类型一、函数的单调性的证明
1．证明函数上的单调性.
证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)， 令△x=x2-x1>0
则
∵x1>0，x2>0，∴
∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0
∴
上递减.
总结升华：
[1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差)
[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)
举一反三：
【变式1】用定义证明函数上是减函数.
思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间
上的任意实数，且x1 ∴x1 上是减函数. 上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个 函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象. 1 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2； (2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： ∴f(x)在上递增. (1)y=|x+1|； (2) (3). 解：(1) ∴函数的减区间为 画出函数图象， ，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为， 其中u=2x-1为增函数， 2 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解： 4. 求下列函数值域： 又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. (1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3； 1)x∈[-1，1]； 2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)图 2个单位，再上移2个单位得到，如 1)f(x)在[5，10]上单增，； 3 2) (2)画出草图 ； . 1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； 2)举一反三： 【变式1】已知函数. (1)判断函数f(x)的单调区间； (2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域. 思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们 相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域. 解：(1) 上单调递增，在上单调递增； (2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增 ∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值 ∴x∈[1，3]时f(x)的值域为 . 5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2) 4 的取值范围. 解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知 只需； (2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 举一反三： . 【变式1】（2011 北京理13）已知函数不同的实根，则实数k的取值范围是________. ，若关于x的方程有两个 解： 由图象知，若 单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为， 有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）. 类型四、判断函数的奇偶性 6. 判断下列函数的奇偶性： (1) (2) (3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6 (7) 思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断. 解：(1)∵f(x)的定义域为 (2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域 ，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； 不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数； (3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ； (4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数； 5 (5) ，∴f(x)为奇函数； (6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (7) 举一反三： 【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2)f(x)=|x+1|-|x-1|； (3)f(x)=x2+x+1； ，∴f(x)为奇函数. (4). 思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断. 解：(1) 数. (2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数； (3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1 ∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数； (4)任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x) 任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x) x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数. ； 举一反三： 【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数. 类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合) 7．已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2). 解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 ∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 ∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8 ∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26. 6 举一反三： 【变式1】（2011 湖南文12）已知 解： 8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象. 解：∵奇函数图象关于原点对称， ∴x>0时，-y=(-x)2-(-x) 为奇函数，，又 为奇函数，所以 ，则 为： ． 即y=-x2-x又f(0)=0，，如图 9．设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1) 类型六、综合问题 10．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是_________. ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)； ②f(b)-f(-a) (2) (3) 思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t的范围. 7 解：(1)； (2)经观察知，， (3)令. 12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1. (1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围； (2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象. 解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2 (2)1°当a<-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a 2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-1 3°当a>1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a ，如图 ； 8 13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3. 解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2 再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3 ∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8) . 14. 判断函数上的单调性，并证明. 证明：任取0 时 0 上是减函数. (2)当x1，x2∈(1，+∞)时， 上是增函数. 难点：x1·x2-1的符号的确定，如何分段. 9 15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数； 当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数. (1)当x≥a时， [1] 且 [2]上单调递增， 上的最小值为f(a)=a2+1. (2)当x 上的最小值为f(a)=a2+1 [2]上的最小值为 综上： . 10 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容