第一章__误差和数据处理习题解答_Microsoft_Word_文档

1、指出下列情况属于随机误差还是系统误差： （1）视差；

（2）天平零点漂移； （3）千分尺零点不准； （4）照相底版收缩；

（5）水银温度计毛细管不均匀；

（6）电表的接入误差。 解：（1）忽左忽右，属随机误差；

（2）往单方向漂移属系统误差；随机漂移属随机误差； （3）属系统误差，应作零点修正； （4）属系统误差； （5）按随机误差处理；

（6）属系统误差，可作修正。

2、说明以下因素的系统误差将使测量结果偏大还是偏小： （1）米尺因低温而收缩； （2）千分尺零点为正值； （3）测密度铁块内有砂眼；

（4）单摆公式测重力加速度，没考虑θ≠0； （5）安培表的分流电阻因温度升高而变大。 解：（1）使结果偏大；

（2）使结果偏大，属系统误差，修正时应减去这正零点值； （3）使密度值偏小； （4）使结果偏小：

当θ≠0时，单摆公式为： T02或

l1(1sin2) g4242lg2(1sin2)2

2T024l近似，结果偏小；

若用θ=0的g0T02（5）分流电阻变大，分流变小，使结果偏大。

3、用物理天平（仪=0.020g）称一物体的质量m，共称5次，结果分别为36.127g、

36.122g、36.121g、36.120g和36.125g。试求这些数据的平均值、绝对不确定度和相对不确定度。 解：m36.12736.12236.12136.12036.12536.12336.1230g

6(36.12736.123)2(36.12236.123)2(36.12136.123)2(36.12036.123)2(36.12536.123)2(36.12336.123)2Sm61 =0.0026g，

说明：平均值的有效数字比测量值多了一位，这是由于经多次测量随机误差减小的缘故，是正常、合理的。（未考虑天平的仪器误差）。

已知：仪=0.020g，

22 uSm仪0.002620.02020.020g

∴ mmu(36.1230.020)g。

相对误差urmu100%0.06%。

m说明：

①本题测量的随机误差大大小于天平的仪器误差，故实际上可写成uB≈Δ仪； ②本题的Sm最好用计算器的统计计算功能计算；

③相对误差必须以%为单位，不能写成0.0006，更不能写成0.0006g。

4、一个铅圆柱体，测得其直径d =（2.04±0.01）cm，高度h =(4.12±0.01)cm， 质量m =(149.18±0.05)g：

（1）计算铅的密度ρ；

（2）计算铅密度ρ的相对不确定度和绝对不确定度。

4149.18103 解：（1）mm4m11.08103kg/m3 2222V(d)2hdh3.142(2.0410)4.12102说明：

①计算需列出公式和数式，在数式里进行单位换算，使结果的单位成为g·m·s制单位。单位换算采用×10n的式子，用计算器很容易计算。

②π的位数最好比数式各乘除因子中有效数字最短的位数多一位，以避免π取位太少带来的计算误差（不少学生按中学习惯，常取π=3.14）。

（2）uru(um2uu0.0520.0120.012)(2d)2(h)2()(2)() mdh149.182.044.12 1.11071.010461061.01040.010100%1.0%

∴ uur1.0%11.08103kg/m30.11103kg/m3 u(11.080.11)103kg/m3

说明：

①这里应用了可忽略原则。

②乘除绝对不确定度的计算要先算出相对不确定度。

uud，而不是2d。

dd5、写出下列函数的不确定度表达式，绝对不确定度或相对不确定度只写出一种：

③d2对ur的贡献为2（1）N =X +Y - 2Z；

（2）Qk(A2B2)，k为常量；

2m（3）o； m3m2（4）kmg,不考虑g的误差；

x（5）Cmici，其中ci都为常量。

i1n22 解：（1）uNuXuY(2uZ)2 说明：

①这里及以下的计算都假定各直接测量量都是完全独立的随机误差； ②2Z对不确定度的贡献为2uZ，不是2uZ。

（2）uQku22u22k(2AuA)2(2BuB)2k(AuA)2(BuB)2

B2A222u02um2u(m3m2)2u02um2umum32（3）()()()()() 2mm3m20m(m3m2)0u（4）

ukuu(m)2(x)2 kmx说明：g看作常数，对相对不确定度无贡献。 （5）uC(Cui1nimi)2 说明：

①加减应先求合成不确定度；乘除先求相对不确定度。 ②对于较复杂的计算，也可按完全非独立随机误差的不确定度传递方法处理，计算的结果稍为偏大。

6、写成科学表达式：

（1）R =（17000±1000）km; （2）C =0.001730±0.000005; （3）m =(1.750±0.001)kg,写成以g、mg、T（吨）为单位； （4）h =(8.54±0.02)cm, 写成以μm、mm、m、km为单位. 解：（1）R =（1.7±0.1）×104km。

说明：若不写成科学表达式，不确定度1000 km有4位有效数字，不符合要求。 （2）C =（1.730±0.005）×10-3。

（3）m =(1.750±0.001)kg=(1.750±0.001)×103g=(1.750±0.001)×106mg =(1.750±0.001)×10－3T。

说明：有效数字不因单位变换而改变。 （4）h =(8.54±0.02)cm=(8.54±0.02)×104μm=(8.54±0.02)×10 mm

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=(8.54±0.02)×10 m=(8.54±0.02)×10 km。 7、按照误差理论和有效数字运算规则，改正以下错误： （1）N =(10.8000±0.2)cm; （2）28cm = 280mm;

（3）L =(28000±8000)mm; （4）0.0221×0.0221=0.00048841; （5）4001500600000.

12.6011.6解：（1）N =(10.8±0.2)cm。测量值的最后位和误差位对齐。 （2）28cm = 2.8×102mm。有效数字的位数（和相对误差相当）不因单位转换而改变。 （3）L =(2.8±0.8)×104mm。误差的有效数字只能取一位。 （4）0.0221×0.0221≌0.000488=4.88×104。3位有效数字乘3位有效数字，结果一般仍为3位有效数字。

（5）

400150040015006.0105。

12.6011.61.0说明：实验数据的运算和纯粹的数学运算是不同的，数学运算完全正确的，从实验数据

的运算来看也许是错的，所以在实验数据的运算时一定要符合有效数字的运算规则。

8、试利用有效数字运算规则计算下列各式的结果： （1）258.1+1.413； （2）27.85-27.1； （3）728×0.10；

（4）

36.00； 22000210（5）80.00(7.585.078)。

(4.715.281)0.00100解；（1）258.1+1.413=259.5； （2）27.85-27.1=0.8； （3）728×0.10=7.3×10；

36.0036.002.0102； 23220002102.0001021080.00(7.585.078)80.002.50（5）1.00104。

(4.715.281)0.0010020.00.00100（4）

说明：运算是先因子内加减，后乘除。 9、计算下列结果及不确定度： （1）NAB1C，

3A =（0.5768±0.0002）cm； B =（85.07±0.02）cm； C =（3.247±0.002）cm； （2）N =A-B，

A =（101.0±0.1）cm； B =（100.0±0.1）cm； （3）V =（1000±1）cm3，求1=；

V（4）Rax

ba =（13.65±0.02）cm； b =（10.871±0.005）cm； x =(67.0±0.8)Ω; （5）Nh1

h1h2 h1 =（45.51±0.02）cm； h2 =（12.20±0.02）cm。 解：（1）NAB1C0.576885.0713.24784.56cm，

33u0.002222 uNuAuB(C)20.000220.022()0.0220.02cm，

33∴ NuN(84.560.02)cm。 说明：要充分应用可忽略原则。 （2）N =A-B =101.0-100.0=1.0cm,

22uNuAuB0.120.120.140.2cm,

∴ NuN(1.00.2)cm.

说明：两个大数减成一个小数，其相对误差将大大增加。 （3）N10.0010001.000103cm3，

VuVN0.0011.0001030.001103cm3， V∴ NuN(1.0000.001)103cm3。

1说明：V和的相对误差是相等的。

VuN（4）Rax13.6567.084.1，

b10.871 uR(ua)2(ub)2(ux)2R(0.02)2(0.005)2(0.8)284.1

abx13.6510.87167.0 0.001520.000520.012284.10.012284.10.01284.11.0

∴ RuR(84.11.0)。

（5）Nh145.5145.511.366， h1h245.5112.2033.31uN可用式（绪—16）的普遍公式来做。也可作如下运算：

N1， h12h1h2uh12uh22()()h2(1)hh1h2uuuh2h1∴ Nh11(h1)2(h2)2，

h1h2N1h21h2h1h2h1h2h1h1h1uuh2∴ uNuuuh12uh22 h2h1h2(h1)2(h2)2N()()2h1h2h1h2(h1h2)h1h245.5112.200.0220.022()()0.500(4.4104)2(1.6103)2 245.5112.20(45.5112.20) 0.5001.71038.51040.001∴ NN1.3660.001。

说明：不能用

uNuu(h1)2(h1h2)2，因为h1和h1-h2之间不是完全独立的。 Nh1h1h2－

10、 计算下列结果：

（1）L = L1（a +b）,求L。已知a =1（常数），b =2.0×103

L1=3.18795 cm

（2）Vrh，

求V，已知2r =1.3984×102 m；h =5.0×102m。 解：（1）LL1(ab)3.18795(12.0103)3.187951.00203.1943cm。

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－

2说明：1为数学常数，可取无限多位：12.01031.00000.00201.0020，而不是12.010310.00201。

（2）Vr2h3.141(1.3984102)25.01027.7106m3。 411、力敏传感器的灵敏度K与传感器所受外力F以及传感器的输出电压U的关系为UKF。实验得到力敏传感器灵敏度的测量数据如下：

表11 力敏传感器灵敏度的测量数据

30.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 外力/9.810N 0.0 0.0 15.0 30.0 45.0 59.0 74.7 89.6 104.6 输出电压/mV 试用作图法、逐差法以及最小二乘法求解力敏传感器的灵敏度K值。

解：1）作图法：

K=(74.7-15)/2.5-0.5=29.85/9.8*10-3=3.046*102mV / N=30.5V / N

2）逐差法

次数 1 2 3 4 5 6 7 8 输出电压u/mv 0.0 15.0 30.0 45.0 59.0 74.7 89.6 104.6 1(u4)(59.059.759.659.6)59.5mv

4(u4)59.5k29.8310/单位

4F40.5不确定度分析：

uu44iui/mv 59.0 59.7 59.6 59.6

3）最小二乘法

yabx aybxyibxin

b xyxyxx22nxiyixiyinxxi2i2

i 1 2 3 4 5 6 7 8 xi 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 14.0 yi 0.0 15.0 30.0 45.0 59.0 74.7 89.6 104.6 417.9 xi yi 0.0 7.5 30.0 67.5 1.08102 1.87102 2.67102 3.66102 1.03103 xi2 0.0 0.25 1.0 2.25 4.0 6.25 9.0 12.2 35.0 yi2 0.0 225 900 2025 3481 5580 8028 10941 

3.118104 81.0310314417.92.3910328.9/单位 ∴ b283514.084a

417.92814.025.93.02/单位

88∴ y328x