2021、2022全国甲卷与1、2卷真题 含答案

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合e7e84fa390f8ce7edad1b9b89e068fef.png，则425456a449c51f1e58a7e788fe6daf8e.png（       ）

A．ce1daa4d0cc8a79be5bc51411b612e39.png B．cc29c99b181c9c02b089ebd883446a8a.png

C．6548def69241a96879a03d592a1b093b.png D．6e1a797932b0b9f4e57e59fc76f41acd.png

【答案】B

【解析】

【分析】

根据交集定义运算即可

【详解】

因为bc6417f645d7ec960846ebddbb29ad84.png，所以2cec7211b43e60e0796183b4db28e0f6.png,

故选：B.

【点睛】

本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.

2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（       ）

A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

【答案】C

【解析】

【分析】

根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.

【详解】

因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为5733b8b1045a4ee634243f3682603db5.png,故A正确；

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为42ebce04b5108052d6b5923ad2cfd674.png,故B正确；

该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为4fd925aca55a5c7e45a9b9f12154447c.png,故D正确；

该地农户家庭年收入的平均值的估计值为e45371da0a9c79fc5a67caf2d8f1e4a7.png(万元)，超过6.5万元，故C错误.

综上，给出结论中不正确的是C.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于9a6f80b42d0c8e1a19319c5f4187bba6.png.

3．已知ee1ef3ddc6862d5703888d8b30ce51b0.png，则d0d97045f74bde2959afeb0472e61599.png（       ）

A．4cdfea8bf37b72904326552eb6944265.png B．e8dbc8da4ff4498764a876e007393584.png C．667ad05da5d58dda10f940c152404782.png D．e240bc1d45df154133ff0a2a030eb9e9.png

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知得d98c2f394658bd350510ef9bc6b563ee.png，根据复数除法运算法则，即可求解.

【详解】

fea21161d18648782d0b13b3335761bf.png，

8ec542cabfbf59472aabcd9145033721.png.

故选：B.

4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足68f2e45045c4295981345ff445ab5b25.png．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（       ）（7c4db4e9d0b52e2933ee1037b146dd3b.png）

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

【答案】C

【解析】

【分析】

根据634422a23498448268f9e825f60c9055.png关系，当2258493f1d262f74491b8649420d2674.png时，求出0f549b5a65a000b553454615085d8aa7.png，再用指数表示5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png，即可求解.

【详解】

由68f2e45045c4295981345ff445ab5b25.png，当2258493f1d262f74491b8649420d2674.png时，60d8e2852397c2b38e9682b00bd4aa6c.png，

则a6b666946882eeea7329762fc3275136.png.

故选：C.

5．已知8b73bdbf452fd7cf6840411396bfb043.png是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且e5b3d47560f54a1250413ece42845ad4.png，则C的离心率为（       ）

A．ed84afdc9c2e631dce6aeeb18586ecaf.png B．efcd8b1462791c4492294887bc1bffdd.png C．1801cfc88edd59ca7296ac197514e703.png D．8932ad6bd279127618cd620c44a8deff.png

【答案】A

【解析】

【分析】

根据双曲线的定义及条件，表示出564040ff8d813a482dcc54dd9c6e4b56.png，结合余弦定理可得答案.

【详解】

因为7e76b99f85225e071daa3c0c99c52a4b.png，由双曲线的定义可得260f65f7a39ae4f16d7847b042c38e42.png，

所以cb3710c0cba47eae42a40422ac12be25.png，a8ed595bb44d5391d8d5c66cad4e7a11.png；

因为d7e600de3ffd96a15bf50ab2ca4d96a7.png,由余弦定理可得5bc7add174e868ccb0a5205cc588070b.png，

整理可得e6fb4d2630be2ffdf2da2b6e85480e11.png，所以bdd653146fca05c79d943724f46bb3a9.png，即cdceade1f5828ce0d933b66b3c894e55.png.

故选：A

【点睛】

关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立f24f071a6ff25db0c9da484cbe06a17a.png间的等量关系是求解的关键.

6．在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥041aeeb786f730da115165368628e6ac.png后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.

【详解】

由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，

所以其侧视图为

故选：D

7．等比数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的公比为q，前n项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，设甲：835372d52cbf3069da974c246201a23d.png，乙：2ad440a86b919293b5b910b0622cd698.png是递增数列，则（       ）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

当835372d52cbf3069da974c246201a23d.png时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当2ad440a86b919293b5b910b0622cd698.png是递增数列时，必有4a4ee0de5251c721707a8e19df8ea17f.png成立即可说明835372d52cbf3069da974c246201a23d.png成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．

【详解】

由题，当数列为635018a70f638c127822506137dadb87.png时，满足835372d52cbf3069da974c246201a23d.png，

但是2ad440a86b919293b5b910b0622cd698.png不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．

若2ad440a86b919293b5b910b0622cd698.png是递增数列，则必有4a4ee0de5251c721707a8e19df8ea17f.png成立，若835372d52cbf3069da974c246201a23d.png不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则835372d52cbf3069da974c246201a23d.png成立，所以甲是乙的必要条件．

故选：B．

【点睛】

在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．

8．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影48cafc3a9ddcc9c341ad7bc297653eb5.png满足1029b12f36584a8ed4f71d1f59f38955.png，a46f7f8d4114d378e6ccfae22cc3a97d.png．由C点测得B点的仰角为ff6737e9445f9160137f5b4f53e7b252.png，bd4abd3d04693c3fa49cac51b0d0bb23.png与a1b20f35d2ada046685177fc923daa60.png的差为100；由B点测得A点的仰角为964b97788c2e29b16b368d95a4b4dbfc.png，则A，C两点到水平面dacf8db76b52a908cf5a8f8b7b4803e8.png的高度差19c8ee404ec55dc47533ab2d2ee37903.png约为（145149bc248a44120546fdf8b8e1dfd6.png）（       ）

A．346 B．373 C．446 D．473

【答案】B

【解析】

【分析】

通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得d20af16987d46c379840a229037deb42.png，进而得到答案．

【详解】

过92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png作dee8f4ef0840658e6568925be9640b41.png，过9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png作9368911b0eba8d14a282ce07015db556.png，

故26a35345cd28be3590d963d05978e6fc.png，

由题，易知45ac548ac874e77a8af206aae3da21b5.png为等腰直角三角形，所以731afe7249c62053aa8a03e29b570f0d.png．

所以2f36209d54dd28568f6ffff9aed5a5d0.png．

因为b3e506854bf545e156db8a1d04dbff93.png，所以5c9ce40c3e150645e7ad595395149e3a.png

在8ce93a4d15068b392d70ace3818cfddb.png中，由正弦定理得：

fd690d0da3779d5021484d5882747d60.png，

而65eb09acfd0f5123ed1bc90919db1aa7.png，

所以4b01e38b7257e21d541c669f58db6c6d.png

所以6e58e0376ea684067500428abc4d4cd1.png．

故选：B．

【点睛】

本题关键点在于如何正确将b522af9f37a40dc5fd5cb15666ed3e6c.png的长度通过作辅助线的方式转化为44f7cdd4eebfed0b54deb614ab215294.png．

9．若4b912d70b99cb6bcce736a65d819e8cb.png，则f97f4332455d9ad57daf9aa33e3f20d3.png（       ）

A．1c0d548a619a61946caa10b5ee201eb0.png B．2caf8383a51dc5a80a30f35520848a35.png C．fa21af7b4aa2fa85d9ddbe5a4ea785ad.png D．1ed868683495d9aec3f8273182d1bf8e.png

【答案】A

【解析】

【分析】

由二倍角公式可得432e59bf54f287e6cfb6d2fa571162c8.png，再结合已知可求得30cec1410f6defdd2036219217eba366.png，利用同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】

725eb5b8788c4538b894690362bc2ebe.png

c4101d4ed2affa12b7191f98449c9494.png，

311bef47d2086cc8ebbd6805285e99fb.png，bf097edb87dd52a4e049ac49f694fc5e.png，3ec661f0d767dac772fb1b49574572a1.png，解得30cec1410f6defdd2036219217eba366.png，

f548d1f113a73785d8fa394c3c1b197c.png，db6ba279271ad0abced81ad27265c657.png.

故选：A.

【点睛】

关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出5f84850ea089555ebb38465b4e5fbf79.png.

10．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（       ）

A．7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png B．add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png C．6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png D．27abf3c3c0ceec6fce6416dc3fcf1951.png

【答案】C

【解析】

【分析】

采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.

【详解】

将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有a0fbab5706229e815e9504027c74c03f.png种排法，若2个0不相邻，则有f83910163c71cb56e62d1f15bd686aea.png种排法，

所以2个0不相邻的概率为8f96fb806772a65c85c7e762125e1dd6.png.

故选：C.

11．已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且c80b3f3fa4d4519357f28b982d0a87bb.png，则三棱锥977d57988069117054f4cfa807353761.png的体积为（       ）

A．5b20ed76308f40b7180cb590bbed676c.png B．8797aee31940097767e40c8b877c22e5.png C．4d8d7ba05e6c70bedca6ca67b56e1543.png D．75276e5ef991e623587b42b4b08f7665.png

【答案】A

【解析】

【分析】

由题可得533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png为等腰直角三角形，得出533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png外接圆的半径，则可求得f186217753c37b9b9f958d906208506e.png到平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png的距离，进而求得体积.

【详解】

5afabed0bf7d19c86ec844ee05477871.png，c334e483164a692ef8f4edc5add59ab8.png为等腰直角三角形，57b1e7cbd2504adc2371360f97816ebf.png，

则533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png外接圆的半径为a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png，又球的半径为1，

设f186217753c37b9b9f958d906208506e.png到平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png的距离为8277e0910d750195b448797616e091ad.png，

则eded4fef78ad9e60327dcf0e650591c9.png，

所以fec36cd562a9d0b41283b74d70d6cc3b.png.

故选：A.

【点睛】

关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.

12．设函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的定义域为R，74bf54ba9bd480919c19205db76e1bc5.png为奇函数，e994b3fdbe7a31550ed1247da1340dba.png为偶函数，当34012136d5f5333a59273f4d05542473.png时，009665f88481f1723cdf2d856925c937.png．若0bc2a69eeb3a04f754398795daf13ef1.png，则9e72a2aefc0307c71dcdd58877429579.png（       ）

A．ebed6f24eb23060074cfe4536fc82e01.png B．aabae3a6729958d6b3334df7b566110c.png C．b0cdadb8bdea36abcccdd0db8a2358bc.png D．665ecd7719a119a777670a43e5d81dde.png

【答案】D

【解析】

【分析】

通过74bf54ba9bd480919c19205db76e1bc5.png是奇函数和e994b3fdbe7a31550ed1247da1340dba.png是偶函数条件，可以确定出函数解析式bc2713de8811c0148b81e70f7bcff567.png，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．

【详解】

因为74bf54ba9bd480919c19205db76e1bc5.png是奇函数，所以b9e00b71263dcf75810ae3e510268d84.png①；

因为e994b3fdbe7a31550ed1247da1340dba.png是偶函数，所以ec398f3277b692996eaf8580b690c75d.png②．

令a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png，由①得：ee0046366e338a3ab5c231608f2916ec.png，由②得：c827756dd2350621dc679a9cac7c1c02.png，

因为0bc2a69eeb3a04f754398795daf13ef1.png，所以31d98c8836166eb627ee50dacfbb7c95.png，

令e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png，由①得：74c4664211cee26feafadf4897535d26.png，所以bc2713de8811c0148b81e70f7bcff567.png．

思路一：从定义入手．

c57769f41de8f7d9ec7c337b733701c6.png

b27b7a9670bbc62f71e2e16baabcbde9.png

729881390a8156b83ab6faae57a949a3.png

所以8e537c0696b9b79863ded8699082810e.png．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的周期a670a2850af0b2c236b75a1976a9cd84.png．

所以26986264efd29a148b75d44c3d18e525.png．

故选：D．

【点睛】

在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．

二、填空题

13．曲线72a7c4303e0dffe3bbf83ee8b4e8127e.png在点b5d6ae4c3cfa9b3dc2b99ad6a3880ae2.png处的切线方程为__________．

【答案】c8fc266c7f482bc1298b20f7268af6ca.png

【解析】

【分析】

先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．

【详解】

由题，当e28b7964a01e56385d1d9fa4da54388c.png时，bf0e7593cd3263952fc0df3213bdfedb.png，故点在曲线上．

求导得：bb6e5ed81f11401f37fff63cba3efdd7.png，所以543cebb8bf86af6fd26dbddcb46cfd9e.png．

故切线方程为c8fc266c7f482bc1298b20f7268af6ca.png．

故答案为：c8fc266c7f482bc1298b20f7268af6ca.png．

14．已知向量d4047ae05140d46c6f084bceecb8f851.png．若eafe512d8e479dc20e965320d4ba5c68.png，则7de211558c5b2e4d2d6d255f028a1e1a.png________．

【答案】c3fd92e10564db098d9e4c7aea279a7f.png.

【解析】

【分析】

利用向量的坐标运算法则求得向量fe735c516f9e06e10ae13b5f4c31eaf8.png的坐标，利用向量的数量积为零求得8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png的值

【详解】

8db1e637d2fae46c93e178d7e3fe9f2d.png,

106f923e6cac9412f9e306c2b6d8e786.png，解得3a3de39696db44350a1d0e903f002b49.png,

故答案为：c3fd92e10564db098d9e4c7aea279a7f.png.

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量c543c54201edf6931048415716b302be.png垂直的充分必要条件是其数量积e00d5655f2c73928486bef7dc9d94d35.png.

15．已知8b73bdbf452fd7cf6840411396bfb043.png为椭圆C：9d8191ab1604e1d67898f52d010b512f.png的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且392bfec26d78c32f84f3557c9ae93221.png，则四边形1f89b2c2672dfb9f05635beb797c5e01.png的面积为________．

【答案】c9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d.png

【解析】

【分析】

根据已知可得90afc094c54cd97d8839e6391e7c1020.png，设87ce7d9cf23df3dfd6b0b66a154d445d.png，利用勾股定理结合33c135b5bbc8c3d5c3a9f2b95144d67d.png，求出412566367c67448b599d1b7666f8ccfc.png，四边形1f89b2c2672dfb9f05635beb797c5e01.png面积等于412566367c67448b599d1b7666f8ccfc.png，即可求解.

【详解】

因为b76af6019c297461898fa12f2850ca87.png为92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png上关于坐标原点对称的两点，

且60955c24714208174952bc24843ac9b6.png，所以四边形1f89b2c2672dfb9f05635beb797c5e01.png为矩形，

设87ce7d9cf23df3dfd6b0b66a154d445d.png，则d39e81505d49eae692691935d3cffa29.png，

所以169a3ac5047418f87db6e1ca39b55fbc.png，b9b693f5f6d8006a05c438a451f93a7e.png，即四边形1f89b2c2672dfb9f05635beb797c5e01.png面积等于c9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d.png.

故答案为：c9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d.png.

16．已知函数5b1ebaee12673ea369bb71bdce814274.png的部分图像如图所示，则满足条件bb91fd36b4ada1ccf54d5d1bc8e55066.png的最小正整数x为________．

【答案】2

【解析】

【分析】

先根据图象求出函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的解析式，再求出f29f4a103cc1c4b2e0a55ea93d324f4f.png的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.

【详解】

由图可知3b3f257c800646f3830ac05aac9140cc.png，即c2a3e23242f713c93c81ede8de6c9382.png，所以486dfe1e9b70c52e8fda09e48508ab65.png；

由五点法可得8ccd6053401f99b2d488eadcf6b89408.png，即ea43caa368d95b7de3f5bd60a755dec4.png；

所以0bbce563600bfae4a7e668fa9a899c76.png.

因为1bcccc2eeee269d69bcb0639f697e231.png，bf48d8ff5853b448eaf5d37f183779d3.png；

所以由b311ab8cea0b6c79129b62fa0fb4dc54.png可得c5fa18e0f40aaa481bf8d30999c3cc80.png或5da31a14fd918f3bcb2e0d980ea37610.png；

因为626d94f85aa93c12cedc53d7869a35e0.png，所以，

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足5da31a14fd918f3bcb2e0d980ea37610.png，即65752aa3407743b85bb6d5855e836500.png，

解得29216dd7c69388f8adbfbf6ad2577bf8.png，令22d9bb2875d7a70aeb68696096f3b9b2.png，可得ee4461c641d5783ce0ed46b5a648f1fc.png，

可得9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的最小正整数为2.

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足5da31a14fd918f3bcb2e0d980ea37610.png，又197b8f7cf321900f9a013dfb9a59eb7d.png，符合题意，可得9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的最小正整数为2.

故答案为：2.

【点睛】

关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解45bf03a575f6e81359314e906fb2bff3.png，根据特殊点求解7f48d4a68765673379b41e1b1ee20edf.png.

三、解答题

17．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附：6fa5cdd8e37181a1f57462e7d7a0fa35.png

（2）能.

【解析】

【分析】

根据给出公式计算即可

【详解】

（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为1945a91a4cc9dc22e4a759dd634a91af.png,

乙机床生产的产品中的一级品的频率为59e058a175d9fa545af5c1dce96d90fd.png.

（2）cabfa7e7c69a4749712c6727b4d8279e.png,

故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.

18．已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的各项均为正数，记44d853a7808a331d95220fcb38095649.png为02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是等差数列：②数列15a50997864c40484a2d79b554b6d450.png是等差数列；③4c1c8b094ac16329fb8662d58ed913c9.png．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】证明过程见解析

【解析】

【分析】

选①②作条件证明③时，可设出2dd85ac66c35fcf74cfca1550594e46d.png，结合a3ae5382524e39f8704af6e133ebbc60.png的关系求出9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png，利用02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是等差数列可证4c1c8b094ac16329fb8662d58ed913c9.png；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.

选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出2dd85ac66c35fcf74cfca1550594e46d.png，结合等差数列定义可证；

选②③作条件证明①时，设出e29db46f3e9a79907ea0f23dff0c6527.png，结合a3ae5382524e39f8704af6e133ebbc60.png的关系求出9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png，根据4c1c8b094ac16329fb8662d58ed913c9.png可求92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，然后可证02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.

【详解】

选①②作条件证明③：

[方法一]：待定系数法+9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png与44d853a7808a331d95220fcb38095649.png关系式

设a6f627adcb02ffe1b7e0484f937d88d8.png，则5c1d6ae70ba5875f170cbf25ebaa4d07.png，

当6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png时，64bfa6b05451d315f18fe0b60d4a592f.png；

当a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png时，48898e26981cfb6ef7eaeb066c14f591.png74aa1e981860baf2f5cbf5f2c1cc5868.png；

因为02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png也是等差数列，所以4a14325d26b464562a4cfa3a51671e64.png，解得f6d5eef5ee5e51fc839bb54201c62e3b.png；

所以303f76603f90e8a835640b3f73a4663b.png，0516e4e93abf99cd21c372a4485632ba.png，故31ca62659034f66db2d1f1e23caec537.png.

[方法二] ：待定系数法

设等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的公差为d，等差数列15a50997864c40484a2d79b554b6d450.png的公差为975e82ee46300a50d901d66c00fe64b1.png，

则1c2893a5e78ed63fd039d95e4118fcc9.png，将2e6c55ce7a5f3304b0a0db70bfd89a7a.png代入1c2893a5e78ed63fd039d95e4118fcc9.png，

化简得c6f303c7a179dde00e141582d836d10f.png对于a5d1db254dfb5e61c7f32501ed2ce4c5.png恒成立．

则有b376531f22f3cdd750ab9537653d899f.png，解得de6f1ce87a9de312b0b218aa968b92d7.png．所以4c1c8b094ac16329fb8662d58ed913c9.png．

选①③作条件证明②：

因为4c1c8b094ac16329fb8662d58ed913c9.png，02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是等差数列，

所以公差348dd19fb2fec663cacd9f321d065fe5.png，

所以c03e9c2f4a2042952165cd3add00ad46.png，即ba5be256098500b61fcf634b423d2279.png，

因为ad871fbd213aee1e3b6e8bc707111c12.png，

所以15a50997864c40484a2d79b554b6d450.png是等差数列.

选②③作条件证明①：

[方法一]：定义法

设a6f627adcb02ffe1b7e0484f937d88d8.png，则5c1d6ae70ba5875f170cbf25ebaa4d07.png，

当6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png时，64bfa6b05451d315f18fe0b60d4a592f.png；

当a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png时，48898e26981cfb6ef7eaeb066c14f591.png74aa1e981860baf2f5cbf5f2c1cc5868.png；

因为4c1c8b094ac16329fb8662d58ed913c9.png，所以a40b7c7e11d9d830246a2d65ac68ab25.png，解得f6d5eef5ee5e51fc839bb54201c62e3b.png或4887c09badbc92d3c6f7f66ccc837ed9.png；

当f6d5eef5ee5e51fc839bb54201c62e3b.png时，075a3f70e579312bf1ce2a6af4fc0646.png，当a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png时，5a4117a7eacdf7954df5e871a57e1bf8.png满足等差数列的定义，此时02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png为等差数列；

当4887c09badbc92d3c6f7f66ccc837ed9.png时，ff9c064444eb1492928df07fc066af82.png，0492df1394976cc63ebcedfcddb5d2b7.png不合题意，舍去.

综上可知02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png为等差数列.

[方法二]【最优解】：求解通项公式

因为4c1c8b094ac16329fb8662d58ed913c9.png，所以d260094317f9da01f016fd42f5b2044a.png，c28f7eea5fd41ba5c097cedf4ca1b56a.png，因为15a50997864c40484a2d79b554b6d450.png也为等差数列，所以公差bb3dfe24b3e88cf0688b86f1913a1279.png，所以2baf9c11e6ed04dbea91b33a5d56dfe2.png，故fe20bc1887963c43eb29820e8bc280c6.png，当a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png时，cc98142070c8c5a6e5c4739e073fd452.png，当6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png时，满足上式，故02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式为9482688cd9c4d3ff4f3fcf8642c56dcf.png，所以54dd07a547823ec6d268f92f835edc7a.png，b55a344a5a5a5c1186167dc62053e2fa.png，符合题意.

【整体点评】

这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png的一次函数，直接设出a6f627adcb02ffe1b7e0484f937d88d8.png，平方后得到44d853a7808a331d95220fcb38095649.png的关系式，利用f7ccf89e8ffdd0cc7376979e47587887.png得到02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式，进而得到4c1c8b094ac16329fb8662d58ed913c9.png，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png与2ad440a86b919293b5b910b0622cd698.png的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系08d7b254c463ab470f6fbbd51447c74b.png，adb9be861c0833db516d0bb25350d1b4.png，进而得到4c1c8b094ac16329fb8662d58ed913c9.png；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出44d853a7808a331d95220fcb38095649.png及2dd85ac66c35fcf74cfca1550594e46d.png，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png的一次函数，直接设出a6f627adcb02ffe1b7e0484f937d88d8.png，结合a3ae5382524e39f8704af6e133ebbc60.png的关系求出9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png，根据4c1c8b094ac16329fb8662d58ed913c9.png可求92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，然后可证02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是等差数列；法二：利用2dd85ac66c35fcf74cfca1550594e46d.png是等差数列即前两项的差bb3dfe24b3e88cf0688b86f1913a1279.png求出公差，然后求出2dd85ac66c35fcf74cfca1550594e46d.png的通项公式，利用f7ccf89e8ffdd0cc7376979e47587887.png，求出02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式，进而证明出结论.

19．已知直三棱柱0009e4dc258a3d757dba159c76dae58f.png中，侧面bd5ca311d3e65aa25bfd86c0d94ad581.png为正方形，86eb66a5e8242d207c1f063e633c4ff9.png，E，F分别为4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png和86e43cc8f867b1331bc49e439e8afa17.png的中点，D为棱9d417dea13f2855580c7c2c6dbc254cd.png上的点．274ec3f96d7b47abeb5caf319958a9ba.png

（1）证明：b636dfd5cea25a59c3dd1c8b00842d68.png；

（2）当8e9a1a9db91423e04f47beb886eae4c1.png为何值时，面01623a7434dd9051fe1fdbdaf6fd8965.png与面f0b4ba07590dc7c3dc072945ef400996.png所成的二面角的正弦值最小?

【答案】（1）证明见解析；（2）49c874cc011e4997fff4bd3734e39a23.png

【解析】

【分析】

（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；

（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；

【详解】

（1）[方法一]：几何法

因为e2fc80f1be6db0ebfd855569c7a09dfa.png，所以603cf4a0f1e2f4138feb266b62c8b4ff.png．

又因为2f09e7fb207e0945025a0326a7d3b73f.png，363d5a7e5d3e2ba100c29e78940cce30.png，所以877dbe7b7363064ca5b71d98d99a595b.png平面51ca572b0a168e0b76b8b76f5e355c52.png．又因为86eb66a5e8242d207c1f063e633c4ff9.png，构造正方体0a2aeafd9f60ea52d8ab7002e2c17d54.png，如图所示，

过E作b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的平行线分别与bb5f17d7a8fddc12957bf5be3bf616c7.png交于其中点c307df251313e30dbffc899da627b0d6.png，连接788eeb4e5eb53aa208eb762e36aadce1.png，

因为E，F分别为4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png和86e43cc8f867b1331bc49e439e8afa17.png的中点，所以8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png是BC的中点，

易证2907fd1f3d762c5fe4a4025cbb273bc5.png，则2b632cc760dae179a5d0c216f9bafdd7.png．

又因为aa36bab6ada1e1fc7963c314b6061078.png，所以e12d752f616c2c74082d842bda4395c4.png．

又因为23eedec1b46252c77c721790709786e1.png，所以e0a206ad4e78ac287bba9f053500bb11.png平面9048b09828c3586db0454de3e3c4dcbb.png．

又因为29105caf46a06432dee180ef80acba1e.png平面9048b09828c3586db0454de3e3c4dcbb.png，所以b636dfd5cea25a59c3dd1c8b00842d68.png．

[方法二] 【最优解】：向量法

因为三棱柱0009e4dc258a3d757dba159c76dae58f.png是直三棱柱，90077d88e4048c68abbdd951e35a9531.png底面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png，66943eaa527e3f57a22be8dae8ff926c.png

ab152dcdc70a787b36df648de2a8c09f.png，274ec3f96d7b47abeb5caf319958a9ba.png，cfc2e066d24b8176e68b14947eeca054.png，又5b77732106c95dee8169f6f911ceb95b.png，0ef79c8dec6635a5543454722d7413d3.png平面51ca572b0a168e0b76b8b76f5e355c52.png．所以2c402476d74e477bbb3be15bfdc684cc.png两两垂直．

以9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png为坐标原点，分别以2c402476d74e477bbb3be15bfdc684cc.png所在直线为78b70da0fb6369f45abaccaaef4cabe9.png轴建立空间直角坐标系，如图．

409232b26320db529115952abeff9285.pngfb744f46023b7315a9f3f98ee1ab3b98.png，a20fa342239c2ac6d125d3962110ad5d.png．

由题设b33aabbc91b8c77046f8079dd310a934.png（c0ed4a9e8a920eacbb36632b41b3d2bd.png）．

因为541eb6f54aa2aeaab04c5b4bb965e2e4.png，

所以a635de8a90b87613b2146902077370f5.png，所以b636dfd5cea25a59c3dd1c8b00842d68.png．

[方法三]：因为274ec3f96d7b47abeb5caf319958a9ba.png，13cb8ff7297d0e55d3332e66251ff025.png，所以603cf4a0f1e2f4138feb266b62c8b4ff.png，故b1361f308cbef59548f968ffb8bc5b6e.png，5985d18cca8a757d3ca1d8920b5a8de9.png，所以e4a94464127f2b2d5093b27c3aba2386.pngc57fc9b033aaafe16e35665d00e34791.pngf11858b3050fd197bbebaaeb8ee801fa.pnga1f32155445203cd08cb6fcba2bba00b.png8296870deb50a776bd182c298fc804ee.pnge0c29379cf1e565db13917d7e2c6e605.pngb7ace37749d9f3df4246674993843c80.pngb3a2f8509a11aa852c43c5150e6201d3.png，所以e03ff9bc1d4e82187675a20e774febd7.png．

（2）[方法一]【最优解】：向量法

设平面f0b4ba07590dc7c3dc072945ef400996.png的法向量为fa93e583f196dbf9354e1373027d995b.png，

因为4994b7be473fab8c41564c09a4ddd568.png，

所以618270dbddddc845daf03792795f268c.png，即7c6cb15683eabdce05c8ca4bd5e35618.png．

令377ea464c2f571fc2288cb3d4d155474.png，则3dd804f73a5b5fc5de70c94975b5264c.png

因为平面51ca572b0a168e0b76b8b76f5e355c52.png的法向量为2b3260e117078a6c18b6a41928b5eca0.png，

设平面51ca572b0a168e0b76b8b76f5e355c52.png与平面822dd494b3e14a82aa76bd455e6b6f4b.png的二面角的平面角为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png，

则eb0b2d954d3701297d33b216d363293c.pngcd0b92e34bd099df389e9e56e7ee4cca.pnga0a72de269950438c03b478c858b5501.png．

当a726d057f869a8a7dd4d67e2a02e606d.png时，63ab8ecd8769e0deabd8527983d7c5e1.png取最小值为1cc51acdfe2e0ede3a1ae681b4c972b6.png，

此时321b88021c7de8cd6be42ebe3c7fb0df.png取最大值为fd35b691b96fbe957ac45058d8e169c9.png．

所以a1c14e0eb97c96beda5cd9c498fe85b3.png，此时49c874cc011e4997fff4bd3734e39a23.png．

[方法二] ：几何法

如图所示，延长2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png交923ac2ea3897049a2180b44d6b91f675.png的延长线于点S，联结47b79bd259e22596ffc4be2ffbbe5c5a.png交52432e2a12e5c8832d7c2a0cd40f718a.png于点T，则平面f3d48871806941996f0d31b7b39192a6.png平面2c26f0b29f0a790b71d50f682f6be610.png．

作4af6484613ab7d6d4efa815bbfbcca74.png，垂足为H，因为fee0523fe923ad1a198bc6a48a7d7306.png平面01623a7434dd9051fe1fdbdaf6fd8965.png，联结ff7a7d0ea68cf95f3d4b14e3f2a30767.png，则334a38f630ae8e007e6e0057f82b6984.png为平面01623a7434dd9051fe1fdbdaf6fd8965.png与平面f0b4ba07590dc7c3dc072945ef400996.png所成二面角的平面角．

设f4ea3adcdfff99e03f81d7e8e6eed47c.pngf2e5d7519cad7e955c4a713e38ff52ac.png3ab8c1c94167e81178de5a3d47a6967d.png，过9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png作da2426e4fc84c77c0b2f74861a359ded.png交47b79bd259e22596ffc4be2ffbbe5c5a.png于点G．

由4687ea5d4416f482b3d91ad5089ccfcf.png得65769fff2757da3d4f79dad27db320f0.png．

又7f71da004e6ccf9f9ca5baeaa2347034.png，即acc2537637d4242802ca360c4636d673.png，所以2e477f7af558bbd4d73a1439d26a6820.png．

又73d3200319e51d388a8487c5d7a19c74.png，即ab84d4fdac5a7968fe21f526a93d4179.png，所以77495cb00c3b0a6b5e1f16e5e7eff577.png．

所以5c00dcbe2863a4c90d6625a446ece30e.png9366cfb972e1cd4870a19a0d81f7e6cb.png13324391dd1618bf116ca14dfa8f753e.png．

则e6dee36efa0297cde71eb2e627a03d0f.png1e0266d04d1f1079f618b0cc2eb94fe7.png2744f0ac3bbb6640cd7ee980a277076d.png，

所以，当fde488b9c0adec0c51f27da99210f7c0.png时，fe69926de6380f58f3c94d8d5bf66094.png．

[方法三]：投影法

如图，联结8217c4b3b2e07d8c0ce9e98d2a284746.png，

a78ed31c459f717ef973990c8662b13f.png在平面01623a7434dd9051fe1fdbdaf6fd8965.png的投影为1f4748f9e46a6a09a33cc2901c7da062.png，记面01623a7434dd9051fe1fdbdaf6fd8965.png与面f0b4ba07590dc7c3dc072945ef400996.png所成的二面角的平面角为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png，则5ff6b4780f942fb93ac07811d568db59.png．

设b566af75dfd36af8465f9943d6dd4311.png，在98b2a8eace0dc13308562dce9dc04621.png中，1d631aa68cb3120c4aaf8a6b2291ccb0.png．

在b585eac344c958fe8cfeaa35897a6370.png中，f5e4629874075b4c539e38b92b1caec7.png，过D作1184e60fd7f8470766fcc5c8846355ed.png的平行线交aa85f1840e282d8a8304dbc2c0d7c9b2.png于点Q．

在fc57a414c82991998ffde1c368759b84.png中，e2408c4f558ea2d416ec39d0342c3299.png．

在a78ed31c459f717ef973990c8662b13f.png中，由余弦定理得7f9faf42dcf9b166f10521557ee7831a.png27fac3db9a57d6e8132c21122a68da12.png，407017e52f9ace5cef1abe457b07a76f.png，e717580dcd49aa3164cab974c7ba9391.png3a5853d2e06836d2c17f04ffc5cca099.png，c994ca8e689d288a441b865d057bbc4e.png

1d5b11980cd362eff0e1a8523f7c8110.png50d781b1caa4b57c415e51efb8354fa6.png，05846a8fa99e1ddbb658bdfe3aeec181.png，

当fde488b9c0adec0c51f27da99210f7c0.png，即49c874cc011e4997fff4bd3734e39a23.png，面01623a7434dd9051fe1fdbdaf6fd8965.png与面f0b4ba07590dc7c3dc072945ef400996.png所成的二面角的正弦值最小，最小值为227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.png．

【整体点评】

第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.

第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面01623a7434dd9051fe1fdbdaf6fd8965.png与面f0b4ba07590dc7c3dc072945ef400996.png所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面f0b4ba07590dc7c3dc072945ef400996.png在面01623a7434dd9051fe1fdbdaf6fd8965.png上的投影三角形的面积与f33732894a1a2a256e86b140edf9f958.png面积之比即为面01623a7434dd9051fe1fdbdaf6fd8965.png与面f0b4ba07590dc7c3dc072945ef400996.png所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．

20．抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png交C于P，Q两点，且9d0e7f0b419d2fbebadd5c7c40c66a43.png．已知点1879cddd75d5081bbe8f1faf9120fed4.png，且084865de960da206f77c1e2685cf5afc.png与l相切．

（1）求C，084865de960da206f77c1e2685cf5afc.png的方程；

（2）设732c71ea6a3ebb10a5debae9bcf68f88.png是C上的三个点，直线43029b769764a1f5cda92a3ae74927c2.png，7b408597de8cc44d3c8f44f748f5ce3e.png均与084865de960da206f77c1e2685cf5afc.png相切．判断直线b097506420ed9d66bb52cb54d0bfe163.png与084865de960da206f77c1e2685cf5afc.png的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）抛物线aef3e5b1314ad267574e618a3e2bd8a9.png，084865de960da206f77c1e2685cf5afc.png方程为c059c72bfb5c6d59cbcc26b2500bfe80.png；（2）相切，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据已知抛物线与a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出b76af6019c297461898fa12f2850ca87.png坐标，由9d0e7f0b419d2fbebadd5c7c40c66a43.png，即可求出83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png；由圆69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png与直线a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png相切，求出半径，即可得出结论；

（2）方法一：先考虑43029b769764a1f5cda92a3ae74927c2.png斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若5c008aff426d626413f53961e6af5607.png斜率存在，由732c71ea6a3ebb10a5debae9bcf68f88.png三点在抛物线上，将直线3fe11229b32b59ce834145a1dd6deda5.png斜率分别用纵坐标表示，再由1980899daa09c98c0abc53727b8f965a.png与圆69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png相切，得出4908b038d140103e9393be4dfa9b5c11.png与f7b4a9a272539da17df482a540896746.png的关系，最后求出69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png点到直线b097506420ed9d66bb52cb54d0bfe163.png的距离，即可得出结论.

【详解】

（1）依题意设抛物线34c9a7ab88cdcda5cbdbc4e2eece996c.png，

1cc301ae2a1fe89b8729f38e36a9cdd3.png，

所以抛物线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的方程为5af1bcfc73e5c8490e0237a3e1f9d933.png，

38f4e68abdbf410f8756c7a26e1e7fb6.png与a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png相切，所以半径为c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png，

所以084865de960da206f77c1e2685cf5afc.png的方程为c059c72bfb5c6d59cbcc26b2500bfe80.png；

（2）[方法一]：设a7b2eca25aee84f3c6e6cb3b10b5dfe2.png

若43029b769764a1f5cda92a3ae74927c2.png斜率不存在，则43029b769764a1f5cda92a3ae74927c2.png方程为a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png或5870bb658ee9e8a6900c138365d64c80.png，

若43029b769764a1f5cda92a3ae74927c2.png方程为a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png，根据对称性不妨设c6402ea531b517d2558715f279a26652.png，

则过e283f48f6f3d4077546b2b697c3eebad.png与圆69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png相切的另一条直线方程为6a267007228f9f654a0d28dec6932c31.png，

此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在c807ae723c3b32f969849de601215d95.png，不合题意；

若43029b769764a1f5cda92a3ae74927c2.png方程为5870bb658ee9e8a6900c138365d64c80.png，根据对称性不妨设124c8d731f1ccf9a3d44e9e38bb181de.png

则过e283f48f6f3d4077546b2b697c3eebad.png与圆69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png相切的直线7b408597de8cc44d3c8f44f748f5ce3e.png为066540ac88787f6a6cab668cc698a05b.png，

又e43a4ecdd029d6dda727f0c80d31a811.png，

cd7ad8e5a709bd4fa40417c04f3304a3.png，此时直线2f1271bdf8acc6713edfb4966af6e733.png关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴对称，

所以直线b097506420ed9d66bb52cb54d0bfe163.png与圆69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png相切；

若直线5c008aff426d626413f53961e6af5607.png斜率均存在，

则cf4c766ab7707a647d705ef37e7eb060.png，

所以直线43029b769764a1f5cda92a3ae74927c2.png方程为a11a43eaf09d516968dbf6f587f940b3.png，

整理得b6731dd151cf1cb69d8917f4665af1ed.png，

同理直线7b408597de8cc44d3c8f44f748f5ce3e.png的方程为727fc0e4dd6291b424ea2bd08af1cd8e.png，

直线b097506420ed9d66bb52cb54d0bfe163.png的方程为097b04f7d2dfecc0e431ce7e2fa60799.png，

9d248581e5d9ebf83996273323577b84.png与圆69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png相切，3bfe11d44fae78acb3902ece36343f7c.png

整理得2e7e0665f8f0743892f5956e62c5d390.png，

7b408597de8cc44d3c8f44f748f5ce3e.png与圆69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png相切，同理cb238c1bfdaada710e596a7f01a02e87.png

所以22ab723e179e04aa7385f039baa75265.png为方程76986a3950020599d229bed2cbd97554.png的两根，

abdbcc49386634a59861db304ecb488e.png，

69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png到直线b097506420ed9d66bb52cb54d0bfe163.png的距离为：

c06c5dd0f4a708b51e0b6ff0968b3996.png

4aef7a57cb6a64500dcb0de4cec32ab2.png，

所以直线b097506420ed9d66bb52cb54d0bfe163.png与圆69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png相切；

综上若直线37fa7475c83684795b44e73db01bd421.png与圆69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png相切，则直线b097506420ed9d66bb52cb54d0bfe163.png与圆69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png相切.

[方法二]【最优解】：设35c7c425e2a521dc8ed80ca0bb0aa893.png．

当a2dc8663950f53a424c27fee0c7af6d9.png时，同解法1．

当b3f7e10b4408ebf3a39cf02627d83adb.png时，直线43029b769764a1f5cda92a3ae74927c2.png的方程为e167d169a2255053de689ce1bb905f53.png，即58b0823badb5af5de9b27fb5d8a48044.png．

由直线43029b769764a1f5cda92a3ae74927c2.png与084865de960da206f77c1e2685cf5afc.png相切得8c69d336cecff26cfb658248ee153438.png，化简得1479974cf7553a5fbc95d2bdb752af2b.png，

同理，由直线7b408597de8cc44d3c8f44f748f5ce3e.png与084865de960da206f77c1e2685cf5afc.png相切得d1beec4615faa62bac27be17d90efd0d.png．

因为方程0e042771736e42d996f6b31ef9d52b5f.png同时经过点01fd0d142928e12a647cd00916d4db9f.png，所以b097506420ed9d66bb52cb54d0bfe163.png的直线方程为0e042771736e42d996f6b31ef9d52b5f.png，点M到直线b097506420ed9d66bb52cb54d0bfe163.png距离为3060006fa7b512a8dbf1be6af96b663e.png．

所以直线b097506420ed9d66bb52cb54d0bfe163.png与084865de960da206f77c1e2685cf5afc.png相切．

综上所述，若直线37fa7475c83684795b44e73db01bd421.png与084865de960da206f77c1e2685cf5afc.png相切，则直线b097506420ed9d66bb52cb54d0bfe163.png与084865de960da206f77c1e2685cf5afc.png相切．

【整体点评】

第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用37fa7475c83684795b44e73db01bd421.png的对称性，抽象出4908b038d140103e9393be4dfa9b5c11.png与f7b4a9a272539da17df482a540896746.png关系，把22ab723e179e04aa7385f039baa75265.png的关系转化为用f7b4a9a272539da17df482a540896746.png表示，法二是利用相切等条件得到b097506420ed9d66bb52cb54d0bfe163.png的直线方程为0e042771736e42d996f6b31ef9d52b5f.png，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路

21．已知323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png且7d2c97e352983c5b4332dd88742c1132.png，函数d850d2db6c57e4637b83f2530228974f.png．

（1）当83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png时，求ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的单调区间；

（2）若曲线f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png与直线6a267007228f9f654a0d28dec6932c31.png有且仅有两个交点，求a的取值范围．

【答案】（1）91605acc7f2a8967bdf1307951bb9b25.png上单调递增；43f465f2b4828acefec191a5d1a86f3f.png上单调递减；（2）bdb333f8ce156e7e556b5000526748b7.png.

【解析】

【分析】

（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；

（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png与直线6a267007228f9f654a0d28dec6932c31.png有且仅有两个交点等价转化为方程564c3350b7f3a89a0ddb64d45d106635.png有两个不同的实数根，即曲线04fda6c5ed3a8bc3e98652581296e371.png与直线82ef220284044f8f3e76e3b659f578a6.png有两个交点，利用导函数研究5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png的单调性，并结合5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png的正负，零点和极限值分析5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png的图象，进而得到ee5b8c3e1dacda903aaa539fbd375484.png，发现这正好是998c74ae236998413c5b4de903f41ea4.png，然后根据5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png的图象和单调性得到0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围.

【详解】

（1）当83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png时，c9b1953a9f6c24d8433b30e66515c7d6.png,

令5fd86dd9df7e71c47df93921535daafc.png得ce6bbb3b7f52aa2f63554db4d69f28e4.png,当a8a0be0028ef1afe3e78d9febfb6eec0.png时，82ba1ab4d8827e260ef0f540d1922661.png,当a767cff3d73186c988d5f10a9564a96f.png时，ec329a2e6e725e343e248a7a56d580fc.png,

∴函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在91605acc7f2a8967bdf1307951bb9b25.png上单调递增；43f465f2b4828acefec191a5d1a86f3f.png上单调递减；

（2）[方法一]【最优解】：分离参数

81a3653a2e6055b0d24c94b5f38b5c8f.png,设函数341efb076c22d3bdd81c77ffc53b4455.png,

则3462a4631938aa7aa9b3fc64a0bed6af.png,令cb5588ab350aac6d694d455c1c0927e3.png，得3c5a29c6dae7df5f94c227a51bbe479f.png,

在806deb65376b25866b2c11eb6bc5d5eb.png内b3c76bca3c3d6302111b0553a647a0ad.png,5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png单调递增；

在dcf915f2846d59f6b55c18eef6536f08.png上c8bab5d6b0a3fd73177fb5069fc90885.png,5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png单调递减；

3dc77d99ae4ea1eaadf538178f27e451.png,

又3e0cb3bf2b7fbdb3900014364fcdbd15.png，当9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png趋近于47d663ed8194eaf7b38cb1193fc4cd12.png时，5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png趋近于0，

所以曲线f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png与直线6a267007228f9f654a0d28dec6932c31.png有且仅有两个交点，即曲线04fda6c5ed3a8bc3e98652581296e371.png与直线82ef220284044f8f3e76e3b659f578a6.png有两个交点的充分必要条件是ee5b8c3e1dacda903aaa539fbd375484.png,这即是998c74ae236998413c5b4de903f41ea4.png,

所以0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围是bdb333f8ce156e7e556b5000526748b7.png.

[方法二]：构造差函数

由7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png与直线6a267007228f9f654a0d28dec6932c31.png有且仅有两个交点知546e912f7f43b2233ac97a4ecf33883e.png，即7e6949b083d6b4488ec98f315e8a525f.png在区间b921db311612fd3665c51872c7a83455.png内有两个解，取对数得方程2bdad488bf510a7fa5e34259c1a8a26f.png在区间b921db311612fd3665c51872c7a83455.png内有两个解．

构造函数cf3897389b598d87125f11f89a326e01.png，求导数得2f1c5543fbfdd931d5d494101beca465.png．

当81ab5a0b5746d911e1d8f16c92f80df1.png时，88ca8bbd9cba357948c9935c6f6a949a.png在区间b921db311612fd3665c51872c7a83455.png内单调递增，所以，e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png在b921db311612fd3665c51872c7a83455.png内最多只有一个零点，不符合题意；

当cae9743b2aa30af47283cd8d49c0b452.png时，f7f16da782abf843d55f4006df218561.png，令0f37eb3c71e1fc1f08e49412891a7653.png得4197b7d36723b7766e7f74707e844a98.png，当2beb823cf764f93f582770538c6a9727.png时，bdb1b826acd593af45089831b06e7f4b.png；当be3676cda9681eb46bbe836637f38599.png时，39d264baf33b24be2675f500e3324272.png；所以，函数e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png的递增区间为34eb867708ff3ac632d6c83511f4843d.png，递减区间为0dd316e3386a702a16c456b6815d1b00.png．

由于401dbe107f691e597095c22d3bd241d7.png，

当c0fa4f18886b5f43a477a87249d879f5.png时，有380cb8a1b807806f8b86c9bfb084370e.png，即87297c7aa79942fee74bd0aca0e21b5a.png，由函数9c0cbef2febf134d9ce48f8c7d8a9620.png在b921db311612fd3665c51872c7a83455.png内有两个零点知37e34209ef5a9ce9bc381c1ae43696d0.png，所以9b4eb0f5b60c722c98d662d9f295bb13.png，即b23f1c43ea96e1f13081795588d4afd1.png．

构造函数30e006ee941767b886a4396653fa2624.png，则a99a058aad3471bf65157f81e61fa17c.png，所以e6d3c389dfedde5b91222b10792dd7b4.png的递减区间为5fb4f90535184ee1d62e189683238101.png，递增区间为d181a0091b13e7149aca2626f3923f27.png，所以8b5fedbfc0ea8e5fa0f6a3d57eabe323.png，当且仅当4f0664b043d8b3340ac87c49d7d3870b.png时取等号，故ef4bb42b63bf8ed94fcbd427c26ef032.png的解为cae9743b2aa30af47283cd8d49c0b452.png且f368eb9a847e16508e1f50fc9bdeb0f6.png．

所以，实数a的取值范围为56dcfc610d7b946a0e7f53f93cb52c51.png．

[方法三]分离法：一曲一直

曲线7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png与6a267007228f9f654a0d28dec6932c31.png有且仅有两个交点等价为d3b5b976d31af7ec77fc0f3f4e349348.png在区间b921db311612fd3665c51872c7a83455.png内有两个不相同的解．

因为7e6949b083d6b4488ec98f315e8a525f.png，所以两边取对数得2bdad488bf510a7fa5e34259c1a8a26f.png，即42efb2e231aa23d64e06f6388bf7ab50.png，问题等价为ba458616b41fc773a1e79d75ea7b9038.png与e2fddf9e696408091678d6e15bcca80d.png有且仅有两个交点．

①当81ab5a0b5746d911e1d8f16c92f80df1.png时，d883d0ac925fa95727635964bc3afbeb.png与e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png只有一个交点，不符合题意．

②当cae9743b2aa30af47283cd8d49c0b452.png时，取ba458616b41fc773a1e79d75ea7b9038.png上一点7ff4c9232286c95a2a5baa8f2237678d.png在点e1098ff73ba0672cb7b034960e4df1f1.png的切线方程为b588e8adf7ac231c2ff9184998792b7f.png，即ec1870326aa8aab7f701cfe124a488b0.png．

当ec1870326aa8aab7f701cfe124a488b0.png与e2fddf9e696408091678d6e15bcca80d.png为同一直线时有40000aa49a666a4c70d188bc303a78a4.png得a9acd832cbd20be99af1365ebbfdf743.png

直线e2fddf9e696408091678d6e15bcca80d.png的斜率满足：ee5b8c3e1dacda903aaa539fbd375484.png时，ba458616b41fc773a1e79d75ea7b9038.png与e2fddf9e696408091678d6e15bcca80d.png有且仅有两个交点．

记709114ff69c455f583a10bb25039b5ec.png，令04356fd8aa584b48b7ab4c54047367b5.png，有4f0664b043d8b3340ac87c49d7d3870b.png．6a58da89be2e2cdbdd0090f37d0e6236.png在区间5fb4f90535184ee1d62e189683238101.png内单调递增；9954455408e989297acc2eb041cef7fe.png在区间d181a0091b13e7149aca2626f3923f27.png内单调递减；4f0664b043d8b3340ac87c49d7d3870b.png时，e6d3c389dfedde5b91222b10792dd7b4.png最大值为a4641586dded75af4208a48e641a449a.png，所当cae9743b2aa30af47283cd8d49c0b452.png且f368eb9a847e16508e1f50fc9bdeb0f6.png时有ee5b8c3e1dacda903aaa539fbd375484.png．

综上所述，实数a的取值范围为56dcfc610d7b946a0e7f53f93cb52c51.png．

[方法四]：直接法

d80721d2e8f9f6e9a1c5fde0fdde4301.png．

因为887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png，由06605d0b94674429f3ab62bec2350d50.png得4197b7d36723b7766e7f74707e844a98.png．

当81ab5a0b5746d911e1d8f16c92f80df1.png时，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在区间b921db311612fd3665c51872c7a83455.png内单调递减，不满足题意；

当cae9743b2aa30af47283cd8d49c0b452.png时，6ff4c5491a90e6d6a1a5b7a2710cc204.png，由8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png得1ad1373c7d4b1dae30f7501884e5ebdb.png在区间34eb867708ff3ac632d6c83511f4843d.png内单调递增，由99300cb144197ff8dc44e17568431c8f.png得66bbe98bbc7f4e99af04581c628040e5.png在区间0dd316e3386a702a16c456b6815d1b00.png内单调递减．

因为468c2f7372989d9826ef375eef6b055b.png，且4333b5600701bb272bf1b09065fda027.png，所以a7b08e63a653d2a4134e8be06a855e3a.png，即5728693267d6a94e106c297740458abc.png，即7f39010170d7a927e726808ca44737f9.png，两边取对数，得901e2686f7418b9da1b186e140bae95b.png，即8e4b48a20b11a5d164913ddcef844ea1.png．

令1105ec3ec2e1c46c99ff4350cacc36e2.png，则25ac737f61bb7be3fbb3602ad6abeabd.png，令a8930713506c25bf7a9d2d03a4a68a30.png，则e516568145a3d724566a003cc3b7d545.png，所以ca8e608169b20a94570ac837e8ba0833.png在区间b6dbc33006b907f2db1855810abfce98.png内单调递增，在区间a9b60edfbc89649206e22a2cad65c588.png内单调递减，所以9c6c8b304e72af77418c7bdfb9af4a73.png，所以387a76cc84a39d4180ed3881a94bca52.png，则25ac737f61bb7be3fbb3602ad6abeabd.png的解为601ea33829c75066e06d14f65ca01b65.png，所以14edcd76fc1b327815f19abb4375f818.png，即f368eb9a847e16508e1f50fc9bdeb0f6.png．

故实数a的范围为56dcfc610d7b946a0e7f53f93cb52c51.png．]

【整体点评】

本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，

方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.

方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.

方法三：将问题取对，分成ba458616b41fc773a1e79d75ea7b9038.png与e2fddf9e696408091678d6e15bcca80d.png两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．

方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.

22．在直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为11d420f5928d22a908ab730fc87ba66e.png．

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为150f0277c060fb6ce770d5624240c4cf.png，M为C上的动点，点P满足44c94548bc22cb14f77eea1ca06f9360.png，写出Р的轨迹9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png的参数方程，并判断C与9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png是否有公共点．

【答案】（1）c33c81f17de85e8463f26530c9807491.png；（2）P的轨迹9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png的参数方程为2833d45e771f694046edc196436a96d6.png（7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png为参数），C与9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png没有公共点.

【解析】

【分析】

（1）将曲线C的极坐标方程化为5d16851f79084932925cef812a73fd3b.png，将8bb6f5c0ed14a55705241c3f92a04f50.png代入可得；

（2）方法一：设4b0fff314fb6dbbe87d5fcb163ca03e8.png，设99192ce19d718267eebb618b3dcabf89.png，根据向量关系即可求得P的轨迹9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.

【详解】

（1）由曲线C的极坐标方程11d420f5928d22a908ab730fc87ba66e.png可得5d16851f79084932925cef812a73fd3b.png，

将8bb6f5c0ed14a55705241c3f92a04f50.png代入可得3aa9dc878ca4caf11ad8100cf4f0438b.png，即c33c81f17de85e8463f26530c9807491.png，

即曲线C的直角坐标方程为c33c81f17de85e8463f26530c9807491.png；

（2）

[方法一]【最优解】

设4b0fff314fb6dbbe87d5fcb163ca03e8.png，设99192ce19d718267eebb618b3dcabf89.png

f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png44c94548bc22cb14f77eea1ca06f9360.png，

2758ad43c5a796a93a57efdf860f662a.png，

则452ca5b4a8fa5f1a2c5cbfc65d2411fd.png，即2833d45e771f694046edc196436a96d6.png，

故P的轨迹9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png的参数方程为2833d45e771f694046edc196436a96d6.png（7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png为参数）

f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png曲线C的圆心为6a6f532d7b3578fde3032a04edb5826f.png，半径为d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，曲线9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png的圆心为fa1e8a9078257cc5ae91d1064dc20575.png，半径为2，

则圆心距为38dd3727e1a7b7b95436a629299b701a.png，06f18da7fabe25da8d21be06e6d6c8d3.png，95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png两圆内含，

故曲线C与9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png没有公共点.

[方法二]：

设点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的直角坐标为90cbc22edf225adf8a68974f51227f05.png，654528ac47cbce9c1784d37bff6ddee3.png，d73745f0e6bfe851f950ee5282f530ef.png，因为bffe1e887b796e162455728e0ddce8b7.png，

所以1a766cafbdc1ee6b6df1a781ce85686f.png，fe5a50c918b6826e4ba90912113b166f.png，d73745f0e6bfe851f950ee5282f530ef.png，

由44c94548bc22cb14f77eea1ca06f9360.png，

即8c7202da187961fcf71bf65e749c78f0.png，

解得00d892b4e7b04c308ae0764f5d49c00c.png，

所以0e697415a50099a624217bf1edcf1d15.png，1fde7c352174c2d3a9f927b1c1cc6ea2.png，代入92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的方程得8e4b804967df91de933f14885220f0c4.png，

化简得点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的轨迹方程是e852ea09017688100c8e3727e83e6fce.png，表示圆心为85ed49c3479bee87d6cc7020f302151a.png，50bd4711a422a838a8a585e77a1b3fd8.png，半径为2的圆；

化为参数方程是2833d45e771f694046edc196436a96d6.png，7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png为参数；

计算67aa0ec32b9828da737ab3c01c0a25e7.png，

所以圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png与圆9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png内含，没有公共点．

【整体点评】

本题第二问考查利用相关点法求动点的轨迹方程问题，

方法一：利用参数方程的方法，设出69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png的参数坐标，再利用向量关系解出求解点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的参数坐标，得到参数方程.

方法二：利用代数方法，设出点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的坐标，再利用向量关系将69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png的坐标用点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的坐标表示，代入曲线C的直角坐标方程，得到点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的轨迹方程，最后化为参数方程.

23．已知函数653431083efd24b3f9df7b6b2f9c46db.png．

（1）画出f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png和04fda6c5ed3a8bc3e98652581296e371.png的图像；

（2）若dacb52d312ffeb58d299620b7933bebe.png，求a的取值范围．

【答案】（1）图像见解析；（2）5e95fff773a05a715758381d72fa0f61.png

【解析】

【分析】

（1）分段去绝对值即可画出图像；

（2）根据函数图像数形结和可得需将f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png向左平移可满足同角，求得1f2a4ff09f54090486927c56d705c4c0.png过450796ab2d8cd4d2fca305a90c237734.png时0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值可求.

【详解】

（1）可得5ae69efb14e4c99a49f02e64420254a0.png，画出图像如下：

8b622bdad3fc8ad9ad4378781edb6fae.png，画出函数图像如下：

（2）fc9205fd9f931954d011e11696791080.png，

如图，在同一个坐标系里画出6458abe6708c92eaa8ac7a5839dfaf9a.png图像，

1f2a4ff09f54090486927c56d705c4c0.png是f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png平移了70d96dda12bf002dad3cd42ecf0544c7.png个单位得到，

则要使ca9baecfff7a899489007c6b7f1bd8e0.png，需将f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png向左平移，即323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png，

当1f2a4ff09f54090486927c56d705c4c0.png过450796ab2d8cd4d2fca305a90c237734.png时，ced607fd835c6b99a72f7e8f9101f900.png，解得8635fbe2c317930bd12cb4998ce50c58.png或9be08abbfe1309750cbfc6b85306d873.png（舍去），

则数形结合可得需至少将f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png向左平移f1a515838d26372ff2fea9076e0128b9.png个单位，9f0cf084e037cc0f0e4681d96df58b2a.png.

【点睛】

关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.

2021年全国新高考I卷数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合ad3df02190f240bf986b92de895b3d0d.png，d54e3120ec2eac43a28ba27a8a3914d3.png，则1e49ca292213f572d50c447279071024.png（       ）

A．cfaff4f65a1ee0ae1cdfebcf468d7fc8.png B．a7083ad51f0e186666b68c675501d3ba.png C．c1d0451f6fa05ecc8115c455aaffd445.png D．ae62b1dca0f5f4510b3363ace3599961.png

【答案】B

【解析】

【分析】

利用交集的定义可求08d9c3e284852dcd7b3af129ffd73578.png.

【详解】

由题设有33eda5b86b7c351bb7690633eab59676.png，

故选：B .

2．已知c0729c92f40a913ad885b6181941e61f.png，则de6096da924338b8f43f6b48e4e09e36.png（       ）

A．ec7a5e5018c4e20bd275d07296e73f91.png B．52187a6ba4f14694e00306e350b00274.png C．9322097f6625cf53a650c83f33feedae.png D．c9310b8c2fb05dbb675003a1508f2e2a.png

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.

【详解】

因为c0729c92f40a913ad885b6181941e61f.png，故56bef8d74b60d5a260b3df8c9e7d1b66.png，故9986f2e0bba9a7279138984308f545a0.png

故选：C.

3．已知圆锥的底面半径为d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（       ）

A．c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png B．44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png C．a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png D．39b4572b4316b034d8778c77bd53db35.png

【答案】B

【解析】

【分析】

设圆锥的母线长为2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的值，即为所求.

【详解】

设圆锥的母线长为2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则02e41b7c00220d5c83296873474a9cc8.png，解得4790004b9ad0fdfb94eae60cf8f7c8cf.png.

故选：B.

4．下列区间中，函数6ad3df2d998106b82a2d08059fc4a144.png单调递增的区间是（       ）

A．c69580724cccd143b54c4d294a255859.png B．66d29fe9a1be7774063a57a370ab3ace.png C．99ac69da9bc88d1ffec4a68406656b09.png D．429eb70436d0b24b93392d6e84282d07.png

【答案】A

【解析】

【分析】

解不等式9a907c8c1e4cc25a1755c084fe8809ed.png，利用赋值法可得出结论.

【详解】

因为函数e532f3d8ea858571785762423ba1bc05.png的单调递增区间为51bdc289a8b9e1f9af030bd7439655bf.png，

对于函数6ad3df2d998106b82a2d08059fc4a144.png，由9a907c8c1e4cc25a1755c084fe8809ed.png，

解得d842b02d317f2d043f14011567c5b4b5.png，

取22d9bb2875d7a70aeb68696096f3b9b2.png，可得函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的一个单调递增区间为658f1cc91943b096fae27e4713996c71.png，

则ee2f578e8a97e2f26b01d1a9040fb14f.png，2de0c2639c20388286509b3a003ed0ca.png，A选项满足条件，B不满足条件；

取ceef78b61bf01306cc7e80344c92c19d.png，可得函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的一个单调递增区间为5f82b67d61e48de7cae86f10d8e944cd.png，

47bde6f6efa51c7ee5854a34dc508e32.png且6a43609e19622c5a38c578483eaffce0.png，fd15059f98a410a34970778409d25216.png，CD选项均不满足条件.

故选：A.

【点睛】

方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成1d920bc90dc725b036bd9e6aa5700f48.png形式，再求1d920bc90dc725b036bd9e6aa5700f48.png的单调区间，只需把ddf56ec885dfdf682a07dd0140e4e6d1.png看作一个整体代入e532f3d8ea858571785762423ba1bc05.png的相应单调区间内即可，注意要先把45bf03a575f6e81359314e906fb2bff3.png化为正数．

5．已知39a427e0b250982dd0fab7c404b4e2c2.png，162b23614f3de15ba9c77440d9b75780.png是椭圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png：fb61220b19ed633526012440387a60b7.png的两个焦点，点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png在92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png上，则aac9284864eb8da7a32db648aac9d6d8.png的最大值为（       ）

A．13 B．12 C．9 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

本题通过利用椭圆定义得到5c9a1ef4786f580e51d162e5de3b2565.png，借助基本不等式9fbadbebdb41b47805c8061992b9a08a.png即可得到答案．

【详解】

由题，f25ce30a4af7c3b085f899376e896855.png，则5c9a1ef4786f580e51d162e5de3b2565.png，

所以c549cabcc2b32c55209f3fc37f703dfc.png（当且仅当7549058662163c4574ad8cc02145aac7.png时，等号成立）．

故选：C．

【点睛】

6．若253b6256026dd50d0940eb33f7cdcff0.png，则2423d4fbc39121e1a3716f50835b54ad.png（       ）

A．800d49bef450a21c3246184cb51d54e4.png B．10cfc0dd6f03ce6a747d565f6e35fd9b.png C．add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png D．0c4209a8faecbcee233e5df1e1751e24.png

【答案】C

【解析】

【分析】

将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(2b097249004b1bdb89e5a1aee1106c87.png)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入253b6256026dd50d0940eb33f7cdcff0.png即可得到结果．

【详解】

将式子进行齐次化处理得：

ca1fd54c58119a794099c86947182a6d.png

cb2fc054554d5f77c54267899c47ca1b.png．

故选：C．

【点睛】

易错点睛：本题如果利用253b6256026dd50d0940eb33f7cdcff0.png，求出9c75a3c3f4ee2a45e22602957b30c4e6.png的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．

7．若过点a34bfef0821418830710e6da1c212c75.png可以作曲线447ce721b91100d103620dac5452b495.png的两条切线，则（       ）

A．f01be7057915b9afe803e0f3e4e9ad16.png B．d38da6b9fda63c9ad22a04206b105e0f.png

C．ecd43b07e844175af6175443e51d7e46.png D．58fb59be6d2b2b40fa78d590e52d2393.png

【答案】D

【解析】

【分析】

解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；

解法二：画出曲线447ce721b91100d103620dac5452b495.png的图象，根据直观即可判定点a34bfef0821418830710e6da1c212c75.png在曲线下方和9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】

在曲线447ce721b91100d103620dac5452b495.png上任取一点2babfc600fd52dc3484e92cd58f2728e.png，对函数447ce721b91100d103620dac5452b495.png求导得da367214e6f7e2bad0932e01f0c92fa3.png，

所以，曲线447ce721b91100d103620dac5452b495.png在点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png处的切线方程为7db40a4a5db17e2a6f8480c97d3e9384.png，即3623088591fccaa2c2a25b0359ee3877.png，

由题意可知，点a34bfef0821418830710e6da1c212c75.png在直线3623088591fccaa2c2a25b0359ee3877.png上，可得2b93b8c2cfd6183a96749c476e5dc263.png，

令30ac1c0932e3adcd8e48b0ec1eb46951.png，则04cc5aa54fe24749fa0c1c1707a9ae68.png.

当b21c440b5d60bcb5a9dc5972374c4b02.png时，edb36b9a67492d428fec18d1753c9e36.png，此时函数1750657d12e9fa99fb61bf8478127ba7.png单调递增，

当dbdcb780f4a5e551341c1ce9ab735043.png时，60137686058dff67e07a057fc1443e6c.png，此时函数1750657d12e9fa99fb61bf8478127ba7.png单调递减，

所以，c0c7e44baa9cd7b1519af21243e49f56.png，

由题意可知，直线9d746ab959f98b40dda0846d9a44c2e8.png与曲线600ffa23a9ae895869be00da1b8e8083.png的图象有两个交点，则b3e750656b8dcae7a0e0843761628fbf.png，

当791e9b1f0cd40ef64ddd12b6bffedce3.png时，dec3bb3ecd729f8122623358bb077991.png，当c59c9f7f5ab0ae9fc9a34e22191b12ef.png时，3acfe0b1fea5fcceb34fd96f7964d184.png，作出函数1750657d12e9fa99fb61bf8478127ba7.png的图象如下图所示：

由图可知，当58fb59be6d2b2b40fa78d590e52d2393.png时，直线9d746ab959f98b40dda0846d9a44c2e8.png与曲线600ffa23a9ae895869be00da1b8e8083.png的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线447ce721b91100d103620dac5452b495.png的图象如图所示，根据直观即可判定点a34bfef0821418830710e6da1c212c75.png在曲线下方和9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴上方时才可以作出两条切线.由此可知58fb59be6d2b2b40fa78d590e52d2393.png.

故选：D.

【点睛】

解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.

8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（       ）

A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立

C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立

【答案】B

【解析】

【分析】

根据独立事件概率关系逐一判断

【详解】

0e118d316c55c633412aa1851381bcb3.png，

30363d39d4e9c6d8286fb4c594b281e6.png

bb4b18f3c98bb1b490e07d34576cd014.png

故选：B

【点睛】

判断事件6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png是否独立，先计算对应概率，再判断76aae2acf63a0b3027c3dc506c9ceea2.png是否成立

二、多选题

9．有一组样本数据f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png，8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d.png，…，67b68721103b5a16194f4b3e3ec222db.png，由这组数据得到新样本数据f7b4a9a272539da17df482a540896746.png，89f771207ffb39300acb88dff8bae241.png，…，0aac89cc5848912240b16f540cc5a674.png，其中47acc6bd1337752d58e659f5477ad1b7.png(2de27fa7a9d81a67f0859b8fdfa4295e.png为非零常数，则（       ）

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本中位数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同

D．两组样本数据的样本极差相同

【答案】CD

【解析】

【分析】

A、C利用两组数据的线性关系有1df0e1cfbbe9c2093c1d712c69359ed3.png、e226f89b9c5394874b5379fe8d996067.png，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.

【详解】

A：640f6e18372195d95b753da3462e047b.png且c11a8a059dec3f167196db18ee735fcb.png，故平均数不相同，错误；

B：若第一组中位数为05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png，则第二组的中位数为47acc6bd1337752d58e659f5477ad1b7.png，显然不相同，错误；

C：22763a5bb6a45543c5ac45d002e53bd8.png，故方差相同，正确；

D：由极差的定义知：若第一组的极差为214d666173d9cee4e27b3c1ae0eadefa.png，则第二组的极差为038aeab94af02242ab95d0140b295deb.png，故极差相同，正确；

故选：CD

10．已知f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为坐标原点，点c64c8f4cf46c151a4666ab9340b7d129.png，ddbcb01808d9095cfca6e739fc034329.png，72d6aa5b5feb140474c89c1f1c249ea9.png，ed0e03e042bf2b7e9cbfd68d03ff31c9.png，则（       ）

A．c093f17c8968b511c45cb73be5a85e0e.png B．3d3a7efa4efdbfbab50c103ea4577bc0.png

C．ec2990e7288c99255de460f6cb6f178c.png D．ec47e575e6c9b600ed198945067b1cdd.png

【答案】AC

【解析】

【分析】

A、B写出350be67680627ca76332983df858de14.png，9061c0f98c3218e20d40ac66ffce8aaa.png、8f5a97a3b42bddf4ee25793ae7d78f22.png，e77ffe62570e67e20cb58b254b8b4d3d.png的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】

A：964c7f6c183d4e80dfb2e8c47a3e7fb8.png，5879ebc362ab67e6b011c1f583aa9e48.png，所以4c35bfd4331ec77d3f088ea01a969ff0.png，df49c1e0c94df8ddac5356e37cbc9814.png，故9e94f8958522af93f984a04c9e0a0795.png，正确；

B：dd64f22f7bf82ecc3144e6ba152d43cc.png，6c6b192964c0e54e20675164363514cc.png，所以5f85dd3084981ea218cb83cceda955e1.png，同理ae0f49208d40184d5bb4c5768658d5f0.png，故6e3e88470d5f8fbc61d9a9547d9bc84c.png不一定相等，错误；

C：由题意得：c908c351ad10a36d1ea3d4e9a0211b61.png，5af05a802cdd9c0b1cf966d5bc37d793.png，正确；

D：由题意得：b3befe5a35613cec6d167e065a01cac7.png，73c72a15dcd5574216c51825c2657ac6.png

b8d58406b23802fa480efd7b6a754658.png，故一般来说7146e8267e61dfef5cfd38a03cfd03ce.png故错误；

故选：AC

11．已知点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在圆b692514ec568f951db27b73eeb88ac88.png上，点5588834e9929a1aa73e4c91005c96b6d.png、83245bd838789ec840e82ac81ae95692.png，则（       ）

A．点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png到直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的距离小于d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png

B．点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png到直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的距离大于c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png

C．当cab608f852626d166c03a6b1dce43cad.png最小时，b1f19ddc4da200b3ebf0c21960a024d8.png

D．当cab608f852626d166c03a6b1dce43cad.png最大时，b1f19ddc4da200b3ebf0c21960a024d8.png

【答案】ACD

【解析】

【分析】

计算出圆心到直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的距离，可得出点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png到直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当cab608f852626d166c03a6b1dce43cad.png最大或最小时，cd203ccd68b84de1c5df8fd890e104e0.png与圆69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.

【详解】

圆b692514ec568f951db27b73eeb88ac88.png的圆心为e08d8dcc65cdb00c0a1bd4e423a06b7c.png，半径为a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png，

直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的方程为6b44021a1540a12c9d0918ac76bd5862.png，即53344e4451b92a11f9581ddc9d951fc8.png，

圆心69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png到直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的距离为bc43cc2c5f9144b5b68bbaa24083539e.png，

所以，点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png到直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的距离的最小值为eef509889bdc4dfce7eda96006b1c943.png，最大值为305237d7cee7dd762ebb3063490b0ecc.png，A选项正确，B选项错误；

如下图所示：

当cab608f852626d166c03a6b1dce43cad.png最大或最小时，cd203ccd68b84de1c5df8fd890e104e0.png与圆69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png相切，连接c90a918b859bd1e56cf99af6246b128e.png、5089fa881630360a9b3361469c1a0c5d.png，可知e93fcc1f275b5543d27a94ba93f10cc2.png，

5ac50e3929078995c64172787c6c4eda.png，5838020fa33929ab51fff4bcaefa37b2.png，由勾股定理可得17e25fd1e9f159bfa90bf4f42d47c314.png，CD选项正确.

故选：ACD.

【点睛】

结论点睛：若直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与半径为4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png的圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png相离，圆心92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png到直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的距离为8277e0910d750195b448797616e091ad.png，则圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png上一点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png到直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的距离的取值范围是0feaee0cbf1fcdc57fe8d038ebbb27d8.png.

12．在正三棱柱0009e4dc258a3d757dba159c76dae58f.png中，663dae64c212413b334659b8c35858dc.png，点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png满足93cc2e9cce6586e767ab227491b02437.png，其中23c7b8df0853b556eb7b05000735ebd2.png，3047101fff72ceae18340ab4280df7fb.png，则（       ）

A．当3bf274095ffd1195f33e30a48d07e43e.png时，6af337a3741875c3952a876165b979d0.png的周长为定值

B．当35a685938f585234bbb42abfa68ec43d.png时，三棱锥fb4676d948ba5bd277306db94d898942.png的体积为定值

C．当f80bb9c5ecfb4dbe6a7c2133a37ea671.png时，有且仅有一个点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，使得f2f81ada191ec2dbebd6dc8a3bae3e09.png

D．当e53649854b9ecbe8043f5e4e6f2fb56a.png时，有且仅有一个点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，使得f572ebe28fbdca3aee6899aa1d839bf0.png平面aea1b880517ddd81b245655e128200aa.png

【答案】BD

【解析】

【分析】

对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B，将44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；

对于C，考虑借助向量的平移将44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png点的个数；

对于D，考虑借助向量的平移将44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png点的个数．

【详解】

易知，点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在矩形51ca572b0a168e0b76b8b76f5e355c52.png内部（含边界）．

对于A，当3bf274095ffd1195f33e30a48d07e43e.png时，29fc821b95891f1ea9f2dc95b1f474b0.png，即此时4b903d10e3813c08cc118534c61dfe49.png线段86e43cc8f867b1331bc49e439e8afa17.png，6af337a3741875c3952a876165b979d0.png周长不是定值，故A错误；

对于B，当35a685938f585234bbb42abfa68ec43d.png时，f9c5f927263f7bc40d1e8c116f4b12bd.png，故此时44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png点轨迹为线段52432e2a12e5c8832d7c2a0cd40f718a.png，而728764717443831a4d29c3281de91a0b.png，39846069a4cd8a8195f0d6881f53577d.png平面8ef5c8338c1abe23b4daf3fc6b09d0cf.png，则有44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png到平面8ef5c8338c1abe23b4daf3fc6b09d0cf.png的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．

对于C，当f80bb9c5ecfb4dbe6a7c2133a37ea671.png时，5d1557bbd7682f9ba7afc22abaafd523.png，取f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png，52432e2a12e5c8832d7c2a0cd40f718a.png中点分别为f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png，c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png，则915b337c7fb7a1bb9904ac3f33fcf472.png，所以44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png点轨迹为线段dae527cde27db3a89c8cc1e79950124b.png，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，f2c4c8ce13e75eda0c7d8b63132701c5.png，e82caa01980a6b3bec0f3fd00eb28fba.png，31f98ef5989839092f2d958f02602f4e.png，则5569aea0e0f98a3ff08113ec041bc218.png，4e08485ba5afc25485bcc05867a6744e.png，3d02ebaf59bf3369294a5a0a3e8f3fc7.png，所以d433962e4618c320e8ad523f4e1eaf59.png或35a685938f585234bbb42abfa68ec43d.png．故8432b157da08115894ef7a056b75b15a.png均满足，故C错误；

对于D，当e53649854b9ecbe8043f5e4e6f2fb56a.png时，654b831907fdcbc5d1adc9ec86c43441.png，取94c82f367723e9b2d59baad49af43606.png，86e43cc8f867b1331bc49e439e8afa17.png中点为c307df251313e30dbffc899da627b0d6.png．7ffda8712e28169791c368c06551a1bf.png，所以44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png点轨迹为线段943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png．设879060a69716002a66aeb7657e022725.png，因为04f757f5dc9a3bbf2becbb08c549bbaa.png，所以071868377da75d092c0c1254b2fbe1e4.png，e4926e074905225b47f03b289b0c0133.png，所以97e695150701b7f85fd8b6c02635f5a6.png，此时44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png与8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png重合，故D正确．

故选：BD．

【点睛】

本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．

三、填空题

13．已知函数bc954366ccbfecd40acfa0cb59783a75.png是偶函数，则5ba758f9b6f95cbaf66a64bc24859213.png______.

【答案】1

【解析】

【分析】

利用偶函数的定义可求参数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值.

【详解】

因为bc954366ccbfecd40acfa0cb59783a75.png，故3fb99bb4ff5374fda500949a2aa74409.png，

因为ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png为偶函数，故d9b9739f35477d6fef5840857f3dd866.png，

时1875057779570dd54204ec407a2a2934.png，整理得到b9fe6610341fc36d9ee63d349c9a6e60.png，

故3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png，

故答案为：1

14．已知f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为坐标原点，抛物线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png：49059373893ad4eddbe00b7ade4d2065.png(08297f9dcc77d2e8f0a9d461fc8d29a7.png)的焦点为800618943025315f869e4e1f09471012.png，44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png为92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png上一点，21080924b5d026e4a6011eb987ae1ec8.png与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴垂直，f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴上一点，且3551a6cb5b97db928d3b42447f24761d.png，若c27852f1a8e69e6c78060bb9f7d18519.png，则92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的准线方程为______.

【答案】7b868ba155a622b5fe2176e7d5051991.png

【解析】

【分析】

先用坐标表示b76af6019c297461898fa12f2850ca87.png，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png，即得结果.

【详解】

抛物线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png：49059373893ad4eddbe00b7ade4d2065.png (08297f9dcc77d2e8f0a9d461fc8d29a7.png)的焦点6bbd9c0f86932451d004701728f9a2f1.png,

∵P为92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png上一点，21080924b5d026e4a6011eb987ae1ec8.png与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴垂直，

所以P的横坐标为88b318400ecbd15bc8e689e712e73d48.png，代入抛物线方程求得P的纵坐标为58ec5f2824e382f606443ccc17f9ba1c.png,

不妨设a42642013714e85054ab8bc191587461.png,

因为Q为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴上一点，且3551a6cb5b97db928d3b42447f24761d.png，所以Q在F的右侧，

又08727967614fcd3f7efc2cd9929722d3.png，

a175557edb9a0c33905b2f99b28605e3.png

因为3551a6cb5b97db928d3b42447f24761d.png，所以08ce8443562dcd4364d86309c67b9110.png834f59ae901f49196be2049a30114962.png,

c361a5a2a1a9c5db7b451777c9185cd6.png，

所以92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的准线方程为7b868ba155a622b5fe2176e7d5051991.png

故答案为：7b868ba155a622b5fe2176e7d5051991.png.

【点睛】

利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.

15．函数0e800fc1a26feec795b495e3981e373b.png的最小值为______.

【答案】1

【解析】

【分析】

由解析式知50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png定义域为b921db311612fd3665c51872c7a83455.png，讨论63716fc2f678b7f71fb409992e7fe6c6.png、494c46c1e2f27253d35a69c2af403698.png、3d3e00e0b84ad6b64a3461fe9092698a.png，并结合导数研究的单调性，即可求50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png最小值.

【详解】

由题设知：3677d32239d994e4f6cbe4b65c8bfabd.png定义域为b921db311612fd3665c51872c7a83455.png，

∴当63716fc2f678b7f71fb409992e7fe6c6.png时，8b9dbcbc6a861b3b58346616ee1acddc.png，此时50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png单调递减；

当494c46c1e2f27253d35a69c2af403698.png时，1315538f8c4a715e86bf63d41bd887b6.png，有464fdf2182729c7c5cafb65253b2815a.png，此时50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png单调递减；

当3d3e00e0b84ad6b64a3461fe9092698a.png时，1315538f8c4a715e86bf63d41bd887b6.png，有87e848a57249d08ac4e057be12248680.png，此时50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png单调递增；

又50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在各分段的界点处连续，

∴综上有：c30e0089abc277e81330ed639c193ec2.png时，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png单调递减，3d3e00e0b84ad6b64a3461fe9092698a.png时，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png单调递增；

∴0df675bcadcd7176f74ac84b22753ba8.png

故答案为：1.

四、双空题

16．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为f1f7e3b06bfafa35a9fae99fa03accf9.png的长方形纸，对折1次共可以得到988a3206bf93abba5d70592e33129e24.png，04ca0a9297a8601bd079c6720d43f2c3.png两种规格的图形，它们的面积之和5f00adddc4500c933fa3fd44818c6178.png，对折2次共可以得到25bcb6577bd3354da759f732631cef41.png，7d2c31444473d097ec7d5443a174356e.png，c1d121baf9bcc93cb397cb06cb9b34e1.png三种规格的图形，它们的面积之和f5c54e911b55b421b234de23b29127a3.png，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png次，那么6ede73869bbe15da947cf10e2b9d959e.png______af60c13e5a39792e97a6c1dee5003706.png.

【答案】     5     582dcf0aed2b5481b86ee25e9f511516.png

【解析】

【分析】

（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，再根据错位相减法得结果.

【详解】

（1）由对折2次共可以得到25bcb6577bd3354da759f732631cef41.png，7d2c31444473d097ec7d5443a174356e.png，c1d121baf9bcc93cb397cb06cb9b34e1.png三种规格的图形，所以对着三次的结果有：e896bc9ea9cbbbc8d1a1aee2e9688f1d.png，共4种不同规格（单位b77e7add53f0af52a16abd0f31f8cd1c.png；

故对折4次可得到如下规格：bed1c2fd562a6f34a0138030267ac021.png，2aa045af5f066806e75ee24bbd521136.png，13a620ddebe6ecfd13079b677bc48ad7.png，87c236dccb836d2fd282120484f512e2.png，4245926ec4fbae8932bd69d23b81731f.png，共5种不同规格；

（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png的等比数列，首项为120968bf1edbbadfd018fd054dfcf3c0aeb.png,第n次对折后的图形面积为74911fc9fc192d1e9976f685f80faa96.png，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为40b85027598d87611b1c8d5d11e46812.png种（证明从略），故得猜想8cb895f4b3f2ee61eda4eb20968d33c0.png，

设20f7f7f8b7b99b496c977b004ccf6fe4.png，

则fba7aaf7af82ca63fd40385e710831cb.png，

两式作差得：

30b5fa9bc3c138d84721ece3b529dc5a.png

e24f49b155c94bdfddcb54f5799e2def.png

5573989d216fe9f7cd2f3d66756b7b16.png，

因此，4968b3d875a8dc85580e76de6d271bb9.png.

故答案为：e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png；716422ec14d61963b0c935e8f582293a.png.

【点睛】

方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于c38294167936a1b67147671048170448.png结构，其中02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是等差数列，d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于4d4696db8522252e5f69a74432c5864e.png结构，利用分组求和法；

（4）对于0dafa3997e3528539a222505b40745a6.png结构，其中02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是等差数列，公差为d2dbc814649fb2159e96c0f2bb8d9242.png，则5ac8dea3e6343c134c8f0e3da9bc05d9.png，利用裂项相消法求和.

五、解答题

17．已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，9443f4e02d913f4653735c4b59af7d7c.png

（1）记10602296ee2e43c8e782198185d6fded.png，写出baacbe90a611155ee8de5fa5e833e134.png，56ece28df930bd4d153b6c74ba96c054.png，并求数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的通项公式；

（2）求02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前20项和.

【答案】（1）9da5eee1115b564fd659c560f2c93561.png；（2）94f6d7e04a4d452035300f18b984988c.png.

【解析】

【分析】

(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的特征，然后求和其通项公式即可；

(2)方法二：分组求和，结合等差数列前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和公式即可求得数列的前20项和.

【详解】

解：（1）[方法一]【最优解】：

显然21e2c0c0472b331622877accbe29b91b.png为偶数，则c98b3706beb2bfbc1be0914dd6f9eeee.png，

所以8790f2684361c402aa5ae656bb7609f9.png，即c0805f41412ed25b68d033841e78f0c6.png，且78b2225770c2fe0db45a7713295aaa65.png，

所以d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png是以2为首项，3为公差的等差数列，

于是9da5eee1115b564fd659c560f2c93561.png．

[方法二]：奇偶分类讨论

由题意知c98499369c3712b480acf9e468e6862a.png，所以a5672be0b81edf5f7029509579413d1d.png．

由b3a02c426ef5e694041472db7fbeb52a.png（7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为奇数）及b89c6d4d122cbcdc670a4f6315776df5.png（7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为偶数）可知，

数列从第一项起，

若7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为奇数，则其后一项减去该项的差为1，

若7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为偶数，则其后一项减去该项的差为2．

所以0137837ef1de0900ab53a17b22ce91d7.png，则90be9928b93396b8e9c9a8120b9648b1.png．

[方法三]：累加法

由题意知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足39e27576484794fc7e151834f10d6d0c.png．

所以39684e789c97f5263d8ab772366824a7.png，

2d7958ffce3a0543fe434002c5636535.png，

则5a94f60a99948f7de5608a8b4dbb72eb.pngea44365dc50b2bbef2d1d7c1e2365bbb.png．

所以187d4fd772a7d27efc11f0ad845e1863.png，数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的通项公式9c8db836f61e9cb7d7e793afbe2945fc.png．

（2）[方法一]：奇偶分类讨论

856178d294f6fa6295afba2a820655ea.png

a9babe61aa7c865b66a5337a0999afd5.png

234dfa8ac98b7f877dc8922c3657052b.png．

[方法二]：分组求和

由题意知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足0bff53f5a89ba6edc98aec269fa31b4f.png，

所以bbec5e38e97d54c0f0a15b1103b1108a.png．

所以数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；

同理，由4c137c21f8e021806c82af9dfb6cf648.png知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．

从而数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前20项和为：

5a65e522eb5503417e6be3010f060730.png74aede603824cdbcd18c202d41cfeb88.png．

【整体点评】

(1)方法一：由题意讨论d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的性质为最一般的思路和最优的解法；

方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；

方法三：写出数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式，然后累加求数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的通项公式，是一种更加灵活的思路.

(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和是一种常规的方法；

方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.

18．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png为小明的累计得分，求02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png类．

【解析】

【分析】

（1）通过题意分析出小明累计得分02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．

【详解】

（1）由题可知，02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的所有可能取值为cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png，98f13708210194c475687be6106a3b84.png，f899139df5e1059396431415e770c6dd.png．

f1b6f3a855984f52fda96c16c1cec56e.png；

a318c8e36ae1fa36ca278cea553036ea.png；

73497d0be69f48a675f75ec6af515a29.png．

所以02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的分布列为

若小明先回答9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png问题，记57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png为小明的累计得分，则57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png的所有可能取值为cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png，f033ab37c30201f73f142449d037028d.png，f899139df5e1059396431415e770c6dd.png．

b0275e67be12e46c90649e4c6d114650.png；

30255c15960be28f24cbfb03f8cd7f6d.png；

73497d0be69f48a675f75ec6af515a29.png．

所以cbb1e915948bbc975832413d72772c64.png．

因为fdf9d4ab861c57073bfa1da2951c44bd.png，所以小明应选择先回答9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png类问题．

19．记533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png是内角7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的对边分别为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png.已知b676b8668e26c1a89d056e509b0b9929.png，点f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png在边4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png上，fd3a15df879c280beedbca57cfd2301a.png.

（1）证明：4eb39ecf462d22ec4764bb2951e05f36.png；

（2）若37907af1ee1f09e5c929b5a51eb0c9ef.png，求7a4dada62ba3d37a0564817e66ba36af.png.

【答案】（1）证明见解析；（2）c008bf6f2307c22d3403f6f9729243f5.png.

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理的边角关系有953ed0875cdea848cc96e0fe415a7ba8.png，结合已知即可证结论.

（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png与4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png的关系，然后利用余弦定理即可求得7a4dada62ba3d37a0564817e66ba36af.png的值.

【详解】

（1）设533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的外接圆半径为R，由正弦定理，

得03f6eed570946045e656aae9c9ab6690.png，

因为fd3a15df879c280beedbca57cfd2301a.png，所以b36940e3102bd39747a1b1708fb3bf2d.png，即0d98efa433702b781face3bba1e08f74.png．

又因为b676b8668e26c1a89d056e509b0b9929.png，所以4eb39ecf462d22ec4764bb2951e05f36.png．

（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理

因为37907af1ee1f09e5c929b5a51eb0c9ef.png，如图，在533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png中，7cfc4d0b85f2c77418879f67a3fec561.png，①

在c9e853fb67d7b32c06c005320af074a5.png中，1d770110be86f9696afc7b6911875335.png．②

由①②得e686e3d5f068d1e4fd1a74e3cb3759d0.png，整理得3b530abf4ee96dab344d926aa082e76c.png．

又因为b676b8668e26c1a89d056e509b0b9929.png，所以9bc1e17db8076f5651203822db75e6f9.png，解得2b3155f4bc09672129f2e0f895a3cc46.png或87d8da69b30f37cb88688784a7995ff2.png，

当527ee23f96ab14d076af316242d2b33f.png时，fe49ec972aa2967ff0a231f86768bd38.png（舍去）．

当12c0f3f4abda8c7d37b8473c33fe16a8.png时，7d90b545fb462fbb2f710bf692c6598f.png．

所以c008bf6f2307c22d3403f6f9729243f5.png．

[方法二]：等面积法和三角形相似

如图，已知37907af1ee1f09e5c929b5a51eb0c9ef.png，则6b3b064a82410884b4b8e6b23f131709.png，

即0375841e1e5bba709da77a1803eee476.png，

而b676b8668e26c1a89d056e509b0b9929.png，即9bdb65dd5a79a996c0a1862c92b25631.png，

故有46cbe44b914ed61c1cd71b477f4b63c3.png，从而5fb53cdf9264d3bb1b8f3d419fb9f46c.png．

由b676b8668e26c1a89d056e509b0b9929.png，即bb2bfdba1aeffe29ebe0ad8ba532b5a8.png，即27cd222c0877f81fe357a77e3a3d6371.png，即b5c95ada9f826945ca6044160954d285.png，

故86cf91dda1677222201a86f91315f280.png，即a1d969a1681684d62518ef8f7b3df427.png，

又b676b8668e26c1a89d056e509b0b9929.png，所以7618d713d7318871439e192ae087376c.png，

则26eab530c349ccdd78462d88f14c10ad.png．

[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合

由（1）知c047b3aa834f01058a8de46e27fa13d4.png，再由37907af1ee1f09e5c929b5a51eb0c9ef.png得09e4e8c57d9d3ec3ddeed0b16a5c9484.png．

在45ac548ac874e77a8af206aae3da21b5.png中，由正弦定理得495e35ca14511f439d5e96959325d02e.png．

又5fb53cdf9264d3bb1b8f3d419fb9f46c.png，所以4658efed4b8d63065ce0110b5662241d.png，化简得25ee08a8653061aa013ce4662fa51baa.png．

在533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png中，由正弦定理知7618d713d7318871439e192ae087376c.png，又由b676b8668e26c1a89d056e509b0b9929.png，所以88cf80068e8648bcbe810ea4f48c6a47.png．

在533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png中，由余弦定理，得ed7893f14f49d3e5f7a1d4eb7dbf69f0.png．

故c008bf6f2307c22d3403f6f9729243f5.png．

[方法四]：构造辅助线利用相似的性质

如图，作4fa403665e099629bdaed6120356eb60.png，交f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png于点E，则bf2ea0ae5328eb0d36a2eaf0a1396ba0.png．

由37907af1ee1f09e5c929b5a51eb0c9ef.png，得aae64c5f600c0f5b6fba4094caf97e53.png．

在67d589add978cbc286a8f50cb4b5eb49.png中，fcc6973a780ab5293b5c5f7e2bf84e3e.png．

在533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png中b59d40ca524887f2456b00466b88b4f9.png．

因为32d152d4dcc950fb7bbd78e7b90b4b05.png，

所以a71fff3599121b0f4c81ee52ae1bd759.png，

整理得cf22f2c485ca3e48690e36523f3f5961.png．

又因为b676b8668e26c1a89d056e509b0b9929.png，所以9bc1e17db8076f5651203822db75e6f9.png，

即2b3155f4bc09672129f2e0f895a3cc46.png或a9ecf8fc3d73f6b4baf1f06c7914bd2f.png．

下同解法1．

[方法五]：平面向量基本定理

因为37907af1ee1f09e5c929b5a51eb0c9ef.png，所以0442681f1a825d3062dae2f3e69e6c7f.png．

以向量905c74090791f3abffa3c2aa51a8a19e.png为基底，有bde8014ce5762918cb668c4b5aed0806.png．

所以54e46d5c6e538a7397166d4984036a45.png，

即a1f2dfdf9e35bb05c515ae63e86719ff.png，

又因为b676b8668e26c1a89d056e509b0b9929.png，所以399b1d46d980d212910fce7499493cda.png．③

由余弦定理得cb02e9b31cec38e270e3ddf904e5fe83.png，

所以713151fb715d4cb1441d7b588a6d7d7d.png④

联立③④，得9bc1e17db8076f5651203822db75e6f9.png．

所以a9ecf8fc3d73f6b4baf1f06c7914bd2f.png或d5328e50b04408ff342627dd6d237ba4.png．

下同解法1．

[方法六]：建系求解

以D为坐标原点，4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png所在直线为x轴，过点D垂直于4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png的直线为y轴，

cf75e54791dd1f49f918345fdfe2430b.png长为单位长度建立直角坐标系，

如图所示，则60d4c789d1d987bf353130087495221b.png．

由（1）知，a492acf64e24c5caaf4d766db0f66b72.png，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．

设4453a9721c09a905c6c2cf7c9b8efcad.png，则cef90b45bf1748ed37574e0938358abc.png．⑤

由b676b8668e26c1a89d056e509b0b9929.png知，1dec9e296bbb7a945dfc0d192a2907e5.png，

即b00cee7dbd1d4575147d60b435d298a0.png．⑥

联立⑤⑥解得b9280811500d36ae06d4f23a7e5e47ec.png或81fe519519b5429ae403e29f0d62a023.png（舍去），2546b20f407fbc2510daff4d31d08ab4.png，

代入⑥式得80a8afd83c4187a36156dfb21777759c.png，

由余弦定理得a2cd511683a6632440aede1282e1e2c0.png．

【整体点评】

(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.

20．如图，在三棱锥a0531cd12b1e318decdc4091a47d348d.png中，平面a7cdf8675192a55cc0f673f4dbc11859.png平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png，ef11b7d5bbf8004a130f4ee075f90518.png，f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png的中点.

（1）证明：c301c899caf3e829711739b65a72a0cc.png；

（2）若89304da79a59a138c56ef82032286c72.png是边长为1的等边三角形，点3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png在棱e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png上，6eef75ca90c19134332f0e9064120bf7.png，且二面角7f98d574dc6cb14f87e3043d639ec7f8.png的大小为964b97788c2e29b16b368d95a4b4dbfc.png，求三棱锥a0531cd12b1e318decdc4091a47d348d.png的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2)2fd2f877aed319d08f0f37b2119abb1a.png.

【解析】

【分析】

(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；

(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.

【详解】

（1）因为ef11b7d5bbf8004a130f4ee075f90518.png，O是87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png中点，所以51d41d8624ca5651ae93c1321e7e3365.png，

因为52b02c3879715cc5405408c47df2a3b8.png平面75b85826a15607f238debae369a5571c.png，平面a7cdf8675192a55cc0f673f4dbc11859.png平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png，

且平面7a3880a0a95c28e20e5cf5b1d86e8e8e.png平面31161121ac398dc993a6cad26fd44694.png，所以f0c3d3bff972953617e488d375e0f6d3.png平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png．

因为50ae2e8856aa4b71904205a4e8c0b96c.png平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png，所以c301c899caf3e829711739b65a72a0cc.png.

（2）[方法一]：通性通法—坐标法

如图所示，以O为坐标原点，ffb4513f2a3a46ad17d19ff6b56f9a2d.png为fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png轴，75f75daed3373b39ee67e33c84afc37d.png为y轴，垂直75f75daed3373b39ee67e33c84afc37d.png且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系a094682bcaa447ec174c8cc223ba1897.png，

则79520ab5f32ae36c148ecd80d94b0c94.png，设dfe96052dd1474890f39bfd3ec661ec4.png,

所以8bf1990700160e42b6b96c71483b7960.png，

设4948084f26f668ba65e82a3689333095.png为平面5b3299b34e5a0fe69daa2120fa414734.png的法向量，

则由00ac883efade74e4c67483adeab7376c.png可求得平面5b3299b34e5a0fe69daa2120fa414734.png的一个法向量为a759ce8e30ee7bbf86481a24b19db6ff.png．

又平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png的一个法向量为e0d7b71bf2071d5a384aa632b493d757.png，

所以73d779ee0cc86d1f3331d698f64be119.png，解得40aa2227f8ab9f9737e2ce467090bb9c.png．

又点C到平面75b85826a15607f238debae369a5571c.png的距离为aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png，所以328de483bedcd033de80f1d25e822ce5.png，

所以三棱锥a0531cd12b1e318decdc4091a47d348d.png的体积为2fd2f877aed319d08f0f37b2119abb1a.png．

[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角

如图所示，作607bb1bb7506c94a0192fa7b77d6db57.png，垂足为点G．

作471ff1395cef714b255c948bec08916b.png，垂足为点F，连结2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png，则d858cf94d97cc1ab578610877c87a49f.png．

因为f0c3d3bff972953617e488d375e0f6d3.png平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png，所以7331d7022115ee00b3fe3b1d32dafbec.png平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png，

60e5f7ce8b0877bfeed95deb16dd1314.png为二面角7f98d574dc6cb14f87e3043d639ec7f8.png的平面角．

因为76bade358f3eab5308ed1cfa4c3bc498.png，所以41eea9dc39303b9116c058dbccbed806.png．

由已知得c3bc75c2ff7fff3131c24b3b071d0943.png，故9580d7129295f0d59318563b4a0ecefc.png．

又58a036f1fe465c913516925eed478af9.png，所以130c7f42239aa6823982f8eecbf6991c.png．

因为e4af11558d3da5700534b9881af5c146.png，

5a8d729d64eee1fc5d4682c6735bcfb1.png．

[方法三]：三面角公式

考虑三面角b6e674a832c82c28f13740c539767fba.png，记ad6159aebdb2e2678279ce4892049a9d.png为ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png，00ace054d1608618b198c78a9a1889ab.png为dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png，a98f3817f695d2af92878b466748ee97.png，

记二面角7f98d574dc6cb14f87e3043d639ec7f8.png为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png．据题意，得bc680a39645865dfce09b7223d6614ab.png．

对dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png使用三面角的余弦公式，可得0b3a16191de578a2dde52c0bf4d145cc.png，

化简可得05c5c94a4b5217d15e8f50ae130b6ea2.png．①

使用三面角的正弦公式，可得96966d5088fe82020c3e1fa2cf4c02c1.png，化简可得a165804d766911c59419c6fc21a3e490.png．②

将①②两式平方后相加，可得d457ada013e12cb2e67ac268b8e504c9.png，

由此得646a0af639c4b7e311dfcc406c3fd3bb.png，从而可得e193aa4a0f306d82c4bf9ab041992ae3.png．

如图可知58590b2d13b62ca39cefbea4c7ee15fc.png，即有23bcaccb497d6c8d1157c6e01ea4f58b.png，

根据三角形相似知，点G为75f75daed3373b39ee67e33c84afc37d.png的三等分点，即可得78e49b2171d658e604b796bc98683d74.png，

结合ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的正切值，

可得3934c05e5ce6851eac75b0977d27a39d.png从而可得三棱锥a0531cd12b1e318decdc4091a47d348d.png的体积为2fd2f877aed319d08f0f37b2119abb1a.png．

【整体点评】

(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；

方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.

方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.

21．在平面直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，已知点7d713b7aa181fed20e52081bd35d2230.png、8d0d56e2ae8fc096eb50c3dd6903cccb.png，点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png的轨迹为92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png.

（1）求92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的方程；

（2）设点b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png在直线8252d77bf5b096d504816a5094724abd.png上，过b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png的两条直线分别交92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png于7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png两点和44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png两点，且eb4ac65b1338f3a34421506e453725bf.png，求直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的斜率与直线08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png的斜率之和.

【答案】（1）f8f00bab7e9d3eb478765ece8c5abebd.png；（2）cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png.

【解析】

【分析】

(1) 利用双曲线的定义可知轨迹92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png是以点39a427e0b250982dd0fab7c404b4e2c2.png、162b23614f3de15ba9c77440d9b75780.png为左、右焦点双曲线的右支，求出0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的值，即可得出轨迹92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的方程；

(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得d62c36215ac6edfc1fc66a77baf561fd.png的值.

【详解】

(1) 因为562f2ae27b80f308977c56bb48180a3b.png，

所以，轨迹92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png是以点39a427e0b250982dd0fab7c404b4e2c2.png、162b23614f3de15ba9c77440d9b75780.png为左、右焦点的双曲线的右支，

设轨迹92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的方程为2fd20d35df801b1834efd73a88ee9ef7.png，则cbe17cb661c53f7b3b52ace2a94a853f.png，可得3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png，d2aab7eba040c209b4502d7591c2b4dd.png，

所以，轨迹92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的方程为f8f00bab7e9d3eb478765ece8c5abebd.png.

（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立

如图所示，设c11fabb30da137e377616170dce3f129.png,

设直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的方程为da9a402694d10e8a15435412ab8ba8b9.png．

联立d709abb9757a3474526186400732c319.png,

化简得36ef11136a31923a1d7ead764cd227a6.png.

则53fc3d2aba7b27aeef4cbaba7be3db89.png．

故3f6a4d84f2890e2a817b6b01dd159c3d.png．

则050acdf07fcc5d9126b18c720e06cb5d.png．

设08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png的方程为ff670c3cadfcb02fa8dccf91a86a1ac5.png，同理c42c8642bf021ad0ef52ce99c36180a0.png．

因为eb4ac65b1338f3a34421506e453725bf.png，所以a6a0f79b80e7eaf90832d85420bc0173.png，

化简得28d61d99008a4a00f88a23768aaf10f8.png，

所以b838fc2fcdae5536731419247ddb15dd.png，即f59571d122e7e51c68cd98f3162498ac.png．

因为cfd37e6ed21c11fd059481515cd13b72.png，所以623f5224618a7a95b0aaec46da87c1a3.png．

[方法二] ：参数方程法

设955078c3f764c354ad7b92bd61df45b8.png．设直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的倾斜角为24cb6977275a74cc193cd895c462291b.png，

则其参数方程为ec995cc93c0582f19ae8ce5b31f686b1.png，

联立直线方程与曲线C的方程4913d35189fa9762fc1142f888d91035.png，

可得575c5f2403b90e711e25025de347a3e2.png，

整理得30b8a32201e9f64b08088c726a73a271.png．

设3ccf4362e1dd7a2a1410e7608c32179c.png，

由根与系数的关系得ba84676be84025582ea3424890539dfb.png．

设直线08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png的倾斜角为f0db02faea3832d1c6cab0775f04ef54.png，e287d21c2587b48b42bac2dba46753ee.png，

同理可得9d73e034b1b31d66fbc6b3dcf44ad72e.png

由4259464d73dcf522784fe02e59129c53.png，得b36059a0c7bef91a20251b68832f4699.png．

因为8ccc655e4c758d96b46876cd0c56058e.png，所以88c5cc6c0f015bc881331b2f88009a7f.png．

由题意分析知52e68d5e82379315a82b9569ad78fdc1.png．所以1fa13919a05afe7a3b89515f28a37778.png，

故直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的斜率与直线08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png的斜率之和为0．

[方法三]：利用圆幂定理

因为eb4ac65b1338f3a34421506e453725bf.png，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．

设045c7b0fd9a660a719da0f95a98fea64.png,直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的方程为f95ea4e062f2816b7680a7b7785dc6b1.png，

直线08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png的方程为a62ad14eb653101ed19be1511647c4d9.png,

则二次曲线9813d86c8c9d0531d068543ecc5b5e7b.png．

又由cb907759ac4f7c63b13c3d09470986cc.png，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：

e6db17a5f5a568847951d495fc7be757.png，

整理可得：

0ef51e6763f7d5bccdbeba9661c16773.png2ed7b3595c100afe9791d3fef30eaea2.png，

其中5018f3bdef0addd1b7c029a0d13efd03.png．

由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即623f5224618a7a95b0aaec46da87c1a3.png.

【整体点评】

(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；

方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.

方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.

22．已知函数e0f7169f9ce78f8d2ef9ce6e7af4e5f9.png.

（1）讨论ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的单调性；

（2）设0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png为两个不相等的正数，且cc4aef033e1e1937f231d6646859222b.png，证明：95960c749c627f885c333db886dfcc8d.png.

【答案】（1）ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的递增区间为7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png，递减区间为2257e95d394e2d1f1b79f282585fe914.png；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.

(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令33451894ac940351e54d2d78132f307a.png，命题转换为证明：26d4a220b48deb80f985c130b6ed0af1.png，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.

【详解】

(1)ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的定义域为1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png．

由e0f7169f9ce78f8d2ef9ce6e7af4e5f9.png得，07116cf807105b3524ef6774246b3302.png，

当a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png时，3d1d407ba5346dfddd3d824fb3a8abda.png；当ef1fe79df71128a6124385f59e835e39.png时b7dd8e2f4138bbd977566bc38241fca1.png；当64fe3b4df987c5df3e14aa23b30e329e.png时，e751f5901e18fcfa919ce4c96aa4f0f6.png．

故ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在区间4478b788e0fd93d3633b0dd86b1946a4.png内为增函数，在区间c17f3d6c0e9a86fb5f9e7f21111e1ae4.png内为减函数，

(2)[方法一]：等价转化

由cc4aef033e1e1937f231d6646859222b.png得5f6e59fbad593c698e7ef211fbb9ae95.png，即72747481f9107e7fb4a51c502a571637.png．

由519b378d7c02689235644d48958bffce.png，得6d593ecea498daef52163741212d7d9d.png．

由（1）不妨设992269cf86508fa49cc53005cff252d6.png，则ad12641c33d92506aae956204ecae63f.png，从而54390e3a91035652f56a56cf1613d696.png，得a90a755fbc6f7cd17ee72eb25a67d4c5.png，

①令d7b1f797d119cf0c4b3c3835b9a03792.png，则2fcdd7db63fe13aa163f5c60935eb7b0.png，

当ef1fe79df71128a6124385f59e835e39.png时，b306a468b173c75bd7ee17bef698d67e.png，5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png在区间7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png内为减函数，d83de3fbeecf5aa310147caeeb0c94b3.png，

从而c242a8338d3cbc4176c266ad3886c94a.png，所以1b90bfb3c5bd9ecb46fc731d64c56218.png，

由（1）得9abaa4804eb5784864c638f7ef8a2d6e.png即2bf029d487c658aeb0f1860d6f2a3982.png．①

令9d1986abd9058ad66fe0be2c4c97983f.png，则47a16e36f4b439262bfe52d139c761fa.png，

当9e7ced7e82ff704cfe771d2e6f05681f.png时，b3fd6990aba05785a4cd7cf5c49a0199.png，bf3cc25c2d752823ab942d0912424f81.png在区间450d36d32e64d3b5693fdc6c2e27e2cc.png内为增函数，c980a8eec8d69302b2d1971fdf812e08.png，

从而ff73c4ac80e6b5be0a7245f336b0cce5.png，所以4a4763e922771b6d1b2ecce7050aef02.png．

又由3387cc09d40917cc03949aeda2cd4b0d.png，可得e0712a23562584ed4bd6e4d39180ee67.png，

所以29796cea257222fdb2e4c8d100003e29.png．②

由①②得95960c749c627f885c333db886dfcc8d.png．

[方法二]【最优解】：cc4aef033e1e1937f231d6646859222b.png变形为cfa63a643d8a414296ba2bc88928c2d2.png，所以692be65c2e0a2dbc535c4bb63676361e.png．

令33451894ac940351e54d2d78132f307a.png．则上式变为f2941778139385c2dfc2f73d671b5a6d.png，

于是命题转换为证明：26d4a220b48deb80f985c130b6ed0af1.png．

令e0f7169f9ce78f8d2ef9ce6e7af4e5f9.png，则有a5bc11283bee2112fb680cb9fa761a2e.png，不妨设86e4002ad023005c126e746fdbb3c212.png．

由（1）知3a9dd1033ceb68791c95cc03c8632d31.png，先证8af3d0ce309336b8912c5507aa0bafeb.png．

要证：e4ea1318c781208be26e6ff19d492c73.png

22d3424e46bb2667fb5286f0cac33dda.png．

令6ed8f7fed566431f9aac1e28405206bb.png，

则afa322c40f519efb53b562b880f8a575.png，

6505c8d8a160f533254a38eeaaa4fd07.png在区间7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png内单调递增，所以39bca331f01054e70ab604be53f4d292.png，即8af3d0ce309336b8912c5507aa0bafeb.png．

再证6d1711f2e877978e538226c0ee05d18e.png．

因为e94dd15306ddb963f24ec4d170b0efe5.png，所以444ab33cb122d3ef951ceb6b7e1a6578.png．

令32bec15137e7bdb95aebb015a93fe989.png，

所以6387498d56d76203b8aa40d9fdf3a1b2.png，故bf3cc25c2d752823ab942d0912424f81.png在区间450d36d32e64d3b5693fdc6c2e27e2cc.png内单调递增．

所以c980a8eec8d69302b2d1971fdf812e08.png．故aa8b5c71dbc1769797654b01948400e1.png，即6d1711f2e877978e538226c0ee05d18e.png．

综合可知95960c749c627f885c333db886dfcc8d.png．

[方法三]：比值代换

证明39f3e5973783e7b1284ad336d5ba184d.png同证法2．以下证明7cd7f4e748adf41c6589b0266b12c5f5.png．

不妨设dfd2a1bf17508770f63a26c7d83b516a.png，则109be2045f4c89b65ffae768c1c6331e.png，

由85384021b86e72e84b45a178d193b136.png得6c71b3adeb57e6f55df8ff651bae1fd3.png，6ab3c37ca89adc89f0421266b1a1ec13.png，

要证7cd7f4e748adf41c6589b0266b12c5f5.png，只需证ca92457760292d658bbea00fb10dd1a0.png，两边取对数得9c90826e5e9aa3080c56c9df06a506a6.png，

即b14e798000c9117243f755a59918aa90.png，

即证4d44f9c8a4a8fa7d3498464d26682403.png．

记48ea9a1d19d0ac511dc3536305696b94.png，则eb6cec4c2d1fced1ac9f197591d2095a.png.

记5e9c685c49fe4b7531e2829fcc4caac6.png，则3cf2d04edc6b39c9c59fe60aecab3c8f.png，

所以，3697583af3672a7cc2468a4538207dda.png在区间1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png内单调递减．da73fd198c8e63b5a274917edd7fc873.png，则2e1ccbc7a96ae6e2055897c7fe9a79e8.png，

所以0f1da562f188385b5fd3c17836259f30.png在区间1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png内单调递减．

由b428836d2f3066b834298de56c1e33a9.png得6ae85352826ca90ecfbf34a60dd8af26.png，所以4cff3431f04a5283eb7d591c42c132e0.png，

即4d44f9c8a4a8fa7d3498464d26682403.png．

[方法四]：构造函数法

由已知得cfa63a643d8a414296ba2bc88928c2d2.png，令5978ac73f905d797053da5010767e59e.png，

不妨设efe46c48bf0ef19d5cfb8a4d0860ea0f.png，所以de092026656fb4b5da6cbf2af12df490.png．

由（Ⅰ）知，b658fed6a9b4e02a9c49e55053aff061.png，只需证157250f5823eefaf6b7fe5d56760f6c2.png．

证明5ed528f655e57e2e3c6ff5c0b702c8ce.png同证法2．

再证明7cd7f4e748adf41c6589b0266b12c5f5.png．令93a1056d86b129a7bb9230a4ee4c3dea.png．

令ec1c4414512809bdb0a1589671c5866a.png，则5d33e4de97c43c9cc107cb7406e990cf.png．

所以adc241547171d297e5480c772b6d2e2e.png，bf3cc25c2d752823ab942d0912424f81.png在区间806deb65376b25866b2c11eb6bc5d5eb.png内单调递增．

因为c6353e7aa8c2f6a5b07036796ab88ee8.png，所以edda97b2b2dadd0e0ccb06a4b02097e1.png，即6c7adf221521816ec7896059b3d8b7a2.png

又因为de092026656fb4b5da6cbf2af12df490.png，所以415922fc3b9a50a4f487969727750eb2.png，

即0657d9b17638f81dc53b20fd6bddb8fa.png．

因为efe46c48bf0ef19d5cfb8a4d0860ea0f.png，所以7cd7f4e748adf41c6589b0266b12c5f5.png，即3ab6bc02523fc96fe967e5f78317a45c.png．

综上，有95960c749c627f885c333db886dfcc8d.png结论得证．

【整体点评】

(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.

方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.

方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.

方法四：构造函数之后想办法出现关于0a93064c5a5218ca72a1c564c693ad05.png的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.

2021年全国新高考II卷数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．复数5af2cadac0c33c5929511023775dd528.png在复平面内对应的点所在的象限为（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的除法可化简5af2cadac0c33c5929511023775dd528.png，从而可求对应的点的位置.

【详解】

559dfd9f270f44643eb8a2e46a3289d7.png，所以该复数对应的点为8cf62e7de23f78b76992d5e9b9015bfd.png，

该点在第一象限，

故选：A.

2．设集合2f9e56a5fdee4efaabbffcb4e52c3a9b.png，则982f7dc2287a5a277f8d644640ec4332.png（       ）

A．ca0ae0d7ea467c7b95729bcc8d7aec96.png B．ef0cb56c6ccf50673e83e748513c0e75.png C．cd1d56084c31009f235d0b4d30afdde8.png D．3f2217f7a29202bb0f30f1eb832c0dc9.png

【答案】B

【解析】

【分析】

根据交集、补集的定义可求20f4ee6c1dd9f718beb3e37caf903746.png.

【详解】

由题设可得53e43d45fbb7421db734d53177cd20f4.png，故f63e867bad6e526bac6b9ff7b8695351.png，

故选：B.

3．抛物线8453a76292bcf676851b25f8ab891508.png的焦点到直线f37095873a385c6512cb745773e5963a.png的距离为d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，则8a3692ef966ec7d03a02c73291943a0b.png（       ）

A．1 B．2 C．44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png的值.

【详解】

抛物线的焦点坐标为d7ca5eb92e3a077977d27f4c356a751e.png，

其到直线31eba51bf888e2a1fcad1a999867af0a.png的距离：bb3434397220baa4b8784be5a4b78be5.png，

解得：905b566b5fb4359eb506b353ea3775f2.png(cbc4485bb2bf17a8750fead2ad8ef059.png舍去).

故选：B.

4．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为cdcbfe1b73492eae262d1399a305c845.png（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为f0c32e508f0c7939106e3f78603ff0ad.png的球，其上点A的纬度是指ffb4513f2a3a46ad17d19ff6b56f9a2d.png与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为e474513397e70d9fdc7bf425d923ecfe.png（单位：250ad941e2ac5387f95d28364bc8c9cf.png），则S占地球表面积的百分比约为（       ）

A．26% B．34% C．42% D．50%

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.

【详解】

由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：

858a45ef17efb5a1d76b61385fe78fac.png.

故选：C.

5．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（       ）

A．061320bf9ff5e107545bce11b104ff1f.png B．647f4292e118499a23e8e807db352591.png C．3021d37001b09bfb57a1de7b4b25a519.png D．8dd5b227f34c2828169cb95d745333fb.png

【答案】D

【解析】

【分析】

由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.

【详解】

作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，

因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，

所以该棱台的高23bf89ccdf446debb0536ff47020183f.png，

下底面面积cf0ac3277964b3aeca563decc5d716bc.png，上底面面积ef2435f0498e06189d969783417180d7.png，

所以该棱台的体积88fd880767e571c63e931974e2d96aa9.png.

故选：D.

6．某物理量的测量结果服从正态分布b477aa40abeae3469d1a88fdbb38678b.png，下列结论中不正确的是（       ）

A．3122c41ebe889f745cb9bbe1c92165c3.png越小，该物理量在一次测量中在d892c1d958ff43595a0d9ddba48b5e5c.png的概率越大

B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D．该物理量在一次测量中落在f84878e2c0a65e0f490aed6973b2ca49.png与落在c1a4edb21c432967b8d9d3c35bf37bc7.png的概率相等

【答案】D

【解析】

【分析】

由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.

【详解】

对于A，557e26001dc70335783de7dc96943f03.png为数据的方差，所以3122c41ebe889f745cb9bbe1c92165c3.png越小，数据在a99d45f9384fa90731dd5bf1c9453f23.png附近越集中，所以测量结果落在b6d63372d72ffe387cefc683d34e9c41.png内的概率越大，故A正确；

对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为d310cb367d993fb6fb584b198a2fd72c.png，故B正确；

对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于c9672e0b0c60278acd6bdff453eb84f0.png的概率与小于9836d1e9cdc33053d9097b9b8117b2c5.png的概率相等，故C正确；

对于D，因为该物理量一次测量结果落在f5f630800430d56394a2d92556710849.png的概率与落在8ed6f9199606e9fb8b08c2c3bbc9315b.png的概率不同，所以一次测量结果落在d4f89b9e597ad1d284c912b538b8bca0.png的概率与落在03dfac590dd3ee7458f9abd0db8c055a.png的概率不同，故D错误.

故选：D.

7．已知7012d3000559ddc194403bba37904aeb.png，b555aac116dee246115438fefeb4fcc3.png，07fcba9c668d0351c38e28fe2aedead0.png，则下列判断正确的是（       ）

A．c870deab406aac6ffd151def485a8fba.png B．559c1ff4d7f4f02c5bc4d32fd783d2dd.png C．57ccadf9c98a599bdf47e888d114e5a4.png D．1b4cccf30aed47a4a8e0e227a1a6cf7f.png

【答案】C

【解析】

【分析】

对数函数的单调性可比较0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png与4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png的大小关系，由此可得出结论.

【详解】

e59ae9f7fb9af16d9a997464cc8ad70f.png，即57ccadf9c98a599bdf47e888d114e5a4.png.

故选：C.

8．已知函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的定义域为e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png，e994b3fdbe7a31550ed1247da1340dba.png为偶函数，b39acb7a0ccc0ae9fa64149d459c76a3.png为奇函数，则（       ）

A．4a049293cdc3307c6396331a56534f4e.png B．608c8a9709641af838290f72bd062b49.png C．b1b912252d2323e1d7a25744fd65e7a7.png D．19f36aefc2e47b341ae5aaefad786feb.png

【答案】B

【解析】

【分析】

推导出函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png是以a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png为周期的周期函数，由已知条件得出4ae00029989256ae9877840d7a60a932.png，结合已知条件可得出结论.

【详解】

因为函数e994b3fdbe7a31550ed1247da1340dba.png为偶函数，则93282278e9468e2120967c57791b6f04.png，可得af9eb50a845efe749e8832e4a5248b84.png，

因为函数b39acb7a0ccc0ae9fa64149d459c76a3.png为奇函数，则674263be15beb668ac59eea5f9b33b9a.png，所以，f1ae19c82b8413efc07e4d933370bf0a.png，

所以，989bca7a14d8ad852b3d5926911b4373.png，即50000b3030354c218615ec6c0879d55d.png，

故函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png是以a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png为周期的周期函数，

因为函数26b15e2f1f8dc5ebd30d8d7afa98e36b.png为奇函数，则0769e138efb7c41876e1466c143312ee.png，

故bcb7a8429c290c0df8572629cf018277.png，其它三个选项未知.

故选：B.

二、多选题

9．下列统计量中，能度量样本f04962720aef5daeef9223356f4ec5a8.png的离散程度的是（       ）

A．样本f04962720aef5daeef9223356f4ec5a8.png的标准差 B．样本f04962720aef5daeef9223356f4ec5a8.png的中位数

C．样本f04962720aef5daeef9223356f4ec5a8.png的极差 D．样本f04962720aef5daeef9223356f4ec5a8.png的平均数

【答案】AC

【解析】

【分析】

考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.

【详解】

由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；

由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；

由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；

由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；

故选：AC.

10．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足acd0ad0011af98351c3208af5cb62f80.png的是（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.

【详解】

设正方体的棱长为c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png，

对于A，如图（1）所示，连接4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png，则afb6aca148786e612584b5d156e6bfc0.png，

故27673d13e6740f9a109e1391b2222d0b.png（或其补角）为异面直线97ece0df07b323b63ad2483fcfa69b0c.png所成的角，

在直角三角形ad9f5325bab7d34c910fc2c7bce6e65c.png，f0fd2dc40526939aeafaaf421a7215ac.png，41c54f5660d3f79dab007f5a8a007aa3.png，故c91df718e50e6423da0be8acaca32255.png，

故acd0ad0011af98351c3208af5cb62f80.png不成立，故A错误.

对于B，如图（2）所示，取cb48af3e40ab9ec3622c07b8faf27cf3.png的中点为f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png，连接08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png，167a3b2baacd621cc223e2793b3fa9d2.png，则d190cb3a69dc33c51bc53f6989cf727a.png，be196f11a78fd39eeb7329a144ca2cf9.png，

由正方体f69ea20043e0799f91f244a4d2656ea9.png可得b96ac857ffd185cf5283c2021b0718dc.png平面027b4267dc3e8b89e0f59c674cafb04b.png，而2f3dfcbb4b24a9485d6f8639268bb737.png平面027b4267dc3e8b89e0f59c674cafb04b.png，

故85867168b8ad362684e603da1d4de591.png，而842920f4bc4a5dd99657ffbd956cf9af.png，故574ca62210f60cbb033a96e8d0fdc7aa.png平面64354b4843c615754803f33af6fc83f3.png，

又5fc254f80895e22f1495effb616d2472.png平面64354b4843c615754803f33af6fc83f3.png，3cef6d2eada57896ccbbaf8eac3bac28.png，而2a3bc091514da0613acf2a2b99c1cdf4.png，

所以025c0b73e241ccac97e60e6b16003395.png平面6ca1389a39539440ed92e7312e744c9d.png，而89596dbb809b3f98189812c3c4610b9f.png平面6ca1389a39539440ed92e7312e744c9d.png，故acd0ad0011af98351c3208af5cb62f80.png，故B正确.

对于C，如图（3），连接87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png，则36b44a4be1825b05c524a9db3932b751.png，由B的判断可得f8c3833a38474fa96ef2a3c6270dddc6.png，

故8981471d89afb3c8beaa935961b1c8ba.png，故C正确.

对于D，如图（4），取e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png的中点f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png，b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的中点a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png，连接44fe92628857e37e72bb3eea68fa97fb.png，

则673b169e7fc022be8ec6e673b9bb7453.png，

因为9415b49815055aa3d1fe7dff7025f5ae.png，故0112f1f637c884de746ddc2b3460323c.png，故61091b8ac3d2eec9bd241231159927be.png，

所以6d52edd00e1a570451284de2959e8c2a.png或其补角为异面直线b4dc35db497f8b8ca91e272f260c4974.png所成的角，

因为正方体的棱长为2，故194eadfdff0f1d4ba1fa7e8ab079c4e0.png，f0a3b52aa17d6efde4da3704ba8c4b9d.png，

859093897a895931402c2d317213f057.png，949522e21713011272578273acd978df.png，故6d52edd00e1a570451284de2959e8c2a.png不是直角，

故b4dc35db497f8b8ca91e272f260c4974.png不垂直，故D错误.

故选：BC.

11．已知直线73891976e67b87ff490056880bf97d6c.png与圆1e00ba7f6618109ff87b5fb0fa8e7385.png，点2bac9a7688a81212beda2154b80f1b1e.png，则下列说法正确的是（       ）

A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

【答案】ABD

【解析】

【分析】

转化点与圆、点与直线的位置关系为e05d8d8c0075c30e64454b7d5db5d695.png的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.

【详解】

圆心2ce692a820de93627729da6953923cd5.png到直线l的距离c8ebd8a3d98d63e29c8aafa965fc2b65.png，

若点504cf9ad8579e549e1b7228f74f6b51e.png在圆C上，则9615680c82309e37d24496bbd0de88a2.png，所以998cb54d304bad640d78f074e409a8d7.png，

则直线l与圆C相切，故A正确；

若点504cf9ad8579e549e1b7228f74f6b51e.png在圆C内，则33302d2ce4184ad055f467a05114763a.png，所以8cd4675e1cec03503231f80730fc3f61.png，

则直线l与圆C相离，故B正确；

若点504cf9ad8579e549e1b7228f74f6b51e.png在圆C外，则85686871f74be08903f9b24c8062d5f0.png，所以53aeea7d6373a72e5f434552b5f5d454.png，

则直线l与圆C相交，故C错误；

若点504cf9ad8579e549e1b7228f74f6b51e.png在直线l上，则776c758c311c041352f343f63aa84465.png即9615680c82309e37d24496bbd0de88a2.png，

所以998cb54d304bad640d78f074e409a8d7.png，直线l与圆C相切，故D正确.

故选：ABD.

12．设正整数125252c820de769475ab70362c11d461.png，其中56e5d370de09f24fdc798104de4b4788.png，记7c74af9c9de4049a9dc53f262f694392.png．则（       ）

A．f65616574dc5100256429d79886d9bdc.png B．efe2efaf58e4ab7e8662f0099d4902b8.png

C．a5c9cd6a2020ded6418005efb2c8679d.png D．f3beccfc8d2720333315a5c96e3316e8.png

【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用d1de0dd529c45247272c54e7a389c19f.png的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.

【详解】

对于A选项，7c74af9c9de4049a9dc53f262f694392.png，15eaee5559cc51d477f02c51a55e0dfa.png，

所以，c0335174e0963c36850a5a717ea6f56f.png，A选项正确；

对于B选项，取c303081f7a16f603112b0375bdc84883.png，d6a6bcba344fceba957d347dc4bb7ecb.png，166006d0f3fb3623b3600a2c4586f2a4.png，

而579aad24967c6b9be2c0afd1570c0dbb.png，则7cac9d315a2e52850dbf53e027993723.png，即02a252448f7acbdbbe9db4fe56c438a1.png，B选项错误；

对于C选项，fac52be4899b2a96cc1f12b90a5e44d4.png，

所以，cd7319aecae6fa5657fdbf94205678a5.png，

9906873be54fb2910f9ddbf165d6735e.png，

所以，cd7319aecae6fa5657fdbf94205678a5.png，因此，a5c9cd6a2020ded6418005efb2c8679d.png，C选项正确；

对于D选项，03030ed4b19eece7fc7378fc6eda480a.png，故f3beccfc8d2720333315a5c96e3316e8.png，D选项正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．若双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.

【答案】fa1a4f2e9771a00ad30da73c87d99f8e.png

【解析】

【分析】

根据离心率得出334e96e8a899a2ef250f1272e483f707.png，结合dc2c1c55d1fd18bc0084c64f61dfbbb4.png得出b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png关系，即可求出双曲线的渐近线方程.

【详解】

解：由题可知，离心率7fce6d61379cb9a4b2d6ca3e83bd53a1.png，即334e96e8a899a2ef250f1272e483f707.png，

又72a52d672b40e0693d422155f9243330.png，即573331f17ae69de98469593ca8909e87.png，则74ce6a9f8fe10b4520c2ebf5fbace205.png，

故此双曲线的渐近线方程为fa1a4f2e9771a00ad30da73c87d99f8e.png.

故答案为：fa1a4f2e9771a00ad30da73c87d99f8e.png.

14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数ae951b41d15f337c4b69fcf41352085d.png_______．

①e88360e000fb8c2e87fbcd5e6e62f2ca.png；②当03a701ad75b944b688fc49694f7dc8a1.png时，8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png；③37b36ce6a38cafd5a171742a9b19b8c6.png是奇函数．

【答案】deea33f8841a99159b35fd8dfd7bd15c.png（答案不唯一，43c7788268548f62f5bbfe395640abfc.png均满足）

【解析】

【分析】

根据幂函数的性质可得所求的ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png.

【详解】

取deea33f8841a99159b35fd8dfd7bd15c.png，则af388a8af68a7ac67d94b50bc9edf6ef.png，满足①，

4660a0dcc3b63f84942c13f11f2d4a3c.png，887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时有82ba1ab4d8827e260ef0f540d1922661.png，满足②，

4660a0dcc3b63f84942c13f11f2d4a3c.png的定义域为e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png，

又fe7e3b497038813887b8b279fd720779.png，故0b5b9b81c16711886bcd666852118de4.png是奇函数，满足③.

故答案为：deea33f8841a99159b35fd8dfd7bd15c.png（答案不唯一，43c7788268548f62f5bbfe395640abfc.png均满足）

15．已知向量5ff11611f8984ed133c637c8787b4ce9.png，88f5b21719f2f29ba8076ee478eb55c6.png，88808cbd0f5e3793fcb185d345fc4456.png，da9242d92c7af0dda79d73b3c88ca2bc.png_______．

【答案】92bc84c7268bbf939402c7657cbdf263.png

【解析】

【分析】

由已知可得539e47112d2c7d6eca5984cc6dcf9e28.png，展开化简后可得结果.

【详解】

由已知可得91470f617d95871b3f5271327e9ac55a.png，

因此，b55c3c5e71fa22b53a965bfe2cf5359f.png.

故答案为：92bc84c7268bbf939402c7657cbdf263.png.

16．已知函数4aa17beff4c4dc872e8b427b4e02b98c.png，函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的图象在点7be0571d24f22d6ede627a6d7fc42299.png和点cf4875724cfad9f1e9d6d1561ad67d89.png的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则ae64accf311250a885ec39cd4c125a60.png取值范围是_______．

【答案】7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png

【解析】

【分析】

结合导数的几何意义可得9b69f81dbec6f7844944d23e97b26f65.png，结合直线方程及两点间距离公式可得c8780278982c1d8e1c6dd5201012c77f.png，69e6860b8dd4fb15ceef2d5d9279bf55.png，化简即可得解.

【详解】

由题意，

，则

，

所以点

和点

，

,

所以

，

所以

，

所以

，

同理

,

所以

.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：

解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件

，消去一个变量后，运算即可得解.

四、解答题

17．记

是公差不为0的等差数列

的前n项和，若

．

（1）求数列

的通项公式

；

（2）求使

成立的n的最小值．

【答案】(1)

；(2)7.

【解析】

【分析】

(1)由题意首先求得

的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；

(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】

(1)由等差数列的性质可得：

，则：

，

设等差数列的公差为

，从而有：

，

，

从而：

，由于公差不为零，故：

，

数列的通项公式为：

.

(2)由数列的通项公式可得：

，则：

，

则不等式

即：

，整理可得：

，

解得：

或

，又

为正整数，故

的最小值为

.

【点睛】

等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.

18．在

中，角

、

、

所对的边长分别为

、

、

，

，

.．

（1）若

，求

的面积；

（2）是否存在正整数

，使得

为钝角三角形?若存在，求出

的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）

；（2）存在，且

.

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理可得出

，结合已知条件求出

的值，进一步可求得

、

的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出

，再利用三角形的面积公式可求得结果；

（2）分析可知，角

为钝角，由

结合三角形三边关系可求得整数

的值.

【详解】

（1）因为

，则

，则

，故

，

，

，所以，

为锐角，则

，

因此，

；

（2）显然

，若

为钝角三角形，则

为钝角，

由余弦定理可得

，

解得

，则

，

由三角形三边关系可得

，可得

，

，故

.

19．在四棱锥

中，底面

是正方形，若

．

（1）证明：平面

平面

；

（2）求二面角

的平面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）

.

【解析】

【分析】

（1）取

的中点为

，连接

，可证

平面

，从而得到面

面

.

（2）在平面

内，过

作

，交

于

，则

，建如图所示的空间坐标系，求出平面

、平面

的法向量后可求二面角的余弦值.

【详解】

（1）取

的中点为

，连接

.

因为

，

，则

，

而

，故

.

在正方形

中，因为

，故

，故

，

因为

，故

，故

为直角三角形且

，

因为

，故

平面

，

因为

平面

，故平面

平面

.

（2）在平面

内，过

作

，交

于

，则

，

结合（1）中的

平面

，故可建如图所示的空间坐标系.

则

，故

.

设平面

的法向量

，

则

即

，取

，则

，

故

.

而平面

的法向量为

，故

.

二面角

的平面角为锐角，故其余弦值为

.

20．已知椭圆C的方程为

，右焦点为

，且离心率为

．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线

与曲线

相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是

．

【答案】（1）

；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）由离心率公式可得

，进而可得

，即可得解；

（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证

；

充分性：设直线

，由直线与圆相切得

，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得

，进而可得

，即可得解.

【详解】

（1）由题意，椭圆半焦距

且

，所以

，

又

，所以椭圆方程为

；

（2）由（1）得，曲线为

，

当直线

的斜率不存在时，直线

，不合题意；

当直线

的斜率存在时，设

，

必要性：

若M，N，F三点共线，可设直线

即

，

由直线

与曲线

相切可得

，解得

，

联立

可得

，所以

，

所以

,

所以必要性成立；

充分性：设直线

即

，

由直线

与曲线

相切可得

，所以

，

联立

可得

，

所以

，

所以

，

化简得

，所以

，

所以

或

，所以直线

或

，

所以直线

过点

，M，N，F三点共线，充分性成立；

所以M，N，F三点共线的充要条件是

．

【点睛】

关键点点睛：

解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.

21．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，

．

（1）已知

，求

；

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：

的一个最小正实根，求证：当

时，

，当

时，

；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用公式计算可得

.

（2）利用导数讨论函数的单调性，结合

及极值点的范围可得

的最小正零点.

（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.

【详解】

（1）

.

（2）设

，

因为

，故

，

若

，则

，故

.

，

因为

，

，

故

有两个不同零点

，且

，

且

时，

；

时，

；

故

在

，

上为增函数，在

上为减函数，

若

，因为

在

为增函数且

，

而当

时，因为

在

上为减函数，故

，

故

为

的一个最小正实根，

若

，因为

且在

上为减函数，故1为

的一个最小正实根，

综上，若

，则

.

若

，则

，故

.

此时

，

，

故

有两个不同零点

，且

，

且

时，

；

时，

；

故

在

，

上为增函数，在

上为减函数，

而

，故

，

又

，故

在

存在一个零点

，且

.

所以

为

的一个最小正实根，此时

，

故当

时，

.

（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.

22．已知函数

．

（1）讨论

的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：

只有一个零点

①

；

②

．

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；

(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.

【详解】

(1)由函数的解析式可得：

，

当

时，若

，则

单调递减，

若

，则

单调递增；

当

时，若

，则

单调递增，

若

，则

单调递减，

若

，则

单调递增；

当

时，

在

上单调递增；

当

时，若

，则

单调递增，

若

，则

单调递减，

若

，则

单调递增；

(2)若选择条件①：

由于

，故

，则

，

而

，

而函数在区间

上单调递增，故函数在区间

上有一个零点.

，

由于

，

，故

，

结合函数的单调性可知函数在区间

上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

若选择条件②：

由于

，故

，则

，

当

时，

，

，

而函数在区间

上单调递增，故函数在区间

上有一个零点.

当

时，构造函数

，则

，

当

时，

单调递减，

当

时，

单调递增，

注意到

，故

恒成立，从而有：

，此时：

，

当

时，

，

取

，则

，

即：

，

而函数在区间

上单调递增，故函数在区间

上有一个零点.

，

由于

，

，故

，

结合函数的单调性可知函数在区间

上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．

2022年高考全国甲卷数学（理）真题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若

，则

（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.

【详解】

故选：C

2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（       ）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于

B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

【解析】

【分析】

由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

【详解】

讲座前中位数为

,所以

错；

讲座后问卷答题的正确率只有一个是

个

,剩下全部大于等于

,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

,所以B对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为

，

讲座前问卷答题的正确率的极差为

,所以

错.

故选:B.

3．设全集

，集合

，则

（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

【分析】

解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.

【详解】

由题意，

，所以

,

所以

.

故选：D.

4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（       ）

A．8 B．12 C．16 D．20

【答案】B

【解析】

【分析】

由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.

【详解】

由三视图还原几何体，如图，

则该直四棱柱的体积

.

故选：B.

5．函数

在区间

的图象大致为（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】

令

，

则

，

所以

为奇函数，排除BD；

又当

时，

，所以

，排除C.

故选：A.

6．当

时，函数

取得最大值

，则

（       ）

A．

B．

C．

D．1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意可知

，

即可解得

，再根据

即可解出．

【详解】

因为函数

定义域为

，所以依题可知，

，

，而

，所以

，即

，所以

，因此函数

在

上递增，在

上递减，

时取最大值，满足题意，即有

．

故选：B.

7．在长方体

中，已知

与平面

和平面

所成的角均为

，则（       ）

A．

B．AB与平面

所成的角为

C．

D．

与平面

所成的角为

【答案】D

【解析】

【分析】

根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．

【详解】

如图所示：

不妨设

，依题以及长方体的结构特征可知，

与平面

所成角为

，

与平面

所成角为

，所以

，即

，

，解得

．

对于A，

，

，

，A错误；

对于B，过

作

于

，易知

平面

，所以

与平面

所成角为

，因为

，所以

，B错误；

对于C，

，

，

，C错误；

对于D，

与平面

所成角为

，

，而

，所以

．D正确．

故选：D．

8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，

是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在

上，

．“会圆术”给出

的弧长的近似值s的计算公式：

．当

时，

（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

【分析】

连接

，分别求出

，再根据题中公式即可得出答案.

【详解】

解：如图，连接

，

因为

是

的中点，

所以

，

又

，所以

三点共线，

即

，

又

，

所以

，

则

，故

，

所以

.

故选：B.

9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为

，侧面积分别为

和

，体积分别为

和

．若

，则

（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

【分析】

设母线长为

，甲圆锥底面半径为

，乙圆锥底面圆半径为

，根据圆锥的侧面积公式可得

，再结合圆心角之和可将

分别用

表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.

【详解】

解：设母线长为

，甲圆锥底面半径为

，乙圆锥底面圆半径为

，

则

，

所以

，

又

，

则

，

所以

，

所以甲圆锥的高

，

乙圆锥的高

，

所以

.

故选：C.

10．椭圆

的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线

的斜率之积为

，则C的离心率为（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

【分析】

设

，则

，根据斜率公式结合题意可得

，再根据

，将

用

表示，整理，再结合离心率公式即可得解.

【详解】

解：

，

设

，则

，

则

，

故

，

又

，则

，

所以

，即

，

所以椭圆

的离心率

.

故选：A.

11．设函数

在区间

恰有三个极值点、两个零点，则

的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由

的取值范围得到

的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．

【详解】

解：依题意可得

，因为

，所以

，

要使函数在区间

恰有三个极值点、两个零点，又

，

的图象如下所示：

则

，解得

，即

．

故选：C．

12．已知

，则（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由

结合三角函数的性质可得

；构造函数

，利用导数可得

，即可得解.

【详解】

因为

,因为当

所以

,即

,所以

；

设

，

，所以

在

单调递增，

则

,所以

，

所以

,所以

，

故选：A

二、填空题

13．设向量

，

的夹角的余弦值为

，且

，

，则

_________．

【答案】

【解析】

【分析】

设

与

的夹角为

，依题意可得

，再根据数量积的定义求出

，最后根据数量积的运算律计算可得．

【详解】

解：设

与

的夹角为

，因为

与

的夹角的余弦值为

，即

，

又

，

，所以

，

所以

．

故答案为：

．

14．若双曲线

的渐近线与圆

相切，则

_________．

【答案】

【解析】

【分析】

首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．

【详解】

解：双曲线

的渐近线为

，即

，

不妨取

，圆

，即

，所以圆心为

，半径

，

依题意圆心

到渐近线

的距离

，

解得

或

（舍去）．

故答案为：

．

15．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．

【答案】

.

【解析】

【分析】

根据古典概型的概率公式即可求出．

【详解】

从正方体的

个顶点中任取

个，有

个结果，这

个点在同一个平面的有

个，故所求概率

．

故答案为：

．

16．已知

中，点D在边BC上，

．当

取得最小值时，

________．

【答案】

##

【解析】

【分析】

设

，利用余弦定理表示出

后，结合基本不等式即可得解.

【详解】

设

，

则在

中，

，

在

中，

，

所以

，

当且仅当

即

时，等号成立，

所以当

取最小值时，

.

故答案为：

.

三、解答题

17．记

为数列

的前n项和．已知

．

(1)证明：

是等差数列；

(2)若

成等比数列，求

的最小值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

．

【解析】

【分析】

（1）依题意可得

，根据

，作差即可得到

，从而得证；

（2）由（1）及等比中项的性质求出

，即可得到

的通项公式与前

项和，再根据二次函数的性质计算可得．

(1)

解：因为

，即

①，

当

时，

②，

①

②得，

，

即

，

即

，所以

，

且

，

所以

是以

为公差的等差数列．

(2)

解：由（1）可得

，

，

，

又

，

，

成等比数列，所以

，

即

，解得

，

所以

，所以

，

所以，当

或

时

．

18．在四棱锥

中，

底面

．

(1)证明：

；

(2)求PD与平面

所成的角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

.

【解析】

【分析】

（1）作

于

，

于

，利用勾股定理证明

，根据线面垂直的性质可得

，从而可得

平面

，再根据线面垂直的性质即可得证；

（2）以点

为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.

(1)

证明：在四边形

中，作

于

，

于

，

因为

，

所以四边形

为等腰梯形，

所以

，

故

，

，

所以

，

所以

，

因为

平面

，

平面

，

所以

，

又

，

所以

平面

，

又因为

平面

，

所以

；

(2)

解：如图，以点

为原点建立空间直角坐标系，

，

则

，

则

，

设平面

的法向量

，

则有

，可取

，

则

，

所以

与平面

所成角的正弦值为

.

19．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

【答案】(1)

；

(2)分布列见解析，

.

【解析】

【分析】

（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为

，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；

（2）依题可知，

的可能取值为

，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．

(1)

设甲在三个项目中获胜的事件依次记为

，所以甲学校获得冠军的概率为

．

(2)

依题可知，

的可能取值为

，所以，

,

，

，

.

即

的分布列为

	0	10	20	30
	0.16	0.44	0.34	0.06

.

20．设抛物线

的焦点为F，点

，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，

．

(1)求C的方程；

(2)设直线

与C的另一个交点分别为A，B，记直线

的倾斜角分别为

．当

取得最大值时，求直线AB的方程．

【答案】(1)

；

(2)

.

【解析】

【分析】

（1）由抛物线的定义可得

，即可得解；

（2）设点的坐标及直线

，由韦达定理及斜率公式可得

，再由差角的正切公式及基本不等式可得

，设直线

，结合韦达定理可解.

(1)

抛物线的准线为

，当

与x轴垂直时，点M的横坐标为p，

此时

，所以

，

所以抛物线C的方程为

；

(2)

设

，直线

，

由

可得

，

，

由斜率公式可得

，

，

直线

，代入抛物线方程可得

，

，所以

，同理可得

，

所以

又因为直线MN、AB的倾斜角分别为

，

所以

，

若要使

最大，则

，

设

，则

，

当且仅当

即

时，等号成立，

所以当

最大时，

，设直线

，

代入抛物线方程可得

，

，所以

，

所以直线

.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.

21．已知函数

．

(1)若

，求a的取值范围；

(2)证明：若

有两个零点

，则

．

【答案】(1)

(2)证明见的解析

【解析】

【分析】

（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；

（2）利用分析法，转化要证明条件为

，再利用导数即可得证.

(1)

的定义域为

，

令

,得

当

单调递减

当

单调递增

，

若

,则

,即

所以

的取值范围为

(2)

由题知,

一个零点小于1,一个零点大于1

不妨设

要证

,即证

因为

,即证

因为

,即证

即证

即证

下面证明

时，

设

，

则

设

所以

,而

所以

,所以

所以

在

单调递增

即

,所以

令

所以

在

单调递减

即

,所以

；

综上,

,所以

.

【点睛】

关键点点睛：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式

这个函数经常出现，需要掌握

22．在直角坐标系

中，曲线

的参数方程为

（t为参数），曲线

的参数方程为

（s为参数）．

(1)写出

的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

的极坐标方程为

，求

与

交点的直角坐标，及

与

交点的直角坐标．

【答案】(1)

；

(2)

的交点坐标为

，

，

的交点坐标为

，

．

【解析】

【分析】

(1)消去

，即可得到

的普通方程；

(2)将曲线

的方程化成普通方程，联立求解即解出．

(1)

因为

，

，所以

，即

的普通方程为

．

(2)

因为

，所以

，即

的普通方程为

，

由

，即

的普通方程为

．

联立

，解得：

或

，即交点坐标为

，

；

联立

，解得：

或

，即交点坐标为

，

．

23．已知a，b，c均为正数，且

，证明：

(1)

；

(2)若

，则

．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据

，利用柯西不等式即可得证；

（2）由（1

，即可得到

，再根据权方和不等式即可得证.

(1)

证明：由柯西不等式有

，

所以

，

当且仅当

时，取等号，

所以

；

(2)

证明：因为

，

，

，

，由（1）得

，

即

，所以

，

由权方和不等式知

，

当且仅当

，即

，

时取等号，

所以

.

2022年新高考全国II卷数学真题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合

，则

（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

【分析】

求出集合

后可求

.

【详解】

，故

，

故选：B.

2．

（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的乘法可求

.

【详解】

，

故选：D.

3．图1是中国古代建筑中的举架结构，

是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中

是举，

是相等的步，相邻桁的举步之比分别为

．已知

成公差为0.1的等差数列，且直线

的斜率为0.725，则

（       ）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9

【答案】D

【解析】

【分析】

设

，则可得关于

的方程，求出其解后可得正确的选项.

【详解】

设

，则

，

依题意，有

，且

，

所以

，故

，

故选：D

4．已知向量

，若

，则

（       ）

A．

B．

C．5 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【详解】

解：

,

,即

,解得

,

故选：C

5．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（       ）

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

【答案】B

【解析】

【分析】

利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】

因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有

种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：

种不同的排列方式，

故选：B

6．若

，则（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】

由已知得：

,

即：

，

即：

,

所以

,

故选：C

7．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为

和

，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径

，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．

【详解】

设正三棱台上下底面所在圆面的半径

，所以

，即

，设球心到上下底面的距离分别为

，球的半径为

，所以

，

，故

或

，即

或

，解得

符合题意，所以球的表面积为

．

故选：A．

8．已知函数

的定义域为R，且

，则

（       ）

A．

B．

C．0 D．1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意赋值即可知函数

的一个周期为

，求出函数一个周期中的

的值，即可解出．

【详解】

因为

，令

可得，

，所以

，令

可得，

，即

，所以函数

为偶函数，令

得，

，即有

，从而可知

，

，故

，即

，所以函数

的一个周期为

．

因为

，

，

，

，

，所以

一个周期内的

．由于22除以6余4，

所以

．

故选：A．

二、多选题

9．已知函数

的图像关于点

中心对称，则（       ）

A．

在区间

单调递减

B．

在区间

有两个极值点

C．直线

是曲线

的对称轴

D．直线

是曲线

的切线

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．

【详解】

由题意得：

，所以

，

，

即

，

又

，所以

时，

，故

．

对A，当

时，

，由正弦函数

图象知

在

上是单调递减；

对B，当

时，

，由正弦函数

图象知

只有1个极值点，由

，解得

，即

为函数的唯一极值点；

对C，当

时，

，

，直线

不是对称轴；

对D，由

得：

，

解得

或

,

从而得：

或

,

所以函数

在点

处的切线斜率为

，

切线方程为：

即

．

故选：AD．

10．已知O为坐标原点，过抛物线

焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点

，若

，则（       ）

A．直线

的斜率为

B．

C．

D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由

及抛物线方程求得

，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线

的方程，联立抛物线求得

，即可求出

判断B选项；由抛物线的定义求出

即可判断C选项；由

，

求得

，

为钝角即可判断D选项.

【详解】

对于A，易得

，由

可得点

在

的垂直平分线上，则

点横坐标为

，

代入抛物线可得

，则

，则直线

的斜率为

，A正确；

对于B，由斜率为

可得直线

的方程为

，联立抛物线方程得

，

设

，则

，则

，代入抛物线得

，解得

，则

，

则

，B错误；

对于C，由抛物线定义知：

，C正确；

对于D，

，则

为钝角，

又

，则

为钝角，

又

，则

，D正确.

故选：ACD.

11．如图，四边形

为正方形，

平面

，

，记三棱锥

，

，

的体积分别为

，则（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】CD

【解析】

【分析】

直接由体积公式计算

，连接

交

于点

，连接

，由

计算出

，依次判断选项即可.

【详解】

设

，因为

平面

，

，则

，

，连接

交

于点

，连接

，易得

，

又

平面

，

平面

，则

，又

，

平面

，则

平面

，

又

，过

作

于

，易得四边形

为矩形，则

，

则

，

，

，则

，

，

，

则

，则

，

，

，故A、B错误；C、D正确.

故选：CD.

12．若x，y满足

，则（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．

【详解】

因为

（

R），由

可变形为，

，解得

，当且仅当

时，

，当且仅当

时，

，所以A错误，B正确；

由

可变形为

，解得

，当且仅当

时取等号，所以C正确；

因为

变形可得

，设

，所以

，因此

，所以当

时满足等式，但是

不成立，所以D错误．

故选：BC．

三、填空题

13．已知随机变量X服从正态分布

，且

，则

____________．

【答案】

##

．

【解析】

【分析】

根据正态分布曲线的性质即可解出．

【详解】

因为

，所以

，因此

．

故答案为：

．

14．设点

，若直线

关于

对称的直线与圆

有公共点，则a的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】

首先求出点

关于

对称点

的坐标，即可得到直线

的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；

【详解】

解：

关于

对称的点的坐标为

，

在直线

上，

所以

所在直线即为直线

，所以直线

为

，即

；

圆

，圆心

，半径

，

依题意圆心到直线

的距离

，

即

，解得

，即

；

故答案为：

15．已知直线l与椭圆

在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且

，则l的方程为___________．

【答案】

【解析】

【分析】

令

的中点为

，设

，

，利用点差法得到

，设直线

，

，

，求出

、

的坐标，再根据

求出

、

，即可得解；

【详解】

解：令

的中点为

，因为

，所以

，

设

，

，则

，

，

所以

，即

所以

，即

，设直线

，

，

，

令

得

，令

得

，即

，

，所以

，

即

，解得

或

（舍去），

又

，即

，解得

或

（舍去），

所以直线

，即

；

故答案为：

四、双空题

16．曲线

过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．

【答案】    

【解析】

【分析】

分

和

两种情况，当

时设切点为

，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出

，即可求出切线方程，当

时同理可得；

【详解】

解：因为

，

当

时

，设切点为

，由

，所以

，所以切线方程为

，

又切线过坐标原点，所以

，解得

，所以切线方程为

，即

；

当

时

，设切点为

，由

，所以

，所以切线方程为

，

又切线过坐标原点，所以

，解得

，所以切线方程为

，即

；

故答案为：

；

五、解答题

17．已知

为等差数列，

是公比为2的等比数列，且

．

(1)证明：

；

(2)求集合

中元素个数．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

．

【解析】

【分析】

（1）设数列

的公差为

，根据题意列出方程组即可证出；

（2）根据题意化简可得

，即可解出．

(1)

设数列

的公差为

，所以，

，即可解得，

，所以原命题得证．

(2)

由（1）知，

，所以

，即

，亦即

，解得

，所以满足等式的解

，故集合

中的元素个数为

．

18．记

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为

，已知

．

(1)求

的面积；

(2)若

，求b．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先表示出

，再由

求得

，结合余弦定理及平方关系求得

，再由面积公式求解即可；

（2）由正弦定理得

，即可求解.

(1)

由题意得

，则

，

即

，由余弦定理得

，整理得

，则

，又

，

则

，

，则

；

(2)

由正弦定理得：

，则

，则

，

.

19．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间

的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为

，该地区年龄位于区间

的人口占该地区总人口的

.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间

，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

【答案】(1)

岁；

(2)

；

(3)

．

【解析】

【分析】

（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

（2）设

{一人患这种疾病的年龄在区间

}，根据对立事件的概率公式

即可解出；

（3）根据条件概率公式即可求出．

(1)

平均年龄

（岁）．

(2)

设

{一人患这种疾病的年龄在区间

}，所以

．

(3)

设

“任选一人年龄位于区间[40,50)”，

“从该地区中任选一人患这种疾病”，

则由已知得：

,

则由条件概率公式可得

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间

，此人患这种疾病的概率为

．

20．如图，

是三棱锥

的高，

，

，E是

的中点．

(1)证明：

平面

；

(2)若

，

，

，求二面角

的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）连接

并延长交

于点

，连接

、

，根据三角形全等得到

，再根据直角三角形的性质得到

，即可得到

为

的中点从而得到

，即可得证；

（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.

(1)

证明：连接

并延长交

于点

，连接

、

，

因为

是三棱锥

的高，所以

平面

，

平面

，

所以

、

，

又

，所以

，即

，所以

，

又

，即

，所以

，

，

所以

所以

，即

，所以

为

的中点，又

为

的中点，所以

，

又

平面

，

平面

，

所以

平面

(2)

解：过点

作

，如图建立平面直角坐标系，

因为

，

，所以

，

又

，所以

，则

，

，

所以

，所以

，

，

，

，

所以

，

则

，

，

，

设平面

的法向量为

，则

，令

，则

，

，所以

；

设平面

的法向量为

，则

，

令

，则

，

，所以

；

所以

.

设二面角

的大小为

，则

，

所以

，即二面角

的正弦值为

.

21．已知双曲线

的右焦点为

，渐近线方程为

．

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点

在C上，且

．过P且斜率为

的直线与过Q且斜率为

的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在

上；②

；③

．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）利用焦点坐标求得

的值，利用渐近线方程求得

的关系，进而利用

的平方关系求得

的值，得到双曲线的方程；

（2）先分析得到直线

的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到

；由直线

和

的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率

，由②

等价转化为

，由①

在直线

上等价于

，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.

(1)

右焦点为

，∴

,∵渐近线方程为

，∴

，∴

，∴

，∴

，∴

．

∴C的方程为：

；

(2)

由已知得直线

的斜率存在且不为零，直线

的斜率不为零，

若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线

的斜率存在且不为零；

若选①③推②，则

为线段

的中点，假若直线

的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知

在

轴上，即为焦点

,此时由对称性可知

、

关于

轴对称，与从而

，已知不符；

总之，直线

的斜率存在且不为零.

设直线

的斜率为

,直线

方程为

,

则条件①

在

上，等价于

；

两渐近线的方程合并为

,

联立消去y并化简整理得：

设

,线段中点为

,则

,

设

,

则条件③

等价于

,

移项并利用平方差公式整理得：

，

,即

,

即

；

由题意知直线

的斜率为

, 直线

的斜率为

,

∴由

,

∴

,

所以直线

的斜率

,

直线

,即

,

代入双曲线的方程

,即

中，

得：

,

解得

的横坐标：

,

同理：

，

∴

∴

,

∴条件②

等价于

，

综上所述：

条件①

在

上，等价于

；

条件②

等价于

；

条件③

等价于

；

选①②推③:

由①②解得：

,∴③成立；

选①③推②：

由①③解得：