2015-2016学年北京理工大附中九年级（上）月考数学试卷
（10月份）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A．
B． C． D．
2．用配方法解方程x2+4x=3，下列配方正确的是( ) A．（x﹣2）2=1
3．已知关于x的一元二次方程a（1+x2）+2bx=c（1﹣x2），其中a、b、c分别为△ABC三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则△ABC的形状为( ) A．等腰三角形 C．直角三角形
4．设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为( ) A．2012
5．某市2012年国内生产总值（GDP）比2011年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2013年比2012年增长7%．若这两年GDP平均增长率为x%，则x%满足的关系是( ) A．12%+7%=x% C．12%+7%=2•x%
6．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为( ) A．9cm
B．6cm
C．3cm
D．
cm
B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%） D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2 B．2013
C．2014
D．2015
B．等边三角形 D．等腰直角三角形 B．（x﹣2）2=7
C．（x+2）2=7
D．（x+2）2=1
7．已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的内切圆的半径为( ) A．
8．数学课上，老师提出如下问题：已知线段a、c，用尺规作图求作直角三角形ABC，使其
B．
C．2
D．3
斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明设计了如下的作图步骤： （1）作线段AB=c； （2）作线段AB的中点O
（3）以O为圆心，OA长为半径作⊙O
（4）以点B为圆心，线段a的长为半径作弧交⊙O于点C 你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是( )
A．勾股定理
B．直径所对的圆周角是直角 C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
9．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC=33°，则∠A等于(
A．33° B．57°
C．67°
D．66°
)
10．如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为( )
A．4
二、填空题（每题3分，共18分）
11．若抛物线y=2x2﹣8x+k的顶点的纵坐标为n，则k﹣n的值为__________．
12．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是__________．
B．5
C．6
D．7
13．抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，18），B（2.5，12.5），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为__________．
14．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为__________．
15．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为__________．
16．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧⑤AE=BC，其中正确的序号是__________．
是劣弧
的2倍；
三、解答题（17、18题每题8分，19、20、21、22题每题9分，共52分） 17．解方程：
（1）x2+3x﹣1=0 （2）（x﹣2）2=2（x﹣2）
18．如图，已知A（﹣3，﹣3），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，﹣2）是直角坐标平面上三点． （1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标，若将点B2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1内部，指出h的取值范围．
19．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
20．已知关于x的方程x2﹣5ax+a2=0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
21．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30．
（1）求证：CG是⊙O的切线； （2）若CD=6，求GF的长．
22．在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60°得到点Q．点N为x轴上一动点（N不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60°得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α．
（1）如图1，若点M的横坐标为，点N与点O重合，则α=__________°；
（2）若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；
（3）当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为__________．
2015-2016学年北京理工大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行分析可以选出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故A选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故B选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故C选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故D选项错误． 故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
2．用配方法解方程x2+4x=3，下列配方正确的是( ) A．（x﹣2）2=1
B．（x﹣2）2=7
C．（x+2）2=7
D．（x+2）2=1
【考点】解一元二次方程-配方法． 【专题】计算题．
【分析】把方程两边都加上4，方程左边可写成完全平方式． 【解答】解：x2+4x+4=7， （x+2）2=7．
故选C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3．已知关于x的一元二次方程a（1+x2）+2bx=c（1﹣x2），其中a、b、c分别为△ABC三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则△ABC的形状为( ) A．等腰三角形 C．直角三角形
B．等边三角形 D．等腰直角三角形
【考点】根的判别式；勾股定理的逆定理．
【分析】根据判别式的意义得到△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，整理得a2=b2+c2，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形． 【解答】解：原方程可化为：（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0， ∵方程有两个相等的实数根， ∴△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0， ∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形． 故选C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．
4．设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为( ) A．2012
B．2013
C．2014
D．2015
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解． 【专题】计算题．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根， ∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，
∴a2+2a+b=a+b+2015，
∵a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根 ∴a+b=﹣1，
∴a2+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014． 故选C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=
5．某市2012年国内生产总值（GDP）比2011年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2013年比2012年增长7%．若这两年GDP平均增长率为x%，则x%满足的关系是( ) A．12%+7%=x% C．12%+7%=2•x%
B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%） D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2
，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】增长率问题．
【分析】根据增长率为12%，7%，可表示出2012年的国内生产总值，2013年的国内生产总值；求2年的增长率，可用2011年的国内生产总值表示出2013年的国内生产总值，让20013年的国内生产总值相等即可求得所列方程． 【解答】解：设2011年的国内生产总值为1，
∵2012年国内生产总值（GDP）比2011年增长了12%， ∴2012年的国内生产总值为1+12%； ∵2013年比2012年增长7%，
∴2013年的国内生产总值为（1+12%）（1+7%）， ∵这两年GDP年平均增长率为x%，
∴2013年的国内生产总值也可表示为：（1+x%）2， ∴可列方程为：（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2． 故选D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b；注意2013年的国内生产总值是在2012年的国内生产总值的基础上增加的，需先算出2012年的国内生产总值．
6．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为( ) A．9cm
B．6cm
C．3cm
D．
cm
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】先根据垂径定理求出OA、AM的长，再利用勾股定理求OM． 【解答】解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦， 如图所示．直径ED⊥AB于点M， 则ED=10cm，AB=8cm，
由垂径定理知：点M为AB中点， ∴AM=4cm， ∵半径OA=5cm，
∴OM2=OA2﹣AM2=25﹣16=9， ∴OM=3cm． 故选C．
【点评】本题主要考查了垂径定理，连接半径是解答此题的关键．
7．已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的内切圆的半径为( A．
B．
C．2
D．3
【考点】三角形的内切圆与内心． 【专题】压轴题．
)
【分析】连接OA，OB，OC，把原三角形分成三个三角形，而这三个三角形的高就是内切圆的半径．等腰三角形ABC的面积可通过作高求得，这样得到关于半径的方程，解方程即可．
【解答】解：连OA，OB，OC．因为AB=AC，O是内心，所以AO⊥BC，垂足为F． 设内切圆半径为r， ∵AB=AC=13，BC=10， ∴BF=5，
∴AF=12，则S△ABC=×12×10=60；
又∵S△ABC=S△OAC+S△OBC+S△OAC=rAB+rAC+rBC=r（13+13+10）=60， ∴r=
．
故选A．
【点评】熟练掌握三角形内切圆的性质和等腰三角形的性质．记住三角形的面积等于三角形内切圆的半径与周长的积的一半，是解决本题的关键．
8．数学课上，老师提出如下问题：已知线段a、c，用尺规作图求作直角三角形ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明设计了如下的作图步骤： （1）作线段AB=c； （2）作线段AB的中点O
（3）以O为圆心，OA长为半径作⊙O
（4）以点B为圆心，线段a的长为半径作弧交⊙O于点C 你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是( )
A．勾股定理
B．直径所对的圆周角是直角 C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
【考点】作图—复杂作图；圆周角定理． 【专题】作图题．
【分析】利用作法可得到AB为直径，然后根据圆周角定理的推理可判断∠ACB是直角． 【解答】解：由作法可得⊙O为△ABC的外接圆，且AB为直径， 根据直径所对的圆周角为直角可判断∠ACB=90°． 故选B．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
9．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC=33°，则∠A等于( )
A．33°
【考点】圆周角定理． 【专题】计算题．
【分析】连结CD，如图，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠BCD=90°，则利用互余可计算出∠D=57°，然后根据圆周角定理即可得到∠A的度数．
B．57°
C．67°
D．66°
【解答】解：连结CD，如图， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD=90°， 而∠DBC=33°， ∴∠D=90°﹣33°=57°， ∴∠A=∠D=57°． 故选B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
10．如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
【考点】轴对称-最短路线问题；圆周角定理． 【专题】压轴题．
【分析】作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON，由两点之间线段最短可知MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，根据N是弧MB的中点可知∠A=∠NOB=∠MON=20°，故可得出∠MON′=60°，故△MON′为等边三角形，由此可得出结论．
【解答】解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON．
∵N关于AB的对称点N′，
∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点， ∵N是弧MB的中点， ∴∠A=∠NOB=∠MON=20°， ∴∠MON′=60°，
∴△MON′为等边三角形， ∴MN′=OM=4，
∴△PMN周长的最小值为4+1=5． 故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．若抛物线y=2x2﹣8x+k的顶点的纵坐标为n，则k﹣n的值为8． 【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的顶点坐标公式，可得n的值，根据有理数的减法，可得答案．
【解答】解：y=2x2﹣8x+k的顶点的纵坐标为n=k﹣n=k﹣（k﹣8）=8． 故答案为：8．
=k﹣8，
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的顶点坐标公式是解题关键．
12．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是60°．
【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质可得∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO，再求出∠BOC，∠ACO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形， ∴∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO， ∵∠AOD=90°，
∴∠BOC=90°﹣40°×2=10°，
∠ACO=∠A=（180°﹣∠AOC）=（180°﹣40°）=70°， 由三角形的外角性质得，∠B=∠ACO﹣∠BOC=70°﹣10°=60°． 故答案为：60°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
13．抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，18），B（2.5，12.5），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣3，x2=2.5． 【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解即可．
【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，18），B（2.5，12.5），
∴方程组的解为，，
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣3，x2=2.5． 故答案为x1=﹣3，x2=2.5．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣
，
），对称轴直线x=﹣
．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．
14．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为y=﹣
x．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式． 【专题】压轴题．
【分析】由题意抛物线过点（0，0）和（40，0），抛物线的对称轴为x=20，根据待定系数法求出函数的解析式．
【解答】解：因为抛物线过点（0，0）和（40，0）， ∴y=ax（x﹣40）① 又∵函数过点代入①得 20a=16， 解得a=﹣
．
x；
∴抛物线的解析式为y=﹣故答案为y=﹣
x．
【点评】此题主要考查二次函数的基本性质及用待定系数法求出函数的解析式，比较简单，要学会设合适的函数解析式．
15．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为1．
【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案． 【解答】解：∵OD⊥AC，AC=2， ∴AD=CD=1， ∵OD⊥AC，EF⊥AB， ∴∠ADO=∠OFE=90°， ∵OE∥AC，
∴∠DOE=∠ADO=90°，
∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°， ∴∠DAO=∠EOF， 在△ADO和△OFE中，
，
∴△ADO≌△OFE（AAS）， ∴OF=AD=1， 故答案为：1．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO≌△OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
16．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧⑤AE=BC，其中正确的序号是①②④．
是劣弧
的2倍；
【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；弧长的计算． 【专题】压轴题．
【分析】根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角等知识，运用排除法逐条分析判断．
【解答】解：连接AD，AB是直径， 则AD⊥BC，
又∵△ABC是等腰三角形，
故点D是BC的中点，即BD=CD，故②正确； ∵AD是∠BAC的平分线，
由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确； ∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确； ∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④． 故答案是：①②④．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质以及弧长的计算等．利用了圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角求解．
三、解答题（17、18题每题8分，19、20、21、22题每题9分，共52分） 17．解方程：
（1）x2+3x﹣1=0 （2）（x﹣2）2=2（x﹣2）
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
【分析】（1）首先找出方程中a，b和c值，求出b2﹣4ac的值，进而求出方程的解； （2）首先提取公因式（x﹣2）得到（x﹣2）（x﹣4）=0，然后解两个一元一次方程即可．
【解答】解：（1）∵x2+3x﹣1=0， ∴a=1，b=3，c=﹣1， ∴△=b2﹣4ac=13，
∴x=，
∴x1=．x2=
；
（2）∵（x﹣2）2=2（x﹣2）， ∴（x﹣2）（x﹣4）=0， ∴x﹣2=0或x﹣4=0， ∴x1=2，x2=4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18．如图，已知A（﹣3，﹣3），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，﹣2）是直角坐标平面上三点． （1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标，若将点B2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1内部，指出h的取值范围．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换． 【专题】作图题．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同解答；再根据图形确定出点B2到B1与A1C1的中点的距离，即可得解． 【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）点B2的坐标为（2，﹣1），
由图可知，点B2到B1与A1C1的中点的距离分别为2，3.5， 所以h的取值范围为2＜h＜3.5．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，关于y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
19．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50米，AB=x米，则BC=（50﹣2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可． 【解答】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米． 根据题意可得，x（50﹣2x）=300，
解得：x1=10，x2=15，
当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25， 故x1=10（不合题意舍去），
当x=15时，BC=50﹣2×15=20（米）．
答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙MN最长可利用25m，舍掉不符合题意的数据．
20．已知关于x的方程x2﹣5ax+a2=0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 【考点】根的判别式．
【分析】（1）先求出△的值，再根据根的情况与判别式△的关系即可得出答案； （2）利用因式分解法求得方程的两个根，根据有一个根大于2，得出不等式解答即可． 【解答】（1）证明：△=（a﹣3）2﹣4×3×（﹣a）=（a+3）2， ∵a＞0， ∴（a+3）2＞0． 即△＞0．
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解方程，得∵方程有一个根大于2， ∴
．
，
∴a＞6．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程的方法．
21．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30．
（1）求证：CG是⊙O的切线； （2）若CD=6，求GF的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接OC，根据三角形内角和定理可得∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°，再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG，进而得到CG是⊙O的切线；
（2）设EO=x，则CO=2x，再利用勾股定理计算出EO的长，进而得到CO的长，然后再计算出FG的长即可． 【解答】（1）证明：连接OC． ∵OC=OD，∠D=30°， ∴∠OCD=∠D=30°． ∵∠G=30°，
∴∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°． ∴∠GCO=∠DCG﹣∠OCD=90°． ∴OC⊥CG．
又∵OC是⊙O的半径． ∴CG是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴CE=CD=3．
∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°， ∴EO=CO，CO2=EO2+CE2．
设EO=x，则CO=2x． ∴（2x）2=x2+32． 解得x=∴CO=2∴FO=2
（舍负值）． ． ．
在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°， ∴GO=2CO=4
．
．
∴GF=GO﹣FO=2
【点评】此题主要考查了切线的判定，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
22．在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60°得到点Q．点N为x轴上一动点（N不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60°得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α． （1）如图1，若点M的横坐标为，点N与点O重合，则α=60°；
（2）若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；
（3）当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为（
，）或（﹣
，﹣）．
【考点】圆的综合题；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；特殊角的三角函数值． 【专题】综合题．
【分析】（1）如图1，根据圆周角定理可求出∠MAP、∠AQP，再根据∠MAQ可依次求出∠PAQ，∠APQ；
（2）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，如图2，由题可得：△MAQ和△MNP均为等边三角形，由此可证到△AMN≌△QMP，则有∠MAN=∠MQP．根据三角形外角的性质可得到∠MAN+∠AMQ=∠AEQ=∠MQP+∠AFQ，从而可得到∠AFQ=∠AMQ=60°（即α=60°）；
（3）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，MF，OM，过点M作MH⊥x轴于H，设PQ与⊙O相切于点G，连接OG，如图3①、图3②．则有∠OGF=90°．由（2）可得∠AFQ=∠AMQ=60°，由此可得A、M、F、Q四点共圆，根据圆周角定理可得∠AFM=∠AQM=60°．在Rt△OGF中运用三角函数可求得OF=三角函数可得
=
．设HF=x，则MH=
x，OH=
，在Rt△MHF中运用
﹣x．在Rt△OHM中运用勾股定
理可求出x，从而可得OH，MH，就可得到点M的坐标． 【解答】解：（1）如图1，
∵∠MOP=60°，∴∠MAP=30°．
∵∠MAQ=60°，∴∠QAP=30°． ∵AP是⊙O的直径， ∴∠AQP=90°，
∴∠APQ=60°，即α=60°． 故答案为60；
（2）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，如图2．
由题可得：△MAQ和△MNP均为等边三角形， ∴MA=MQ，MN=MP，∠AMQ=∠NMP=60°， ∴∠AMN=∠QMP． 在△AMN和△QMP中，
，
∴△AMN≌△QMP， ∴∠MAN=∠MQP．
∵∠AEQ=∠MAN+∠AMQ，∠AEQ=∠MQP+∠AFQ， ∴∠AFQ=∠AMQ=60°， ∴α的度数为60°；
（3）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，MF，OM， 过点M作MH⊥x轴于H，设PQ与⊙O相切于点G，连接OG，如图3①、图3②．
则有∠OGF=90°．
由（2）可得∠AFQ=∠AMQ=60°， ∴A、M、F、Q四点共圆， ∴∠AFM=∠AQM=60°． ∴在Rt△MHF中，tan∠HFM=在Rt△OGF中，sin∠OFG=∵OG=1，∴OF=设HF=x，则MH=
． x，OH=
﹣x． ==， ．
在Rt△OHM中，由勾股定理可得： （
﹣x）2+（
， ﹣
=
，MH=， ，）或（﹣
，﹣）．
x）2=12，
解得x1=x2=∴OH=
∴点M的坐标为（故答案为（
，）或（﹣，﹣）．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、四点共圆的判定、等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，在△OMF中求出OF及∠OFM是解决第（3）小题的关键．
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