基本不等式基础+复习+习题+练习)

课题：基本不等式

考纲要求：①了解基本不等式的证明过程.

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.

教材复习

1.两个数的均值不等式：若a,bR，则

ab≥ab（等号仅当ab时成立）； 2 三个数的均值不等式：若a,b,cR，则abc≥33abc（等号仅当abc时成立）

2.几个重要的不等式：

22abababcabc ① ab≤≤ ②≤；

23223

a2b2ab2③如果a,bR，则≥≥ab≥

1122ab3.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和

有最小值。

基本知识方法

1.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代

换等.

2.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.

典例分析．

问题1．求下列函数的最值：

1

y111xx3；2y2xx1；3yx24x0； x3x1x161

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3yx2xx0；4

3yx1x20x1；5

yx1x20x1

ab21，求xy的最小值 已知（为常数），a,ba,b,x,yR67yx1xxy

问题2．已知x0，y0，且xy1，求 2x12y1的最大值.

问题

3x23x13．求最小值1f(x)x1；2 ysin2xsin2x

x1

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问题4．1设x0，y0，且

xy(xy)1，则

A.xy222B.xy222 C. xy

212D. xy21

2y232 2已知x≥0，y≥0，且x1，求证：x1y2≤242

3若ab0, 求a2

课后作业：

1.已知a1那么a16的最小值 b(ab)1a的最小值是 A.2 B. 51 C. 3 D.2 a1a1163

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2.已知：ab0，求证：a

13

abb13.若0x，则x213x的最大值是 此时，x

3

4.已知3x0，则yx9x2的最小值为 A.

9931 B.C.D. 22225.已知实数x,y满足x2y21,则1xy1xy的最小值和最大值分别为

A.

1313，1 B. ，1 C. ， D. 1，无最大值 24246.求y

12sin2cos20,的最小值 27.当n2时，求证：logn(n1)logn(n1)1．

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8.已知正数a、b满足3abab1,则ab的最大值是

9.下列函数中，y的最小值为4的是

442(x23)xxA.yxB.y(0x) C.ye4e D.ysinx2xsinxx2

10.若a0,b0，且2ab1，则s2ab4a2b2的最大值是

A.

21 2B.21 C.

21 D.221

11.（08内江二中）已知x0,y0,lg2xlg8ylg2，则

A.2 B.22 C.4

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11的最小值是 x3yD.23

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12.若a是正实数，2a23b210，则a2b2的最大值是

13.要使不等式xykxy对所有正数x,y都成立，试问k的最小值是

14.（07届高三西安市第一次质检）02，由不等式tan1≥2，tan22tantan2233tan≥3，tan 223tan22tantantantantan33≥4，…，启发我们得到推广结论： 3333tantana*n1nN≥，则a

tann15.已知：x、yR，2x8yxy0，求xy的最小值

走向高考：

16.(04湖南)设a0,b0,则以下不等式中不恒成立的是 ．．．．

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11A.(ab)()4 B.a3b32ab2

abC.a2b222a2b D.|ab|ab

17.（05重庆）若x,y是正数，则(x A.3 B.

121)(y)2的最小值是 2y2x79C.4D. 2218.(05福建文)下列结论正确的是

A.当x0且x1时，则lgx12 B.当x0时，x12

lgxxC.当x≥2时，x1的最小值为2 x D.当0x2时，x1无最大值 x1a19.（06陕西）已知不等式xy≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的

xy最小值为 A.2 B.4 C.6 D.8

20.（06重庆文）若a,b,c0且a22ab2ac4bc12，则abc的最小值是

A.23 B.3 C.2 D.3

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21.（06重庆）若a,b,c0且aabcbc423,则2abc的最小值为 A.31 B.31 C.232 D. 232

22.（07山东）函数yloga(x3)1（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在

直线mxny10上，其中mn0，则

12的最小值为 mn23.（07上海）若x，yR+，且x4y1，则xy的最大值是

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24.（06上海）若关于x的不等式(1k2)x≤k44的解集是M，则对任意实常数k，

总有 A.2M，0M B.2M，0MC.2M，0M D.2M，0M

25.（2013陕西）已知a,b,m,n均为正数, 且ab1, mn2，则

ambnbman的最小值为

26.（09重庆）已知a0,b0，则

112ab的最小值是A.2B.22C.4D.5 ab27.（2011重庆）已知a0，b0，ab2，则y14的最小值是 ab A.

97 B.4 C. D.5

2228.（2013山东）设正实数x,y,z满足x23xy4y2z0，则当

xy取得最大值时，z2129的最大值为 A.0 B.1 C. D.3 xyz4

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29.（2011湖南）设x,yR,则(x2

112)(4y)的最小值为 22yx30.（06上海）已知函数y＝x上是减函数，在a,上是增函数．

a有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在0,ax2b

1如果函数y＝x（x0）的值域为6,，求b的值；

xc2研究函数y＝x2x2（常数c0）在定义域内的单调性，并说明理由；

aa3对函数y＝xx和y＝x2x2（常数a0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x)＝

111

(x2)n＋(2x)n（n是正整数）在区间,2上的最大值和最小值（可利用你的

xx2

研究结论）．

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