概论
一、 期权定价公式
马科维茨研究的是这样的一个问题：投资者同时在许多种证券上投资，那么应该如何选择各种证券的投资比例，使得投资收益最大，风险最小。
对此，马科维茨在观念上的最大贡献在于他把收益与风险这两个原本有点含糊的概念明确为具体的数学概念。马科维茨首先把证券的收益率看作一个随机变量，而收益定义为这个随机变量的均值 (数学期望)，风险则定义为这个随机变量的标准差。
如果把各证券的投资比例看作变量，问题就归结为怎样使证券组合的收益最大、风险最小的数学规划。
证券有很多特性，但我们最为关心的是收益和风险，我们用r和δ表示。我们期望是收益最大风险最小的证券组合。(天下没有免费的午餐)
但现实我们无法得到收益最大风险最小的证券组合，我们只能在一定风险条件下，使收益最大，或者说在收益一定时风险最小。通过解析一个最优问题我们得到： s.t. min
最后得到最优的组合风险与收益的关系为：
根据平面几何知识，我们以均值为纵轴，以标准差为横轴，建立二维平面，上面的解析式的图形将会是双曲线。而双曲线底点下面的部分明显劣于上半部分。因此我们定义底点上半部分为均值方差效率边界（mean-variance
effcient frontier）。对于有效前沿上的证券组合来说，不存在收益和风险两方面都优于它的证券组合。
MVF是有众多点组成的曲线，每一点都反映在收益一定的条件下，风险最小的投资组合选择点。
1 / 47
马科维茨理论的基本结论是：在证券允许卖空的条件下，组合前沿是一条双曲线的一支；在证券不允许卖空的条件下，组合前沿是若干段双曲线段的拼接。
夏普和另一些经济学家，则进一步在一般经济均衡的框架下，假定所有投资者都以马科维茨的准则来决策，而导出完全市场的证券组合的收益率是有效的以及所谓资本资产定价模型 (Capital Asset Pricing Model, CAPM)。这一
模型认为，每种证券的收益率都只与市场收益率和它对市场风险的贡献度有关。
米勒与莫迪利阿尼一起在 1958 年以后发表了一系列论文，探讨“公司的财务政策 (分红、债权/股权比等)是否会影响公司的价值”这一主题。他们的结论是：在理想的市场条件下，公司的价值与财务政策无关。后来他们的这些结论就被称为莫迪利阿尼－米勒定理 (Modigliani-Miller Theorem,MMT)。
米勒与莫迪利阿尼运用严格的数学分析来理解公司的资本结构和股利的支付率是如何影响公司价值的。得出了两个无关性定理。
1、公司的价值与公司的财务杠杆比例无关。 2、股利水平的选择与公司价值无关。
这两个结论是金融学另一个领域公司金融的核心基础理论。 无关性定理与人们的一般直觉是相反的。
他们的研究不但为公司理财这门新学科奠定了基础，并且首次在文献中明确提出无套利假设。所谓无套利假设是指在一个完善的金融市场中，不存在套利机会 (即确定的低买高卖之类的机会)。因此，如果两个公司将来的 (不确定的) 价值是一样的，那么它们今天的价值也应该一样，而与它们财务政策无关；否则人们就可通过买卖两个公司的股票来获得套利。
套利的简单说明
假设有 两家公司，A和B公司，现代金融学的意义是我们的分析中加入了时间轴，最简单的就是0、1时间轴。
0 1
0代表着现在，1代表未来的任意时间点 A公司的价值是VA ， B 公司的价值是VB 0期我们有VA0、VB0，1期我们有VA1、VB1 根据无套利假设：如果VA1=VB1
那么VA0=VB0
如果VA0与VB0不相等，必然存在套利
2 / 47
如果VA1=VB1 ，而VA0>VB0 那么我们就可以套利
套利策略：
0期：买入VB0，卖出VA0，我们有个正的现金流 1期：卖出VB1，买入VA1，我们有个零的现金流
结果：这两期的交易是投资者持有的头寸没有改变，但最终得到了（VA0—VB0 ）（1+r）收入（考虑了货币的时间价值）
逐利的动机使人们愿意从事这样的交易，而这样交易将使得VA与VB处于均衡的平价中。套利机会丧失。
达到一般经济均衡的金融市场一定满足无套利假设。因此二者是等价命题。这样，莫迪利阿尼－米勒定理与一般经济均衡框架是相容的。但是直接从无套利假设出发来对金融产品定价，则使论证大大简化。
这就给人以启发，我们不必一定要背上沉重的一般经济均衡的十字架，从无套利假设出发就已经可为金融产品的定价得到许多结果。 从此，金融学就开始以无套利假设作为出发点。
以无套利假设作为出发点的一大成就也就是布莱克－肖尔斯期权定价理论。 所谓 (股票买入) 期权是指以某固定的执行价格在一定的期限内买入某种股票的权利。期权在它被执行时的价格很清楚，即：如果股票的市价高于期权规定的执行价格，那么期权的价格就是市价与执行价格之差；如果股票的市价低于期权规定的执行价格，那么期权是无用的，其价格为零。
现在要问期权在其被执行前应该怎样用股票价格来定价？
为解决这一问题，布莱克和肖尔斯先把模型连续动态化。他们假定模型中有两种证券，一种是债券，它是无风险证券，其收益率是常数；另一种是股票，它是风险证券，沿用马科维茨的传统，它也可用证券收益率的期望和方差来刻划，但是动态化以后，其价格的变化满足一个随机微分方程，其含义是随时间变化的随机收益率，其期望值和方差都与时间间隔成正比。这种随机微分方程称为几何布朗运动。
描述股价的运动，我们一般认为是这样的：
μ我们一般称为漂移，在金融学的意义是股票价格瞬间变化的期望收益率。
3 / 47
σ股票价格的瞬间标准差或者称为扩散系数，在金融学用来测度变量的易变性，就是我们熟知的波动率。
dW 是白噪声，用它来模拟不可预测的世界状态的变化对金融产品价格的冲击。它是个随机变量。相当于计量经济学的误差项，但是εdt
σdW 表示了股票收益变化中由不确定性造成的部分，随机冲击通过波动率的放大或者缩小后传导给股票价格。
然后，利用，每一时刻都可通过股票和期权的适当组合对冲风险，使得该组合变成无风险证券，从而就可得到期权价格与股票价格之间的一个偏微分方程，其中的参数是时间、期权的执行价格、债券的利率和股票价格的“波动率”。出人意料的是这一方程居然还有显式解。于是布莱克－肖尔斯期权定价公式就这样问世了。
布莱克－肖尔斯期权定价的思路方法简介： 时间轴只有两期，也就是现在和未来，我们用0、1表示。
股票现在的价格S0是已知的，而未来的情形假设只有两种，要么是aS0要么是bS0。
期权未来也有两种价格情形，Ca和Cb。
现在我们建立一个投资组合，卖出股票和买入该股票的买入期权（它们都由未来股票的价格决定），如果比例适当的话，我们这种组合可以达到套期保值的目的。也就是股票价格的变动与我们持有组合的价值是无关的，（因为卖出股票和买入该买入股票的期权是两种风险行为相反的投资行为），未来的收入是确定的。我们可以认为现在持有的组合是无风险的。
假设现在期权的价格为C0，投资者卖出一份股票，买入x份期权，x的数量保证了组合具有完全的套期保值功能，也就是组合中的两种产品具有完全的对冲作用。这样不论未来股票的价格如何变动，投资者的组合价值不变(假设不
-S0xC0aS0xCa考虑货币的时间价值)。我们得到两个方程： 得到期权
-S0xC0-bS0xCbCCbaCbbCa的现在价格：C0a
a-b与市场中投资人行为无关的金融资产的定价公式
十一、 套利定价理论
布莱克－肖尔斯公式的成功也是用无套利假设来为金融资产定价的成功。这一成功促使 1976 年罗斯(S. A. Ross, 1944～) 的套利定价理论 (APT, Arbitrage Pricing Theory) 的出现。
APT 是作为 CAPM 的替代物而问世的。CAPM 的验证涉及对市场组合是否有效的验证，但是这在实证上是不可行的。于是针对 CAPM 的单因素模型，罗斯提出目前被统称为 APT 的多因素模型来取代它。
4 / 47
我们一般认为CAPM模型是个单因素模型，用βi代替 Cov（ri，rm）σm*σmE(ri)rfCov(ri,rm)E(rm)rf
σm*σmE(ri)rfβiE(rm)-rf 罗斯多因素模型的简单例子：rαβGDPGDPβIRIReI
第一章 风险与收益
一、风险的认知
风险与不确定性：
弗兰可．奈特（Knight．F）爵士在他1921年的名著《风险、不确定和利
润》中提出，世界演进环境有三种形态，即：确定的，存在风险的和不确定的。
风险和不确定的相同之处是我们知道未来世界可能的状态（结果），分歧是概率分布的准确与否。为了在现有的情况下对世界了解的基础上，很好的阐释问题、分析问题，我们经常对于一些事物的概率进行主观评价，也就是主观概率，即人为的为每一种状态分配一个概率。主观概率的引入使得风险与不确定统一起来了 。
金融学者主要工作就是研究各种金融现象发生的概率，研究得出的概率就是主观概率。
马科维茨最大的贡献就是把收益与风险这两个原本含糊的概念明确为具体的数理概念.由于投资收益是不确定, 马科维茨首先把投资收益率看作一个随机变量,而收益定义为这个随机变量的均值(数学期望),风险则定义为这个随机变量的标准差.因此我们可以用收益率的标准差这个数理概念来度量风险问题.
收益：E(r)=
piri 风险：σin2rE(r)*pi iin二、风险与效用
风险是客观存在，因此我们必须首先研究我们对它的态度——偏好问题，也就
是喜爱与否，以及程度问题，这也是新古典经济学分析问题的出发点。
效用函数的建立是现代经济学中分析人们偏好某种事物程度的工具。 效用函数与期望效用函数：
由于资源的稀缺性，我们将面临很多种选择，经济学家的观点是每一种选择都会带给我们一定效用，我们可以利用效用函数来为我们的选择提供依据。经济学家又利用期望效用函数来分析每一种选择的效用平均数，以便我们选择。
1、期望效用的提出
传统的经济学是在确定的条件下分析我们面临的经济环境和经济现象。而现代经济是把不确定作为分析的前提条件，或者是考虑到了时间因素。但本质上都是各种经济人追求自身效用最大化的过程。
效用函数U（W）,期望效用函数E(U)。最简单的分析框架是买彩票。P，W1，W2，分别是中奖的概率，中奖和没有中奖后购买者的财富量。购买彩票的期望效用函数为
E[U（p;w1,w2）]=pU(w1)+(1-p)U(w2)
5 / 47
简单表示：E[U（w1,w2）]=pU(w1)+(1-p)U(w2)
2、人们对风险的态度
科学语言描述：假定消费者在无风险条件下（即不买彩票）可以持有的货币财富为：
p (w1)+(1-p) (w2)，相对带来的效用：U[ p (w1)+(1-p) (w2)]
在风险条件下（买彩票）的货币财富期望为： p (w1)+(1-p) (w2)，相对应的期望效用为：
E[U（p;w1,w2）]=pU(w1)+(1-p)U(w2)
如果你认为U[ p (w1)+(1-p) (w2)] › pU(w1)+(1-p)U(w2)，你就属于风险规避者
图示：用效用函数的特征来判断 U(W) W2
W1 W 风险规避者的图形是严格凹的 风险爱好者的图形是严格凸的 其效用函数具有这样的特性： 其效用函数具有这样的特性：F ' (x)›0增函数F ' ' (x) < 0,斜率是递减的 F ' (x)›0增函数F ' ' (x) >0, 斜率是递增的
常见的有：y=x½ y=Inx y=Logax 常见的有：y=x² y=ax
这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式，资产组合的期望收益为E(r)，其收益方差为σ2，其效用值为：U=E(r)-0.005Aσ2
其中A为投资者的风险厌恶指数，A值越大，即投资者对风险的厌恶程度越强，这种投资的效用就越小。在风险厌恶指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。
例子：如果股票的期望收益率为10%21.21%，国库券的收益率为4%，尽管股票有6%的风险溢价，一个厌恶风险的投资者会选择全部购买国库券的投资策略。投资者A=300时，股票效用值为：0.1-(0.005×300×
0.21212)=3.25%，比无风险报酬率稍低，在这种情况下，投资者会放弃股票而选择国库券。
如果投资者的A为30，股票效用值为：10-(0.005×2×0.21212)=9.325%，高于无风险报酬率，投资者就会接受这个期望收益，愿意投资于股票。
所以，投资者对风险的厌恶程度十分关键。
一个核心概念的提出，风险溢价的提出
案例：你初始财富W0有1万，你面临一项投资项目，该项目根据历史经验有如下结果：
形势 概率 期末总价 收益率 繁荣 0.25 13000元 30% 正常增长 0.50 11000元 10 萧条 0.25 9000元 -10
6 / 47
E( r )=∑p(s)r(s)
E( r )=(0.25×0.30)+(0.50×0.10)+[0.25×(-0.10)]=0.075+0.05-.025=0.10=10% δ2 =∑p(s)[r(s)-E(r)]2
δ2=∑0.25×(30％-10 ％)2+0.50×(10 ％ -10 ％)2+0.25(-10 ％ -10 ％)2=0. 2 δ2=14.14%
人们首先就会考虑这项投资是否可行呢，因此存在一个比较问题，比较一般我们利用的相对数来比较。我们一般用投资的期望收益减去同时期的无风险利率得到风险溢价,用投资项目的风险溢价进行相互的比较。
我们定义Ri-Rf=Rp(risk premium)，我们一般用每项投资的Rp相互之间进行比较，来判断各种投资的收益状态。尤其在比较不同时间段的投资收益问题时使用，因为无风险利率经常变动，如果完全市场化的条件下，无风险利率每时每刻都在变化中。Rf，简单的说是无风险利率，基准利率。
注意金融学一般把利率和收益率视为等同的，都为货币资金的价格问题。 Rf也是我国中央银行进行货币政策的调整工具，是我们了解投资环境的一个重要因素，因此是我们关注的一个经济指标。
Rf的取得：切记是没有风险投资的回报率。在一个经济体中，谁的信用最高，谁取得资金的回报率我们可以视为Rf。我国在90年代就建立了同业拆借市场，这个市场的利率也被看作一种基准利率的参考。
市场化国家：以美国为例：美联储定期都会宣布联邦基金利率，这是美国的基准利率。在美国一些知名的大公司可以直接发行短期的债务凭证（CP），由于这些公司一般信用级别要高出银行，因此在复杂的美国金融市场这些CP的回报率也可以作为基准利率的参考，称为优惠利率（prime rate）。美国政府为了市场的构建以及自己融资的需求，定期的发放各种期限的政府债券，各期债券的发行就有新的收益率形成，这也可以作为基准利率。
国债的发行有期限性，数轴可知。这为我们预测未来基准利率提供了工具，因此大多研究着把国债利率作为基准利率。
一个更为广阔的空间，国际金融市场，公认的基准利率，L（S、N）IBOR 例子：在国际金融市场上资金的借贷利率确定经常是这样的： 贷款利率＝基准利率＋加息率
贷款利率＝ＬＩＢＯＲ＋margin＼spread 基准利率，资金的机会成本，无风险利率 加息率，风险补偿或风险溢价 附
美国的同业拆借市场就是联邦基金市场（federal fund）。
Ri=+Rp(risk premium)的解析：Rf反映市场的每时资金整体的供求情况。Rp反映投资项目的特质，最明显的就是风险的程度，因此称为风险回报，你投资于一项项目，必须承担一定的风险，但你的回报是Rp。 资产和资产组合的风险与收益初步：
案例：A公司的股票价值对雨水的多寡是敏感的，雨水多的收益要好于雨水少的时期。有如下分布：
雨较多的年份 少雨年份 股市的牛市 股市的熊市 需求大减 概率 0.4 0.3 0.3 收益率 30% 12% -20%
7 / 47
1、在如何情况下，资产的平均或预期收益就是其收益的概率加权平均数。 E(r) =∑ Pr(s)r(s) s代表某种情况
E(rA)= )=(0.4×30)+(0.3×12)+[0.3×(-20)]=9.6%
2、资产收益的方差是每种情况收益与预期收益的平方差的预期值。 б2=∑Pr(s)[r(s)-E(r)] 2
бA2=0.4(30-9.6)2+0.3(12-9.6)2+0.3(-20-9.6)2=431.04 бA=431.041/2=20.76 或20.76%
a投资者将资金一半投资于A公司，为了降低自身的风险，剩余一半资金投资于收益率为3%的国库券。
3、资产组合的收益率为构成资产组合的每个资产的收益率的加权平均数，权数为在资产组合的比例。
E（r）=∑wi*E(ri) i为某种资产
E（ra）= 0.5E(rA)+0.5r国库券=(0.5×9.6%)+(0.5×3%)=6.3%
4、当一种风险资产与一种无风险资产相组合，资产组合的标准差为风险资产的标准差乘以该资产在组合中的比率。
бp=wr*бr бa=wA*бA² = 0.5×20.76%=10.38%
投资者A的风险减少了一半，但相对应的收益减少了34%，是全投资于A还是分散的投资取决于风险态度问题。
另一种组合：a投资者将资金一半投资于A公司，剩余一半资金B公司。 B公司的股票价值分布为：
雨较多的年份 少雨年份 股市的牛市 股市的熊市 冷饮需求大增 概率 0.4 0.3 0.3 收益率 4% -10% 30% 新组合的期望收益为8.6%，标准差为7.03%。
资产组合 期望收益 标准差 全部投资于伞公司股票 9.6% 20.76% 一半A股票一半国库券 6.3% 10.38% 一半A股票一半B饮股票 8.6% 7.03%
新组合的效果比与无风险资产构成的组合还好。原因的寻找：协方差问题。 测度两种资产互补程度的指标是协方差(covariance)，它测度的是两个风险资产收益相互影响的方向与程度。正的意味着资产收益同向变动，有加剧资产组合波动程度的作用，负的则是反方向变动，有相互抵补波动程度的作用。 协方差的计算公式为
Cov(rA,rB)=∑Pr(s)[rA(s)-E(rA)][rB(s)-E(rB)]
Cov(rA,rB)=0.4(30-9.6)(4-7.6)+0.3(12-9.6)(-10-7.6)+0.3(-20-9.6)(30-7.6)=-240.96
负的协方差意味着A、B两个公司在收益上具有互补作用，在金融学我们称谓套期保值。
相关系数是比协方差更简便的计算方法。相关系数范围在－1和+1之间，与协方差的关系为：两变量协方差除以两标准差之积等于它们的相关系数。 ρ(A，B)=[Cov(rA, rB)]/(σAσB)=-240.96/(20.76×15.77)=-0.736 5、另一种计算资产组合方差的公式为 σP2=w12σ12+w22σ22+2w1w2Cov(r1 ,r2)
8 / 47
σ2=(0.52×20.762)+(0.52×15.772)+[2×0.5×0.5×(-240.96)]=49.43 σ=7.03%
5点强调了协方差对资产组合的影响。正的协方差提高了资产组合的方差而负的降低了资产组合的方差。
套期保值从根本上就是在原有的资产上购买与其负相关的资产。这种负相关使得套期保值资产的波动性具有降低组合风险的特性。然而组合中的负相关的资产也会降低组合的收益。完全的套期保值资产是保险合约，与一个具体的风险具有完全的负相关。
第二章资产配置
问题的出发：无论是个人投资者还是机构投资者，进行投资活动中，一般
都进行组合投资。那么我们就要研究在投资组合中的资产配置问题，即资产组合中证券的构成比例问题了。
C是我们持有的资产组合，C里有A、B、C、D...只证券，现在要考虑的问题是每只证券在C中比重。这个问题可以被分解为两个问题：
首先假设在C中的证券我们可以分为两类，一种是无风险资产，一种是风险资产。无风险资产一般就是短期国债，是单一的证券，而风险资产包括很多种证券，因此风险资产我们看作是由多种证券组成的风险资产组合。所以第一个问题是在C中无风险资产和风险组合的最优比重问题。C（P，F），WP、WF 然后我们确定风险资产组合P中每种风险证券的最优比重，最后每种风险证券在C中比重就可以得到。分为两节：1、无风险与风险资产的配置2、最优风险资产组合
一、 风险资产与无风险资产的配置
1.无风险资产的确定
我们一般认为短期国债为最典型的无风险资产。注意：它的市场价格对于市场的利率具有高度的敏感性。基于货币市场工具在特性上与短期国债只有细微的差别，对于投资者来说我们一般都可认为是无风险资产。
问题的设定：假设投资者已经决定了风险资产的构成比例,同时对应着知道风险资产组合的收益与和风险值,考虑的问题是在投资预算中投资于风险资产p的比例y，以及余下的比例1-y，即投资于无风险资产的比例。
已知：风险资产P的期望收益率为E(rp),风险为бp,无风险资产的收益率rf， 那么整个组合收益为：E（rc）=yE（rp）+(1-y)rf =rf+y[E（rp）-rf] 整个组合风险为： бc=yбp E(r) E(rp) rf P 0 бp б
9 / 47
上图是我们以后经常使用的期望收益-标准差平面，该平面的每一点都是不同收益与标准差的组合，我们可以看作是不同的证券。根据已知我们可以发现资产组合的一些特征。
无风险资产的期望收益-标准差就是竖轴。风险资产P画在点бp与E(rp)的相交上。
投资者如果单独投资于风险资产，则y=1,结果就是组合P点，投资者如果单独投资于无风险资产，则y=0,结果就是rf点，如果y取值在0与1之间，投资者的就会在选择（rf，P）的直线上。为什么投资者的选择在（rf，P）的直线上？
因为：E（rc）=rf+y[E（rp）-rf] бc=yбp, y=бc/бp 我们有：E（rc）=rf+бc/бp [E（rp）-rf]
我们可以看出整个资产组合收益为其标准差的函数是一条直线，并且得到了它的确切方程，截距是rf，斜率为：S= [E（rp）-rf] /бp
（rf，y）直线就是我们要求解的投资选择，即有不同的y值产生的所有资产组合的可能期望收益与标准差配对的集合，其图形就是 由rf点引出，穿过p点的直线。
这条直线叫做资本配置线（capital allocation line CAL）,它代表投资者的所有可行的风险收益组合。它的斜率等于选择的资产组合每增加一单位标准差上升的期望收益。或者说每增加额外风险所对应的额外收益。该斜率又称为回报与波动性比率。（reward-to-variabilitu ratio）
2.资本配置线的意义
假定风险资产组合的期望收益为E(rP) =9% ，标准差为P =21%，无风险资产的收益率为rf =3% 。（画图）
风险资产的风险溢价为E(rP)–rF=9%-3%=6%
令整个资产组合C的收益率为rC，有：rc=yrp+(1-y)rf = 3%+y(9%-3%) 3+6y
P=21%，有：σC=yσp=21y
如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益与标准差就是E(rp)=9%P=21%。如果选择将全部投资投向无风险资产，期望收益与标准差就是E(rp)=3%P=0。
从线上可直观地看到，风险增加，收益也增加。由于直线的斜率为6/21=0.29，每增1单位风险，可获0.29单位收益。即每增1单位收益，将增3.5(21/6=3.5)单位风险。
引申：处在资本配置线P点右边的点是什么呢？
若投资者可以以无风险利率rf借入资金，就可构造出资本配置线P点右边的资产组合。
例子：若rf=7%,E(rp)=15%, бp=22%,投资者投资预算为30万，借入12万，资金全部投入到风险资产的收益与风险如何？
E(rc)=0.07+(1.4*0.08)=18.2% бc=1.4*0.22=30.8% S=(15-7)/22=0.36 引申：CAL在P点右面弯曲的可能？
10 / 47
一般非政府投资者不能以无风险利率借入资金，一般借入资金的利率要高于无风险利率（假设也是无风险的），例如以9%的利率借入资金，斜率将会在P点处弯曲改变。
[E(rc)-rf*]/бp,斜率将会是0.27
例子：投资金额50万，其中15万投资国库券，35万投资股票，15.75万买清华同方，19.25万买清华紫光。若国库券的收益为3%，同方的收益为8%，紫光的收益为12%，股票组合标准差为20%.
同方：w1=15.75/35=0.45 紫光：w2=19.25/35=0.55 风险组合P的权重为y，无风险组合的权重为1-y， 有 y=35/50=0.7(风险资产) 1-y=0.3(无风险资产)
投资者希望将所持有的风险资产组合比重从0.7降为0.55。投资者的投资资金的配置则为: 投资于股票： y=500 000×0.55=275 000(元)
投资于国库券：1-y=500 000×0.45=225 000(元)
投资者在股票投资减7.5万(35-27.5=7.5)，增买7.5万的国库券。由于两种股票的比例不变，因此，有同方：w1=275 000×0.55=151 250 (元) 紫光：w2=275 000×0.45=123 750 (元)
资产结构调整前后的选择如何。
rp=0.45*8+0.55*12=10.2% rc=3+0.7(10.2-3)=8.04% бc=0.7*20=14% rc=3+0.55(10.2-3)=6.96% бc=0.55*20=11%
Y点的选择问题:在经济学偏好一般用效用函数反映
222
U=E(r)-0.005Aб （1） E(rc)=rf +y[E(rp)-rf] （2） σc=yσp2 (3)
人们总希望效用最大，数学表达式：maxU
maxU=E(r)-0.005Aб2= rf +y[E(rp)-rf] - 0.005Ay2σp2
利用微积分的知识， 最大化的问题就是方程一阶导数为零。对U求y一阶导，令其为零，解出投资者的最优风险头寸: y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσp2
例子：若A=3 E(rp)=9% rf=3% σp=21% y*=[9%-3%]/(0.01×3×0.212)=45.35%
根据结果，应将资金的45.35%投资于风险资产，54.65%投资于无风险资产。整个资产组合的 E(rc)=3%+(45.35%×6%)=5.72% σC=45.35%×21%=9.52%
如果假定投资者的风险厌恶程度A为1.5，其结果为
y*=[9%-3%]/ (0.01×1.5×212)=90.7% E(rc)=3%+(90.7%×6%)=8.44% C=90.7%×21%=19.05% 5.44/19.05=0.29
风险厌恶程度降低一半，投资于风险资产组合的比例上升了一倍，整个资产组合的期望收益也提高到8.44%，风险溢价提高到5.44%，标准差也提高了一倍，达到19.05%。
3.约束与偏好：这是微观经济学乃至微观金融学学研究的主要问题。 人们总是在一定约束条件下使自己的效用（反应偏好）最大化。
11 / 47
约束下的选择
微观经济学研究是个体在约束下的选择。 以消费者的选择为例：个体的约束就是预算线，
个体的选择离不开个体的偏好，偏好的程度我 X 们一般用一簇无差异曲线来描述，当预算线和 无差异曲线相切时的商品组合是能给我们最大 效用的组合。
y 微观金融学也是研究是个体在约束下的选择，但这里的选择是金融产品了，效用的大小是我们选择它们的标准，效用也是用无差异曲线来反映。
这里的约束不是个体当前拥有的财富，而是当前市场中的证券组合.。在金融领域个体拥有的财富不是主要约束因素。
资本配置线就是我们在投资选择时的约束。我们只能在资本配置线上选择。资本配置线在期望收益-标准差平面中。
在期望收益-标准差平面平面中的每一点代表不同的期望收益与标准差组合，我们可以看作不同的证券或者证券组合。我们把对于特定投资者效用值相等的所有的证券或者证券组合点由一条曲线连接起来，这条曲线就叫无差异曲线。
假设对于A为400的投资者 Eδ （r） 10 15 20 25 20 25 30 U=E(r)-0.005Aδ2 2 2 2 33.9 2 同时我们在期望收益标准差平面画出一族无 E（r） 差异曲线，不同水平的曲线代表着效用的大小，水 平越高，效用越大。对于特定风险偏好的投资者， c b a 无差异曲线族代表着不同的效用水平。人们总是趋 0 σ
向于选择最高的效用水平，但这要受到市场中资本 配置线的约束。
不同的投资者对风险的偏好不同，就有不同的无差异曲线族,风险厌恶程度高的投资者的无差异曲线比较陡（意味着风险补偿要高些），而风险厌恶程度低的投资者的
12 / 47
无差异曲线比较平坦（意味着风险补偿要低些） 。这表明不同的投资者有不同的无差
异曲线族 P
E(rp)=9% （rf）=3% F 风险厌恶程度高者 风险厌恶程度低者
0 21% σ
当投资者的资本配置线与他的无差异曲线族像切时，我们认为是投资者的最优选 投资者进行资产配置的步骤：1、确定资产配置线2、确定自己的风险偏好程度（无差异曲线族）3、二者相切就是最佳投资构成 4.最优风险资产组合
市场风险与非市场风险：分散化的界定
视角的引入：如果你的资产组合中只有A公司的股票，那么风险来自于： 一、一般经济状况的风险，比如经济周期、通货膨胀、 σ 利率和汇率等。这些风险会对一般的公司都有影响。
二、A公司特有的风险，比如自身的经营管理、研发、
特有风险 人员的替换等。这些风险只会影响A公司。我们把充分 市场风险 分散条件下还保存的风险称为市场风险，它来源于 n 市场有关因素，也称为系统风险或不可分散的风险。相对而言，可以利用分散化消除
的风险被称为独特风险、非市场风险、非系统风险和可分散风险。
组合投资的好处：三个人进行投资，甲与乙的投资额一样，丙的投资额为甲与乙投资额的和．甲投资于
甲的收益为Ｒ＝RA 乙的收益为Ｒ＝RB 丙的收益为Ｒ＝RA+RB 丙与甲和乙的收益相等
σAσB2ρσAσB 甲的风险为σA 乙的风险为σB 丙的风险为σ（A,B）丙的风险小于甲和乙
美国股票1960-1970年随机选样的分散化效应表
股数 月均收益率 月均标准差 与市场的相关系数R 1 0.88% 7.0% 0.54
13 / 47
22 2 0.69% 5.0% 0.63 3 0.74% 4.8% 0.75 4 0.65% 4.6% 0.77 5 0.71% 4.6% 0.79 10 0.68% 4.2% 0.85 15 0.69% 4.0% 0.88 20 0.67% 3.9% 0.89 5.两种风险资产的资产组合
现在要解决的问题是在风险资产组合P中，求解最优的每种证券的比重。 这个问题我们把它简化为两种风险资产构成的风险资产组合。
假定投资两种风险资产构成的风险资产组合P，一是股票，一是债券。投资债券的资金为wd，投资股票的部分为1-wd记作we，rd、σd为债券收益和标准差，re、σe为股票收益和标准差，二者的相关系数为ρ（A，B）
rp= wdrd+were E(rp)=wdE(rd)+weE(re)
Σp2 =wd2σd2 +we2σe2 +2wdweCOV(rd,re) σd2= Cov(rd ,rd) 求解风险组合的期望收益和标准差:
两个方程有四个未知数,因此无法得到确定的解(在期望收益-标准差平面无法得到一个点),我们的分析思路:首先考虑不同相关系数情况下(也就是把相关系数确定了)方程组的解,但还有三个未知数,仍然无法得到确定的解,只能得到解是一个函数关系(风险组合的期望收益和标准差的范围),而该函数关系在期望收益-标准差平面是一条曲线.
步骤:
1）不同相关系数对风险组合的期望收益和标准差的影响 2）E(rp)=wdE(rd)+weE(re),组合收益是权重的函数 直线 3）σp2 =wd2σd2 +we2σe2+2wdweCOV(rd,re) 不同相关系数条件下,组合方差是权重的函数 曲线,应该有最小方差或最大方差
4）把上面两个方程变为一个方程,取掉权重变量,确定相关系数,得到风险组合的期望收益和标准差之间关系的方程.只有两个未知数,是一条曲线,我们称为资产组合机会集合线,该线段反映了风险组合的期望收益和标准差所有的可能性.
组合的方差还可以有以下计算公式：
2
p=wdwdCov(rd,rd)+weweCov(re,re)+2wewdCov(rd,re) Cov（rd，rd） Cov（rd，re） Cov（re，rd） Cov（re，re）
我们用V表示协方差矩阵,那么组合的方
14 / 47
差就等于:σp2=W*V*WT
我们利用协方差矩阵中的每一个因子资产权Wd We 与所在行和列的权重相乘，最后加总就可重 以得到资产组合的方差。 Wd Cov（rd，rd） Cov（rd，re） 组合的方差写成协方差矩阵的原因：
We Cov（re，rd） Cov（re，re） 如果在组合中有多种资产，那么方差
的表示就会很冗长，比如有四种资产，A、B、C、D。 2
p=wAwACov(rA,rA)+wBwBCov(rB,rB)+wCwCCov(rC,rC)+wDwDCov(rD,rD)+
2wAwBCov(rA,rB)+2wBwCCov(rB,rC)+2wBwDCov(rB,rD) +2wAwDCov(rA,rD) 如果用协方差矩阵表示就很清楚，同时我们得到的方差是为进一步的计算的，利用了协方差矩阵就便于我们利用矩阵的运算性质进一步运算。
我们利用矩阵中的每一个因子与所在行和列的权重相乘，最后加总就可以得到资产组合
WA WB WC WD 的方差。 WA COV(RA,AR) COV(RA,BR) COV(RA,RC) COV(RA,RD)
相关系数的变化对资产组合方差的影响： 有 Cov(rd，re)=ρ(d,e)σdσe
22222
将此式代入方差计算公式有：P=wdσd+weσe+2wdweσdσeρ(d,e) ρ=1时，式右可简化为：σP2=(wdσd+Weσe)2 或σP=Wdσd+Weσe 组合的标准差恰好等于组合中每一部分证券标准差的加权平均值。 当ρ＜1时，组合标准差会小于各部分证券标准差的加权平均值。 当ρ=-1时，该式可简化为：σP2=(wdσd-Weσe)2 组合的标准差为：σP=| wdσd-Weσe|
一个完全的套期头寸（一种资产与另一种资产组合，风险为零）可以通过选择资产解以下方程得：
由于：σP=| wdσd-Weσe| =0,所以有
wd = σe /(σd+σe) we = σd /(σd+σe)=1- wd
以上的公式表明，当ρ=1时，标准差最大，为每一种风险资产标准差的加权平均值；如果ρ＜1，组合的标准差会减小，风险会降低；如果ρ=-1，标准差最小，在债券的比重为wd = σe /(σd+σe),股票的比重为1- wd时，组合的标准差为0，即完全无风险。
以一个具体例子来看在不同相关系数条件下，资产组合比重的变化对资产组合收益和风险的关系：股票E(rp)为20%，方差为15%，债券E(rB)为10%，方差为10%。
不同相关系数下的期望与标准差 给定相关性下的资产组合的标准差
投资比重 ρ=-1 ρ=-0.5 ρ=0.5 ρ=1 wd we E（rp） 方差 方差 方差 方差
15 / 47
WB WC WD COV(RB,RA) COV(RC,RA) COV(RD,RA) COV(RB,RB) COV(RC,RB) COV(RD,RB) COV(RB,RC) COV(RC,RC) COV(RD,RC) COV(RB,RD) COV(RC,RD) COV(RD,RD) 1.00 0.00 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 0.80 0.20 12.0 3.08 5.04 8.96 10.92 0.60 0.40 14.0 0.12 3.06 8.94 11.88 0.40 0.60 16.0 1.12 4.06 9.94 12.88 0.20 0.80 18.0 6.08 8.04 11.96 13.92 0.00 1.00 20.0 15.0 15.0 15.0 15.0 不同相关系数条件下最小方差的资产组合(根据表中的数据) wd 0.55 0.57 0.70 1.00 we 0.45 0.43 0.30 0.00 E(rP) 14.5 14.3 13.0 10.0 2P 0.00 3.03 8.82 10.0 利用上面的例子进行一些图表分析
（1）、资产组合的期望收益图示
E(rp)= wdE(rd)+weE(re)有：E(rd)=10% E(re)=20%=10+10we 组合收益是投资比重的函数：
E(rp) 20% 股票 债券 -0.5 0 1 2
1.5 1 0 -1
we wd
如果wd›1,we‹0，意味着投资者在资产组合中的策略是做股票空头（卖出，可以是自己没有的），并把得到的资金投入到债券上。比如：wd=1.5,we=-0.5，资产组合的收益为:
1.5*10%+（-0.5）*20%=5%（是否合理）
如果we›1, wd ‹0，意味着投资者在资产组合中的策略是做债券空头，并把得到的资金投入到股票上。比如： we=1.5,wd=-0.5，资产组合的收益为:1.5*20%+（-0.5）*10%=25%
解释了上图中直线为什么会突破[0，1]，也就是在资产组合中资产的比重可以大于1，小于0。
（2）、最小方差资产组合的提出：
16 / 47
人们总是希望在收益一定的条件下，持有资产的风险最低，也就是资产组合的方差最小。组合的方差我们有这样的数学表达形式：Σp2 =wd2σd2 +we2σe2 +2wdwdCOV(rd,re)
wd+we=1，因此有we=1-wd,带入上式，然后上式对wd求导，另其等于0，我们将
e2cov(re,rd)得到风险资产组合中最小方差的投资比重：wdmin2 2ed2cov(re,rd)得到的结论是：如果我们知道在资产组合中每种资产的期望收益、标准差和相互之间的相关系数，我们就可以通过调整资产组合的结构达到资产组合的风险最小。
比如，股票与债券的ρ=-0.5, σD2=10，σE2=15
由于有：Cov(rD，rZ)=ρDEσDσE，有Cov(rD，rZ)=-0.5(3.162)(3.873)=-6.123 将σD2=10，σE2=15最小方差的投资比重的公式
wmin(D)=[15-(-6.123)]/[10+15-2(-6.123)]=(21.123)/(37.246)=0.567 wmin(E)=1-0.679=0.433
该组合为相关系数等于-0.5确定下的最小方差的资产组合。 此时资产组合的方差为：
σ2min=(0.5672×10)+(0.4332×15)+(2×0.567×0.433×-6.123)=3.02 这一组合的期望收益为：E(rp)= 0.567×10%+0.433×20%=14.33%
（3）、考虑不同相关系数的条件下，标准差随着资产结构比率是如何变化的。
σ2P=wd2σd2+we2σe2+2wdweσdσeρde=10wd2+15we2+300wdweρde 组合标准差是投资比重的函数：
6.资产组合机会集合线
E(rp)= wdE(rd)+weE(re) σP=wdσd+weσe+2wdweσdσeρde
资产组合机会集合线显示反应了由两种资产构造的所有资产组合构成的期望收益与标准差点组合。图中是不同相关系数条件下的资产组合机会集合线。
资产组合机会集合线的出现，是我们在已知两种风险资产相关系数的情况下，两种资产所有可能构成的组合选择。因此，我们在进行风险资产投资选择时，只能选择在资产组合机会集合线上。
7.两种风险资产和无风险资产的组合
17 / 47
22222
如何建立资产组合结构呢？
首先，我们确立风险资产组合，在资产组合机会集合线上构建我们的风险资产组合。然后，确立无风险资产和风险资产的比重，这个问题的阐述是上节讲的资本配置线了。
两种风险资产和无风险资产的组合
资本配置线与资产组合机会集合线的关系：
假设：两条CAL以rf=6.5%为起点，通过A,B两点。表中的资产组合机会集合线是股票与债券的ρ=-0.5时形成的机会集合线。A点代表了在股票与债券的ρ=-0.5时具有最小方差组合A，该组合债券比例为56.7%，股票比例为43.3%。它的E(rA)为14.33%(风险溢价为7.88%)，σA为1.74%。
由于rf为6.5%，酬报与波动性比率，即资本配置线的斜率为: SA=[E(ra)-rf]/σa=(14.33-6.5)/1.74=4.5
B点，ρ=-0.5,债券股票各50%，E(rB)=15%(风险溢价为8.5%)，σB=1.79%。斜率为：
SB=[E(rb)-rf]/σb=(15-6.5)/1.79=4.75
由于B的斜率大于A，B更优。单位方差更高收益。
CAL与资产组合机会集合线处于什么位置P点最优呢?我们知道，两条线切点所对应的组合P最优。相切时，资本配置线的斜率最大，也就是意味着组合的单位风险收益最大。
最优组合的几何表达
最优风险资产组合的求解过程：（最优的P点）
资产组合机会集合线的每一点代表着我们风险资产组合的选择，我们现在要找出最优的P点。P点的另一个约束条件是P点在CAL直线上。CAL的斜率是酬报与波动性比率，意味着每单位风险的期望回报是多少，我们认为该比率越高投资越有价值。因此P点在资产组合机会集合线上，同时还要CAL的斜率最大。Max Sp=[E(rp)-rf]/σp 已知：σp2 =wd2σd2 +we2σe2 +2wdwdCOV(rd,re) E(rp)=wdE(rd)+weE(re) wd+we=1
18 / 47
把已知条件带入Max Sp=[E(rp)-rf]/σp用Sp对wd求导，再令为零，得到： wd={[E(rd)-rf]σe2-[E(rf)-rf]Cov(rd,re)}/[E(rd)-rf]σe2+
[E(re)-rf]σd2-[E(rd)-rf+E(re)-rf]Cov(rd,re)} We=1-wd
把上例中的数据代入，得到的解为
wD={[10-6.5]15-[20-6.5](-6.123)}/[10-6.5]15+[20-6.5]10-[10-6.5+20-6.5](-6.123)}= 46.7% wE =1-0.46.7=53.3%
这一最优风险资产组合P的期望收益与标准差为E(rP)=(0.467×10)+(0.533×20)=15.33% σ2min=(0.4672×10)+(0.5332×15)+(20.4670.533-6.123) =3.39%
这个最优资产组合的资本配置线的斜率为SP=[E(rB)-rf]/σB=(15.33-6.5)/1.84=4.80
这是资产组合P可以得到的最大的斜率，因此也是投资者可以得到的最优资本配置线的斜率。
风险资产与无风险资产的比率为：y*=[E(rp)-rf]/ 0.01Aσp2，假定A=4，投资者投资于风险资产组合的投资比例为y=[E(rp)-rp]/0.01Aσp2=(15.33-6.5)/(0.01×4×3.39)=65.12
假定A=300，有y=(15.33-6.5)/(0.01×300×3.39)=0.8682% 1-y=99.1318% 即投资者只有在如此厌恶风险的情况下，才会将其投资资金的0.8682%投向股票与债券， 99.1318%投向国库券。由于债券在风险资产中的比例为46.7%，股票在风险资产中的比例为53.3%，因此，在全部投资资金中应有(46.7%× 0.8682%=)0.4055%投资于债券，(53.3%×86.82%=)0.4627%投资于股票，剩下的99.1318 %投向国库券。 小结：完成一个完整的资产组合的步骤：
1、确定资产组合中各类证券的回报特征（期望收益、方差、协方差）
2、建造风险资产组合找出风险资产组合机会集合线，即风险资产组合P的选择范围
σp =wdσd+weσe +2wdwdCOV(rd,re) (1)
2
2
2
2
2
E(rp)=wdE(rd)+weE(re) (2) wd+we=1 (3)
根据（2）（3）得到：Wd= [E(re)- E(rp)]/[E(re)-E(rd) ] We= [E(rp)- E(rd)]/[E(re)-E(rd) ] 代入（1）σp2={[E(re)- E(rp)]/[E(re)-E(rd) ]}2σd2 + {[E(rp)- E(rd)]/[E(re)-E(rd) ]}2σe2+
19 / 47
2 [E(re)- E(rp)]/[E(re)-E(rd) ] [E(re)- E(rp)]/[E(re)-E(rd) ] COV(rd,re)
A、计算最优风险组合P的构成 wd we
CAL与资产组合机会集合线相切的点为最优的P点。数学的表达，首先P在资产组合机会集合线，同时也在CAL上，但要求CAL的斜率最大。
σp2 =wd2σd2 +we2σe2 +2wdwdCOV(rd,re) E(rp)=wdE(rd)+weE(re) wd+we=1
Max Sp=[E(rp)-rf]/
p 求解最优的P点（ wd ，we ）
B、根据上步确定的权重来计算最优风险组合的收益和标准差。 3、考虑风险资产和无风险资产的组合
A、计算资产组合P和无风险资产的权重（y），利用公式： y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσp2
B、计算出完整的资产组合中投资于每一种资产的投资比例。
例题：已知两种风险资产，E（rd）=8%，бd= 12%， E（re）=13%,бe=20%， ρ（d，e）=0.3,无风险资产rf=5%, 投资者的厌恶系数A=4，投资者将在最优的条件下如何分配自己的投资比率。
wd*={[E(rd)-rf]σe2-[E(rf)-rf]Cov(rd,re)}/[E(rd)-rf]σe2+ [E(re)-rf]σd-[E(rd)-rf+E(re)-rf]Cov(rd,re)}
wd*={[8-5]400-[13-5](72)}/[8-5]400+[13-5]144-[8-5+13-5](72)}= 40% We=60%
E(rp)=(0.4×8)+(0.6×13)=11%
σp=(0.42×144)+(0.62×400)+(2×0.4×0.6×72) =2.01% SP=[E(rp)-rf]/σp=(11-5)/14.2=0.42
y*=[E(rp)-rp]/0.01Aσp2=(11-5)/(0.01×4×2.01)=74.39%
投资于无风险资产的比例为25.61%，投资于债券的比例为74.39%*40%=29.76%，投资于债券的比例为74.39%*60%=44.63%
多种风险资产的有效集：假设一般投资者是风险厌恶者，因此我们看到在期望收益-标准差平面，任何两种风险资产的机会集，是凸的，同时有最小方差解。 经过严密的证明，资产组合中的资产数目大于2的时
候的资产组合机会集分布于凸线内右面。 资产组合P中有很种证券，根据各个证券的比重不同，我们有很多种组合方式，p1,„pn,对它们的刻画我们选择我们最关心的收益和标准差，因此在期望
20 / 47
2
2
收益-标准差平面会有很多点，每个点都代表着不同结构的资产组合P，这些点所在的区域我们称为资产组合机会集。
当多种证券构成组合时，所有各种组合都位于该区域。但投资者无论如何都要选择该区域的上方从MV到X这一边界上的组合。这一边界被称为有效集或者有效率边界。因为在风险一定，或者收益一定的条件下，有效集上的点是最优的。同时在有效集从MV到X的线段也要优于从MV到下面的线段。
因此投资者的投资选择应该选择在有效集上，点MV被称为最小方差资产组合点。
第三章 资本资产定价模型及其简化模型
一、资本资产定价模型是现代金融学的奠基石。模型是在经济学的经典范式,一
般均衡框架下提出的.模型对于资产的风险及其期望收益之间建立的关系给出了精准的预测形式。同时有两个极为重要的意义：
1、提供了一种对潜在投资项目估计其收益率的方法。投资人在分析证券时,极为关心股票在给定风险的前提下其期望收益同其(正常应有)收益的差距.
2、使得我们对不同市场交易的资产同样作出合理的估价。我们一般认为证券市场是最接近完全竞争市场的：Ａ、信息是公开的。Ｂ、交易对象和交易者的几乎无穷。Ｃ、各种资源可以自由流动。Ｄ、产品的同质性。为了便以交易，交易对象都是标准化的，也就是每份相同的交易对象都是无差异的。
3、投资者只在公开的金融市场上投资，同时投资者可以在无风险利率的基础上借入和贷出任何额度的货币资产（无限做空和做多）；
4、所有的投资者都是理性的，都是风险厌恶者，都具有均值-方差偏好；
5、同质期望：所有投资者对证券的评价和经济形势的看法都一致 。这样投资者关于有价证券收益率的概率分布预期是一致的。即投资者的投资顺序一致,资产组合的结构相同。
6、假定金融工具是可以无限分割的（保证了投资者的任意数量上的供求），证券市场不存在通货膨胀、无交易费用、无税收。
上述假定代表着我们的“如果怎么，那么就会怎么”分析中的“如果”部分内容，下来我们可以根据“如果”将得到一些结论：
1、市场资产组合是最优的风险资产组合，因此，市场资产组合不仅在有效边疆上，而且市场资产组合相切于每一投资者的最优资本配置线。
2、投资者将按包括所有可交易资产的市场资产组合（M）来比例地复制自己的风险资产组合。即投资者在自己组合中A股票比重等于A股票总市值占股票市场总市值的比例。
二、什么是市场资产组合？为什么所有投资者都持有市场资产组合？
把所有投资者的资产组合加总起来时，借与贷将相互抵消（无风险资产相互抵消），加总的风险资产组合等于整个整个证券市场的财富价值，这就是市场组合。每只股票在这个资产组合中的比例等于该股票的市值占所有股票市场价值的比例。
如果所有的投资者将马克维茨分析(假定4)应用于同样广泛的证券（假定3），在同一时期规划自己的投资（假定2），并且投资选择顺序也相同（假定5），那么他们必定会达到相同的最优风险资产组合。
也就是说CAPM认为每个投资者均有优化其资产组合的倾向。最终所有人的资产组合会趋于一致，某种资产在一个投资者资产中的权重等于该资产在市场资产组合中所占比例。
3、市场资产组合的风险溢价与市场风风险和投资者的风险厌恶程度相关，它们的关系可以表述为：E(rm)rfAσM0.01 U=E(r)-0.005Aσ2 （1）
E(rc)=rf +y[E(rp)-rf] （2）
21 / 47
2σc2=y2σp2 (3)
人们总希望效用最大，数学表达式：maxU=E(r)-0.005Aσ2= rf +y[E(rp)-rf] +
2
0.005Ay2σp
最大化的问题就是一阶导数为零，对y求一阶导，令其为零，解出投资者的最优风险头寸:y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσp2 令y等于1得到：E(rm)rfAσM0.01 为什么y等于1?也就是市场组合中只有风险资产的构成，而没有无风险资产。 在市场上，无风险资产投资包括投资者的借入和贷出，任何借入头寸必须同时有债权人的贷出头寸补偿，这意味着整个市场的无风险资产的净借入和贷出的总和是0。
M2代
表了这个市场的系统风险。因此，市场资产组合的风险溢价等于投资者风险厌恶的平均水平乘以市场的系统风险。
4、单个资产的风险溢价与市场资产组合M的风险溢价呈比例关系。这种比例关系的系数我们一般用贝塔(β)来表示。贝塔(β)用来测度由市场组合收益变动引起的个股收益变动的程度，或单个证券的风险对整个市场风险的贡献程度，定义为：βi=[Cov(rI，rM)]/σ2M
贝塔反映了系统风险对个股收益的效应。如果一只个股的贝塔值为1.5，就意味着根据历史经验，该股的收益率变动幅度为市场组合收益率的1.5倍。
因此，个股的风险溢价等于：E(ri)-rf=[Cov(rI，rM)]/σ2M* [E(rM)- rf] 又有：E(ri)=rf +β[E(rM)-rf ] 这是最一般的资本资产定价模型，即CAPM模型。其含义是个股的期望收益等于市场的无风险利率加上市场风险溢价乘以反映个股风险溢价与市场风险溢价的比例关系的β值。
从资本配置线（CAL）到资本市场（CML）：
资本市场线是在期望收益-标准差平面中，从无风险利率出发通过市场资产组合M的延伸直线。我们认为是资本
2配置线的特例。源于一般投资者的消极投资策略。
投资者在投资决策时，不做任何直接或间接的证券分析，他选择的资产组合将是市场组合，也就是说在自己组合中一种股票的比重是该股票 E(rM) 在整个市场的比重。或者简单的说就是购买指数化基金的投资策略。 如果同方的股票在市场资产组合中的比例是0.1%，那么，就意味着每一投资者都会将自己投资于风险资产的资金的0.1%投资于同方的股票。如果紫光的股票没有进入最优风险资产组合中，市场资产组合中没有它，所有的投资者的风险资产组合中也没有它。由于投资者对紫光公司的股票需求为零，紫光股票的价格将会下跌，当它的股价变得异乎寻常的低时，它对投资者的吸引力就会超过任何其他股票的吸引力。最终，紫光的股价会回升，紫光的股票会进入最优资产组合之中。这就是说，所有的投资者最终会按市场资产组合的比例持有风险资产，而所有的股票(股票代表全部风险资产)都会包括在市场资产组合之中。
22 / 47
这一结果是在上述前提条件下，由市场机制的充分作用来保证的。更具体是说，是由市场中的套利机制充分作用来保证的。
三、市场资产组合的风险溢价的确定
（1）每个投资者投资于最优（风险）资产组合M的资金比例为y，有：
y=[E(rM)-rf]/0.01×AσM2
（2）从宏观看，全部投资者之间的净借入与净贷出的总和为零。即y=1，代入上式，有：
E(rM)-rf= 0.01×AσM
这表明，市场资产组合的风险溢价与风险厌恶平均水平和市场资产组合风险水平有关。
单个证券的风险溢价的测度
单个证券的风险溢价取决于单个证券的风险大小。对单个证券风险的测度我们在CPAM模型中用单个证券对整个资产组合风险的贡献程度。具体的描述:我们一般用单个证券与市场组合内其他证券的协方差与市场方差的比值来刻画对市场组合风险的贡献程度。
测算单个证券对整个资产组合风险的贡献程度，首先我们要测算整个市场的方差。（回忆两种证券风险的测算）
市场资产组合的协方差矩阵 资产组合 w1 w2 --- wx --- wn w1 w2 --- wx --- wn Cov(r1,1r) Cov(r1,r2) Cov(r2,r1) Cov(r2,r2) --- --- --- --- --- --- --- --- Cov(r1,rx) Cov(r2,rx) --- Cov(rx,rx) --- Cov(rn,rx) --- --- --- --- --- --- Cov(r1,rn) Cov(r2,rn) --- Cov(rx,rn) Cov(rn,rn) 2
Cov(rx,r1) Cov(rx,r2) --- --- Cov(rn,r1) Cov(rn,r2) 整个市场的方差等于N阶协方差矩阵各项按照从行到列的顺序分别乘以各项证券在市场组合中权重的加总。一种证券对整个资产组合风险的贡献程度可以表示为股票所在行协方差各项项乘以列权重所在行的权重再乘以所在行的权重的总和与市场方差的比。得到这样的公式：{wx [w1Cov(r1，rx)+ w2Cov(r2，rx)+„+ wxCov(rx，
2
rx)+„+ wnCov(rn，rx)]}/σM
我们可以将上式中括弧里的各项简化为X证券与市场组合的协方差，wxCov(rx rM)，因此我们有了wxCov(rx rM) /σM2 ，单位化后我们又有了Cov(rx rM) /σM2 ，我们定义：
βx=[Cov(rx，rM)]/σM2
CAPM模型的推导 ：某投资者投资于市场资产组合的比率为100%，现在他通过借入无风险贷款的方式来增加比例为小量的市场资产组合头寸。
（1）新的资产组合由以下组成：收益为E(rM)的原有市场资产组合头寸，收益为-rf的无风险资产空头头寸，以及收益为E(rM)的新增市场资产组合的多头头寸。
23 / 47
总的资产收益为E(rM) +δ[E(rM)–rf] ，新增的期望收益为: ΔE(r)=δ[E(rM)–rf]
（2）新资产组合由权重为(1+δ)的市场资产组合与权重为-δ的无风险资产组成，方差为：σ2=(1+δ)2σM2= (1+2δ+δ2)σM2=σM2+(2δ+δ2)σM2
（3）由于δ非常小，可将δ2忽略不计，新资产组合的方差就为σM2+2δσM2，资产组合方差的增加额为：Δσ2=2δσM2
（4）新增的期望收益比上新增的资产组合方差，应等于新增的风险价格。所以有： ΔE(r)/Δσ2= [E(rM)–rf]/2σM2
上式被称为市场风险的边际价格
（5）如果投资者用借来的资金购买的不是市场资产组合，而是同方公司的股票。他的新增期望收益为：ΔE(r)= δ[E(rTF)–rf]
（6）投资者投资于市场资产组合的资金权重为1.0，投资于同方公司股票的资金
-δ。这一资产组合的方差为:
2222
（σM +δσTF)2 = 1σM+δσTF+[2×1×δ×Cov(rTF，rM)]
（7）因此，新增的方差包括新增同方公司股票的方差和两倍同方公司股票与市场资产组合的协方差。即Δσ2=δ2σTF2+2δCov(rTF，rM)
（82，我们仍忽略不计，同方公司股票风险边际价格就为：
ΔE(r)/Δσ2=[E(rTF)–rf]/2Cov(rTF，rM)
（ 9）在均衡条件下，同方公司股票的风险边际价格一定等于市场资产组合的边际风险价格。即（8）式等于（4）式。有[E(rTF)–rf]/2Cov(rTF，rM)=[E(rM)–rf]/2σM2 （10）从上式中，推出股票的风险溢价等式：E(rTF)–rf=[Cov(rTF，rM)]/σM[E(rM)–rf]
（11）Cov(rTF，rM)/σrf]
2M
2
就是前面提及的贝塔，上式可写为E(rTF) = rf +β[E(rM)-
此式就是CAPM模型的特定形式。
（1）资本市场线反映的是有效资产组合(市场资产组合与无风险资产构成的资产组合)的风险溢价，是该资产组合标准差的函数，标准差测度的是投资者总的资产组合的风险。
（2）证券市场线反映的是单个资产的风险溢价是该资产风险的函数，测度单个资产风险的工具不再是该资产的方差或标准差，而是该资产对于资产组合方差的影响程度或贡献度，用贝塔值来测度这一贡献度。
24 / 47
(3)在均衡市场中，所有的证券均在证券市场线上。
四、夏普的CAPM模型
诺贝尔经济学评奖委员会认为CAPM已构成金融市场的现代价格理论的核心，它也被广泛用于经验分析，使丰富的金融统计数据可以得到系统而有效的利用。它是证券投资的实际研究和决策的一个重要基础。
1961年他写出博士论文，提出单因素模型。这极大地简少了计算数量。单指数模型是一种简化的CAPM的估计模型。
根据CAPM理论一个资产组合选择的成功取决于数据的质量，即证券的期望收益与协方差矩阵估计的质量。经验实际表明，证券收益率之间的协方差一般是正的。因为相同的经济因素影响着众多公司的业绩。除了这个共同的因素外，证券收益率的剩余不确定性来自于公司自身因素。所以我们有了：ri =E(ri) +mi +ei
E(ri)是持有期期初的期望收益， mi是持有期非预期的共同因素对该证券收益的影响， ei是持有期非预期的公司特有事件对该证券收益的影响， mi 和ei都具有零期望值。
进一步分析：可将共同因素的非预期成分定义为F，将股票i对共同因素的敏感度i, 有:ri =E(ri) +βi F +eI 此式就是单因素模型(single-factor model)
共同因素的确定一般方法：一般用证券市场上的证券市场指数收益率来确定共同因素。比如道琼斯指数的收益率、标准普尔500指数的收益率等等。
这种方法引入单因素模型就被称为单指数模型。它利用市场指数来代表共同因素。 夏普用一个股票指数代替单因素模型中的共同影响因素，有单指数模型：股票收益公式为：Ri =αi +βi RM +eI
Ri=ri-rf是股票i超过无风险收益的超额收益率，αi是当市场超额收益率为零时股票i的期望收益率，βi 是股票i对宏观因素的敏感程度，RM=rM–rf是市场收益超过无风险收益的超额部分，βi RM合在一起的含义是影响股票超额收益的宏观因素，也称作系统因素；eI是影响股票超额收益的公司特有因素，也称作非系统因素。
1、αi是当市场超额收益率为零时的i证券的期望收益，它的值通常很小，也很稳定，一定时期可以看成是一个常量。
2、 ei是影响股票超额收益的公司特有因素，是非系统因素是不确定的，其期望值为零。
3、真正影响股票收益的是βi RM，要估计的只有股票收益对市场收益敏感程度βi 。 4、因Ri是股票超过无风险收益的超额收益，投资者对其的要求与无风险收益水平有关。
2 222
6、股票i的收益率的方差为：σi=βiσM +σ(ei)
7、ei是每个公司特有的，它们之间不相关，同时RM和ei的协方差为0。而两个股票超额收益率Ri与Rj的协方差，都与市场因素RM有关，所以，Ri与Rj的协方差为
Cov(RI，Rj)=Cov(βiRM，βjRM) =βiβjσM 2
8、单因素模型告诉我们，如果我们有：n个期望超额收益E(RI)的估计，n个公司
2
βi的估计，n个公司特有方差β(ei)的估计和12M的估计。我们就可以利用单因素模型来估计资产组合的收益和风险以及标准差情况。
单指数模型可表达为一条截距为αi， 斜率为βI的斜线。坐标系的横轴为市场超额收益，纵轴为股票i的超额收益。实际中，这条斜线要利用具体数据回归得出称作证券特征线。
单指数模型与CAPM模型的关系 按单指数模型，股票i的收益与市场指数收益之间的协方差公式为
25 / 47
Cov(Ri，RM)=Cov(βiRM+ei，RM)=βiCov(RM，RM)+ Cov(ei，RM) =βiσM 2
上式所以成立，是因为由于αI是常数，它与所有变量的协方差都是零，且由于公司特有的非系统风险独立于系统风险，因此Cov(ei，RM)=0。可推导出βI= Cov(Ri，RM)/σM 2
在推导CAPM模型中，也有：βi= Cov(Ri，RM)/σM 2成立， 即单指数模型与CAPM模型的贝塔含义是相同的。
对Ri=αi+βiRM+ei两边取期望，有 E(ri)–rf=αi+βi[E(M)–rf] 得到CPAM
单指数模型的局限性
●这一模型将股票收益的不确定性简单地分为系统风险与非系统风险两部分，这与真实世界的不确定性来源是有距离的。
●譬如，它没有考虑行业事件，而行业事件是影响行业内许多公司，但又不会影响整个宏观经济的一些事件。 （1）多因素模型的提出 ●系统风险包括多种因素
●不同的因素对不同的股票的影响力是不同的 （2）两因素分析模型
假定两个系统风险是经济周期（GDP）和利率（IR）的不确定性。单指数模型扩展成了两因素模型：Rt =α+βGDPGDPt+βIRIRt +et
（3）例如：假定经济中有两个公司，一个是由政府定价的天燃气供应公司，一个是五星级酒店。前者对GDP较不敏感，但是对利率很敏感；后者对GDP很敏感，对利率较不敏感。这时只有两因素模型才可能较好地作出恰当的分析，单指数模型会显得较无力。
●实际上影响股票收益的因素还不止两个。
●法马与弗伦奇的3因素模型提出的影响股价的三个因素是公司的规模、帐面价值/市值比和股票指数：Rit =αi+βiMRMt+βiSMBSMBt+βiHMLHMLt+eit
●陈、罗尔和罗斯的5因素模型提出的影响股票收益的5因素为行业生产增长率IP；预期的通货膨胀率EI；非预期的通货膨胀率UI；长期公司债券对长期政府债券的超额收益CG和长期政府债券对短期国库券的超额收益GB： Rit =αi+βiIPIPt+βiEIEIt+βiUIUIt+βiCGCGt+βiGBGBt+eit ●第一简单，第二，选择最重要的因素。
第四章 套利定价理论与市场的有效性
第一节 套利定价理论
26 / 47
最早由美国学者斯蒂芬·罗斯于1976年提出，这一理论的结论与CAPM模型一样，也表明证券的风险与收益之间存在着线性关系，证券的风险越大，其收益则越高。但是，套利定价理论的假定与推导过程与CAPM模型很不同，罗斯并没有假定投资者都是厌恶风险的，也没有假定投资者是根据均值-方差的原则行事的。他认为，期望收益与风险之所以存在正比例关系，是因为在市场中已没有套利的机会。
传统理论是所有人调整，这里是少数人调整。(CAPM假设中所有人的投资顺序一致，因此环境一旦变化，人们都进行调整。而APT，没有这样强制性的条件，认为能够在市场中发现套利机会的人是少数人。)
套利（arbitrage ）：简单的说就是套取利润。最简单的套利:市场的参与者通过对多个市场的各个商品价格观察，找到价格差异，通过低价买入高价卖出的方式获得利润，如果交易成本忽略不计，利润的获得是稳定，没有风险的。
套利机会的来源：一价原则的偏离。
一价原则：Pa=Pb 。Pa是a市场P商品的价格；Pb是b市场P商品的价格如果二者发生了差异，同时价格差异超越了交易成本就会有套利机会。
证券投资中的套利（arbitrage ）：根据一定的定价理论和方法寻找证券定价之间的不一致进行资金转移，从中赚取无风险利润的行为。套利行为需要”同时”进行等量证券的买卖，以便从其价格关系的差异中获得无风险利润。（发达证券市场中投资者可以双向操作，买证券和卖证券，信用交易保证了人们不用担心持有的货币资金和证券限制）
“同时”进行等量证券的买卖的意义:保证了套利结果对投资者的头寸没有影响,不会改变投资者持有的头寸.单纯的买入或者卖出,必然使投资者的头寸改变,增加的头寸或者减少的头寸将使投资者无法避免新的价格风险.
我们根据一定证券价格确定原则，如CAPM，证券的收益与风险成比例关系，如果市场上有与定价规则相违背的情况，就会有套利机会的出现。比如市场上A证券的收益比B证券的收益高，但同时风险没有B证券高，那么这个机会就可以为我们带来稳定的收益，我们卖出B证券，买入A证券，同时承受的风险是负的，这样就可以获得一定的安全利润。
注意：对冲 买卖证券都将使你具有证券头寸（正的或负的），而大多数投资者的目的是获取价差收益，因此对于现在正的或负的头寸在将来都是要消除的，也就是卖出或买入相同数量的同样证券，这种在金融领域普遍的行为成为对冲。
有人认为在市场上违背单纯证券之间一般风险与收益成正比，这样的机会不好寻找，或者说即使你找到了，其他有人先于你找到，你操作的时间空间就很狭小，无法保证获得利润，因为套利的结果是证券之间的价格是符合定价原则的（风险和收益成正比）。但证券组合为我们提供了这样的机会，也就是可以找到A组合的收益比B组合的收益高，但同时风险没有B组合高。
因为，证券之间的协方差有正有负，同时还有数额上的差异，我们可以构建一个组合使组合的风险尽量小。同时在市场上寻找收益低于该组合，但风险高于该组合的证券或者组合，这种机会是可以找到的。
比如，你在市场上找A、B两种证券，满足，A的收益大于B，一般A的风险也比B大，那么我们在A中不断的加入与A负协方差的其他证券，形成A组合,总会使A组合的收益仍然高于B证券,但A组合的风险不断减小，直到低于B。这样我们就可以套利了。
西方金融界有一种盛行的基金——对冲基金（hedging fund）。它的组建方式不同于一般的基金，采用私募的方式。基金投资者、资金募集方式、信息披露要求、和基金的运作这些都是一般人不了解的。 在国际金融界存在大量的游资（hot money）,游资经常以对冲基金的形式在整个世界寻求利润。同时一些国家大量的富裕人家为了取得高回报，也经常性的作为对冲基金的资金来源。对冲基金的回报一般以每年30%-40%向它们的出资人提供回报。
27 / 47
对冲：在买卖两种方向建立头寸，锁定利润。
套利机会是金融学一个核心问题。当投资者构造一个能产生安全利润的零投资组合时，套利机会就会出现，要构造零投资组合，投资者必须能够卖空至少一项资产，然后再去购买（做多头）一项或多项资产。
例题：四种价格相同股票的收益分布（%） 名称 高实际利率 高通胀率 概率 股票A 股票B 股票C 股票D 0.25 -20 0 90 15 低通胀率 0.25 20 70 -20 23 低实际利率 高通胀率 0.25 40 30 -10 15 低通胀率 0.25 60 -20 70 36 四种股票的基本统计特征 股票 价格 期望收益 25 20 32.5 22.25 标准差 相关系数 A 29.58 33.91 48.15 8.58 1 -0.15 -0.29 0.68 B -0.15 1 -0.87 -0.38 C -0.29 -0.87 1 0.22 D 0.68 -0.38 0.22 1 A B C D 10 10 10 10 我们现在要利用这四种股票，构建只少两个组合P1，P2，（组合也可以只包括一种证券）。套利行为要保证净头寸，也就是进行一买一卖的数量是相同的，买卖的行为后果对于投资者持有的证券价值没有改变。同时还要保证一买一卖能够取得无风险的利润，那么我们就要使得我们构建的组合P1，P2，满足R（P1）大于（P2），还要满足σ（P1）小于σ（P2）。组合标准差的计算，离不开协方差。
注意：正的协方差提高了资产组合的方差而负的降低了资产组合的方差。
然而构造一个等权重的A、B、C的资产组合，与D进行比较，等权重的资产组合在所有环境中都比D的表现好。那么套利机会形成，投资者就可以对股票D做空，然后再购买等权重的资产组合。 项目 均值 标准差 相关系数 三种股票的组合 股票D 等权重资产组合收益率与D的收益率
28 / 47
25.83 22.25 6.4 8.58 0.94 项目 高实际利率 高通胀 低通胀 23.33 低实际利率 高通胀 20 低通胀 36.67 A、B、C等权重资产组合 股票D 23.33 15 23 15 36 假设我们做30万股股票D的空头，然后用300万购买30万股等权重的资产组合，净头寸为零获得的利润分布为：（万） 股票 投资情况 高实际利率 高通胀 A B C D 组合 100 100 100 -300 0 -20 0 90 -45 25 低通胀 20 70 -20 -69 1 低实际利率 高通胀 40 30 -10 -45 15 低通胀 60 -20 70 -108 2 从表中我们获知这种套利行为的净投资为零，但在任何情况下均可以产生正利润。等于一个摇钱树。如果发现这机会，众多投资者倾向于尽量多的卖空D，购买等权重的资产组合。这样的时间持续一段后，我们就会发现D的价格会下降，而A、B、C的价格会上升，套利机会逐渐消失。因此在金融学中，在一个相对长期的视角来看，市场是均衡的，不存在套利机会，也就是经常我们所说的“天下没有免费的午餐”。
寻找套利机会的例子
概率 0.25 0.25 0.25 0.25
股票A 股票B 股票C 股票D 股票E -20 14 80 -56 -19 76 73 97
78 -7 8
73
155 76 -90 42
-100 -15 124 68
套利定价理论的假定前提：①股票的收益率取决于系统因素和非系统因素；②市场中存在大量的不同资产，是完全竞争的；③市场中允许卖空，卖空所得款项归卖空者所有；④投资者偏向获利较多的投资策略。
罗斯的分析是从单因素模型开始的，即有：ri=E(ri)+biF+ei (4.1)
F表示共同因素对期望值的偏差，bi表示厂商i对共同因素的敏感性，ei表示厂商特定因素的扰动。该因素模型表明厂商的实际收益等于其初始期望收益加上一项未
预料的整个经济环境引起的随机变量，再加上另一项由厂商特定事件引起的随机变量。 我们假定，系统F因素测度的是与宏观经济有关的新信息，它具有零期望值。非系统因素eI也具有零期望值，并与F相互独立。根据APT理论，资产组合充分分散，非系统风险会完全分散掉。
29 / 47
假定有一由n种股票按等权重组成的资产组合，每一股票的权重为wi，因此有∑
wi =1，则该资产组合的收益率
为:rP=E(rP)+bPF+eP (4.2) 这里，式中的bP是n种股票的bi的加权平均值，有bP=∑wibI；式中的eP是n种股票与F无关的ei的加权平均值，有eP =∑wiei。这一投资组合的方差分为系统的和
非系统的两部分，有σ2P = b2Pσ2F+σ2(eP) (4.3)
关注非系统部分：σ2（eP）=σ2（∑wiei）= ∑wi 2σ2 (ei)
若该组合为等权重，wi=1/n σ
2
(eP ,wi=1/n)=∑(1/n)2σ2(ei ) =1/n∑[σ2(ei )/n]=1/nσ2(ei )
2
当n足够大的时候，我们有理由相信：σ(eP) ≈0，非系统风险是能够分散掉的 随着n增大而非系统风险趋于零的各种资产
组合不仅仅包含等权重的资产组合，还有其他形 式。任何能满足随n增大每个wi均稳定的减小
（特别的，随n增大每个wi ²趋于零）的投资组
合都讲满足该组合的非系统风险随着n增大而趋于零。这样，随着投资分散化程度的加强，资产组合 βpRM
的方差将接近于系统方差。
(右图：等权重资产组合方差的分解图） 充分分散化的投资组合成立的条件：
按比例wi分散于足够大数量的证券中，而每种成分又足以小到使非系统风险可以忽略。
σ2P = bP2σ2F，σP = bPσF (4.3) rp=E( rp)+ bpF (4.4)
我们一般认为基金是可以做到这点的，因此基金有充分分散的优点。
充分分散化的几何表达：图中的实线显示在不同的系统风险下，一个bA=1 的充分分散化资产组合A的收益情况。资产组合A的期望收益是10%。 由于bA=1，因此资产组合的收益为E(rA)+bAF=10%+1.0×F
如果系统因素F为3%，那么，资产 组合的收益就为10%+3%=13%；如 果系统因素F为-3%，那么，资产组合的收益就为10%-3%=7%。
图上还有一条虚线，它代表另一充分分散化资产组合B的收益。我们假定其收益的期望值为8%，且bB也等于1。
那么，A和B是否可以在图中的条件下共存呢？
显然不行。因为不论系统因素为多大（二者的bPσF相等），A大于B都会导致套利机会的出现。所有的投资者都会愿意买入资产组合A，同时卖空资产组合B，无论系统因素为多大，都可以获得2%的套利毛利润。
30 / 47
如果投资者的套利规模为1000万，套利的毛利润就是20万，还没有风险。在套利活动的作用下，两个资产组合的收益差会逐渐消失，相同贝塔值的充分分散化的资产组合的均衡收益是唯一的。一旦不再唯一，就有套利的机会，而套利会使收益差消除。
不同贝塔值的风险溢价与贝塔成比例
假设无风险利率为4%，另一个充分分散化的投资组合C（b为0.5）的收益为6%。现在再考虑一个新的投资组合D，它有资产组合A和无风险资产各占一般组成。新组合的b为0.5，其收益为7%，D与C具有相同的b值。而b值是对系统风险的敏感度，在充分分散的条件下，只有系统风险，因此b值反应了风险问题。在风险一定的条件下，收益不一致，因此存在套利机会。而套利使得每一个b值对应唯一的期望收益。 因此，所有贝塔值不同的资产组合的收益都会在同一条斜线上，一旦出现不在一条线的情况，实际就等于有相同的贝塔值，但期望收益不同，这当然会导致套利。 风险溢价与贝塔（ b值）成比例：
我们通过图，还可以看出，风险溢价，由竖向箭线表示，它由无风险利率与该资产组
合的收益之间的距离表示。风险溢价在b值为零时也为零，并直接与b值成比例关系。 套利定价与CAPM理论
假定市场资产组合是一个充分分散化的资产组合，由于风险溢价与贝塔值成比例，所以，其期望收益等于无风险收益加上其风险溢价水平。其
一般形式为E(rp)=rf+[E(rM)-rf]bP
这就是CAPM模型的一个表达式。这就是说，在套利机制充分作用下，当市场无套利机会时，即便没有CAPM的严格假设，风险溢价与贝塔值的关系和CAPM模型中的关系是基本一致
的。显然，套利定价理论为利用指数模型提供了理论上的依据。
第二节 市场的有效性
一、 巴契里耶(Bachelier)1900年提出博士论文《投机理论》，对股价的变化规律作了最早的探索。运用多种数学方法论证股价变化无法预测。
他认为在某个特定时点的每个成交价都反映了买方与卖方不同的观点，买方认为价格会涨，卖方认为价格会跌。然而，买卖双方都没有价格信息的优势，他们的输赢概率各为50%，“其数学期望值等于零”。只有市场基于某些理由不再认同原先的价格，价格才会发生变动。但是没有人知道市场何时会变，会朝什么方向变化。因此市场永远存在着50%的上涨概率，50%的下跌概率。
①率先将概率论引入股票收益的预测，发展出随机过程的概念。他的关于股价的变动和时间关系的论断非常类似于描述分子在空间中随机运动的布朗运动理论，即随机漫步(random walk)理论，他的这一推论被认为是他的最重要的理论贡献。
31 / 47
价格波动的幅度与时间区间长短的平方根成比例关系。美国学者伯恩斯坦用美国60年股价数据证明了这个论点。60年中，股价月波幅为5.9%，年均波幅为20%，是月波幅的3.5倍。而12的平方根为3.46。
dWdt
②他的关于股价不能预测，市场已经反映过去、现在和未来各种事件的观点与有效市场理论有许多暗合。
二、 有效市场理论的实证检验
采用当前美国学术界检测时间序列是否符合随机游走模型的一种常用的方法——Dickey & Fuller检验来进行实证研究，同时用游程检验法做一次对比。
选用沪深共75只股票和4只股票指数从1994年至1998年3月的每日收盘价做为样本。（沪39只，深36只）
随机游走：Yt=Yt-1+μt
我们做回归：Yt=ρYt-1+μt (1)
如果发现ρ＝1，则我们说随机变量有一个单位根。
在经济学中一个有单位根的时间序列叫做随机游走（random walk）。
随机游走的表达式：Yt=ρYt-1+μt (1) 等价于： Yt -Yt-1 =ρYt-1 -Yt-1 +μt 等价于： Yt -Yt-1 =（ρ-1)Yt-1 +μt 等价于：△Yt=δYt-1+μt (2) “有单位根”＝“ρ=1”＝“δ=0”
三、 白噪声序列（white noise）
如果随机序列ut是遵从零均值、同方差、无自相关，则称之为白噪声序列
均值：E(ut ) = 0 方差：var(ut ) = σ2 协方差：E[(ui -0) (uj -0) ]=0 (i与j不相等)
八、 几种随机游走过程
1.纯随机游走：Yt=Yt-1+μt 2.带漂移的随机游走：Yt=α＋Yt-1+μt 带趋势的随机游走：Yt=α+βt+Yt-1+μt 其中μt 是白噪声序列。
最终结论：深市36只股票97%以上符合随机游走模型。深圳股市已经达到弱有效。用“D & F检验”，沪市39只股票有50%的股票不符合随机游走模型。 而在采用游程检验的结果中只有5只股票不符合随机游走模型，通过率达到87%。我们取游程检验的结论：上海股市已经达到弱有效。比较沪深两市，深圳的检验结果始终优于上海。 总体结论：中国股市总体已达到弱有效 影响非常规收益的因素
P/E效应 在实证研究中，巴苏1983年发现具有低市盈率P/E的资产组合会比有高市盈率的资产组合具有更高的利润。由于市盈率的计算很简单，如果说，市盈率与股票收益有稳定的相关关系的话，低市盈率的股票能够获得超额收益，这显然不符合股价是随机游走的（收益是未知的），是对有效市场理论的一个挑战。
一般学者的解释是，不能如此简单地就否定有效市场理论。之所以出现这种情况，应归咎于在检验时没有进行适当的风险调整。
风险较高的股票一般会以较低的价格及较低的市盈率出售；由于该股票具有较高的风险，这一低市盈率的股票所以具有较高的期望收益。低市盈率的股票在具有较高的期望收益的同时也伴随着高风险。如果按照酬报与波动性比率来计算的话，低市盈率的股票是没有超额收益的。因此也是符合随机游走的。
32 / 47
第五章 债券投资的理论
一般债券我们有这样的定价公式：Pci i(1r)i1in 债券一般每期支付的利息是固定的，因此，Ci不是我们的难点。而ri指的是未来
各期限的市场利率，由于是未来的因此具有不确定性。我们总是希望从现在的市场情况来了解或者说是预测未来各期限的利率情况。这是我们研究的难点问题。因此债券的探讨变为利率的探讨。 两种债券的提出：
附息债券，指债券表面上附有各期期限息票的债券。息票上注明利息金额、到期日和债券的代码。到期时，债券持有人可以拿息票要求发行人兑付。当前的证券已经无纸化。附息债券指的是本金到期偿还，利息分期偿还的一种债券。它反映了利息的时间价值，因此称为复利债券。
PcFcFcFcFcFF ...23n1n(1r1)(1r2)(1r3)(1rn1)(1rn) 这是以一种附息债券的价格确定形式，Ｐ为债券当前的价格，c为债券的票面利
率,F为债券面额,ri为未来每期限的市场利率，n为期限． 市场上的绝大多数债券是以这种方式发行的.
零息债券：零息债券（Zero Coupon Bonds）是债券发行人在债券期限内不支付任何利息，至到期兑付日按债券面值进行偿付的债券 。
贴水发行的折现债券有两种，分别为贴现债券和零息债券（Zero Coupon Bonds）。
贴现债券是期限比较短的折现债券。在国外，如：短期国库券（Treasury Bills）和商业票据（commercial paper ）,我国的央行票据和短期融资券，都是贴现债券。零息债券的期限普遍较长，最多可到20年。它以低于面值的贴水方式发行，投资者在债券到期日可按债券的面值得到偿付。例如：一种20年期限的债券，其面值为20000美元，而它发行时的价格很可能只有6000美元。中国进出口银行于2002年6月27日在银行间债券市场发行的100亿金融债券“02进出04”就是真正意义的零息债券。 目前，在我国的债券市场中，还有将利随本清债券（即一次还本付息债券）视为“零息债券”的情况。因此我们认为有必要厘清这两个概念。
零息债券各期限品种的滚动发行对一国建立零息债券收益率曲线有着深远的意义。我们可以选择已有的零息债券作为样本，根据需要按照一些算法拟合出中国零息债券市场的零息债券收益率曲线 。
零息债券的定价公式：PF n(1rn) Ｐ为债券当前的价格，F为债券面额,ri为到期时的市场利率，n为期限。
如果我们知道市场上有一年、两年„N年的零息债券，我们就可以相应的得到一年、两年„N年的零息债券的收益率，我们把这些得到的收益率画在以时间为横轴、以收益率为纵轴的平面中，就得到了零息债券收益率曲线。 建立零息债券收益率曲线的意义：
33 / 47
1、零息债券收益率曲线对于建立良好的债券价格评估体系也会产生重要的影响，从反映市场情况的角度衡量，通过零息债券反映出来的市场情况最具有客观性的。 2、零息债券的持续期（久期）在相同期限的债券中最长，对利率的变化也最为敏感。
3、而且零息债券的折扣额相当大，即它的杠杆作用相当明显，也就是说零息债券的持有人以较少的资金投入，最后可以获得较多的回报。
4、零息债券的收益率曲线描述的是由投资期限的不同而造成的债券到期收益率的变化。通过零息债券的收益情况，投资者可以清楚地了解市场，及时根据市场调节自己的投资策略。
5、零息债券收益率曲线也可以作为政府部门把握债券市场情况的参考和制定宏观调控决策的基础。
总之，零息债券收益率曲线对于一个市场的规范化和走向成熟具有相当重要的意义。 零息债券和附息债券的统一：
附息债券的定价公式中，唯一难确定的就是每期的市场利率。
视角的转换：从上面二者定价公式我们可以看出，附息债券的价格是由一系列现金流的现值之和来确定的，而零息债券的价格是由单一的现金流现值来确定的。因此附息债券的价格我们可以看作由一系列的零息债券组合而成。也就是说附息债券的价格等于具有相同结构的一系列零息债券的价格之和。
一张每年付息一次的5年期附息债券的价格就等于5张与此附息债券息票及面额支付具有一样期限结构的零息债券的价格。
附一
在金融领域有新发现就有新的交易方式和证券的出现。
美国财政部自1985年起发行把中长期国债拆分得到的STRIPS（Separate Trading of Registered Interest and Principal of Securities，注册的证券本金和利息的分离交易计划）。一些承销商在大量购入国债的基础上，将国债本息剥离，将每一次的现金流变成零息债券，分别卖给需要的投资者。出售给投资者的证券称为本息分离国债收据（简称国债收据）。国债收据一方面有利于销售，另一方面有利于发现基准收益率 。
附二
何谓国债收据？其具体运作思路是这样的：证券公司先购买中长期附息国债，然后把它储蓄在一个银行的监管帐户上。在此基础上证券公司发行国债收据，这种收据把监管帐户上国债的每一息票支付的所有权和国债到期值的所有权分别区分开来。国债收据的实质是依据原附息国债的每期息票收入和到期值发行的零息债券，其发行价格分别为这些未来收入流依一定利率（一般为国债的市场利率）折算出来的现值，到期日为原始国债的付息日。
求解附息债券定价公式中每期的市场利率，就归结到了求解一系列零息债券中到期时的市场利率，如果市场上有众多各种期限的零息债券，那么每种零息债券的到期时的市场利率是很容易找到的。从而可以作为主要参考了解附息债券定价公式中每期的市场利率。
我们把零息债券中到期时的市场利率可以视作为零息债券的到期收益率。
到期收益率(yield to mature)提出的意义：由于各种债务工具由不同的计息方法，同时债务工具的利率和价差也不同，为了便于比较，需要一个统一的精确衡量利息的指标，这个指标就是到期收益率。
例如：你现在有10000元，闲置期是两年 A、银行的两年期存款利率为5.24%
B、市场上5年期国债的价格是1020，票面利率为4.67%，持有两年后预测价格是1037
C、一种基金现在的购买价格为1.092，预期年回报率为5.13%,采用复利记息
34 / 47
到期收益率指从债务工具获得回报（现金流）的现值与其今天的价值相等的唯一利率。
这是以一种附息债券为例，Ｐ为债券当前的价格，c为债券的票面利率,F为债券面额,y为到期收益率，n为期限．到期收益率是我们在投资选择时，比较衡量投资收益的标准。 PcFcFcFcFcFF ...23n1n(1r1)(1r2)(1r3)(1rn1)(1rn) 例子，一种面值为100元的3年期债券，每年支付一次利息，利率为4%，债券价
格为99.36元，计算该债券的到期收益率？
P4410499.36 到期收益率为y=4.2３% 23(1y)(1y)(1y) 插值法：先把4%为拟值，带入方程，得到一个价格99.999，说明4%选取的低了，在把5%带入方程，得到的价格为97.2766，因此推断到期收益率在4%与5%之间，我们可以构建一个等式 ：
0.4-0.599.99999.36
0.4-X99.99997.2766 某债券面额为１０００元，距到期日为３年，年利率为１０％，每年支付一次利
息，现在市场价格为９００元，计算到期收益率：
先用１４％作为拟值带入方程，得到价格为９０７．１３元，再选用１５％得到８８５.８４，建立方程：
0.14X907.13900 y=１4. ３４%
0.150.14885.84907.13收益率曲线(yield curve) :不同到期时间债券的到期收益与到期时间的关系的曲线。 利率结构：利率结构包括利率的风险结构和利率的期限结构
一、利率的风险结构
利率的风险结构是指期限相同的各种信用工具利率之间的关系。 主要由信用工具的违约风险、流动性以及税收等因素决定。
二、利率的期限结构：利
率的期限结构是指同一信用级别或同一种的信用工具，利率与期限之间的变化关系。
利率期限结构两个现象：一是各种期限的利率的变化往往是同向波动级别 一年期利率 AAA 2.37 AA 2.56 3 3.52 A 2.87 BBB BB 3.12 3.58 B 3.98 CCC 4.55 CC 5.23 C 6.83 年限 AAA 1 2.37 5 4.55 35 / 47 10 7.46 30 18.88
的；二是长期利率往往高于短期利率。 西方经济学三种主要理论解释这两种现象
（一）预期理论（强调替代,人们的投资在期限上没有偏好，直接投资两年和投资一年，以后再投资一年是一样的，在投资期限上是可以相互替代的）
预期理论假设人们对市场的未来预期到达公识，同时未来的预期和未来的实际情况是相接近的，那么我们有理由相信，现在两年期的利率反映了人们的预期，也反映了第二年利率的实际情况，因此投资于债务工具期限没有偏好，只要投资时间长度相等，是没有区别的．
结论：同一类型证券在期限上是统一的，不同期限证券之间具有完全的替代性。
按照这种理论长期利率是该期间内短期利率的平均数,因此长短期限的利率是同向起伏。 假定某一投资者有一笔两年期的闲置资金，它可以有两种投资选择：现在购买一年期债券，到期后用本息再购买一年期的债券；也可以现在就购买两年期债券。若一年期利率为Rt ；则两年期的利率为 R2t，预计一年后的一年期利率为 Rt+1 。前一种投资的收益率为(1+Rt) (1+Rt+1)-1;后一种投资的收益率为: (1R2r)21 。
由于投资者对期限没有特殊偏好，所以，在均衡的情况下，这两种投资的预期收
2益率应该相等：（1R2t）-1（1Rt)(1Rt1)-1 由上式可以得到：2R2tR2tRtRt1Rt*Rt1 R2t2RtRt1 2 不难看出，两年期的债券利率等于当前的一年期利率和预期一年后一年期债券利率的平均数。预期理论的基本结论是：长期利率是短期利率的函数。
预期理论的政策涵义是：货币管理当局除非影响预期，否则它不能影响利率的期限结构。如果中央银行想改变长期利率水平，那么，中央银行只需改变短期债券供给，而不需要改变长期债券供给。
（四）、久期(duration)概念的提出
一家银行发放一笔1000元的一年期的贷款，贷款利率为12%，年初发放，要求在6月底偿还一半本金，另外在年底偿还剩余的部分本金，利息也是每6月支付一次。银行得到的现金流分布如下：
CF1/2 =560 CF1 =530 0 0.5 1
两笔现金流对于银行来说，虽然在价值上相差不大，但因为货币的时间价值，二者对于银行来说是具有不一样的价值。我们需要比较这两笔现金流的大小，比较的方式是把两笔现金流折成现值，然后比较：
36 / 47
CF1/2 =560， PV1/2= 560/（1+0.06）=528.3 CF1=530， PV1= 530/（1+0.06）2 = 471.7 CF1/2+CF1=1090， PV1/2 + PV1 =1000
进一步确定每笔现金流的现值在总现金流现值的比重。
W1/2 = PV1/2 /（PV1/2 + PV1 ）= 52.83% W1 = PV1/（PV1/2 + PV1 ）= 47.17%
我们以W1/2、 W1为权重，来计算债券偿还的加权平均期限，得到的就是久期： D= W1/2 *1/2+ W1/2 *1=0.7359
久期的正式公式 ：wt=[CFt/(1+y)t ]/Σ [CFt/(1+y)t ] D=Σt×wt 我们统一的方便，这里的y是到期收益率
1) 提出久期的意义
1、它是对资产（资产组合）实际平均期限的一种简单的概率统计。是一种加权平均期限，权重为现金流的现值比重。
2、久期是资产组合的利率敏感性的测度。
Pc3cn1cnFc1c2 ...(1r1)(1r2)2(1r3)3(1rn1)n1(1rn)n 对于一般的有价证券我们有这样的等式。有价证券之所以有价是因为它们可以在未来带来一定的现金流，我们利用一定的折现率把它们折成现值，就得到了有价证券的价格。如果各期的现金流是固定的，这种等式指的是附息债券的定价公式。 此公式对于附息债券各个关系人来说都是有用处（发行人、投资者和一些专业的债券经营者）。
它的应用一般是发行时，由发行人确定发行价格的。但要知道发行价格，必须知道每期的折现率，而折现率的取得一般是通过市场上的零息曲线取得的。政府为了市场的构建连续性的发放各期零息国债.政府一般会根据自己发行的各期零息国债的收益率来绘制零息曲线。发行人只需要在同期限零息国债收益率的基础上加上合适的信用价差。
零息国债的收益率相当于我们介绍的资产定价公式中的无风险利率。信用价差相当于我们介绍的资产定价公式中的风险溢价。它的取得一般是一些评级机构提供的。因此债券发行时一定要进行信用评级。
这个公式对于投资者来说，P是已知的，而债券的票面利率一般也可知道.为了与其他投资品比较，引入了到期收益率（YTM），我们可以把到期收益率看做持有期间的平均收益率。它的取得，我们可以通过计算机来求解。因此我们有了个公式：P=f(y)
37 / 47
对于债券的经营者来说，利率是经常变动的，总是希望知道利率的变化对债券价格的影响．如果债券每期支付的利息一样的话我们有
PcccccF
...n1(1y)1(1y)2(1y)3（1y）(1y)n 对上式求P对y的导数：
dP(1)c(2)c(n1)c(n)(cF) ...dy(1y)2(1y)3(1y)n(1y)n1 或者：
dP11c2c(n1)cn(cF) ...12n1ndy1y(1y)(1y)(1y)(1y)久期的另一个用处：利率风险规避的
工具
我们持有一种债券，必然遭受利率风险，我们希望规避风险．套期保值，通过一些衍生品来规避．但我们需要知道购买衍生品的数量．下面等式的变量都为利率的函数．
W=B1+wB2 B1为单位债券价格，B2为单位衍生品价格，w为规避单位债券风险需要的衍生品数量，W为资产组合。 风险为零的条件，一阶导数为０，我们有
B1*MD(B1)B11B2B1(r)wB21(r)0 W1(r)B11(r)wB21(r)0 w B1B2B2*MD(B2)f2(y)f1(x)f1(x0)2CX的近似表达：CX 由于：f(x)Lim
Pxx0P(yBP)P(Y)P(ybP)P(Y) CX108PP
久期的性质：零息票债券的久期等于它的到久期期时间；当债券的到期日不变时，
债券的久期随着息票利率的降低而延长；当息票利率不变时，债券的久期通常随债券到期时间的增长而增长；其他因素不变，债券的到期收益率较低时，息票债券的久期较长。 久期示意图（右图）
2）常用久期的计算公式 无限期限债券的久期计算：(1+y)/y
当收益率为10%时，每年支付100元的无限期限债券的久期等于1.10/0.10=11年。 如果收益率为4%，久期就为1.04/0.04=26年
稳定年金的久期计算 ：[(1+y)/y]- T/[(1+y)T- 1] 这里，T为支付的次数，y是每个支付期的年金收益率。 例如，收益率为4%的10年期年金的久期为：
(1.04/0.04)-[10/(1.04 10-1)]=26-[10/0.48]=26-20.83=5.17 年。 息票式债券的久期计算 ：[(1+y)/y]-[(1+y)+T(c-y)]/{c[(1+y)T-1]+y} C=息票利率，T=支付次数，y=债券收益。
38 / 47
例如，C=4%,T=40,20年期债券有40支付期，y=2.5%，那么债券的久期应该为 (1.025/0.025)-[1.025+40(0.02-0.025)]/[0.02(1.02540-1)+0.025]=26.94半年=13.410 年
由于息票式债券是以面额出售，因此息票式债券的久期简化计算：[(1+y)/y][1-1/(1+y)T]
假定T=40,C=4%，每半年付一次利息，该债券的久期为 [(1+0.025)/0.025][1-1/(1+y)T]=25.73半年=12.87年。
息票式债券的久期(债券的到期收益率均为8%，每半年支付一次利息)
案例：假定一保险公司发行1万元投资保单，期限5年，利率8%，每年计息一次，利息再投资，到期一次还本付息，到期需支付本息额为14693.28元。保险公司为确保到期有足够的收入支付本息，将保单收入投资于面值为10000元、期限为6年、年息为8%的息票式债券。如果未来5年，利率始终为8%，保险公司将每年获得的利息再投资于该债券，它的债券投资5年可恰好获得本息14693.28元。 支付的次再投资时间 累计收益 支付的次序 再投资时间 累计收益 序 1 2 3 加总 4 3 2 1088.39 1007.77 933.12 4 5 出售债券 1 0 0 865.00 800.00 10000.00 14693.28 如果保险公司投资债券后的各年利率或7%，或9%，5年后情况为 （利率为7%） 支付的次序 1 2 3 加总 （利率为9%） 支付的次序 1 2 3 加总 再投资时间 累计收益 支付的次序 再投资时间 累计收益 再投资时间 累计收益 支付的次序 再投资时间 累计收益 4 3 2 1048.64 980.03 915.92 4 5 出售债券 1 0 0 865.00 800.00 10093.46 14694.05 4 3 2 1129.27 1036.02 950.48 4 5 出售债券 1 0 0 872.00 800.00 9908.26 14696.26 从表中我们可以看到，如果利率发生了变化，投资的最终收益会受影响： 39 / 47
这一影响来自两个方面：如果是利率下降，利息再投资的收益减少，但证券的出售价格会上升；如果是利率上升，利息再投资的收益会增加，但证券的出售价格会减少。
当利率降为7%时，利息再投资的收益一共减少了92.69元(4693.28-4600.59=92.69)，但债券价格增加了93.46元，两相抵消，总收益还稍有增加了0.77。
当利率升为9%时，利息再投资的收益增加了94.48元(4787.76-4693.28=94.48)，债券价格减少了91.74元，两相抵消，总收益仍然增加了2.74元。
这家保险公司的这项资产和负债是免疫，也就是利率无论如何变动，在未来资产有能力偿还负债。
原因的寻找：资产和负债的久期是匹配的。
保单相当于零息债券，久期是5年，而购买的债券久期也是5年，[(1+y)/y][1-1/(1+y)T]=5
如果保险公司选择合适久期的投资，就可以在方向不定的利率波动时确保足够的支付。
如果利率为8%，保险公司的保单的价格为10000元，购买的债券价格也是10000元；如果利率降为7%，保单的现值为10476.11元(14693.28/1.075=10476.11)，债券组合的现值为10476.65元(6次800元利息的现值再加上6年后10000元本金的现值)；如果利率降为9%，保单的现值为9549.62元，债券组合的现值为9551.41元。
从现值的比较可以看出，无论利率是下降还是上升，债券的现值都比保单的现值略高，都足以满足支付的要求。它进一步说明了进行久期匹配策略，可以确保资产与负债对于利率波动的反应是相等的。
金融机构总是持有一定的资产和负债，而且负债与资产总是在不断变化中的，同时市场利率也在不断变化，因此在管理过程中必须要注意资产的选择，做到未来资产的价值可以足额的偿付负债。方法的选择：资产和负债的久期相近，久期反应的是资产或者负债对利率的敏感性。
注意观察，当利率变为7%和9%的时候，累积收益和利率为8%的累积收益有一点差额。这个差额的发生是由于期限的久期有微小的变化。当债券的到期收益率为8%时久期为5年，但是，当利率为7%时，久期为5.10年，当利率为9%时，久期则为4.89年。因此要不断调整资产组合，以实现其久期与债务久期的再平衡。
例如，保险公司有一期限7年10000元的负债，到期一次还本付息19487元。它通过持有3年期零息票债券和年付息一次的永久债券进行利率免疫。永久债券的收益率等于该保险公司负债的利率
永久年金利率为10%，其久期为11年(1.10%/0.10=11)，零息票债券的久期是3年。
资产组合的久期等于资产组合各部分资产的久期的加权平均值，为了达到所希望的久期为7年的资产组合，必须决定零息票债券和永久债券的比重。
即有w3年+(1-w)11年=7年，w=1/2。即保险公司应将5000元购买零息票债券，5000元购买永久年金。
1年后即使利率没有变化，还需要再调整组合的比重：有w2+(1-w)11=6，有w=5/9。
留存增长模型：g = ROE × 留存比例 = ROE × (1−股利派发比例）
40 / 47
第一章
一、考虑一资产组合，其预期收益为12%，标准差为18%。国库券的无风险收益为7%，要使投资者与国库券相比更偏好风险资产组合，则最小的风险厌恶水平为多少？
二、根据历史资料标准普尔500指数的资产组合的平均年收益率在过去七十年大约比国库券高8.5%，标准普尔500指数的标准差约为20%/年。假定用这些数值表示投资者的未来业绩的预期，当期国库券的收益率为5%。 A、计算按下列比例投资于国库券和标准普尔500指数的资产组合的要求收益和标准差。
B、计算每一种投资比率对A=300、500的投资者而言的效用水平。投资者可以得到什么结论。
三、 A公司的股票价格对于糖的生产是敏感的，或许我们可以认为是一家糖果厂商。而另一家公司也与糖的生产有关系。两家公司的收益分布如下：
糖的正常年份 异常年份 股市的牛市 股市的熊市 糖危机
概率 0.5 0.3 0.2 A收益率 25% 10% -25% B收益率 1 % -5 % 35 %
当国库券的收益率为5%时，全部投资于A公司的收益和标准差是多少，一半投资于A公司，一半投资于国库券的组合收益和标准差是多少，一半投资于A公司，一半投资于B公司的收益和标准差是多少？A与B的协方差是多少？
第二章
一位养老基金的经理正在考虑三种共同基金。三种基金的的特征如下：基金相关系数都为0.1
名称 股票基金 债券基金 期望收益（%） 标准（%） 20 12 30 15 0 41 / 47
W国库券 W指数 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 货币市场基金 8 1、两种风险资产的最小方差资产组合的投资比率为多少？这种资产组合回
报率的期望值和标准差呢？ 2、制表并画出这两种风险基金的投资机会集合，股票基金的投资比例从0%
到1，按照20%的幅度增长。 3、从无风险回报率到机会集合曲线画一条切线，计算出最优风险资产组合
下每种资产的比例以及期望收益和标准差。
4、最优资本配置线下的最优报酬与波动比率是多少？
5、假设投资者对他的资产组合的期望收益是14%，并且在最佳可行方案上是有效的。 A、投资者资产组合的标准差是多少。
B、投资者在货币市场工具上以及其他两种风险资产上的投资比率各是多少？
6、如果投资者只用两种风险基金进行投资并且要求14%的收益率，那么投
资者资产组合中的投资比率怎么样安排？把现在的标准差和例题6进行比较，得到什么结论？
第三章
一、一证券的市场价格为50美圆，期望收益为14%，并且全部发放股利，无风险利率为6%，市场风险溢价为8.5%。如果这一证券与市场资产组合的协方差加倍（其他变量不变），该证券的市场价格是多少？假定该证券预期会永远支付一固定红利。
价格=红利/折现率
下表给出了一证券分析家预期的两个特定市场收益情况下的 两只股票的收益。（%）
1、两只股票的贝塔值是多少？
2、如果市场收益为5%和25%的可能性相同，这两只股票的期望收益率为多少？
42 / 47
市场收益 激进型股票 保守型股票 5 25 -2 38 6 12 3、如果国库券利率为6%，市场收益为5%和25%的可能性相同，画出这个经济体系的证券市场线。
贝塔值是股票的收益对市场收益的敏感程度,即代表着市场收益每变化一个单位股票收益的相应变化,因此我们有 贝塔值=dri/drm
三、某资产组合管理机构分析了60种股票，并以这60种股票建立了一个均方差有效资产组合。
A、利用资本资产定价模型优化资产组合，需要估计的期望收益、方差和协方差是多少？ ，{（N² +3N ） /2}+1=1225
B、如果可以认为股票市场的收益十分吻合一种单指数模型，那么需要多少个估计值。 3n+2
四、下面是上题资产组合中的两种股票的估计值： 股票 期望收益（%） 贝塔值 特定企业标准差（%） A B 13 18 0.8 1.2 30 40 A、市场指数的标准差为22%，无风险收益为8%，计算股票A、B的标准差？ B、假设按比例建立一个资产组合：A占30%，B占45%，国库券占25%，计算资产组合的期望收益、标准差、贝塔值和非系统风险。
五、在一个只有两种股票的资本市场上，股票A的资本是股票B 的两倍。A的超额收益的标准差为30%，B 的超额收益标准差为50%，两者的超额收益的相关系数是0.7。
A、市场指数资产组合的标准差是多少？ B、每只股票的贝塔值是多少？
Cov (ra, rm) = Cov (ra, ∑wiri) = ∑wi Cov(ra, ri) C、每种股票的残差为多少？
D、如果指数模型不变，股票A预期收益超过无风险收益率为11%，市场组合的风险溢价是多少？
43 / 47
第四章
一、假定F1与F2为两个独立的经济因素。无风险利率为6%，并且所有的股票都有独立的的企业特有（风险）因素，其标准差为45%，下面是优化的资产组合。
资产组合 A B F1的贝塔值 1.5 2.2 F2贝塔值 2 -0.2 期望收益 31 27 在这个经济体系中，试进行期望收益-贝塔的相关性分析。 依据的公式： E(rp)=rf+[E(rM1)-rf]bP1 +[E(rM2)-rf]bP2
二、考虑下面的单因素经济体系的资料，所有资产组合均已充分分散化。 资产组合 A F E 期望收益 12 6 8 贝塔 1.2 0 0.6 在这些组合中是否存在套利机会？ 三、 假定证券收益由单指数模型确定：
其中RI证券i的超额收益，而RM是市场超额收益，无风险利率为2%，假定有三种证券A、B、C，其特性的数据如下：
证券 贝塔 期望收益 特定因素标准差 A B C 0.8 10 1 12 25 10 20 44 / 47
1.2 14 A、如果市场风险的标准差为20%，计算各证券的标准差。 B、现假定拥有无限资产，分别与A、B、C有相同的收益特征，在这个市场上有无套利机会？
四、假定市场可以用下面的三种系统风险及相应的风险溢价进行描述： 要素 工业生产I 利率R 消费者信心C 风险溢价 6 2 4 特定股票的收益率可以用下面的方程来确定：
r=15%+1.0I+0.5R+0.75C+e
使用套利理论确定该股票的均衡收益率。国库券利率为6%，该股票价格是低估还是高估了？
五、在最近的一场官司中，A公司控告B公司侵犯了它的权利。陪审团今天将作出判决，当前A公司的收益率为3.1%，B公司的收益率为2.5，同时市场收益率rm为3%。从线性回归模型的估计得出这两只股票的期望收益与市场收益的关系如下：
ra=0.2%+1.4rm rb=-0.1%+0.6rm
根据这些资料，在有效市场环境中，投资者认为那家公司赢得了官司。
六、投资者预测来年的市场收益率为12%，国库券的收益率为4%。CFI公司股票的贝塔值为0.5，在外流通股的市价为1亿美圆。
A、假定该股票被公平定价，投资者估计其期望收益率是多少？ B、如果来年的市场收益率确实是10%，投资者估计股票的收益率为多少？
45 / 47
C、假定该公司在这一年里赢得了一场官司，判给它500万美圆，公司在这一年的收益率为10%，投资者原先预期的市场获得了什么样的结果？（继续假定一年中市场收益率为10%）官司是该唯一公司不确定的因素。 E(rp)=rf+[E(rM)-rf]bP
第五章
一、填表，以下是零息债券，票面面额1000美圆。 发行价格 到期期限 年到期收益率 400 500 500 20 20 10 10 10 10 8 二、一种债券，年息票率为10%，面额1000元，半年付息。市场利率为每年8%，债券距离到期有三年。
1、计算债券当前价格和半年后价格。
2、此债券六个月后按上步的价格出售，持有期收益率是多少？ 3、一个有严重财务危机的企业发行的10年期债券，息票利率为14%，售价为900元。这个企业正在和债务人协商，看债务人是否同意企业将利息支付减至合同金额的一半，这样企业就可以降低利息支付。则这种债券的原定的和预期的到期收益率各是多少？每年付息一次。
三、下表是期限不同的一组零息债券的价格表： 期限/年 1 2 3 每1000美圆面值的债券价格 943.40 873.52 816.37 46 / 47
A、面值1000美圆债券的息票利率为8.5%，为期三年，每年付息，该债券的到期收益率是多少？
B、如果第一年末收益率曲线在8%变动水平，则该附息债券持有一年的持有期收益率为多少。
四、假定一年期零息债券的到期收益率为5%，两年期零息债券的到期收益率为6%。两年期附息债券的息票率为12%（每年支付），两年期的到期收益率为5.8%。投资银行是否有套利机会？如有，该套利行为的利润是多少？
五、一种到期收益率为10%的9年期债券，久期为7.194年。如果市场收益率改变50个基点，债券价格改变的百分比是多少？
六、期限为12.75年的零息债券按到期收益率8%出售，凸性为150.3，修整久期为11.81年，30年、息票率为6%的附息债券，每年付息，也按8%的到期收益率的价格出售，近似的久期为11.79年，凸性为231.2。
A、假定两种债券准确的到期收益率上升为9%，两种债券的实际资本损失的百分比是 多少？根据久期-凸性法则估计的资本损失是多少？
B、假定到期收益率为7%的情况呢？
七、我的养老基金计划将在10年内每年支付给我10000美圆，第一笔支付将在第5年开始支付，养老基金想将其头寸免疫。
A、它对我的债务的久期是多少，当前的市场利率为每年10%。 B、如果养老基金用5年期的零息债券和20年期的零息债券来构建免疫头寸，比例是多少？两种债券的面额是多少？
47 / 47
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容