1．已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）如图1，求证：AE＝EF；
（2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长．
2．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF． （1）判断四边形ACDF的形状；
（2）当BC＝2CD时，求证：CF平分∠BCD．
3．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，延长BA至点F，延长CB至点E，使BE＝AF，连结
CF，EA，AC，延长EA交CF于点G． （1）求证：△ACE≌△CBF； （2）求∠CGE的度数．
4．如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F． （1）试判断四边形AEDF的形状．
（2）当△ABC满足 条件时，EF∥BC；当△ABC满足 条件时，EF＝AD．
5．如图正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点． （1）若∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF；
（2）若该正方形ABCD的边长为1，如果△CEF的周长为2．求∠EAF的度数．
6．一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中四边形PRBA，RQDC，QPFE为正方形．记
正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为S1，S2，S3，RH⊥PQ，垂足为H．（友情提示：正方形的四个内角都等于90度，四边都相等）
（1）若PR⊥QR，S1＝16，S2＝9，则S3＝ ，RH＝ ； （2）若四边形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为25m2、13m2、36m2 ①求△PRQ的面积；
②请判断△PRQ和△DEQ的面积的数量关系，并证明你的结论； ③六边形花坛ABCDEF的面积是 m2．
7．已知，如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．
（1）求证：①△BCG≌△DCE．②BH⊥DE． （2）当BH平分DE时，求GC的长．
8．如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O做EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于
点F，分别连接AE、CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝
，∠DCF＝30°，求EF的长．
9．已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F． （1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当平行四边形ABCD满足 条件时，四边形GEHF是菱形； （3）若BD＝2AB，探究四边形GEHF的形状，并说明理由．
10．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与
BC的延长线交于点F，连结CE，DF． （1）求证：四边形CEDF为平行四边形； （2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°， ①当AE＝ cm时，四边形CEDF是矩形； ②当AE＝ cm时，四边形CEDF是菱形．
11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，AD＝16，BC＝22，∠ABC＝90°，点P从点A出发，以每秒1单位的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以每秒v单位的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当v＝3时，若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为平行四边形，且线段PQ为平行四边形的一边，求t的值；
（2）若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为菱形，且线段PQ为菱形的一条对角线，请直接写出t的值．
12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC垂直平分BD，交BD于点F，延长DC到点
E，使得CE＝DC，连接BE． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）填空：
①当∠ADC＝ °时，四边形ACEB为菱形； ②当∠ADC＝90°，BE＝4时，则DE＝ ．
13．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，EF垂直平分AM，分别交BC，AM，AD于点E，O，F，连接AE，MF． （1）求证：四边形AEMF是菱形；
H为AB的中点，OH+OA＝9，求△OPE的周长． （2）若AB＝6，连接OH交AE于点P，
14．在菱形ABCD中，P、Q分别是边BC、CD的中点，连接AP、AQ． （1）如图（1），求证：AP＝AQ；
（2）如图（2），连接PQ、AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形．
15．如图，四边形ABCD为菱形，∠BCD＝60°，E为对角线AC上一点，且AE＝AB，F
为CE的中点，接DF、BF，BG⊥BF与AC交于点G； （1）若AB＝2，求EF的长； （2）求证：CG﹣EF＝
BG．
参考答案
1．（1）证明：如图1，在AB上截取BM＝BE，连接ME， ∵∠B＝90°，
∴∠BME＝∠BEM＝45°， ∴∠AME＝135°＝∠ECF， ∵AB＝BC，BM＝BE， ∴AM＝EC， 在△AME和△ECF中∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF；
（2）解：取AB中点M，连接EM， ∵AB＝BC，E为BC中点，M为AB中点， ∴AM＝CE＝BE，
∴∠BME＝∠BME＝45°， ∴∠AME＝135°＝∠ECF， ∵∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠FEC＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC， 在△AME和△ECF中∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴EM＝CF，
∵AB＝2，点E是边BC的中点， ∴BM＝BE＝1， ∴CF＝ME＝
．
， ，
2．（1）解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BCD＝∠B＝90°， ∴∠FAE＝∠CDE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE，
在△FAE和△CDE中，∴△FAE≌△CDE（ASA）， ∴CD＝FA， 又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）证明：∵BC＝2CD，AB＝CD，四边形ACDF是平行四边形， ∴AF＝CD，BF＝BC， ∴△BCF是等腰直角三角形， ∴∠BCF＝45°， ∴∠DCF＝45°， ∴CF平分∠BCD．
3．（1）证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形，
，
∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC， ∵BE＝AF， ∴BE+BC＝AF+AB， 即CE＝BF，
在△ACE和△CBF中，∴△ACE≌△CBF（SAS）；
（2）解：由（1）可知：△ABC是等边三角形，△ACE≌△CBF， ∴∠E＝∠F， ∵∠BAE＝∠FAG，
∴∠E+∠BAE＝∠F+∠FAG， ∴∠CGE＝∠ABC， ∵∠ABC＝60°， ∴∠CGE＝60°．
4．解：（1）四边形AEDF是菱形；理由如下： ∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠ADF＝∠FAD， ∴FA＝FD，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足AB＝AC条件时，EF∥BC；当△ABC满足∠BAC＝90°条件时，EF＝AD．理由如下：
由（1）得：四边形AEDF是菱形， ∴AD⊥EF，
∵AB＝AC，AD是角平分线， ∴AD⊥BC， ∴EF∥BC；
当∠ABC＝90°时，四边形AEDF是正方形，
，
∴EF＝AD；
故答案为：AB＝AC，∠BAC＝90°． 5．（1）证明：如图，
延长CD至E'，使DE'＝BE，连接AE'， ∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠B＝90°， ∴∠ADE'＝90°＝∠ABE， 在△ADE'和△ABE中，∴△ADE'≌△ABE（SAS）， ∴AE'＝AE，∠DAE'＝∠BAE， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠DAF+∠DAE'＝∠E'AF＝45°＝∠EAF， 在△E′AF和△EAF中，∴△E′AF≌△EAF（SAS）， ∴E′F＝EF，
∵E′F＝DE′+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF；
（2）延长CD至E'使DE'＝BE，连接AE'， 由（1）知，△ADE'≌△ABE（SAS）， ∴AE'＝AE，∠DAE'＝BAE， 设BE＝x，DF＝y，
∵正方形ABCD的边长为1， ∴CE＝1﹣x，CF＝1﹣y， ∵△CEF的周长为2， ∴CE+CF+EF＝2， ∴1﹣x+1﹣y+EF＝2，
， ，
∴EF＝x+y＝BE+DF＝DE'+DF＝E'F， 在△E'AF和△EAF中，∴△E'AF≌△EAF（SSS）， ∴∠E'AF＝∠EAF，
∴∠DAE'+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠EAF， ∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°， ∴∠EAF＝45°．
，
6．解：（1）∵PR⊥QR， ∴∠PRQ＝90°， ∴PR2+RQ2＝PQ2， ∵S1＝16，S2＝9， ∴S3＝16+9＝25，
∴PR＝4，RQ＝3，PQ＝5， ∵RH⊥PQ，
∴PR•RQ＝PQ•RH， ∴RH＝
＝
，
故答案为：25，2.4；
（2）①设PH＝a，则QH＝6﹣a， ∵RH2＝PR2﹣PH2＝RQ2﹣HQ2， ∴25﹣a2＝13﹣（6﹣a）2， 解得：a＝4， ∴RH2＝PR2﹣PH2 ＝25﹣16
＝9， ∴RH＝3，
∴S△PQR＝×6×3＝9；
②S△PRQ＝S△DQE，
证明：延长RQ到点M，使QM＝RQ，连结PM， ∵QD＝QM，∠DQE＝∠MQP，QE＝QP ∴△DQE≌△MQP（SAS）， ∴S△DQE＝S△MQP， ∵RQ＝QM， ∴S△PRQ＝S△MQP， ∴S△PRQ＝S△DQE；
③六边形花坛ABCDEF的面积＝25+13+36+4×9＝74+36＝110m2． 故答案为：110．
7．（1）证明：∵正方形ABCD， ∴∠BCD＝90°，BC＝CD， 同理：CG＝CE， ∠GCE＝90°，
∴∠BCD＝∠GCE＝90°，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠GBC＝∠CDE，
在Rt△DCE中∠CDE+∠CED＝90°， ∴∠GBC+∠BEH＝90°，
∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BHE）＝90°， ∴BH⊥DE；
（2）若BH垂直平分DE，连接BD， ∴BD＝BE， ∵BD＝
，
﹣1．
∴CG＝CE＝BE﹣BC＝
8．解：（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC， ∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AFO＝∠CEO， 在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴AF＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE， ∴四边形AECF是菱形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝
，
，∠DCF＝30°，
在Rt△CDF中，cos∠DCF＝∴CF＝
＝2，
∵四边形AECF是菱形， ∴CE＝CF＝2．
9．（1）证明：连接AC，如图1所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴BD的中点在AC上，
∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点， ∴E、F分别为OB、OD的中点， ∵G是AD的中点， ∴GF为△AOD的中位线， ∴GF∥OA，GF＝OA， 同理：EH∥OC，EH＝OC， ∴EH＝GF，EH∥GF，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下： 连接GH，如图2所示： 则AG＝BH，AG∥BH， ∴四边形ABHG是平行四边形， ∴AB∥GH， ∵AB⊥BD， ∴GH⊥BD， ∴GH⊥EF，
∴四边形GEHF是菱形； 故答案为：AB⊥BD；
（3）解：四边形GEHF是矩形；理由如下： 由（2）得：四边形GEHF是平行四边形， ∴GH＝AB，
∵BD＝2AB， ∴AB＝BD＝EF， ∴GH＝EF，
∴四边形GEHF是矩形．
10．（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CF∥ED， ∴∠FCD＝∠GCD， ∵G是CD的中点， ∴CG＝DG，
在△FCG和△EDG中，∴△CFG≌△EDG（ASA）， ∴FG＝EG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形， 理由是：过A作AM⊥BC于M， ∵∠B＝60°，AB＝6， ∴BM＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10， ∵AE＝7， ∴DE＝3＝BM，
在△MBA和△EDC中，∴△MBA≌△EDC（SAS）， ∴∠CED＝∠AMB＝90°， ∵四边形CEDF是平行四边形， ∴四边形CEDF是矩形， 故答案为：7；
，
②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形， 理由是：∵AD＝10，AE＝4， ∴DE＝6，
∵CD＝6，∠CDE＝60°， ∴△CDE是等边三角形， ∴CE＝DE，
∵四边形CEDF是平行四边形， ∴四边形CEDF是菱形， 故答案为：4．
11．解：（1）∵当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时， ∵AP∥BQ，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB为平行四 边形． 此时，t＝22﹣3t，t＝
．
当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时， ∵PD∥QC，
∴当PD＝QC时，四边形PQCD为平行四边形． 此时，16﹣t＝3t，t＝4，
∵线段PQ为平行四边形的一边，
故当t＝或4时，线段PQ为平行四边形的一边．
（2）当PD＝BQ＝BP时，四边形PBQD能成为菱形． 由PD＝BQ，得16﹣t＝22﹣3t，解得t＝3，
当t＝3时，PD＝BQ＝13，AP＝AD﹣PD＝16﹣13＝3． 在Rt△ABP中，AB＝8，根据勾股定理得，BP═∴四边形PBQD不能成为菱形；
如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形， 由题意得，
，解得，
．
≠13
故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在t＝6时为菱形．
12．（1）证明：∵AC垂直平分BD， ∴AB＝AD，BF＝DF， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB． ∵∠AFB＝∠CFD， ∴△AFB≌△CFD （ASA）， ∴AB＝CD． 又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）①当∠ADC＝60°，四边形ACEB为菱形， ∵∠ADC＝60°， ∴∠BCE＝60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴CE＝BE，
∴四边形ACEB为菱形， 故答案为：60；
②当∠ADC＝90°，BE＝4时， DE＝4
，
．
故答案为：4
13．（1）证明：∵EF垂直平分AM， ∴AE＝EM，OA＝OM． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC．
∴∠AFO＝∠MEO，在△OF和△MOE中，∴△AOF≌△MOE（AAS）． ∴OF＝OE．
∴四边形AEMF是平行四边形． ∵AE＝EM．
∴四边形AEMF是菱形；
（2）解：∵O、H分别为AM、AB的中点， ∴BM＝2OH，AM＝2OA， ∴AM+BM＝2OA+2OH＝18． 设BM＝x，则AM＝18﹣x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：62+x2＝（18﹣x）2， 解得：x＝8， ∴BM＝8，AM＝10． ∴OA＝AM＝5，
设EM＝m，则BE＝8﹣m，AE＝EM＝m，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：62+（8﹣m）2＝m2， 解得：m＝∴AE＝EM＝
，
，
在Rt△AOE中，EO＝∵OP∥EM， ∴
＝
＝1，
＝＝．
∴AP＝PE， ∴OP＝EM＝∵PE＝AE＝
， ，
+
+
＝10．
∴△OPE的周长＝EO+PE+OP＝
14．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D， ∵P、Q分别是边BC、CD的中点， ∴BP＝CQ，
在△ABP和△ADQ中，
，
∴△ABP≌△ADQ（SAS）， ∴AP＝AQ， （2）∵AP＝AQ， ∴△APQ是等腰三角形， ∵BC＝CD，
∵P、Q分别是边BC、CD的中点， ∴PC＝CQ，
∴△PQC是等腰三角形， ∵AB＝BC，AD＝CD，
∴△ABC，△ACD是等腰三角形，
∴图中所有的等腰三角形有△ABC，△APQ，△ACD，△CPQ． 15．（1）解：连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD＝60°，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，∠OAB＝∠BAD＝30°， ∴OB＝AB＝1，OA＝∴AC＝2OA＝2∵AE＝AB＝2， ∴CE＝AC﹣AE＝2∵F为CE的中点， ∴EF＝CE＝
﹣1；
﹣2， ，
OB＝
，
（2）证明：设AB＝2a， 同（1）得：OB＝AB＝a，OA＝∴AC＝2OA＝2∵AE＝AB＝2a， ∴CE＝AC﹣AE＝（2∵F为CE的中点， ∴EF＝CE＝（
﹣1）a，
）a+（
﹣1）a＝a，
﹣2）a，OE＝AE﹣OA＝（2﹣
）a，
a，
OB＝
a，
∴OF＝OE+EF＝（2﹣∴OB＝OF， ∵AC⊥BD，
∴△BOF是等腰直角三角形， ∴∠BFG＝45°， ∵BG⊥BF，
∴△BFG是等腰直角三角形， ∴GF＝
BG，
∵GF＝CG﹣CF＝CG﹣EF， ∴CG﹣EF＝
BG．
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