证：点B1在平面ABC上的射影为

π3AB的中点；

（2）求二面角C-AB1-B的大小；

（3）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论． 9. 如图所示，以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求AB和点B的坐标． 10. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD，O- 52 -

为原点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，E在BA上，且BE∶EA＝1∶3，F在BD上，且BF∶FD＝1∶4，用a，b，c，d分别表示OE、

OF、EF、EC，并判断E、F、C三点是否共线．

11. △ABC中，|BC|a，|AC|b，a，b是方程x223x20的两根，且2cos（A＋B）＝1．求：

（1）角C的度数；（2）AB的长；（3）SABC

12. 已知二次函数f(x)的二次项系数为负，对任意实数x都有

f(2x)f(2x)，问当f(12x2)与f(12xx2)满足什么条件时才有-2＜

x＜0？

题型示例答案 一、 选择题

1. C2. C3. D4. A5. B6. D7. B8. D9. D10. B11. B12.A13.D14.Ａ15.C16. C17. D18. B19. A20. B21. B22. B23. C 二、 填空题

1. 9002. 3. 1023 4. 1 5. 三、解答题

1. （1）椭圆C的方程为x124y2（2）(x)1

23y21，焦点43212226. ①③④7. ①②③④⑤8. 4

F1(-1,0)、F2(1,0)；

b22a；（3）定值为 证

明

kPMkPN 定

义

域

为

2. （1）函数

- 53 -

{x|x0且xR},f(x)(x)(x)51313xx51313f(x)

∴f(x)为奇函数.

设ox1x2,则f(x1)f(x2)1(x13x13)1(x23x23)1(x13x23)

555(11xx131132111111)0,f(x)在(0,)上是增函数，又

f(x)是奇函数.

∴f(x)在（－∞，0）上也是增函数.

f(4)5f(2)g(2)0,f(9)5f(3)g(3)0,猜想：f(x2)5f(x)g(x)0

2323（2）解

2xxf(x)5f(x)g(x)5xx551313xx5131311(x3x3)(x3x3)0 5522223. 证：（1）x10,x20,x1x21,1x10,1x20,1x1x20 要证

1x11x21x1x21，

只要让(1x11x2)2(1x1x21)2

即证：2x1x221x1x2x1x22x1x221x1x2

只要证：x1x20 x1x20成立，故原不等式也成立。 解（2）从（1）的证明过程可知当x10,x20,成立

，等号当x10或x20时取到．

1x11x21x31x4

1x1x211x31x41x1x2x321x41x1x2x3x431a3

1x11x21x1x21等号当x1x2x30,x4a取到。

- 54 -

4. 解：（1）因为(an1an)g(an)f(an)0,g(an)4(an1)

f(an)(an1)2

所以(an1)(3an4an11)0，又a12，所以an131an44

313an1(a1)（2）因为an11444n3

an1an1an14所以，an1是以a111为首项，公比为3的等比数列．

4（3）由（2）可知，an31()n1，

4所以an3()n11， 432n13n4n133从而bn3()n1[()n11]． 2n24443y()x为减函数，所以bn中最大项为b1＝0． 又bn＝431333[()n1]2， 4244而此时n不为整数才能有(3)n11，所以只须考虑(3)n1接近于1．

2424当n=3时，(3)n1＝9与1相差1；当n=4时，(3)n1＝27与1相差5，

224161646464而5＞1，所以bn中项b3189． 6416256因

5.解（1）［法一］由A（－2,1），B（－4，－1）得直线AB即直线MN方程为y=x+3，代入椭圆C1的方程并整理，得(a2+b2)x2+6a2x+9a2－a2b2＝0 (*)

设M（x1,y1），N(x2,y2)，则

∵A（－2,1）是弦MN又b2=a2－c2，∴a=

6a2x1＋x2＝－22ab

a2=2b2,

6a2的中点，∴x1+x2=-4，故由224得

ab2c，从而椭圆离心率

e1=ca2. 2 ∵A为C2的焦点，且相应准线l- 55 -

a2方程为xc，即x2a，过

B作BB0⊥l于B0，则由双曲线定义知，e2=|BA||BB0|(24)2(11)2|4(2a)|22|2a4|2|a22|.

x12y121a2b2x1+x2＝4，y1+y2＝2,且 22x2y21a2b2 法二：设M（x1，y1）,N（x2,y2）,则

(i)，

(ii)（i）－（ii）得 ∴kMN(x1x2)(x1x2)a2(y1y2)(y1y2)b20，

y1y22b2112kAB1，以下同法一。 x1x224a（2）由e1当a3当a22，e1e21得e22

2，即

2|a22|2，∴a32或2。

2时，b2时，b

2

x2y2=9，椭圆方程为1；

189=1，代入（*）知Δ＜0，不合题意，舍去；

（另法：此时A（－2,1）在椭圆外，不可能为弦MN中点，舍去） ∴椭圆

x2y2C1方程只能为1。

189以下法一：将a2=18,b2=9，代入（*）得x2+4x=0，∴x1+x2＝－4，x1x2＝0， ∴|MN|＝

2(x1x2)2(y1y2)2(1kAB)[(x1x2)24x1x2](11)[(4)20]42，

又|AB|＝

(24)2(11)222

22242.

∴|MB|＝|MA|＋|AB|＝1|MN|+|AB|＝2

2- 56 -

以下法二：具体求出M、N点的坐标。 以下法三：先验证点

x2y2B（－4，－1）在椭圆1上，即

189B与N重合，

从而|MB|＝|MN|，故转化为求弦长|MN|即可。 6. 解：（1）f(x)2sin2x2sinxcosx1cos2xsin2x 1πππ2(sin2xcoscos2xsin)12sin(2x)

444 所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为12． （2）由（1）知

x y 3π 8π 8π 83π 85π 81 12 1 12 1 故函数yf(x)在区间[，]上的图像是 7. 解：（1）设P(x,y)，C(x1,y1)，D(x2,y2)，又A(a,0)，

00π2π2B(a,0)，

SACDSPCD，C为AP的中点，即x12x0ay，y10， 2222x0y0(x0a)2y0代入椭圆方程得： ①； 又1 ② 4a2b2a2b22①+②得(x0a)2x05，即x0a22a(x0a舍去），代入（2），并注意y00，

得y03b．

P(2a,3b)，从而kPDkPBy03b． x0aa3b直线PD方程为y(xa)，代入椭圆方程得：2x23axa20，

a- 57 -

a， x2（xa舍去）2x1x0aa，x122x2，即CD⊥x轴，直线CD倾角为90°．

（2）当CD过椭圆右焦点时，有ac，ba2c23c，

2在双曲线中，半焦距c双曲线离心率ecaa2b2，半实轴aa，

4c23c272c2a2b2a，

此时，CD恰好过椭圆右焦点．

8. （1）如图，在平面BA1内，过B1作B1D⊥AB于D， ∵ 侧面BA1⊥平面ABC，

∴ B1D⊥平面ABC，∴ B1BAB1BA是BB1与平面ABC所成的角，＝60°．

∵ 四边形ABB1A1是菱形， ∴ △ABB1为正三角形， ∴ D是AB的中点，即B1在平面ABC上的射影为AB的中点． （2）连结CD，∵ △ABC为正三角形，

又∵ 平面A1B⊥平面ABC，平面A1B平面ABC＝AB，

∴ CD⊥平面A1B，在平面A1B内，过D作DE⊥AB1于E，连结CE，则CE⊥AB1，

∴ ∠CED为二面角C-AB1-B的平面角．在Rt△CED中，

CD2sin603，连结BA1于O，则BO3，DE1BO3，

22 ∴

tanCEDCD2． DE∴ 所求二面角C-AB1-B的大小为

arctan2．

- 58 -

（3）答：B1CC1A，连结BC1， ∵ BB1CC1是菱形 ∴ ∴ CD⊥平面A1B，B1DAB， ∴ B1C⊥AB， ∴ B1C⊥平面ABC， ∴ B1C⊥C1A．

1BC1B1C

9. 设点B的坐标为（x，y），则OB(x，y)，AB(x5，y2) ∵

OBAB

①

∴

x(x5)y(y2)0x2y25x2y0

又∵ |OB||AB| ∴ x2y2(x5)2(y2)210x4y29 ②

7x12 解①②得y3123x22 或y722 ∴ 点B的坐标为（，）或（，）AB(，)或AB(，

3) 2723232722727210. 解：由BEEA，BFFD，可直接求得

1bd44bdOF15141341ba33baOE1413，

．

∴

EFOFOE4131111bdbabda55442054ECOCOEc311ba(4c3ba)444．

由平行四边形性质，知dacb． 即dacb 所以EF1111b(acb)a(4c3ba) 205420 ∴ EC5EF，从而E、F、C三点共线．

- 59 -

11. 解：（1）cosCcos[π(AB)]cos(AB)1，C120°

2 （2）∵ a，b是x222x20的两个根，

∴ ab23，ab2 ∴

1|AB|2|AC|2|BC|22|AC||BC|cosCb2a22ab()

2 （3）SABCa2b2ab(ab)2ab(23)2210 ∴ |AB|10

1133 absinC2222212. 解:由已知ya(x2)2h，(a0)． ∴ f(x)在（-∞，2]上单增，在（2，＋∞）上单调． 又∵

12x21，12xx2(x1)222．

2 ∴ 需讨论12x与12xx2的大小． 由12xx2(12x2)x(x2)知

当x(x2)0，即2x0时，12xx212x2． 故f(12xx2)

f(12x2)时，应有2x0

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