2020-2021学年湖北省孝感市孝昌县九年级（上）期末数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 下列各图中，由图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到的是( )
A. B.
C.
D.
2. 指出下列事件中是必然事件的个数( )
①一元二次方程𝑥2+2𝑥+4=0一定有两个不等的实数根；②抛物线𝑦=2(𝑥−1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位可得抛物线𝑦=2𝑥2；③90°的圆周角所对的弦是圆中最长的弦；④平行四边形是中心对称图形
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 若关于𝑥的一元二次方程(𝑘+1)𝑥2+2(𝑘+1)𝑥+𝑘−2=0有实数根，则𝑘的取值
范围在数轴上表示正确的是( )
A. C.
B. D.
4. 如图，𝐴𝐵是⊙𝑂直径，点𝐶在⊙𝑂上，𝐴𝐸是⊙𝑂的切
线，𝐴为切点，连接𝐵𝐶并延长交𝐴𝐸于点𝐷.若∠𝐴𝑂𝐶=80°，则∠𝐴𝐷𝐵的度数为( )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 20°
𝐵两点，5. 如图，直线𝑦=𝑚𝑥与双曲线𝑦=𝑥交于𝐴，过点𝐴作𝐴𝑀⊥𝑥轴，垂足为点𝑀，
连接𝐵𝑀，若𝑆△𝐴𝐵𝑀=2，则𝑘的值为( )
𝑘
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A. −2 B. 2 C. 4 D. −4
6. 如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小
正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( )
A. 5 B. 5 C. 5 D. 5
7. 如图，以𝑂为圆心的圆与直线𝑦=−𝑥+√3交于𝐴、𝐵两点，若
△𝑂𝐴𝐵恰为等边三角形，则弧𝐴𝐵的长度为( )
432
1
A. 3𝜋 B. 𝜋
2C. √𝜋
3
2
D. 3𝜋
8. 如图，从一张腰长为60𝑐𝑚，顶角为120°的等腰三角形铁皮𝑂𝐴𝐵中剪出一个最大的
扇形𝑂𝐶𝐷，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为( )
1
A. 10𝑐𝑚 B. 15𝑐𝑚 C. 10√3𝑐𝑚 D. 20√2𝑐𝑚
9. 如图是一副三角尺𝐴𝐵𝐶和与𝐷𝐸𝐹拼成的图案，若将三角尺𝐷𝐸𝐹绕点𝑀按顺时针方向
旋转，则边𝐷𝐸与边𝐴𝐵第一次平行时，旋转角的度数是( )
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A. 75°
3
B. 60° C. 45° D. 30°
𝐵两点，10. 已知抛物线𝑦=−16(𝑥−1)(𝑥−9)与𝑥轴交于𝐴，对称轴与抛物线交于点𝐶，
与𝑥轴交于点𝐷，⊙𝐶的半径为2，𝐺为⊙𝐶上一动点，𝑃为𝐴𝐺的中点，则𝐷𝑃的最大值为( )
A. 2
7
41
B. √234
C. √2
D. 2√3
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(𝑎+5)𝑥+8𝑎=0的两个实数根分别为2和𝑏，则
𝑎𝑏=______．
12. 如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎>0)的对称轴是过点(1,0)
且平行于𝑦轴的直线，若点𝑃(4,0)在该抛物线上，则4𝑎−2𝑏+𝑐的值为______．
13. 在同一直角坐标系中，点𝐴、𝐵分别是函数𝑦=𝑥−1与𝑦=−3𝑥+5的图象上的点，
且点𝐴、𝐵关于原点对称，则点𝐴的横坐标为______ ． 𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐶=110°.14. 如图，在⊙𝑂的内接四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，
̂𝐷上，则∠𝐸= ______ °. 若点𝐸在𝐴
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15. 如图，随机地闭合开关𝑆1，𝑆2，𝑆3，𝑆4，𝑆5中的三个，能够使灯泡𝐿1，𝐿2同时发光
的概率是______．
16. 关于𝑥的反比例函数𝑦=
𝑎+4𝑥
的图象如图，𝐴、𝑃为该图象上的点，且关于原点成中心
△𝑃𝐴𝐵中，𝑃𝐵//𝑦轴，𝐴𝐵//𝑥轴，𝑃𝐵与𝐴𝐵相交于点𝐵.若△𝑃𝐴𝐵的面积大于12，对称．
则关于𝑥的方程(𝑎−1)𝑥2−𝑥+4=0的根的情况是______．
1
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分） 17. 用适当的方法解下列方程：
(1)(3𝑥−1)2=(𝑥+1)2； (2)2𝑥2+𝑥−=0．
21
18. 已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2−2𝑥+𝑘=0．
(1)若方程有实数根，求𝑘的取值范围；
(2)如果𝑘是满足条件的最大的整数，且方程𝑥2−2𝑥+𝑘=0一根的相反数是一元二次方程(𝑚−1)𝑥2−3𝑚𝑥−7=0的一个根，求𝑚的值及这个方程的另一根．
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19. 如图，在等腰直角三角形𝑀𝑁𝐶中．将△𝑀𝑁𝐶𝐶𝑁=𝑀𝑁=√2，
𝐵𝑀，𝐵𝑀交𝐴𝐶绕点𝐶顺时针旋转60°，得到△𝐴𝐵𝐶，连接𝐴𝑀，于点𝑂．
(1)∠𝑁𝐶𝑂的度数为______； (2)求证：△𝐶𝐴𝑀为等边三角形； (3)连接𝐴𝑁，求线段𝐴𝑁的长．
20. 为了增进亲子关系丰富学生的生活，学校九年级1班委会组织学生、家长一起参加
户外拓展活动，所联系的旅行社收费标准如下：如果人数不超过24人，人均活动费用为120元；如果人数超过24人，每增加1人，人均活动费用降低2元，但人均活动费用不得低于85元，活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用3520元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？
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1、21. 有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0、
2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字−1、−2、0；先从甲袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为𝑥，再从乙袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为𝑦，确定点𝑀的坐标为(𝑥,𝑦)．
(1)用树状图或列表法列举点𝑀所有可能的坐标； (2)求点𝑀(𝑥,𝑦)在函数𝑦=−𝑥2−1的图象上的概率；
(3)若以点𝑀为圆心，2为半径作⊙𝑀，求⊙𝑀与坐标轴相切的概率．
22. 如图，以△𝐴𝐵𝐶的𝐵𝐶边上一点𝑂为圆心的圆，经过𝐴，𝐵两点，且与𝐵𝐶边交于点𝐸，
𝐷为𝐵𝐸的下半圆弧的中点，连接𝐴𝐷交𝐵𝐶于𝐹，𝐴𝐶=𝐹𝐶． (1)求证：𝐴𝐶是⊙𝑂的切线；
(2)已知圆的半径𝑅=5，𝐸𝐹=3，求𝐷𝐹的长．
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23. 某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/
件的新型商品在第𝑥天销售的相关信息如表所示． 销售量𝑝(件) 𝑝=50−𝑥 当1≤𝑥≤20时，𝑞=30+2𝑥 1销售单价𝑞(元/件) 525当21≤𝑥≤40时，𝑞=20+𝑥 (1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？ (2)求该网店第𝑥天获得的利润𝑦关于𝑥的函数关系式；
(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？
24. 如图，在矩形𝑂𝐴𝐵𝐶中，𝑂𝐴=5，𝐴𝐵=4，点𝐷为边𝐴𝐵上一点，将△𝐵𝐶𝐷沿直线𝐶𝐷
折叠，使点𝐵恰好落在边𝑂𝐴上的点𝐸处，分别以𝑂𝐶，𝑂𝐴所在的直线为𝑥轴，𝑦轴建立平面直角坐标系．
(1)求𝑂𝐸的长及经过𝑂，𝐷，𝐶三点抛物线的解析式；
(2)一动点𝑃从点𝐶出发，沿𝐶𝐵以每秒2个单位长度的速度向点𝐵运动，同时动点𝑄从𝐸点出发，沿𝐸𝐶以每秒1个单位长度的速度向点𝐶运动，当点𝑃到达点𝐵时，两点同时停止运动，设运动时间为𝑡秒，当𝑡为何值时，𝐷𝑃=𝐷𝑄；
(3)若点𝑁在(1)中抛物线的对称轴上，点𝑀在抛物线上，是否存在这样的点𝑀与点𝑁，使𝑀，𝑁，𝐶，𝐸为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出𝑀点坐标；若不存在，请说明理由．
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答案和解析
1.【答案】𝐷
【解析】解：观察图象可知，选项D中的图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到， 故选：𝐷．
根据旋转变换，平移变换的定义判断即可．
本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是理解旋转变换，平移变换的性质．，属于中考常考题型．
2.【答案】𝐶
【解析】解：①一元二次方程𝑥2+2𝑥+4=0，由△=22−16=−12<0，则一元二次方程没有实数根，故原命题是不可能事件；
再向下平移3个单位可得抛物线𝑦=2𝑥2，②抛物线𝑦=2(𝑥−1)2+3向左平移1个单位，是必然事件，符合题意；
③90°的圆周角所对的弦是圆中最长的弦，是必然事件，符合题意； ④平行四边形是中心对称图形，是必然事件，符合题意； 故选：𝐶．
分别利用一元二次方程根的判别式以及二次函数平移的性质、圆周角定理、中心对称图形的性质分别分析得出答案．
此题主要考查了一元二次方程根的判别式以及二次函数平移的性质、圆周角定理、中心对称图形的性质等知识，正确掌握相关性质是解题关键．
3.【答案】𝐴
【解析】 【分析】
本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及在数轴上表示不等式的解集，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，找出关于𝑘的一元二次不等式组是解题的关键．根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于𝑘的一元二次不等式组，解之即
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可得出𝑘的取值范围，将其表示在数轴上即可得出结论． 【解答】
解：∵关于𝑥的一元二次方程(𝑘+1)𝑥2+2(𝑘+1)𝑥+𝑘−2=0有实数根， 𝑘+1≠0∴{， △=[2(𝑘+1)]2−4(𝑘+1)(𝑘−2)≥0解得：𝑘>−1． 在数轴上表示解集如下：
故选：𝐴．
4.【答案】𝐵
【解析】 【分析】
本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解题的关键在于根据圆周角定理求∠𝐵的度数． 由𝐴𝐵是⊙𝑂直径，𝐴𝐸是⊙𝑂的切线，推出𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，∠𝐵=2∠𝐴𝑂𝐶=40°，进而求出∠𝐴𝐷𝐵=50°． 【解答】
解：∵𝐴𝐵是⊙𝑂直径，𝐴𝐸是⊙𝑂的切线， ∴∠𝐵𝐴𝐷=90°， ∵∠𝐵=2∠𝐴𝑂𝐶=40°， ∴∠𝐴𝐷𝐵=90°−∠𝐵=50°， 故选：𝐵．
1
1
5.【答案】𝐴
【解析】 【分析】
本题考查了反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)系数𝑘的几何意义：从反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)图象上任意一点向𝑥轴和𝑦轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|𝑘|.根据反比例的图象关于原点中心对称得到点𝐴与点𝐵关于原点中心对称，则𝑆△𝑂𝐴𝑀=𝑆△𝑂𝐵𝑀，而𝑆△𝐴𝐵𝑀=2，𝑆△𝑂𝐴𝑀=1，然后根据反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)系数𝑘的几何意义即可得到𝑘=−2． 【解答】
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𝑘
𝑘
𝑘
解：∵直线𝑦=𝑚𝑥与双曲线𝑦=𝑥交于𝐴，𝐵两点， ∴点𝐴与点𝐵关于原点中心对称， ∴𝑆△𝑂𝐴𝑀=𝑆△𝑂𝐵𝑀， 而𝑆△𝐴𝐵𝑀=2， ∴𝑆△𝑂𝐴𝑀=1， ∴2|𝑘|=1，
∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴𝑘<0， ∴𝑘=−2． 故选A．
1
𝑘
6.【答案】𝐶
【解析】 【分析】
由随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了轴对称图形的定义． 【解答】
解：∵在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况， ∴使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是：3÷5=5． 故选：𝐶．
3
7.【答案】𝐶
【解析】解：如图，作𝑂𝐶⊥𝐴𝐵于𝐶，设𝐴𝐵与𝑥轴交于点𝑀，与𝑦轴交于点𝑁．
∵直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=−𝑥+√3， ∴𝑀(√3,0)，𝑁(0,√3)，
∴𝑂𝑀=𝑂𝑁=√3，△𝑂𝑀𝑁是等腰直角三角形， ∴∠𝑂𝑀𝑁=∠𝑂𝑁𝑀=45°，
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∵𝑂𝐶⊥𝐴𝐵， ∴𝑂𝐶=
√2
𝑂𝑀2
=
√6
． 2
∵△𝑂𝐴𝐵为等边三角形，𝑂𝐶⊥𝐴𝐵， ∴𝐴𝐵=2𝐴𝐶，𝐴𝐶=∴𝐴𝐵=√2， ∴弧𝐴𝐵的长度为：故选：𝐶．
作𝑂𝐶⊥𝐴𝐵于𝐶，设𝐴𝐵与𝑥轴交于点𝑀，与𝑦轴交于点𝑁.先由直线𝐴𝐵的解析式，得出𝑂𝑀=𝑂𝑁=√3，求出𝑂𝐶=
√2
𝑂𝑀260𝜋×√2180
𝑂𝐶tan∠𝑂𝐴𝐶
=
√62√3=
√2，∠𝐴𝑂𝐵2
=60°，𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝐴𝐵，
=
√2𝜋. 3
=
√6
.再根据等边三角形的性质得出𝐴𝐵2
=2𝐴𝐶=√2，
∠𝐴𝑂𝐵=60°，然后代入弧长公式计算即可．
本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，准确作出辅助线求出𝐴𝐵的长是解题的关键．
8.【答案】𝐷
【解析】 【分析】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据等腰三角形的性质得到𝑂𝐸的长，再利用弧长公式计算出弧𝐶𝐷的长，设圆锥的底面圆的半径为𝑟，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到𝑟，然后利用勾股定理计算出圆锥的高． 【解答】
解：过𝑂作𝑂𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，
∵𝑂𝐴=𝑂𝐵=60𝑐𝑚，∠𝐴𝑂𝐵=120°， ∴∠𝐴=∠𝐵=30°， ∴𝑂𝐸=2𝑂𝐴=30𝑐𝑚， ∴弧𝐶𝐷的长=
120⋅𝜋×30180
1
=20𝜋，
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设圆锥的底面圆的半径为𝑟，则2𝜋𝑟=20𝜋，解得𝑟=10， ∴圆锥的高=√302−102=20√2． 故选D．
9.【答案】𝐶
【解析】解：过𝑀作𝑀𝐻//𝐴𝐵交𝐵𝐶于𝐻， ∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐶， ∴𝑀𝐻⊥𝐵𝐶，
∴△𝐵𝑀𝐻是等腰直角三角形， ∴∠𝐵𝑀𝐻=45°，
∴若将三角尺𝐷𝐸𝐹绕点𝑀按顺时针方向旋转，则边𝐷𝐸与边𝐴𝐵第一次平行时，旋转角的度数是45°， 故选：𝐶．
根据旋转的性质和平行线的性质即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
10.【答案】𝐴
𝑃为𝐴𝐺中点，𝐷为𝐴𝐵中点，【解析】解：所以𝑃𝐷是三角形𝐴𝐵𝐺的中位线，则𝐷𝑃=1/2 𝐵𝐺，当𝐵𝐺最大时，则𝐷𝑃最大．
由圆的性质可知，当𝐺、𝐶、𝐵三点共线时，𝐵𝐺最大． ∵𝐶(5,3)，𝐵(9,0)， ∴𝐵𝐶=√32+42=5， ∴𝐵𝐺的最大值为2+5=7， ∴𝐷𝑃的最大值为2． 故选：𝐴．
𝑃为𝐴𝐺中点，𝐷为𝐴𝐵中点，所以𝑃𝐷是三角形𝐴𝐵𝐺的中位线，则𝐷𝑃=1/2 𝐵𝐺，当𝐵𝐺最大时，则𝐷𝑃最大．
由圆的性质可知，当𝐺、𝐶、𝐵三点共线时，𝐵𝐺最大．
本题主要考查了抛物线的交点式和顶点式、三角形的中位线定理、中点坐标公式、两点
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7
间的距离公式、等知识点，有一定难度，学会用转化的思想思考问题．
11.【答案】4
∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(𝑎+5)𝑥+8𝑎=0的两个实数根分别是2、𝑏， 【解析】解：2+𝑏=𝑎+5
∴由根与系数的关系，得{，
2𝑏=8𝑎𝑎=1
解得，{．
𝑏=4∴𝑎𝑏=1×4=4． 故答案是：4．
2+𝑏=𝑎+5
根据根与系数的关系得到{，通过解该方程组可以求得𝑎、𝑏的值．
2𝑏=8𝑎本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．
12.【答案】0
【解析】解：设抛物线与𝑥轴的另一个交点是𝑄，
∵抛物线的对称轴是过点(1,0)，与𝑥轴的一个交点是𝑃(4,0)， ∴与𝑥轴的另一个交点𝑄(−2,0)，
把(−2,0)代入解析式得：0=4𝑎−2𝑏+𝑐， ∴4𝑎−2𝑏+𝑐=0， 故答案为：0．
依据抛物线的对称性求得与𝑥轴的另一个交点，代入解析式即可．
本题考查了抛物线的对称性，知道与𝑥轴的一个交点和对称轴，能够表示出与𝑥轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是解决本题的关键．
13.【答案】−1
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【解析】解：∵点𝐴在𝑦=𝑥−1的图象上， ∴设点𝐴的坐标为(𝑎,𝑎−1)， ∵点𝐴、𝐵关于原点对称， ∴点𝐵(−𝑎,1−𝑎)， ∴−3×(−𝑎)+5=1−𝑎， 解得𝑎=−1， ∴点𝐴的横坐标为−1， 故答案为：−1．
设点𝐴的坐标为(𝑎,𝑎−1)，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数表示出点𝐵的坐标，然后代入𝑦=−3𝑥+5计算即可得解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，用点𝐴的坐标表示出点𝐵的坐标是解题的关键．
14.【答案】125
【解析】解：∵∠𝐶+∠𝐵𝐴𝐷=180°， ∴∠𝐵𝐴𝐷=180°−110°=70°， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐷， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐷𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐷=2(180°−70°)=55°， ∵四边形𝐴𝐵𝐷𝐸为圆的内接四边形， ∴∠𝐸+∠𝐴𝐵𝐷=180°， ∴∠𝐸=180°−55°=125°． 故答案为125．
先根据圆内接四边形的性质计算出∠𝐵𝐴𝐷=180°−∠𝐶=70°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠𝐴𝐵𝐷=55°，然后再根据圆内接四边形的性质可得∠𝐸的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了等腰三角形的性质．
1
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15.【答案】5
【解析】解：∵随机地闭合开关𝑆1，𝑆2，𝑆3，𝑆4，𝑆5中的三个共有10种可能(任意开两个有4+3+2+1=10可能，故此得出结论)，能够使灯泡𝐿1，𝐿2同时发光有2种可能(𝑆1,𝑆2,𝑆4或𝑆1，𝑆2，𝑆5).
∴随机地闭合开关𝑆1，𝑆2，𝑆3，𝑆4，𝑆5中的三个，𝐿2同时发光的概率是10=5．能够使灯泡𝐿1， 故答案为5．
求出随机闭合开关𝑆1，𝑆2，𝑆3，𝑆4，𝑆5中的三个，共有几种可能情况，以及能让灯泡𝐿1，𝐿2同时发光的有几种可能，由此即可解决问题．
此题考查概率的求法：如果一个事件有𝑛种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件𝐴出现𝑚种结果，那么事件𝐴的概率𝑃(𝐴)=𝑛．
𝑚
1
2
1
1
16.【答案】没有实数根
【解析】 【分析】
此题综合考查了反比例函数的图形与性质，一元二次方程根的判别式，注意正确判定𝑎的取值范围是解决问题的关键． 由反比例函数𝑦=
𝑎+4𝑥
的图象位于一、三象限得出𝑎+4>0，𝐴、𝑃为该图象上的点，且
关于原点成中心对称，得出2𝑥𝑦>12，进一步得出𝑎+4>6，由此确定𝑎的取值范围，进一步利用根的判别式判定方程根的情况即可． 【解答】】 解：∵反比例函数𝑦=∴𝑎+4>0， ∴𝑎>−4，
∵𝐴、𝑃关于原点成中心对称，𝑃𝐵//𝑦轴，𝐴𝐵//𝑥轴，△𝑃𝐴𝐵的面积大于12， 设曲线上点坐标为(𝑥,𝑦)， ∴2𝑥𝑦>12， 即𝑎+4>6， ∴𝑎>2．
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𝑎+4𝑥
的图象位于一、三象限，
∴△=(−1)2−4(𝑎−1)×4=2−𝑎<0， ∴关于𝑥的方程(𝑎−1)𝑥2−𝑥+4=0没有实数根． 故答案为：没有实数根．
1
1
17.【答案】解：(1)原方程可化为：(3𝑥−1)2−(𝑥+1)2=0，
(3𝑥−1+𝑥+1)(3𝑥−1−𝑥−1)=0， ∴4𝑥=0或2𝑥−2=0， 解得：𝑥1=0，𝑥2=1； (2)∵𝑎=2，𝑏=1，𝑐=−2， ∴𝑏2−4𝑎𝑐=1−4×2×(−)=5；
211
∴𝑥=
−1±√52×2
=
−1±√5； 4
−1−√54
∴𝑥1=
−1+√54
,𝑥2=
．
【解析】(1)先移项，然后用平方差公式进行求解．
(2)题无法用直接开方法和因式分解法进行求解，因此可考虑用求根公式来进行计算． 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18.【答案】解：(1)∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2−2𝑥+𝑘=0有实数根，
∴△=𝑏2−4𝑎𝑐=4−4𝑘≥0， 解得：𝑘≤1．
∴𝑘的取值范围是𝑘≤1； (2)当𝑘≤1时的最大整数值是1，
则关于𝑥的方程𝑥2−2𝑥+𝑘=0是𝑥2−2𝑥+1=0， 解得：𝑥1=𝑥2=1，
∵方程𝑥2−2𝑥+𝑘=0一根的相反数是一元二次方程(𝑚−1)𝑥2−3𝑚𝑥−7=0的一个根，
∴当𝑥=−1时，(𝑚−1)+3𝑚−7=0， 解得：𝑚=2．
则原方程为𝑥2−6𝑥−7=0，
解得𝑥1=7，𝑥2=−1，方程的另一根是7．
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答：𝑚的值是2.方程的另一根是7．
【解析】(1)根据关于𝑥的一元二次方程𝑥2−2𝑥+𝑘=0有实数根，得出4−4𝑘≥0，即可求出𝑘的取值范围；
(2)先求出𝑘的值，再代入方程𝑥2−2𝑥+𝑘=0，求出𝑥的值，再把𝑥的值的相反数代入(𝑚−1)𝑥2−3𝑚𝑥−7=0，即可求出𝑚的值和方程的另一根．
此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据方程有实数根，求出𝑘的值；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．
19.【答案】15°
【解析】解：(1)由旋转可得∠𝐴𝐶𝑀=60°， 又∵等腰直角三角形𝑀𝑁𝐶中，∠𝑀𝐶𝑁=45°， ∴∠𝑁𝐶𝑂=60°−45°=15°； 故答案为：15°；
(2)∵∠𝐴𝐶𝑀=60°，𝐶𝑀=𝐶𝐴， ∴△𝐶𝐴𝑀为等边三角形；
(3)连接𝐴𝑁并延长，交𝐶𝑀于𝐷，
∵△𝑀𝑁𝐶是等腰直角三角形，△𝐴𝐶𝑀是等边三角形， ∴𝑁𝐶=𝑁𝑀=√2，𝐶𝑀=2，𝐴𝐶=𝐴𝑀=2， 在△𝐴𝐶𝑁和△𝐴𝑀𝑁中， 𝑁𝐶=𝑁𝑀{𝐴𝐶=𝐴𝑀， 𝐴𝑁=𝐴𝑁
∴△𝐴𝐶𝑁≌△𝐴𝑀𝑁(𝑆𝑆𝑆)， ∴∠𝐶𝐴𝑁=∠𝑀𝐴𝑁，
∴𝐴𝐷⊥𝐶𝑀，𝐶𝐷=2𝐶𝑀=1， ∴𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐷=√3𝐶𝐷=√3， 等腰𝑅𝑡△𝑀𝑁𝐶中，𝐷𝑁=2𝐶𝑀=1，
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1
1
∴𝐴𝑁=𝐴𝐷−𝑁𝐷=√3−1．
(1)由旋转可得∠𝐴𝐶𝑀=60°，再根据等腰直角三角形𝑀𝑁𝐶中，∠𝑀𝐶𝑁=45°，运用角的和差关系进行计算即可得到∠𝑁𝐶𝑂的度数；
(2)根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行证明即可；
(3)根据△𝑀𝑁𝐶是等腰直角三角形，△𝐴𝐶𝑀是等边三角形，判定△𝐴𝐶𝑁≌△𝐴𝑀𝑁，再根据𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐷=√3𝐶𝐷=√3，等腰𝑅𝑡△𝑀𝑁𝐶中，𝐷𝑁=2𝐶𝑀=1，即可得到𝐴𝑁=𝐴𝐷−𝑁𝐷=√3−1．
本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形．
1
20.【答案】解：∵24人的费用为24×120=2880元<3520元，
∴参加这次春游活动的人数超过24人， 设该班参加这次春游活动的人数为𝑥名． 根据题意，得[120−2(𝑥−24)]𝑥=3520， 整理，得𝑥2−84𝑥+1760=0， 解得：𝑥1=44，𝑥2=40，
𝑥1=44时，120−2(𝑥−24)=80<85，不合题意，舍去； 𝑥2=40时，120−2(𝑥−24)=88>85． 答：该班共有40人参加这次春游活动．
【解析】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键，解题时候一定注意首先判断人数是否超过24人，难度不大．
判断得到这次春游活动的人数超过24人，设人数为𝑥名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
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21.【答案】解：(1)树状图如下图所示：
(2)当𝑥=0时，𝑦=−𝑥2−1=−1，故点(0,−1)在函数𝑦=−𝑥2−1的图象上， 同理点(1,−2)也在函数图象上，
即：(0,−1)和(1,−2)，共2个点在函数图象上， 故点𝑀(𝑥,𝑦)在函数𝑦=−𝑥2−1的图象上的概率为9；
(3)当𝑥=2，𝑦=−1时，以点𝑀为圆心，2为半径作⊙𝑀，与坐标轴相切， 同理可得：点(0.−2)、(1,−2)、(2,−2)、(2,0)以及(2,−1)共5个点符合条件， 即：⊙𝑀与坐标轴相切的概率为9．
5
2
【解析】(1)树状图如下图所示；
(2)当𝑥=0时，𝑦=−𝑥2−1=−1，故点(0,−1)在函数𝑦=−𝑥2−1的图象上，同理点(1,−2)也在函数图象上，即可求解；
(3)当𝑥=2，𝑦=−1时，以点𝑀为圆心，2为半径作⊙𝑀，与坐标轴相切，同理可得：点(0.−2)、(1,−2)、(2,−2)、(2,0)以及(2,−1)共5个点符合条件，即可求解． 本题为二次函数综合题，涉及到概率基本知识，其中(2)(3)，逐个点验证即可，题目难度不大．
22.【答案】(1)证明：连结𝑂𝐴、𝑂𝐷，如图，
∵𝐷为𝐵𝐸的下半圆弧的中点， ∴𝑂𝐷⊥𝐵𝐸，
∴∠𝐷+∠𝐷𝐹𝑂=90°， ∵𝐴𝐶=𝐹𝐶， ∴∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐶𝐹𝐴， ∵∠𝐶𝐹𝐴=∠𝐷𝐹𝑂， ∴∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐷𝐹𝑂，
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而𝑂𝐴=𝑂𝐷， ∴∠𝑂𝐴𝐷=∠𝑂𝐷𝐹，
∴∠𝑂𝐴𝐷+∠𝐶𝐴𝐹=90°，即∠𝑂𝐴𝐶=90°， ∴𝑂𝐴⊥𝐴𝐶， ∴𝐴𝐶是⊙𝑂的切线；
(2)解：∵圆的半径𝑅=5，𝐸𝐹=3， ∴𝑂𝐹=2，
在𝑅𝑡△𝑂𝐷𝐹中，∵𝑂𝐷=5，𝑂𝐹=2， ∴𝐷𝐹=√52+22=√29．
【解析】(1)连结𝑂𝐴、𝑂𝐷，如图，根据垂径定理的推理，由𝐷为𝐵𝐸的下半圆弧的中点得到𝑂𝐷⊥𝐵𝐸，则∠𝐷+∠𝐷𝐹𝑂=90°，再由𝐴𝐶=𝐹𝐶得到∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐶𝐹𝐴，根据对顶角相等得∠𝐶𝐹𝐴=∠𝐷𝐹𝑂，所以∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐷𝐹𝑂，加上∠𝑂𝐴𝐷=∠𝑂𝐷𝐹，则∠𝑂𝐴𝐷+∠𝐶𝐴𝐹=90°，于是根据切线的判定定理即可得到𝐴𝐶是⊙𝑂的切线；
(2)由于圆的半径𝑅=5，𝐸𝐹=3，则𝑂𝐹=2，然后在𝑅𝑡△𝑂𝐷𝐹中利用勾股定理计算𝐷𝐹的长．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．也考查了勾股定理．
23.【答案】解：(1)当1≤𝑥≤20时，令30+2𝑥=35，得𝑥=10，
当21≤𝑥≤40时，令20+
525𝑥
1
=35，得𝑥=35，
经检验得𝑥=35是原方程的解且符合题意， 即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件．
(2)当1≤𝑥≤20时，𝑦=(30+2𝑥−20)(50−𝑥)=−2𝑥2+15𝑥+500， 当21≤𝑥≤40时，𝑦=(20+
1
525𝑥1
1
−20)(50−𝑥)=
26250𝑥
−525，
−2𝑥2+15𝑥+500(1≤𝑥≤20)即𝑦={26250，
−525(21≤𝑥≤40)𝑥
(3)当1≤𝑥≤20时，𝑦=−2𝑥2+15𝑥+500=−2(𝑥−15)2+612.5， ∵−2<0，
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1
1
1
∴当𝑥=15时，𝑦有最大值𝑦1，且𝑦1=612.5， 当21≤𝑥≤40时，∵26250>0， ∴
26250𝑥
随𝑥的增大而减小，
26250𝑥
当𝑥=21时，最大，
26250𝑥
于是，𝑥=21时，𝑦=∵𝑦1<𝑦2，
−525有最大值𝑦2，且𝑦2=
2625021
−525=725，
∴这40天中第21天时该网店获得利润最大，最大利润为725元．
【解析】本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质和反比例函数的性质以及最值得求法，此题难度不大． (1)在每个𝑥的取值范围内，令𝑞=35，分别解出𝑥的值即可；
(2)利用利润=售价−成本，分别求出在1≤𝑥≤20和21≤𝑥≤40时，求出𝑦与𝑥的函数关系式；
(3)当1≤𝑥≤20时，𝑦=−2𝑥2+15𝑥+500=−2(𝑥−15)2+612.5，求出一个最大值𝑦1，当21≤𝑥≤40时，求出一个最大值𝑦2，然后比较两者的大小即可得解．
1
1
24.【答案】解：(1)∵𝐶𝐸=𝐶𝐵=5，𝐶𝑂=𝐴𝐵=4，
∴在𝑅𝑡△𝐶𝑂𝐸中，𝑂𝐸=√𝐶𝐸2−𝐶𝑂2=√52−42=3， 设𝐴𝐷=𝑚，则𝐷𝐸=𝐵𝐷=4−𝑚， ∵𝑂𝐸=3， ∴𝐴𝐸=5−3=2，
在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸中，由勾股定理可得𝐴𝐷2+𝐴𝐸2=𝐷𝐸2，即𝑚2+22=(4−𝑚)2，解得𝑚=2， ∴𝐷(−2,−5)， ∵𝐶(−4,0)，𝑂(0,0)，
∴设过𝑂、𝐷、𝐶三点的抛物线为𝑦=𝑎𝑥(𝑥+4)， ∴−5=−2𝑎(−2+4)，解得𝑎=3， ∴抛物线解析式为𝑦=3𝑥(𝑥+4)=3𝑥2+(2)∵𝐶𝑃=2𝑡， ∴𝐵𝑃=5−2𝑡，
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4
4
163
3
3
4
3
3
𝑥；
在𝑅𝑡△𝐷𝐵𝑃和𝑅𝑡△𝐷𝐸𝑄中， 𝐷𝑃=𝐷𝑄{， 𝐵𝐷=𝐸𝐷
∴𝑅𝑡△𝐷𝐵𝑃≌𝑅𝑡△𝐷𝐸𝑄(𝐻𝐿)， ∴𝐵𝑃=𝐸𝑄， ∴5−2𝑡=𝑡， ∴𝑡=3；
(3)∵抛物线的对称轴为直线𝑥=−2， ∴设𝑁(−2,𝑛)，
又由题意可知𝐶(−4,0)，𝐸(0,−3)， 设𝑀(𝑚,𝑦)，
①当𝐸𝑁为对角线，即四边形𝐸𝐶𝑁𝑀是平行四边形时， 则线段𝐸𝑁的中点横坐标为∵𝐸𝑁，𝐶𝑀互相平分， ∴
𝑚+(−4)
2
0+(−2)2
5
=−1，线段𝐶𝑀中点横坐标为
𝑚+(−4)
2
，
=−1，解得𝑚=2，
又𝑀点在抛物线上， ∴𝑦=×22+
34
163
×2=16，
∴𝑀(2,16)；
②当𝐸𝑀为对角线，即四边形𝐸𝐶𝑀𝑁是平行四边形时， 则线段𝐸𝑀的中点横坐标为∵𝐸𝑀，𝐶𝑁互相平分， ∴
𝑚2
𝑚+02
，线段𝐶𝑁中点横坐标为
(−2)+(−4)
2
=−3，
=−3，解得𝑚=−6，
又∵𝑀点在抛物线上， ∴𝑦=3×(−6)2+∴𝑀(−6,16)；
③当𝐶𝐸为对角线，即四边形𝐸𝑀𝐶𝑁是平行四边形时， 则𝑀为抛物线的顶点，即𝑀(−2,−3).
综上可知，存在满足条件的点𝑀，其坐标为(2,16)或(−6,16)或(−2,−3).
16
16
4
163
×(−6)=16，
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【解析】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、平行四边形的性质，勾股定理，点的坐标的确定等知识点． (1)由折叠的性质可求得𝐶𝐸、𝐶𝑂，在𝑅𝑡△𝐶𝑂𝐸中，由勾股定理可求得𝑂𝐸，设𝐴𝐷=𝑚，在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸中，由勾股定理可求得𝑚的值，可求得𝐷点坐标，结合𝐶、𝑂两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
(2)用𝑡表示出𝐶𝑃、𝐵𝑃的长，可证明△𝐷𝐵𝑃≌△𝐷𝐸𝑄，可得到𝐵𝑃=𝐸𝑄，可求得𝑡的值； (3)可设出𝑁点坐标，分三种情况①𝐸𝑁为对角线，②𝐸𝑀为对角线，③𝐸𝐶为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得𝑀点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得𝑀点的坐标．
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