庐山市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

庐山市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知三个数a1，a1，a5成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{an}的前三 项，则能使不等式a1a2an11a1a21成立的自然数的最大值为（ ） anA．9 B．8 C.7 D．5 2． 某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（ ）

A．5 B．7 C．9 D．11

3． 已知lga+lgb=0，函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

(2i)24． 复数z（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ）

i A．-4+3i B．4+3i C．3+4i D．3-4i

【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力．

3x4y110与圆C：3x4y40上任意5． 已知直线m：(x2)y4交于A、B两点，P为直线n：一点，则PAB的面积为（ ）

2233 C. 33 D. 43 26． 已知集合A{2,1,1,2,4}，B{y|ylog2|x|1,xA}，则AB（ ）

A．23 B.

A．{2,1,1} B．{1,1,2} C．{1,1} D．{2,1} 【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．

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7． 设函数f（x）=的最小值为﹣1，则实数a的取值范围是（ ）

A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣ D．a＞﹣

8． 已知函数f（x）=lg（1﹣x）的值域为（﹣∞，1]，则函数f（x）的定义域为（ ） A．[﹣9，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣9，1）

D．[﹣9，1）

9． AD,BE分别是ABC的中线，若ADBE1，且AD与BE的夹角为120，则ABAC=（ ） （A）

1428 （ B ） （C） （D） 3939

是（ ）

B．最小正周期为π的奇函数

10．函数

A．最小正周期为2π的奇函数

C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为π的偶函数

11．已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），x1，x2∈[0，3]，x1≠x2时，有

成立，下列结论中错误的是（ ）

A．f（3）=0

B．直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴 C．函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点 D．函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数

12．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）＞0的解集为（ ）

A．（0，1） B．（1，2） C．（1，+∞）

D．（2，+∞）

二、填空题

x2y213．已知抛物线C1：y4x的焦点为F，点P为抛物线上一点，且|PF|3，双曲线C2：221

ab（a0，b0）的渐近线恰好过P点，则双曲线C2的离心率为 . 2【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.

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14．曲线在点（3，3）处的切线与轴x的交点的坐标为 ．

15．向区域内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为 ．

16．已知数列{an}满足an+1=e+an（n∈N*，e=2.71828）且a3=4e，则a2015= ． 17．二项式

展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为 ．

18．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题：

①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在曲线是直线； ②若点P到点A的距离为

，则动点P的轨迹所在曲线是圆；

③若P满足∠MAP=∠MAC1，则动点P的轨迹所在曲线是椭圆；

④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为1：2，则动点P的轨迹所在曲线是双曲线； ⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是抛物丝． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

三、解答题

2x2y219．已知椭圆C:221ab0的左右焦点分别为F1,F2，椭圆C过点P1,2，直线PF1 ab交y轴于Q，且PF22QO,O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M是椭圆C上的顶点，过点M分别作出直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设这两条直线的斜率 分别为k1,k2，且k1k22，证明：直线AB过定点．

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20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an﹣，数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上．

（1）求数列{an}，{bn}的通项an和bn； （2）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．

21．已知F1，F2分别是椭圆且|PF1|=4，PF1⊥PF2． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）求点P的坐标．

22．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位 得到的数据： 赞同 男 50 反对 150 合计 200 =1（9＞m＞0）的左右焦点，P是该椭圆上一定点，若点P在第一象限，

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女 合计 30 80 170 320 200 400 （Ⅰ）能否有能否有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关？

（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出3人进行陈述 发言，设发言的女士人数为X，求X的分布列和期望．

n(adbc)2参考公式：K，(nabcd)

(ab)(cd)(ac)(bd)2

23．已知数列{an}的前n项和为Sn，首项为b，若存在非零常数a，使得（1﹣a）Sn=b﹣an+1对一切n∈N*都成立．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）问是否存在一组非零常数a，b，使得{Sn}成等比数列？若存在，求出常数a，b的值，若不存在，请说明理由．

24．f(x)sin2x3sin2x. 2（1）求函数f(x)的单调递减区间；

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（2）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f()1，ABC的面积为33，求的最小值.

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庐山市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C 【解析】

试题分析：因为三个数a1,a1,a5等比数列，所以a1a1a5,a3，倒数重新排列后恰

2

好为递增的等比数列{an}的前三项，为,11111,，公比为，数列是以为首项，为公比的等比数列，则8422an不等式a1a2an11a1a211n811212n8，整理，得等价为1an12122n27,1n7,nN，故选C. 1

考点：1、等比数列的性质；2、等比数列前项和公式.

2． 【答案】C

【解析】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点 则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率 由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大 即前9年的年平均产量最高， 故选C

3． 【答案】B

【解析】解：∵lga+lgb=0 ∴ab=1则b=

x

从而g（x）=﹣logbx=logax，f（x）=a与

∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减 结合选项可知选B， 故答案为B

4． 【答案】A

(2i)2【解析】根据复数的运算可知zi(2i)23i4，可知z的共轭复数为z=-4+3i，故选A.

i5． 【答案】 C

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【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.

圆心C到直线m的距离d1，|AB|2r2d223，两平行直线m、n之间的距离为d3，∴PAB的面积为

1|AB|d33，选C． 2B{1,1}，故选C．

6． 【答案】C

【解析】当x{2,1,1,2,4}时，ylog2|x|1{1,1,0}，所以A7． 【答案】C

x

【解析】解：当x≥时，f（x）=4﹣3≥2﹣3=﹣1，

当x=时，取得最小值﹣1；

22

当x＜时，f（x）=x﹣2x+a=（x﹣1）+a﹣1，

即有f（x）在（﹣∞，）递减， 则f（x）＞f（）=a﹣， 由题意可得a﹣≥﹣1， 解得a≥﹣． 故选：C．

【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．

8． 【答案】D

【解析】解：函数f（x）=lg（1﹣x）在（﹣∞，1）上递减， 由于函数的值域为（﹣∞，1]， 则lg（1﹣x）≤1， 则有0＜1﹣x≤10， 解得，﹣9≤x＜1． 则定义域为[﹣9，1）， 故选D．

【点评】本题考查函数的值域和定义域问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．

9． 【答案】C

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221ABADBEAD(ABAC),332【解析】由, 解得142BE(2ABAC),ACADBE23322422ABAC(ADBE)(ADBE).

3333310．【答案】B

【解析】解：因为==cos（2x+

）=﹣sin2x．

=π．

所以函数的周期为：故选B．

因为f（﹣x）=﹣sin（﹣2x）=sin2x=﹣f（x），所以函数是奇函数．

【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．

11．【答案】D

【解析】解：对于A：∵y=f（x）为R上的偶函数，且对任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3）， ∴令x=﹣3得：f（6﹣3）=f（﹣3）+f（3）=2f（3）， ∴f（3）=0，故A正确；

对于B：∵函数y=f（x）是以6为周期的偶函数， ∴f（﹣6+x）=f（x），f（﹣6﹣x）=f（x）， ∴f（﹣6+x）=f（﹣6﹣x），

∴y=f（x）图象关于x=﹣6对称，即B正确；

对于C：∵y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，在区间[0，3]上为增函数，且f（3）=f（﹣3）=0， ∴方程f（x）=0在[﹣3，3]上有2个实根（﹣3和3），又函数y=f（x）是以6为周期的函数， ∴方程f（x）=0在区间[﹣9，﹣3）上有1个实根（为﹣9），在区间（3，9]上有一个实根（为9）， ∴方程f（x）=0在[﹣9，9]上有4个实根．故C正确； 对于D：∵当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，有

∴y=f（x）在区间[0，3]上为增函数，又函数y=f（x）是偶函数，

∴y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，又函数y=f（x）是以6为周期的函数，

，

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∴y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为减函数，故D错误． 综上所述，命题中正确的有A、B、C． 故选：D．

【点评】本题考查抽象函数及其应用，命题真假的判断，着重考查函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性，考查函数的零点，属于中档题．

12．【答案】C

【解析】解：令F（x）=则F′（x）=

，（x＞0）， ，

∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0， ∴F（x）为定义域上的减函数，

2

由不等式xf（）﹣f（x）＞0，

得：＞，

∴＜x，∴x＞1， 故选：C．

二、填空题

13．【答案】3

14．【答案】 （，0） ．

【解析】解：y′=﹣

，

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∴斜率k=y′|x=3=﹣2，

∴切线方程是：y﹣3=﹣2（x﹣3）， 整理得：y=﹣2x+9， 令y=0，解得：x=， 故答案为：

．

【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．

15．【答案】 ．

【解析】解：不等式组

的可行域为：

由题意，A（1，1），∴区域

的面积为

=（x3）

=，

由

，可得可行域的面积为：1=，

∴坐标原点与点（1，1）的连线的斜率大于1，坐标原点与 与坐标原点连线的斜率大于1的概率为： = 故答案为：．

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【点评】本题考查线性规划的应用，几何概型，考查定积分知识的运用，解题的关键是利用定积分求面积．

16．【答案】 2016 ．

【解析】解：由an+1=e+an，得an+1﹣an=e， ∴数列{an}是以e为公差的等差数列， 则a1=a3﹣2e=4e﹣2e=2e，

∴a2015=a1+2014e=2e+2014e=2016e． 故答案为：2016e．

【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的通项公式，是基础题．

17．【答案】 70 ． 【解析】解：根据题意二项式则n=8， 所以二项式

Tr+1=（﹣1）rC8rx8﹣2r 令8﹣2r=0得r=4 故答案为70．

4

则其常数项为C8=70

展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，

=

展开式的通项为

【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别．

18．【答案】 ①②④

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【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确； 对于②，满足到点A的距离为②正确；

对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1 的点P应为以AM为轴，以AC1 为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，

又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误； 对于④，P到直线C1D1 的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1， ∴动点P的轨迹所在曲线是以C1 为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确； 对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF， 设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误． 故答案为：①②④．

22

，即x﹣y=1，

的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，

【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．

三、解答题

x2y21；（2）证明见解析. 19．【答案】（1）2【解析】

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试

题解析：

c1， （1）PF22QO，∴PF2F1F2，∴

11222221,abcb1， 22ab∴b21,a22，

x2y21； 即2（2）设AB方程为ykxb代入椭圆方程

2kb1222xx,xAxB，kx2kbxb10AB12k22y1y1y1yB1，∴kMAkMBAkMAA,kMBBxAxBxAxBb21，

12k2yAxBxAyBxAxB∴kb1代入ykxb得：ykxk1所以， 直线必过1,1．1 考点：直线与圆锥曲线位置关系．

xAxB2，

【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 20．【答案】

【解析】解：（1）∵Sn=an﹣，

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∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣﹣即an=3an﹣1，． ∵a1=S1=

﹣，∴a1=3．

，

n

∴数列{an}是等比数列，∴an=3．

∵点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上， ∴bn+1﹣bn=2，

即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n﹣1．

n

（2）∵cn=an•bn=（2n﹣1）•3，

23n1n

∵Tn=1×3+3×3+5×3+…+（2n﹣3）3﹣+（2n﹣1）3， 234nn+1

∴3Tn=1×3+3×3+5×3+…+（2n﹣3）3+（2n﹣1）3， 234nn+1

两式相减得：﹣2Tn=3+2×（3+3+3+…+3）﹣（2n﹣1）3，

=﹣6﹣2（n﹣1）3n+1，

n+1

∴Tn=3+（n﹣1）3．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由已知得：|PF2|=6﹣4=2， 在△PF1F2中，由勾股定理得，

22

即4c=20，解得c=5．

，

∴m=9﹣5=4；

（Ⅱ）设P点坐标为（x0，y0），由（Ⅰ）知，∵

，

，

，

，

∴，解得．

∴P（）．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，属中档题．

22．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查统计案例、超几何分布、分层抽样等基础知识，意在考查统计思想和基本运算能力．

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X的分布列为： X P 0 1 2 3

5 2815 2815 561 56X的数学期望为

5151519EX0123 ………………12

282856568分

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵数列{an}的前n项和为Sn，首项为b，

*

存在非零常数a，使得（1﹣a）Sn=b﹣an+1对一切n∈N都成立，

由题意得当n=1时，（1﹣a）b=b﹣a2，∴a2=ab=aa1， 当n≥2时，（1﹣a）Sn=b﹣an+1，（1﹣a）Sn+1=b﹣an+1， 两式作差，得：an+2=a•an+1，n≥2， ∴{an}是首项为b，公比为a的等比数列， ∴

．

（Ⅱ）当a=1时，Sn=na1=nb，不合题意， 当a≠1时，若

，即

， ，

化简，得a=0，与题设矛盾，

故不存在非零常数a，b，使得{Sn}成等比数列．

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查使得数列成等比数列的非零常数是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．

24．【答案】（1）k3,k5（k）；（2）23. 6第 16 页，共 17 页

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【解析】

试题分析：（1）根据2k得A22x62k3可求得函数f(x)的单调递减区间；（2）由2Af1可23，再由三角形面积公式可得bc12，根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 1

1131cos2xsin2xsin(2x)， 2226235令2k2x2k，解得kxk，kZ，

262365]（kZ）. ∴f(x)的单调递减区间为[k,k36试题解析:（1）f(x)

考点：1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用．

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