构造平行四边形证题的技巧

吴健

在证明某些几何问题时，若能根据图形的特征，添加恰当的辅助线构造出平行四边形，并利用其性质可使问题化难为易，化繁为简，下面举例说明。 一. 构造平行四边形证两线段平行

例1. 已知如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，E、F分别为OB、OD的中点，过O任作一直线分别交AB、CD于G、H。

求证：GF//EH。 证明：连结GE、FH

四边形ABCD是平行四边形

OAOC,BAODCO又AOGCOH AOGCOH

OGOH又OEOF

四边形EHFG是平行四边形 GF//EH

二. 构造平行四边形证两线段相等

例2. 如图，ABC中，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=CE连结DE，交BC于F，∠BAC外角的平分线交BC的延长线于G，且AG//DE。

求证：BF=CF

分析：过点C作CM//AB交DE于点M，可以证明BD=CM，然后再利用平行四边形的性质得到BF=CF

证明：过点C作CM//AB交BE于点M，连接BM、CD，则∠CME=∠ADE AG//DE且12ADE1,E2CMEECMCEBD//BDCM四边形BMCD为平行四边形 故BF=CF

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三. 构造平行四边形证线段的不等关系

例3. 如图，AD是ABC的边BC上的中线，求证：AD分析：欲证AD1(ABAC) 21(ABAC)，即要证2ADABAC，设法将2AD、AB、AC归结2到一个三角形中，利用三角形任意两边之和大于第三边来证明。注意到AD为ABC的中线，故可考虑延长AD到E，使DE=AD，则四边形ABEC为平行四边形。从而问题得证。

证明：延长AD到E，使DE=AD，连结BE、EC ADDE,BDDC

四边形ABEC是平行四边形 BEAC

在ABE中，AE1AD(ABAC)

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点评：此题是利用三角形三边关系定理、平行四边形的判定，通过延长中线将证明三角形中三条线段间的不等关系，转化为三角形三边之间的关系，从而使问题迎刃而解。

四. 构造平行四边形证线段的倍分关系

例4. 如图，分别以ABC中的AB、AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，M是BC的中点，求证：FH=2AM

证明：延长AM到D，使MD=AM，连结BD、CD，

是BC的中点 M

四边形ABDC为平行四边形 BACABD180而FABHAC90FAHBAC180

FAHABD又AF=BA，AH=AC=BD FAHABD

FHAD故FH=2AM

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五. 构造平行四边形证两线段互相平分

例5. 平面上三个等边三角形ACE、ABD、BCF两两共有一个顶点，如图所示，求证：CD与EF互相平分

分析：要证CD与EF互相平分，须证四边形DFCE是平行四边形 证明：连结DE、DF、AF易知AD=AB=BD BFBC，DBF60FBAABCABCDBFDFACEC又AE=AC，AD=AB

∠DAE=60°－∠EAB=∠BAC ADEABC

DEBCFC四边形DECF是平行四边形 故CD与EF互相平分

六. 构造平行四边形证角的不等关系

例6. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC>BD

求证：∠DBC>∠ACB

证明：过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形 ACBE,ACDE

又ACBD

DEBD

在BDE中，∠DBE>∠E DBCACB

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七. 构造平行四边形证线段的和差关系

例7. 如图，ABC中，点E、F在边AB上，AE=BF，ED//AC//FG，求证：ED+FG=AC

证明：过E作EH//BC交AC于H EH//BC,ED//AC

四边形CHED为平行四边形 EH//BC,FG//AC

AEHB,ABFG又AE=BF， AEHFBCAHFGHCEDEDFGAHHCAC

同步练习：

1. 如图1，在梯形BCED中，DE//BC延长BD、CE交于A，在BD上截取BF=AD。过F作FG//BC交EC于G，求证：DE+FG=BC。

2. 如图2，ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，BE=CF，EF交BC于D。

求证：DE=DF

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3. 如图3，平行四边形ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AE=CF，BG=DH，求证：EF与GH互相平分

4. 如图4，已知AB=AC，B是AD的中点，E是AB的中点，求证CD=2CE

5. 已知：如图5在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O，求证：O是BD的中点。

提示：

1. 过点F作FM//AC交BC于点M，则有平行四边形FMCG。 2. 过E作EG//AC交BC于G，连结CE、GF。 3. 连结FH、HE、EG、GF

4. 延长CE至F，使EF=CE，连结AF、BF。 5. 连结BF、DE

ABDC,ADBC

四边形ABCD是平行四边形 FD//BE

又ADBC,AFCE

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FDBE

四边形BEDF是平行四边形 O是BD的中点

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