高中数学必修2练习

[基础训练A组] 一、选择题

1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )

A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对

主视图 左视图 俯视图 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）

A. 3 B. 23 C. 33 D. 43 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）

A．25 B．50 C．125 D．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）

A．3:1 B．3:2 C．2:3 D．3:3

5．在△ABC中，AB2,BC1.5,ABC120,若使绕直线BC旋转一周，则所形成的

0几何体的体积是（ ）

A.

9753 B.  C.  D.  22226．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，

则这个棱柱的侧面积是（ ）

A．130 B．140 C．150 D．160

二、填空题

1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。

2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体ABCDA1B1C1D1 中，O是上底面ABCD中心，若正方体的棱长为a，

1

则三棱锥OAB1D1的体积为_____________。

4．如图，E,F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形

BFD1E在该正方体的面上的射影可能是____________。

5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个

长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________.

三、解答题

1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M，高4M，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M（高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。

（1） 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； （2） 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； （3） 哪个方案更经济些？

2．将圆心角为120，面积为3的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积

0

（数学2必修）第一章 空间几何体 [综合训练B组]

一、选择题

1．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45形，那么原平面图形的面积是（ ） A． 22 B．

0，腰和上底均为1的等腰梯

1222 C． D． 12 222．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）

A．

3355R3 B．R3 C．R3 D．R3 248248 2

3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm， 则球的表面积是（ ） Ａ．8cm Ｂ．12cm22

Ｃ．16cm2

Ｄ．20cm2

4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，

圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为（ ） A．7 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3

5．棱台上、下底面面积之比为1:9,则棱台的中截面分棱台成

两部分的体积之比是( )

A．1:7 Ｂ．2:7 Ｃ．7:19 Ｄ．5:16 6．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是

3边长为3的正方形，EF//AB,EF,且EF与平面

2ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（ ）

A．

EFCB915 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ． 22DA二、填空题

1．圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成60,

则圆台的侧面积为____________。

2．RtABC中，AB3,BC4,AC5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成

的几何体的体积为____________。

3．等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S球___S正方体

4．若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3,4,5，从长方体的一条对角线的一个 端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________。

5． 图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;

图（2）中的三视图表示的实物为_____________。

图（1） 图（2）

6．若圆锥的表面积为a平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的

直径为_______________。 三、解答题

1.有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L，假如它的两底面边长分别等于60cm和

0 3

40cm，求它的深度为多少cm？

2．已知圆台的上下底面半径分别是2,5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.

（数学2必修）第一章 空间几何体

[提高训练C组] 一、选择题

1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ） A B C D 2．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为（ ）

A. 1:2:3 B. 1:3:5 C. 1:2:4 D. 1:3:9 3．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，

则截去8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ） A.

2745 B. C. D. 3656分别为V1和V2，则V1:V2（ ）

4．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积

A. 1:3 B. 1:1 C. 2:1 D. 3:1

5．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A. 8:27 B. 2:3 C. 4:9 D. 2:9

4

6．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积及体积为：

5 6

2

A. 24cm，12cm B. 15cm，12cmC. 24cm，36cm D. 以上都不正确

22222

二、填空题

1. 若圆锥的表面积是15，侧面展开图的圆心角是60，则圆锥的体积是_______。 2.一个半球的全面积为Q，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是 3．球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.

4．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米

则此球的半径为_________厘米.

5．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为___________。

.

0三、解答题

1. （如图）在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱， 求圆柱的表面积

002．如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD22，

AD2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.

5

（数学2必修）第二章 点、直线、平面之间的位置关系

[基础训练A组]

一、选择题

1．下列四个结论：

⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。 ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。 其中正确的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．下面列举的图形一定是平面图形的是（ ）

A．有一个角是直角的四边形 B．有两个角是直角的四边形 C．有三个角是直角的四边形 D．有四个角是直角的四边形 3．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）

A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 4．如右图所示，正三棱锥VABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，D,E,F分别是 VC,VA,AC的中点，

VP为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是

（ ）

A．30 B． 90 C． 60 D．随P点的变化而变化。 5．互不重合的三个平面最多可以把空间分成（ ）个部分 A．4 B．5 C．7 D．8

0EFD00ACPB6．把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（ ） A．90 B．60 C．45 D．30

二、填空题

1． 已知a,b是两条异面直线，c//a，那么c与b的位置关系____________________。 2． 直线l与平面所成角为30，lA,m,Am，则m与l所成角的取值范围

是 _________

3．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为

0d1,d2,d3,d4，则d1d2d3d4的值为 。

6

4．直二面角－l－的棱l上有一点A，在平面,内各有一条射线AB，

AC与l成450，AB,AC，则BAC 。

5．下列命题中： （1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行； （3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行. 其中正确的个数有_____________。

三、解答题

1．已知E,F,G,H为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点，

EBFAHDGC且EH//FG．求证：EH//BD.

2．自二面角内一点分别向两个半平面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。

（数学2必修）第二章 点、直线、平面之间的位置关系

[综合训练B组] 一、选择题

1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） Ａ．16 Ｂ．20 Ｃ．24 Ｄ．32 2．已知在四面体ABCD中，E,F分别是AC,BD的中点，若AB2,CD4,EFAB， 则EF与CD所成的角的度数为（ ）

Ａ．90Ｂ．45Ｃ．60 Ｄ．30

3．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（ ）

Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．1条或2条

4．在长方体ABCDA1B1C1D1，底面是边长为2的正方形，高为4，

7

则点A1到截面AB1D1的距离为( ) A．

8343 B． C． D． 38345．直三棱柱ABCA1B1C1中，各侧棱和底面的边长均为a，点D是CC1上任意一点， 连接A1B,BD,A1D,AD，则三棱锥AA1BD的体积为（ ）

A．

3333131a C．a D．a3 a B．1266126．下列说法不正确的是（ ） ．．．．

A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；

B．同一平面的两条垂线一定共面；

C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内； D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.

二、填空题

1．正方体各面所在的平面将空间分成_____________部分。

2．空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则BC与AD的 位置关系是_____________；四边形EFGH是__________形；当___________时，四边形EFGH是菱形；当___________时，四边形EFGH是矩形；当___________时，四边形EFGH是正方形

3．四棱锥VABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角VABC的平面角为_____________。 4．三棱锥PABC,PAPBPC73,AB10,BC8,CA6,则二面角

PACB的大小为____

5．P为边长为a的正三角形ABC所在平面外一点且PAPBPCa，则P到AB的

距离为______。

三、解答题

1．已知直线b//c，且直线a与b,c都相交，求证：直线a,b,c共面。

2．求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；

8

3． 如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，

M,N分别是SA,BD上的点，且

求证：MN//平面SBC

AMBN=， SMND

（数学2必修）第二章 点、直线、平面之间的位置关系

[提高训练C组] 一、选择题

1．设m,n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m，n//，则mn ②若//，//，m，则m ③若m//，n//，则m//n ④若，，则// 其中正确命题的序号是 ( ) A．①和② B．②和③ C．③和④

D．①和④

2．若长方体的三个面的对角线长分别是a,b,c，则长方体体对角线长为（ ） A．abc B．22212ab2c2 2C．232a2b2c2 D．ab2c2 2203．在三棱锥ABCD中,AC底面BCD,BDDC,BDDC,ACa,ABC30, 则点C到平面ABD的距离是( ) A．5a B． 515315a C．a D．a 5534．在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（ ） A．AC B． BD C．A1D D．A1D1

5．三棱锥PABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的（ ）

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 6．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角

9

ACD的余弦值为（ ） BA．

3211 B． C． D．

33237．四面体SABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E,F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于（ ） A．90 B．60 C．45 D．30

0000二、填空题

1．点A,B到平面的距离分别为4cm和6cm，则线段AB的中点M到平面的

距离为_________________．

2．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_______。

3．一条直线和一个平面所成的角为60，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是____________．

4．正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为

026，则侧面与底面所成的二面角等于_____。

5．在正三棱锥PABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB4,PA8,过A作与PB,PC分别交于D和E的截面，则截面ADE的周长的最小值是________ 三、解答题

1．正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点．求证：平面MBD平面BDC．

2．求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

10

3.在三棱锥SABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面

ABC,SASC23，M、N分别为AB,SB的中点。

（Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小； （Ⅲ）求点B到平面CMN的距离。

（数学2必修）第三章 直线与方程

[基础训练A组]

一、选择题

1．设直线axbyc0的倾斜角为，且sincos0， 则a,b满足（ ） A．ab1 C．ab0

B．ab1 D．ab0

2．过点P(1,3)且垂直于直线x2y30 的直线方程为（ ）

A．2xy10 B．2xy50 C．x2y50 D．x2y70 3．已知过点A(2,m)和B(m,4)的直线与直线2xy10平行， 则m的值为（ ）

A．0 B．8 C．2 D．10

4．已知ab0,bc0，则直线axbyc通过（ ） A．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限

B．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限

5．直线x1的倾斜角和斜率分别是（ ） A．45,1

00B．135,1

00C．90，不存在 D．180，不存在

6．若方程(2mm3)x(mm)y4m10表示一条直线，则实数m满足（ ） A．m0 C．m1

B．m223 2

D．m1，m3，m0 2 11

二、填空题

1．点P(1,1) 到直线xy10的距离是________________.

2．已知直线l1:y2x3,若l2与l1关于y轴对称，则l2的方程为__________; 若l3与l1关于x轴对称，则l3的方程为_________; 若l4与l1关于yx对称，则l4的方程为___________;

3． 若原点在直线l上的射影为(2,1)，则l的方程为____________________。 4．点P(x,y)在直线xy40上，则xy的最小值是________________. 5．直线l过原点且平分ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为

22B(1,4),D(5,0)，则直线l的方程为________________。

三、解答题

1．已知直线AxByC0，

（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x轴相交； （4）系数满足什么条件时是x轴；

（5）设Px0，y0为直线AxByC0上一点，

证明：这条直线的方程可以写成Axx0Byy00．

2．求经过直线l1:2x3y50,l2:3x2y30的交点且平行于直线2xy30 的直线方程。

3．经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？

请求出这些直线的方程。

4． 过点A(5,4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．

12

（数学2必修）第三章 直线与方程

[综合训练B组]

一、选择题

1．已知点A(1,2),B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）

A．4x2y5 B．4x2y5 C．x2y5 D．x2y5 2．若A(2,3),B(3,2),C(,m)三点共线 则m的值为（ ）

1211 Ｂ． Ｃ．2 Ｄ．2 22xy3．直线221在y轴上的截距是（ ）

abＡ．

A．b B．b C．b D．b

4．直线kxy13k，当k变动时，所有直线都通过定点（ ） A．(0,0) B．(0,1)

C．(3,1)

D．(2,1)

225．直线xcosysina0与xsinycosb0的位置关系是（ ） A．平行

B．垂直 C．斜交 D．与a,b,的值有关

6．两直线3xy30与6xmy10平行，则它们之间的距离为（ ）

2513 C．13 A．4 B．1326710 D．207．已知点A(2,3),B(3,2)，若直线l过点P(1,1)与线段AB相交，则直线l的

斜率k的取值范围是（ ） A．k3 4 B．

3k2 4 C．k2或k3 D．k2 4二、填空题

1．方程xy1所表示的图形的面积为_________。

2．与直线7x24y5平行，并且距离等于3的直线方程是____________。 3．已知点M(a,b)在直线3x4y15上，则ab的最小值为 22 13

4．将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(m,n)重合，则mn的值是___________________。

５．设abk(k0,k为常数)，则直线axby1恒过定点 ． 三、解答题

1．求经过点A(2,2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。

2．一直线被两直线l1:4xy60,l2:3x5y60截得线段的中点是P点，当P点分别为(0,0)，(0,1)时，求此直线方程。

2． 把函数yfx在xa及xb之间的一段图象近似地看作直线，设acb，

证明：fc的近似值是：fa

cafbfa． ba3x1和x轴，y轴分别交于点A,B，在线段AB为边在第一象限内作等4．直线y3边△ABC，如果在第一象限内有一点P(m,)使得△ABP和△ABC的面积相等， 求m的值。

12

14

（数学2必修）第三章 直线与方程

[提高训练C组] 一、选择题

1．如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，

又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（ ）

A．13 B．3 C．

13 D．3

2．若Pa，b、Qc，d都在直线ymxk上，则PQ用a、c、m表示为（

A．ac1m2 B．mac C．

ac1m2 D． ac1m2

3．直线l与两直线y1和xy70分别交于A,B两点，若线段AB的中点为

M(1,1)，则直线l的斜率为（ ）

A．

32 B．23 C．32 D． 23 4．△ABC中，点A(4,1),AB的中点为M(3,2),重心为P(4,2)，则边BC的长为（

A．5

B．4

C．10

D．8

5．下列说法的正确的是 （ ） A．经过定点P0x0，y0的直线都可以用方程yy0kxx0表示 B．经过定点A0，b的直线都可以用方程ykxb表示 C．不经过原点的直线都可以用方程

xayb1表示

D．经过任意两个不同的点P1x1，y1、P2x2，y2的直线都可以用方程

yy1x2x1xx1y2y1表示

6．若动点P到点F(1,1)和直线3xy40的距离相等，则点P的轨迹方程为（ A．3xy60 B．x3y20 C．x3y20 D．3xy20

二、填空题

15

））

）

1．已知直线l1:y2x3,l2与l1关于直线yx对称，直线l3⊥l2，则l3的斜率是______. 2．直线xy10上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90得直线l，

则直线l的方程是 ．

3．一直线过点M(3,4)，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是__________． 4．若方程xmy2x2y0表示两条直线，则m的取值是 ． 5．当0k2201时，两条直线kxyk1、kyx2k的交点在 象限． 2三、解答题

1．经过点M(3,5)的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？

2．求经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0,5)到它的距离相等的直线方程。

3．已知点A(1,1)，B(2,2)，点P在直线y最小值时P点的坐标。

4．求函数f(x)

122x上，求PAPB取得 2x22x2x24x8的最小值。

16

（数学2必修）第四章 圆与方程

[基础训练A组]

一、选择题

１．圆(x2)y5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为 ( ) A．(x2)y5

222222

2

B．x(y2)5 D．x(y2)5

2222C．(x2)(y2)5

22．若P(2,1)为圆(x1)y25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ） A. xy30

22B. 2xy30 C. xy10 D. 2xy50

3．圆xy2x2y10上的点到直线xy2的距离最大值是（ ）

A．2 B．12 C．12 D．122 24．将直线2xy0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与

圆xy2x4y0相切，则实数的值为（ ） A．3或7 B．2或8 C．0或10 D．1或11

5．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)，距离为2的直线共有（ ） A．1条 B．2条

2222C．3条 D．4条

6．圆xy4x0在点P(1,3)处的切线方程为（ ）

A．x3y20 B．x3y40 C．x3y40 D．x3y20

二、填空题

1．若经过点P(1,0)的直线与圆xy4x2y30相切，则此直线在y轴上的截

距是 __________________.

2．由动点P向圆x2y21引两条切线PA,PB，切点分别为A,B,APB60，则动点P的轨迹方程为 。

3．圆心在直线2xy70上的圆C与y轴交于两点A(0,4),B(0,2),则圆C的方程为 .

17

0222４．已知圆x3y4和过原点的直线ykx的交点为P,Q则OPOQ的值为

2________________。

5．已知P是直线3x4y80上的动点，PA,PB是圆xy2x2y10的切线，

22A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________________。

三、解答题

1．点Pa,b在直线xy10上，求a2b22a2b2的最小值。

2．求以A(1,2),B(5,6)为直径两端点的圆的方程。

3．求过点A1,2和B1,10且与直线x2y10相切的圆的方程。

4．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为27求圆C的方程。

18

，

（数学2必修）第四章 圆与方程

[综合训练B组] 一、选择题

1．若直线xy2被圆(xa)y4所截得的弦长为22,则实数a的值为（ ）

A．1或3 B．1或3 C．2或6 D．0或4

2．直线x2y30与圆(x2)(y3)9交于E,F两点，则EOF（O是原点）的面积为（ ） Ａ．

22226533 Ｂ． Ｃ．25 Ｄ．

524223．直线l过点，l与圆xy2x有两个交点时，斜率k的取值范围是( ) （2，0）（22，22）（2，2）A． B． C．（2211 D． ，）（，）44884．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与

圆C相切，则圆C的方程为（ ）

A．xy2x30 C．xy2x30

2222B．xy4x0 D．xy4x0

2222225．若过定点M(1,0)且斜率为k的直线与圆x4xy50在

第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是（ ） A. 0k5 B. 5k0 C. 0k13 D. 0k5

22６．设直线l过点(2,0)，且与圆xy1相切，则l的斜率是（

）

A．1 B．1 2

C．3 3

D．3

二、填空题

1．直线x2y0被曲线xy6x2y150所截得的弦长等于

2．圆C：xyDxEyF0的外有一点P(x0,y0)，由点P向圆引切线的长______ 3． 对于任意实数k，直线(3k2)xky20与圆xy2x2y20的

位置关系是_________

19

2222224．动圆xy(4m2)x2my4m4m10的圆心的轨迹方程是 . ５．P为圆xy1上的动点，则点P到直线3x4y100的距离的最小值为_______. 22222三、解答题

１．求过点A(2,4)向圆xy4所引的切线方程。

２．求直线2xy10被圆xy2y10所截得的弦长。

３．已知实数x,y满足xy1，求

４．已知两圆xy10x10y0,xy6x2y400，

求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长。

2222222222y2的取值范围。 x1

20

（数学2必修）第四章 圆与方程

[提高训练C组] 一、选择题

1．圆：xy4x6y0和圆：xy6x0交于A,B两点， 则AB的垂直平分线的方程是（ ）

A. xy30 B．2xy50 C．3xy90 D．4x3y70

22． 方程x11(y1)表示的曲线是（ ）

2222A．一个圆 B．两个半圆 C．两个圆 D．半圆 3．已知圆C：(xa)(y2)4(a0)及直线l:xy30， 当直线l被C截得的弦长为23时，则a（ ） A．2 B．22 C． 4．圆(x1)y1的圆心到直线y222221 D．21

3x的距离是（ ） 331 B． C．1 D．3

22225．直线3xy230截圆xy4得的劣弧所对的圆心角为（ ）

A．

A．30 B．45 C．60 D．90

6．圆xy1上的点到直线3x4y250的距离的最小值是（ ） A．6 B．4 C．5 D．1 7．两圆xy9和xy8x6y90的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切

2222000022二、填空题

1．若A(1,2,1),B(2,2,2),点P在z轴上，且PAPB，则点P的坐标为 2．若曲线y1x与直线yxb始终有交点，则b的取值范围是___________； 若有一个交点，则b的取值范围是________；若有两个交点，则b的取值范围是_______； ３．把圆的参数方程2x12cos化成普通方程是______________________．

y32sin22４．已知圆C的方程为xy2y30，过点P(1,2)的直线l与圆C

21

交于A,B两点，若使AB最小，则直线l的方程是________________。 ５．如果实数x,y满足等式(x2)y3，那么

2222y的最大值是________。 x6．过圆x(y2)4外一点A(2,2)，引圆的两条切线，切点为T1,T2，则直线TT12的方程为________。 三、解答题

1．求由曲线xyxy围成的图形的面积。

2．设xy10,求d的最小值。

3．求过点M(5,2),N(3,2)且圆心在直线y2x3上的圆的方程。

4．平面上有两点A(1,0),B(1,0)，点P在圆周x3y44上，求使AP2BP22222x2y26x10y34x2y24x30y229

取最小值时点P的坐标。

22

数学2（必修）第一章 空间几何体 [基础训练A组]

一、选择题

1. A 从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台 2.A 因为四个面是全等的正三角形，则S表面积4S底面积43.B 长方体的对角线是球的直径，

33 4l32425252,2R52,R52,S4R250 24.D 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a

a2r内切球，r内切球a,23ar2外接球，r外接球3ar内切球,：r外接球：12

222222

3123VVVr(11.51)5.D 大圆锥小圆锥326.D 设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1,l2，而l1155,l295,

222而l1l24a,即155954a,a8,S侧面积ch485160

22222二、填空题

1.5,4,3 符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台 2.1:22:33 r1:r2:r31:3.

2:33r,13r2:3r3:331:(32):(3)1: 22:3313a 画出正方体，平面AB1D1与对角线AC1的交点是对角线的三等分点， 6三棱锥OAB1D1的高h3113313a,VSh2a2a 333436或：三棱锥OAB1D1也可以看成三棱锥AOB1D1，显然它的高为AO，等腰三

角形OB1D1为底面。

4. 平行四边形或线段 5．6 设ab2,bc3,ac6,则abc6,c3,a2,c1

l3216

15 设ab3,bc5,ac15则(abc)2225,Vabc15

23

三、解答题

1．解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M,则仓库的体积

1125616V1Sh4(M3)

3332如果按方案二，仓库的高变成8M，则仓库的体积

221128812V2Sh8(M3)

3332（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M,半径为8M.

棱锥的母线长为l8445 则仓库的表面积S1845325(M) 如果按方案二，仓库的高变成8M.

棱锥的母线长为l8610 则仓库的表面积

22222S261060(M2)

（3）V2V1 ，

S2S1 方案二比方案一更加经济

2. 解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l，圆锥的半径为r，则

12022l3,l3；32r,r1； 36032 S表面积S侧面S底面rlr4,

V1122Sh1222 333第一章 空间几何体 [综合训练B组]

一、选择题

1.A 恢复后的原图形为一直角梯形S1(121)222 22.A 2rR,rR3R13,h,Vr2hR3 223243.B 正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则232R， R3,S4R12 4.A S侧面积(r3r)l84,r7

2 24

5.C 中截面的面积为4个单位，

V11247 V2469196.D 过点E,F作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，

131315V23232

34222二、填空题

1.6 画出圆台，则r11,r22,l2,S圆台侧面(r1r2)l6 2.16 旋转一周所成的几何体是以BC为半径，以AB为高的圆锥， Vr2h42316

13133. 设V43VR3a3,a3V,R3， 343322 S正6a6V216V2,S球4R2336V23216V2

4.74 从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案

2222 4(35)80,或5(34)74

5.（1）4 （2）圆锥 6．23a 设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由l2r得l2r， 32 而S圆锥表rr2ra，即3ra,r 三、解答题 1. 解：V2a3a，即直径为、、 3313V(SSS'S')h,h

''3SSSS319000075

36002400160029222. 解：(25)l(25),l

7 h空间几何体 [提高训练C组]

一、选择题

1.A 几何体是圆台上加了个圆锥，分别由直角梯形和直角三角形旋转而得 2.B 从此圆锥可以看出三个圆锥，r1:r2:r31:2:3,l1:l2:l31:2:3, S1:S2:S31:4:9,S1:(S2S1):(S3S2)1:3:5

25

3.D V正方体8V三棱锥184.D V1:V2(Sh):(Sh)3:1

111115

322226135.C V1:V28:27,r1:r22:3,S1:S24:9

6.A 此几何体是个圆锥，r3,l5,h4,S表面33524

21V32412

3二、填空题 1．

2531 设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2rl，得l6r，73Sr2r6r7r215，得r1515，圆锥的高h35 77111515253Vr2h35

337772.

Q10,R Q S全2R2R23R2Q39 V23221010RR2h,hR,S2R22RRR2Q 333393.8 r22r1,V28V 143R,R3642712 311''5.28 V(SSSS)h(441616)328

334.12 VShrh2 三、解答题 1.解：圆锥的高h

422223，圆柱的底面半径r1，

S表面2S底面S侧面23(23)　　2. 解：S表面S圆台底面S圆台侧面S圆锥侧面

52(25)32222 25(21)

VV圆台V圆锥

26

11(r12r1r2r22)hr2h33

1483第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练A组]

一、选择题

1. A ⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能

⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内 2. D 对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；

对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形

3.D 垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系

4.B 连接VF,BF，则AC垂直于平面VBF，即ACPF，而DE//AC，DEPF 5.D 八卦图 可以想象为两个平面垂直相交，第三个平面与它们的交线再垂直相交 6.C 当三棱锥DABC体积最大时，平面DACABC，取AC的中点O，

则△DBO是等要直角三角形，即DBO45 二、填空题

1.异面或相交 就是不可能平行

030,902. 直线与平面所成的的角为m与l所成角的最小值，当m在内适当30l000旋转就可以得到lm，即m与l所成角的的最大值为90

03.

613136(d1d2d3d4)h,而h 作等积变换：

34343304.60或120 不妨固定AB，则AC有两种可能

5.2 对于（1）、平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间；

（2）是对的；（3）是错的；（4）是对的 三、解答题

0EHBCD1.证明：FGBCDEH//BCD,BDBCDEH//BD

EH//FG2.略

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [综合训练B组]

一、选择题

27

1.C 正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为

22，正四棱柱的对角线为26，而球的直径等于正四棱柱的对角线，

即2R26，R6,S球4R224

2.D 取BC的中点G，则EG1,FG2,EFFG,则EF与CD所成的角EFG300

3.C 此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线

4.C 利用三棱锥A1AB1D1的体积变换：VA1AB1D1VAA1B1D1，则245.B VAA1BDVDA1BA1316h 311a23a3a2Sh 3322126. D 一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；

这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 二、填空题

1．27 分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分

2．异面直线；平行四边形；BDAC；BDAC；BDAC且BDAC 3．60

4．60 注意P在底面的射影是斜边的中点

005．3a 2三、解答题

1．证明：b//c，不妨设b,c共面于平面，设abA,acB Aa,Ba,A,B，即a，所以三线共面 2．提示：反证法 3．略

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [提高训练C组]

一、选择题

1． A ③若m//，n//，则m//n，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 ④若，，则//，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交 2．C 设同一顶点的三条棱分别为x,y,z，则xya,yzb,xzc

222222222222得xyz12212(ab2c2)a2b2c2 (ab2c2)，则对角线长为222 28

3．B 作等积变换VABCDVCABD

4．B BD垂直于CE在平面ABCD上的射影 5．C BCPABCAH

6．C 取AC的中点E，取CD的中点F，EF123 ,BE,BF222cosEF3 BF32a，在△SFC中，EFa，EFG450

227．C 取SB的中点G，则GEGF二、填空题

1.5cm或1cm 分A,B在平面的同侧和异侧两种情况

2.48 每个表面有4个，共64个；每个对角面有4个，共64个

003.90 垂直时最大 4.30 底面边长为23，高为1，tan1 3'5.11 沿着PA将正三棱锥PABC侧面展开，则A,D,E,A共线，且AA//BC 三、解答题：略

'第三章 直线和方程 [基础训练A组]

一、选择题

1.D tan1,k1,a1,ab,ab0 b2.A 设2xyc0,又过点P(1,3)，则23c0,c1，即2xy10 3.B k4macac2,m8 4.C yx,k0,0 m2bbbb05.C x1垂直于x轴，倾斜角为90，而斜率不存在 6.C 2mm3,mm不能同时为0 二、填空题 1.

221(1)13232 d

2222. l2:y2x3,l3:y2x3,l4:x2y3, 3.2xy50 k'101,k2,y(1)20229

2x( 2)

4.8 xy可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：d5. y224222

2x 平分平行四边形ABCD的面积，则直线过BD的中点(3,2) 3三、解答题

1. 解：（1）把原点(0,0)代入AxByC0，得C0；（2）此时斜率存在且不为零

即A0且B0；（3）此时斜率不存在，且不与y轴重合，即B0且C0； （4）AC0,且B0

（5）证明：Px0，y0在直线AxByC0上 Ax0By0C0,CAx0By0 Axx0Byy00。

19x2x3y5047132. 解：由，得，再设2xyc0，则c

3x2y30913y13 2xy470为所求。 133. 解：当截距为0时，设ykx，过点A(1,2)，则得k2，即y2x；

当截距不为0时，设

xyxy1,或1,过点A(1,2)， aaaa则得a3，或a1，即xy30，或xy10 这样的直线有3条：y2x，xy30，或xy10。

4. 解：设直线为y4k(x5),交x轴于点(5,0)，交y轴于点(0,5k4)， S4k141655k45,4025k10 2kk22 得25k30k160，或25k50k160 解得k28,或 k 55 2x5y100，或8x5y200为所求。

30

第三章 直线和方程 [综合训练B组]

一、选择题

1.B 线段AB的中点为(2,),垂直平分线的k2，y2.A kAB3223m21kBC,,m

132232232(x2),4x2y50 23.B 令x0,则yb

4.C 由kxy13k得k(x3)y1对于任何kR都成立，则5.B cossinsin(cos)0

x30

y106.D 把3xy30变化为6x2y60，则d7.C kPA2,kPB二、填空题

1(6)6222710 203,klkPA,或klkPB 41.2 方程xy1所表示的图形是一个正方形，其边长为2 2.7x24y700，或7x24y800

设直线为7x24yc0,dc5247223,c70,或80

3.3 4．

a2b2的最小值为原点到直线3x4y15的距离：d15 544 点(0,2)与点(4,0)关于y12(x2)对称，则点(7,3)与点(m,n) 523m7n3m12(2)252 也关于y12(x2)对称，则，得

n31n21m7255.(,) axby1变化为ax(ka)y1,a(xy)ky10,

11kkxy0 对于任何aR都成立，则

ky10三、解答题

31

1.解：设直线为y2k(x2),交x轴于点( S22,0)，交y轴于点(0,2k2)， k12222k21,42k1 2kk22 得2k3k20，或2k5k20 解得k1,或 k2 2 x3y20，或2xy20为所求。

4xy60241824182.解：由得两直线交于(,)，记为A(,)，则直线AP

232323233x5y60垂直于所求直线l，即kl424，或kl 35y424x，或y1x， 35即4x3y0，或24x5y50为所求。 3. 证明：A,B,C三点共线，kACkAB

ycf(a)f(b)f(a) cabaca ycf(a)[f(b)f(a)]

baca 即ycf(a)[f(b)f(a)]

baca fc的近似值是：fafbfa ba 即

4. 解：由已知可得直线CP//AB，设CP的方程为y3xc,(c1) 3 则c1331AB3,c3，yx3过P(m,)

2321131353m3,m 232 得

第三章 直线和方程 [提高训练C组]

一、选择题

32

1.A tan 2.D PQ13(ac)2(bd)2(ac)2m2(ac)2ac1m2 3.D A(2,1),B(4,3) 4.A B(2,5),C(6,2),BC5 5.D 斜率有可能不存在，截距也有可能为0

6.B 点F(1,1)在直线3xy40上，则过点F(1,1)且垂直于已知直线的直线为所求 二、填空题

1.2 l1:y2x3,2l:x2y3,y00123x21,k2203 2,k02.xy70 P(3,4 )l的倾斜角为4590135,tan1351 3.4xy160，或x3y90

设y4k(x3),y0,x443;x0,y3k4;33k412 kk413k110,3k211k40,k4,或k

k3kx0kyx2kk1,4.1 5.二  12k1kxyky0k1三、解答题

1. 解：过点M(3,5)且垂直于OM的直线为所求的直线，即 k,y5(x3),3x5y520

2. 解：x1显然符合条件；当A(2,3)，B(0,5)在所求直线同侧时，kAB4

3535y24(x1),4xy20 4xy20，或x1

3. 解：设P(2t,t)，

则PAPB(2t1)(t1)(2t2)(t2)10t14t10 当t222222277722时，PAPB取得最小值，即P(,)

51010(x1)2(01)2(x2)2(02)2可看作点(x,0)

4. 解：f(x) 33

到点(1,1)和点(2,2)的距离之和，作点(1,1)关于x轴对称的点(1,1)

f(x)min123210 第四章 圆和方程 [基础训练A组]

一、选择题

1.A (x,y)关于原点P(0,0)得(x,y)，则得(x2)(y)5 2.A 设圆心为C(1,0)，则ABCP,kCP1,kAB1,y1x2 3.B 圆心为C(1,1),r1,dmax2221

4.A 直线2xy0沿x轴向左平移1个单位得2xy20

22圆xy2x4y0的圆心为C(1,2),r5,d5.B 两圆相交，外公切线有两条

255,3,或7

6.D （x2）y4的在点P(1,3)处的切线方程为(12)(x2)3y4 二、填空题

1.1 点P(1,0)在圆xy4x2y30上，即切线为xy10

222.xy4 OP2

22223. (x2)(y3)5 圆心既在线段AB的垂直平分线即y3，又在 2xy70上，即圆心为(2,3)，r5 4.5 设切线为OT，则OPOQOT2225

5. 22 当CP垂直于已知直线时，四边形PACB的面积最小 三、解答题

221.解：(a1)(b1)的最小值为点(1,1)到直线xy10的距离

而d3323222，(ab2a2b2)min。

2222.解：(x1)(x5)(y2)(y6)0 得xy4x4y170

22 34

3.解：圆心显然在线段AB的垂直平分线y6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则

(xa)2(y6)2r2，得(1a)2(106)2r2，而ra135 (a13)2(a1)16,a3,r25,

52(x3)2(y6)220。

4.解：设圆心为(3t,t),半径为r3t，令d222223tt22t

而(7)rd,9t2t7,t1

(x3)2(y1)29，或(x3)2(y1)29

圆和方程 [综合训练B组]

一、选择题 1.D da222,a22,a4,或a0

13654 25522，相切时的斜率为 442.D 弦长为4，S3.C tan1224.D 设圆心为(a,0),(a0),3a42,a2,(x2)2y24 55.A 圆与y轴的正半轴交于(0,5),0k5 06.D 得三角形的三边2,1,3，得60的角

二、填空题

221.45 (x3)(y1)25，d5,r5,rd25 222.

x02y02Dx0Ey0F 3.相切或相交

2k(3k2)k222kk22；

另法：直线恒过(1,3)，而(1,3)在圆上

35

4.x2y10,(x1) 圆心为(2m1,m),rm,(m0)，

令x2m1,ym

5.1 dr三、解答题

1.解：显然x2为所求切线之一；另设y4k(x2),kxy42k0

1011 5而42k32,k,3x4y100

4k21x2或3x4y100为所求。

2.解：圆心为(0,1)，则圆心到直线2xy10的距离为2，半径为2 5 得弦长的一半为30230，即弦长为。 553.解：令ky(2),则k可看作圆x2y21上的动点到点(1,2)的连线的斜率

x(1) 而相切时的斜率为

223y23，。 4x14224.解：（1）xy10x10y0,①；xy6x2y400②；

②①得：2xy50为公共弦所在直线的方程； （2）弦长的一半为502030，公共弦长为230。

第四章 圆和方程 [提高训练C组]

一、选择题

1.C 由平面几何知识知AB的垂直平分线就是连心线 2.B 对x分类讨论得两种情况 3.C da2321,a21

4.A d311/1 5.C 直线的倾斜角为1200，得等边三角形 3326.B dr514 7.B 43543

二、填空题

221.(0,0,3) 设P(0,0,z),PAPB,则14(z1)44(z2),z3

36

2.[1,2]；1,1222；1,2 曲线y1x2代表半圆

3.(x1)(y3)4

4.xy30 当ABCP时，AB最小，kCP1,kl1,y2x1 5.

3 设

yk,ykx,(x2)2k2x23,(1k2)x24x10， x21k 164()0,k3 3 另可考虑斜率的几何意义来做

6．x2y20 设切点为(x1,y1),(x2,y2)，则AT1的方程为x1x(y12)(y2)4

AT2的方程为x2x(y22)(y2)4，则2x14(y12)4,2x24(y22)4

2x4(y2)4,x2y20

三、解答题

121211，表示的图形占整个图形的

222412121 而(x)(y)，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆

222111 S4(11)2

2221. 解：当x0,y0时，(x)(y)2. 解：d x2y26x10y34x2y24x30y229

(x3)2(y5)2(x2)2(y15)2可看作点A(3,5)和B(2,15)

到直线xy10,上的点的距离之和，作A(3,5)关于直线xy10,

' 对称的点A(4,2)，则dminAB'293

3.解：设圆心为(x,y)，而圆心在线段MN的垂直平分线x4上，

即x4,得圆心为(4,5)，r1910

y2x3(x4)2(y5)210

4.解：在ΔABP中有APBP小值，而OPmin

37

1(4OP2AB2)，即当OP最小时，AP2BP2取最239412912523，Px3,Py3,P(,)

55555522