Ｖｏ１．３３（２０１３） ＮＯ．６ 数学杂志 Ｊ．ｏｆ Ｍａｔｈ．（ＰＲＣ） 关于对称Ｃｏｐｕｌａ的一个注记 穆燕，汪忠志 （安徽工业大学数理学院，安徽马鞍山２４３００２） 摘要：本文研究了各种对称Ｃｏｐｕｌａ的基本性质．利用构造具有二次与三次截线的Ｃｏｐｕｌａ的 方法，获得了具有左边块对称，但不是右边块对称；左边块对称、径向对称，但不是可交换；左边块对 称，但既不是径向对称、也不是可交换的Ｃｏｐｕｌａ．同时证明了不存在左边块对称、可交换，但不是径向 对称的Ｃｏｐｕｌａ，彻底解决了文献［２】中提出的四个问题． 关键词：Ｃｏｐｕｌａ；对称Ｃｏｐｕｌａ；可交换Ｃｏｐｕｌａ；生存Ｃｏｐｕｌａ ＭＲ（２０１０１主题分类号：６０Ｅ０５ 中图分类号：Ｏ２１１．３ 文献标识码： Ａ 文章编号：０２５５．７７９７（２０１３）０６．１０８５—０８ １引言 自从１９５９年Ｓｋｌａｒ首先提出Ｃｏｐｕｌａ概念以来，许多学者对此做了大量研究，取得了丰 硕的成果．Ｃｏｐｕｌａ理论在数理统计和概率论领域里，特别是在金融领域获得了广泛深刻的应 用． 正如王沁在文献ｆ２１中指出，具有对称性的联合分布函数在统计领域有着独特的优势与 广泛的应用．Ｃｏｐｕｌａ理论为如何刻画对称性以及生成具有特定对称性的联合分布函数提 供了极其便利的条件．感兴趣的读者可参看文献［３，４】及其所引文献．最近，王沁在文献［２］ 中详细地讨论了具有各种对称性的Ｃｏｐｕｌａ函数及其性质，并且首次提出具有左、右对称的 Ｃｏｐｕｌａ函数的新概念，在该文的最后作者给出了四个公开问题． 本文目的是利用具有二次与三次截线的Ｃｏｐｕｌａ函数，构造出具有左边块对称，但不是右 边块对称的Ｃｏｐｕｌａ；左边块对称、径向对称，但不是可交换的Ｃｏｐｕｌａ；左边块对称、但既不是 径向对称的、也不是可交换的Ｃｏｐｕｌａ．同时证明了不存在这样的Ｃｏｐｕｌａ，它是左边块对称、 可交换的、但不是径向对称的，完整地回答了文献ｆ２１中提出的四个公开问题．最后给出了本 文所得结果在风险投资组合中的一个简单应用． 本文采用的记号如无特别说明完全与文献『２１相同． ２ Ｃｏｐｕｌａ的定义及其基本性质 下面我们首先给出Ｃｏｐｕｌａ的定义． 定义２．１设Ｉ＝［０，１］，如果一个二元函数Ｃ：Ｉ 满足 （１）落地性：Ｖｔ∈Ｉ，都有 ｃ（ｔ，０）＝ｃ（０，ｔ）＝０； 收稿日期：２０１２．０２—２４ 接收日期：２０１２．０６—２０ （２．１） 基金项目：国家自然科学基金资助（１１０７１１０４）；安徽工业大学青年基金（ＱＺ２０１００１８；Ｚｌ１１４３）；安徽工 业大学研究生创新基金资助（Ｄ２０１１０２５）． 作者简介：穆燕（１９８８一），女，安徽舒城，硕士，主要研究方向：概率论及其应用． １０８６ 数 学 杂 志 （２）边缘一致性：Ｖｔ∈Ｉ，都有 ｃ（ｔ，１）＝ｃｏ，ｔ）＝ｔ （３）二增性：Ｖｕ１，ｕ２，Ｖｌ， ２∈Ｉ，且Ｕｌ Ｕ２， １ Ｖ２，有 （２．２） Ｃ（ｕ２，Ｖ２）一Ｃ（ｕ２，Ｖ１）一Ｃ（ｕｌ，Ｖ２）＋Ｃ（ｕｌ，Ｖ１） ０， 则称二元函数 为Ｃｏｐｕｌａ． （２．３） 定理２．１［ ］（Ｓｋｌａｒ’ｓ定理）设Ｈ（ｘ，Ｙ）为联合分布函数，边缘分布为Ｆ（ ），Ｇ（ ），则存在 个Ｃｏｐｕｌａ Ｃ，使得Ｙｘ，ｙ∈一Ｒ， Ｈ（ｘ，Ｙ）＝ （Ｆ（ ），Ｇ（ ）） （２．４） 若Ｆ（ ），ｖ（ｙ）连续，则Ｃ是唯一的；否则，Ｃ仅由Ｒａｎ Ｆｘ Ｒａｎ Ｇ唯一决定．相反地，若Ｃ 是一个相关结构而Ｆ（ ），ａ（Ｖ）为分布函数，那么由式（２．４）定义的函数Ｈ（ｘ，Ｙ）为联合分布 函数，边缘分布为分别为Ｆ（ ），ａ（ｙ）． Ｓｋｌａｒ’Ｓ定理表明Ｃｏｐｕｌａ是一个分布函数，它将多元分布函数和它的边缘分布函数联系 起来． 定理２．２设 ，ｙ是随机变量，它们的联合生存函数为Ｓ（ ， ），边缘生存函数分别为 （ ）， （ ），则一定存在一个生存Ｃｏｐｕｌａ ，满足：Ｓ（ｘ，Ｙ）： （ （ ）， （ ））． 定理２．２从联合生存函数与边缘生存函数的关系刻画出了随机变量之间的相依机制．生 存Ｃｏｐｕｌａ Ｃ和Ｃｏｐｕｌａ Ｃ的关系为 Ｃ（ｕ，Ｖ）＝ ＋Ｖ一１＋Ｃ（１一ｕ，１一 ）． 王沁在文献ｆ２１中提出了如下四个公开问题： （ｉ）是否存在Ｃｏｐｕｌａ是左边块对称，但不是右边块对称？ （ｉｉ）是否存在Ｃｏｐｕｌａ是左边块对称、是可交换的，但不是径向对称的？ （ｉｉｉ）是否存在Ｃｏｐｕｌａ是左边块对称、是径向对称的，但是不可交换的？ （２．５） ｆｉｖ）是否存在Ｃｏｐｕｌａ是左边块对称，但既不是径向对称的，也不是可交换的？ 显然以上四个问题提出的都是Ｃｏｐｕｌａ的对称问题，但前面定义所讨论的都是随机变量 的对称问题．因此接下来我们引入Ｃｏｐｕｌａ的对称问题，同时说明其与随机变量之间的联系． ３对称Ｃｏｐｕｌａ 近年来Ｃｏｐｕｌａ的研究及其在统计上的应用成为研究的一个热点，通过Ｃｏｐｕｌａ来刻画随 机变量联合分布函数与其边缘分布函数之间的关系，研究各种对称性的联合分布函数是研究 方向之一．现在将随机变量的各种对称性的概念叙述如下： 定义３．１ ｉ０】设 ，ｙ是随机变量，（ａ，ｂ）是 上的一点，则 １．如果随机变量Ｘ—ａ与随机变量ａ—Ｘ的分布函数相同，称随机变量ｘ关于点ａ对 称． ２．如果随机变量 关于点ａ对称，随机变量ｙ关于点ｂ对称，称（ ，ｙ）关于点（ａ，ｂ） 是边缘对称的． Ｎｏ．６ 穆燕等：关于对称Ｃｏｐｕｌａ的一个注记 ３．如果随机向量（Ｘ—ａ，Ｙ—ｂ）的联合分布函数与随机向量（ａ—Ｘ，ｂ—Ｙ）的联合分布 函数是相同的，称（ｘ，ｙ）关于点（ａ，ｂ）是径向对称的． ４．如果随机向量（Ｘ—ａ，Ｙ一６），（Ｘ—ａ，ｂ—ｌ，），（ａ—Ｘ，Ｙ一６），（ａ—Ｘ，ｂ—ｌ，）的联合分 布函数是相同的，称（ ，ｙ）关于点（ａ，ｂ）是联合对称的。 ５．如果随机向量（ ，ｙ）与（ ）的分布函数是相同的，称（ ，ｙ）是可交换的． ６．如果随机向量（Ｘ—ａ，Ｙ一６），（Ｘ—ａ，ｂ—Ｙ）（（ —ａ，Ｙ—ｂ），（ａ—Ｘ，Ｙ一６））的联合 分布函数是相同的，称（ ， ）是左（右）边块对称的． 要回答王沁的问题，我们必须先建立Ｃｏｐｕｌａ的对称性与随机变量对称性之间的关系，于 是我们引入Ｃｏｐｕｌａ的对称性． 定义３．２设Ｉ＝『０，１］，如果一个二元Ｃｏｐｕｌａ函数Ｃ：１０一 满足 １．若Ｖｕ，Ｖ∈Ｉ，都有ｃ（２７，Ｖ）： （ ， ），则称 是径向对称的； ２．若Ｖｕ，Ｖ∈Ｉ，都有ｃ（ｔｉ， ）＝ 一Ｃ（ｔｉ，ｌ一 ），则称 是左边块对称的； ３．若Ｖｕ， ∈Ｉ，都有ｃ（ｔｉ， ）＝Ｖ—Ｃ（１一 ，Ｖ），则称 是右边块对称的； ４．若Ｖｕ， ∈Ｉ，都有ｃ（ｔｉ，Ｖ）＝ｕ—Ｃ（ｔｉ，１一Ｖ）＝ 一Ｃ（１一Ｕ， ），则称ｃ是联合对称的； ５．若对Ｖｕ， ∈Ｉ，都有 （ｕ，Ｖ）＝ （ ，ｕ）），则称 是可交换的． 显然，若Ｃｏｐｕｌａ既是左边块对称又是右边块对称，则该Ｃｏｐｕｌａ是联合对称的． 比较定义３．１和定义３．２我们知道Ｃｏｐｕｌａ的对称性比随机变量的相应对称性要弱，它们 之间具体存在怎样的关系，具体见下面的定理． 定理３．１设Ｘ，ｙ是随机变量， 为Ｃｏｐｕｌａ函数 （１）如果（ ， ）满足某一种对称性（径向对称，左边块对称，右边块对称，联合对称，可 交换），那么随机变量 ，ｙ的Ｃｏｐｕｌａ函数必然满足相应的对称性； （２）如果 满足某一种对称性（径向对称，左边块对称，右边块对称，联合对称，可交换）， 那么必然存在一组以 为Ｃｏｐｕｌａ函数的随机变量 ，ｙ满足相应的对称性． 证以径向对称为例证明． （１）根据文献【１１定理２．７．３知该结论显然成立． （２）由于 是径向对称的，则 ｃ（ｔｉ，Ｖ）＝ｃ（ｔｉ，Ｖ）＝乱＋ 一ｌ＋Ｃ（１一札，ｌ～Ｖ） １一（１一 ）一（１一Ｖ）＋ （１一 ，１一 ）． （３．１） 令 ，ｙ～Ｕ［０，１］，则随机向量（ ，ｙ）关于点（０．５，０．５）是边缘对称的，再令 ：Ｆ（ｘ＋ ０．５），Ｖ＝ｖ（ｙ＋０．５），由（３．１）式知 Ｐ（ Ｘ＋０．５，Ｙ Ｙ＋０．５）＝ＪＦ）（ ≥０．５一 ，Ｙ ０．５一 ）， 从而命题得证，其它对称性可类似的证明． 接下来我们可以先回答问题ｉｉ），不存在Ｃｏｐｕｌａ是左边块对称、可交换的，但不是径向对 称的 证由Ｃｏｐｕｌａｓ是左边块对称的，知ｃ（２７，Ｖ）＝ ～Ｃ（２７，１一 ），又如果Ｃｏｐｕｌａ是可交换 的，则有 （ ，１一Ｖ）＝ｃ（２７，Ｖ）＝Ｃ（ｖ， ）＝Ｖ—Ｃ（Ｖ，１一 ）＝Ｖ—ｃ（１一 ， ）， 数 学 杂 志 从而知Ｃｏｐｕｌａ是联合对称的，则Ｃｏｐｕｌａ是径向对称的，即不存在Ｃｏｐｕｌａ是左边块对称、是 可交换的，但不是径向对称的． ４主要结论 我们先给出一个引理，它在下面的证明中至关重要． 引理４．１【 】设 是定义域为Ｉ＝【０，１］上的函数，ｃ（ｕ，Ｖ）＝ＵＶ＋ｑａ（ｖ）ｕ（１一 ）（ ，Ｖ∈ ）， 那么Ｃ（ｕ，Ｖ）是一个Ｃｏｐｕｌａ当且仅当 （１） （０）：ｑｏ（１）＝０； （２）Ｖｖｌ，Ｖ２∈Ｉ， 满足李普希斯条件，即有ｌ （ ２）一 （ １）｝ ｌＶ２一ＶｌＩ． 接下来，我们介绍具有二次截线的Ｃｏｐｕｌａ，即Ｃｏｐｕｌａ是关于一个变量（ 或Ｖ）是二次 的．其形式如 ｃ（ ，Ｖ）＝ａ（ｖ）ｕ ＋ｂ（ｖ）ｕ＋ｃ（ ）， 其中ａ，ｂ，ｃ分别是关于Ｖ的待定函数． 由Ｃｏｐｕｌａ的基本性质可知 （４．１） Ｃ（０， ）＝ｃ（ ）＝０，Ｃ（１，ｕ）＝０ ）＋６（Ｕ）＝ｕ， 如果令ａ（ｖ）＝一 ），那么 ｂ（ｖ）＝Ｖ—ａ（ｖ）＝Ｖ＋ （ ）， 将上式代入（４．１）式，得 Ｃ（ｕ，Ｖ）：ＵＶ＋ｑｏ（ｖ）ｕ（１一 ）， （４．２） 其中的 （ ）需要满足使得 是二增的，且 （０）＝ （１）＝０（落地性和边缘一致性的要求）． 定理４．１ 设 是定义在 上的函数，ｃ（钍， ）＝ｕ ＋ （ ）ｕ（１一ｕ）（ ， ∈Ｉ）是一个 Ｃｏｐｕｌａ，则ｃ（ｕ，Ｖ）是左边块对称当且仅当 （ ）＝一 （１一 ）． 证Ｃ（ｕ， ）是左边块对称等价于 （ ，Ｖ）： — （ ，１一Ｖ）＝ 一札（１一Ｖ）一 （１一 ） （１一Ｕ） －ＵＶ一 （１一 ）ｕ（１一 ）＝ＵＶ＋ （ ） （１一Ｕ） （ｕ）＝一 （１一 ）． 定理４．２【 １设 是定义在 上的函数，ｃ（ｕ， ）： ＋ ） （１一札）（ ，Ｖ∈Ｉ）是一个 Ｃｏｐｕｌａ，若 （ ，Ｖ）是径向对称当且仅当 （ ）＝Ｖ（１一 ）． 由定理４．１，４．２，再结合定义３．２我们可以得出：具有二次截线的Ｃｏｐｕｌａ不可能是联合 对称的，除非 （ ）三０，Ｖ∈Ｉ，即 （ｕ，Ｖ）＝ＵＶ． 众所周知，函数．厂（ ）＝ｓｉｎｘ满足李普希斯条件的，受引理４．１的启发，我们可以令 （ Ｕ）： ｓｉｎ（２１ｒｖ），代入式（４．２）式得 （钆， ）： ＋ ｓｉｎ（２丌 ） （１一 ）， ， ∈ ， ∈［ ０）ｕ（０，１］ 由式（４．３）定义的是关于 的Ｃｏｐｕｌａ族，具有下面的基本性质： （４．３） 穆燕等：关于对称Ｃｏｐｕｌａ的一个注记 １０８９ （１）左边块对称； （２）非右边块对称； （３）非径向对称； （４）不可交换． 证（１） （ ）＝ ｓｉｎ（２ｒｖ），显然， （ ）：一 （１一 ）． 由定理４．１知 （ ， ）＝ｕ ＋ ｓｉｎ（２１ｒｖ）ｕ（１一 ）是左边块对称的 （２）由于 （ ）＝ ｓｉｎ（２￣ｖ），所以 Ｃ（１－ｕ，ｖ）＝ 一（１一ｕ） 一 ｓｉｎ（２ （１一 ） ： 一 一 ｓｉｎ（ｎＬ２丌 ）ｚ丌 Ｊ （ 【 一ｕＪ≠ 【１一ｕ）≠ （ ， ） Ｊ，’ 从而得证 （ ， ）＝伽＋ ｓｉｎ（２￣－ｖ）ｕ（１一 ）是非右边块对称的． （３）由（１）知 （ ）＝一 （１一 ），由此知 ∈ ， （ ）＝ （１一Ｖ）不可能成立，根据定理 ４．２可以得到 （ｕ， ）＝伽＋ ｓｉｎ（２￣－ｖ）ｕ（１～ ）是非径向对称的． （４）由于 （ ）＝ ｓｉｎ（２￣＇ｖ），所以 ｃ（ ， ）＝ＵＶ＋ ｓｉｎ（２￣ｖ）ｖ（１一 ）≠ （ ， ）． 从而得证Ｃ（ｕ， ）＝ ＋ ｓｉｎ（２￣＇ｖ）ｕ（１一 ）是不可交换的． 由上述性质表明：存在Ｃｏｐｕｌａ是左边块对称，既不是右边块对称，也不是径向对称，更 不是可交换的．该Ｃｏｐｕｌａ族回答了文献ｆ２】中的ｉ），ｉｖ）两问题． 为了回答问题（ｉｉｉ），我考虑具有三次截线的Ｃｏｐｕｌａ． 由具有二次截线的Ｃｏｐｕｌａ很容易推广到三次截线的Ｃｏｐｕｌａ，即Ｃｏｐｕｌａ是关于一个变 量（Ｕ或Ｖ）是三次的．即形如 （ ，Ｖ）＝ａ（ｖ）ｕ。＋ｂ（ｖ）ｕ ＋ｃ（ｖ）ｕ＋ｄ（ ）， 其中ａ，ｂ，ｃ，ｄ是关于 的待定函数．利用Ｃｏｐｕｌａ的基本性质可以得到 ｃ（ｏ，Ｖ）＝ｄ（ｖ）＝０，Ｃ（１， ）＝ａ（ｖ）＋ｂ（ｖ）＋ｃ（ ）， 从而有 ｃ（ｖ）＝ —ａ（ｖ）一６（ ）． 若令 （ ）＝－ａ（ｖ）一６（ ）， （ ）＝－２ａ（ｖ）一６（ ）， 则 （ｕ，Ｖ）＝ＵＶ＋ （１一 ）［ （ ）（１一Ｕ）－－Ｉ－ （ ）ｕ］， （４．４） 其中Ｏｔ， 是满足 （０）＝Ｚ（ｏ）＝ （１）＝ （１）＝０（落地性、边缘一致性的要求）且是使得 ｃ（ｕ，Ｖ）具有二增性的关于 的待定函数． １０９０ 数 学 杂 志 定理４．３设 ， 是定义域在Ｉ上的函数，ｃ（ｕ，Ｖ）＝ＵＶ＋ （１一 ） （ ）（１一 ）＋ （ ） ］ 是一个Ｃｏｐｕｌａ，则Ｃ（ｕ， ）是左边块对称的充要条件是 （ ）＝－（２（１一ｕ）， （ ）：－９０－一ｕ）． 证 （ｕ， ）是左边块对称等价于 ｃ（ｕ， ）＝ｕ—Ｃ（ｕ，ｌ— ）｛＝ （（Ｑ（ｕ）一 （１一 ）】（１一ｕ）＋【 （ｕ）一 （１一 ）】ｕ：０． 由ｕ的任意性，我们知上式等价于Ｑ（ｕ）：一Ｑ（１一 ）， （ ）＝一 （１一 ）． 定理４．４设 ， 是定义在Ｉ上的函数， （札，Ｖ）＝ＵＶ＋ｕ（１一 ）［ （ ）（１一“）＋ （ ） ］ 是一个Ｃｏｐｕｌａ，则 （ｕ，Ｖ）是径向对称的充要条件是 （ ）＝／３（１一 ）． 定理４．５设 ， 是定义在Ｉ上的函数，ｃ（ｕ，Ｖ）＝ＵＶ＋ｕ（１一ｕ）［ （ ）（１一 ）＋Ｚ（ｖ）ｕ］ 是一个Ｃｏｐｕｌａ，则ｃ（ｕ， ）是联合对称的充要条件是 Ｑ（ Ｕ）＝－（２（１一ｕ）： （ｕ）． 定理４．４，定理４．５的具体证明参见文献［１】，在此不作赘述． 为了回答文献［２】中的问题（ｉｉｉ），我们来构造一个联合对称、但不可交换的Ｃｏｐｕｌａ． 根据定理４．５和ｃ（ｕ， ）＝ＩＬＶ＋ ｓｉｎ（２￣－ｖ）ｕ（１一 ）的形式，令 （ ）＝一 （ ）： ｓｉｎ（２ｒｃｖ）， 显然 （０）＝ （０）＝ （１）＝０（１）＝０， 将其代入（４．１）式整理得 ｃ（ ， ）＝伽＋ ｉｎ（２￣ ）乱（１一 ）（１—２ｕ）， （４·５） 其中 ，Ｖ Ｅ Ｉ， Ｅ［＿１，０）Ｕ（０，１］． 现在验证其具有二增性． 由引理４．１我们知道ｃ（ｕ，Ｖ）＝ｕｖ＋￣ｏ（ｖ）ｕ（１一钆）满足 （０）： （１）＝０且对Ｖｖ１，Ｖ２ Ｅ Ｉ， 满足李普希斯条件，即有ｌ （ ２）一 （ １）ｌ ｌＶ２一 １Ｉ，即可知Ｃ是一个Ｃｏｐｕｌａ．那么 ｃ（ｕ， ）＝ＵＶ＋ ｓｉｎ（２￣－ｖ）ｕ（１一钆）（１—２ ）可以看成 （ ）＝ ｓｉｎ（２￣－ｖ）（１—２ ）的具有二 次截线的Ｃｏｐｕｌａ形式． 显然 （０）＝ （１）＝０，且 ｌ （Ｖ２）一 （ ）ｌ＝ Ｉｓｉｎ（２丌 。）一ｓｉｎ（２丌 ）ｌ －Ｖ１ｌ， 从而得证 （ｒ“， ）＝ ＋ ｉｎ（２丌 ） （１一 ）（卜２乱） ∈ ， Ｅ［一 ，０）Ｕ（０， ］ Ｎｏ．６ 穆燕等：关于对称Ｃｏｐｕｌａ的一个注记 １０９１ 是关于０的Ｃｏｐｕｌａ族． 下面可验证由（４．５）式定义的Ｃｏｐｕｌａ是左边块对称、径向对称、联合对称的，但不可交 换． （１）左边块对称； （２）径向对称； （３）联合对称； ｆ４）不可交换． 证（１）由 （ ）＝一 （ ）＝ ０ ｓｉｎ（２７ｒｖ），得 （ ）＋ （１一 ）： ０ ｓｉｎ（２７ｒ ）＋ ０ ｓｉｎ １）］＝０ 同理可证 （ ）＋ （１一 ）＝０．由定理４．１知Ｃ（ｕ， ）＝ＵＶ＋ ｓｉｎ（２￣－ｖ）ｕ（１一 ）（１—２ｕ）是 左边块对称的． （２）由 （ ）＝－ｆｌ（ｖ）＝ ｓｉｎ（２￣ｒｖ），得 （ ）一 （１一 ）： ０ ｓｉｎ（２丌 ）＋ ０ ｓｉｎ［２７ｒ（１）］＝０． 即口（ｔ，）＝ （１一 ）．由定理４．２知ｃ（ｕ， ）＝ＵＶ＋ ｏ ｓｉｎ（２７ｒｖ）ｕ（１一 ）（１—２ｕ）是径向对称的。 （３）由 （ ）＝一 （ ）＝ ｏ ｓｉｎ（２￣－ｖ），显然有 （ ）＝一 （１一 ）＝ （ ）＝－ｆｌ（１一 ）， 由定理４．３知Ｃ（ｕ， ）：ＵＶ＋ ｓｉｎ（２１ｒｖ）ｕ（１一 ）（１—２ｕ）是联合对称的 （４）由 （ ）＝一 （ ）＝ ｓｉｎ（２￣ｒｖ），有 ｃ（ｖ， ）＝？ＡＶ＋ ｓｉｎ（２７ｒｕ）ｖ（１一 ）（１—２ｖ）≠ （ ， ）， ‘，ｌ 从而得证Ｃ（ｕ， ）＝¨ ＋ ｓｉｎ（２￣－ｖ）ｕ（１一 ）（１—２ｕ）是不可交换的． 由此回答了文献『２１中的问题ｉｉｉ）． 最后我们给出本文所得结果在确定最优资产组合上的一个简单应用【５】． 以往的风险计算模型大都假设多个资产收益序列或风险因子的联合分布服从多元正态 分布，但大量实证表明，这种假设经常与客观事实相违背，特别是当极端事件发生时更为如 此，因此正态分布假设下的资产组合风险分析及其ＶａＲ计算与实际情况通常偏差较大．因而 我们可以考虑本文所构造的Ｃｏｐｕｌａ族建立两两风险资产之间的关系，为投资者找出最优投 资组合． 假设在股票市场上有ｎ种股票，设 表示第ｉ支股票，仅有两个时刻，时刻０表示今天， 时刻１表示明天，其单期收益Ｒ１，Ｒ２，…，Ｒ 是随机变量．Ｗｔ表示其购买第ｉ支股票的股份， 显然∑Ｗｉ咒为该投资者的资产组合收益，也是一个随机变量．现假设某投资者拿出Ｗ万元 投资该股票市场，其预计盈利ａ万元，一个实际问题是：该投资者如何投资使得风险最小？ 我们可以根据股票市场的历史数据，用我们构造的Ｃｏｐｕｌａ族ｆ４．３），对任意两支股票 五， 之间的相依关系进行模拟确定参数 ｊ．则上述问题可以简化为： １０９２ 数 学 杂 志 Ｖｂ１．３３ 已知Ｅ（∑叫 Ｒ ）＝０，ｃ（Ｈｔ， ）＝Ｈｉ钆Ｊ＋鲁ｓｉｎ（２７ｒｕｊ）ｕｔ（１一Ｈｉ），其中 ｔ＝Ｐ（ ），ｉ＝ １，２，…，ｎ，在Ｖａｒ（∑ｗｉＲｉ）最小的情况下确定伽ｔ，由ｃ（ｕｉ，ｕｊ）可以确定ＥＲｉＲｊ，然后利用 拉格朗日乘数法即可确定ｗｔ． 以上说明我们可以通过所构造出的Ｃｏｐｕｌａ族模拟股票之间的关系，当然也可以模拟不 同股市之间的关系，从而方便了投资者进行有效的投资．详尽地讨论我们将在另文中给出． 参考文献 ［１】Ｒｏｇｅｒ Ｂ Ｎ．Ａｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ Ｃｏｐｕｌａ［Ｍ］．Ｌｅｃｔｕｒｅｓ Ｎｏｔｅｓ ｉｎ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ Ｖｅｒｌａｇ， １９９９． ［２］王沁．对称Ｃｏｐｕｌａ［Ｊ］．数学进展，２００６，３５（４）：４９３—４９８． ［３】Ｓａｌｖａｔｏｒｅ Ｇ，Ｆｒａｎｃｅｓｃｏ Ｓ．Ａｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｃｏｐｕｌａ ｉｎ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｌｆｏｏｄ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｗａｔｅｒ Ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ，２００６，２９：１１５５—１１６７． ［４】史道济，吴新荣．对称Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ Ｃｏｐｕｌａ［Ｊ］．数学的实践与认识，２００９，３９（２４）：１７２—１７９． ［５］伟艳华，张世英．Ｃｏｐｕａ理论及其在金融分析上的应用 】．北京：清华大学出版社．２００８． Ａ ＮｏＴＥ ０Ｎ ＳＹＭＭＥＴＲＩＣ ＣｏＰＵＬＡ ＭＵ Ｙａｎ，ＷＡＮＧ Ｚｈｏｎｇ－ｚｈｉ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ＆Ｐｈｙｓｉｃｓ，ＡｎＨｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｍａａｎｓｈａｎ ２４３００２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｖａｒｉｏｕｓ ｓｙｍｍｅｔｒｙ Ｃｏｕｐｕｌａｓ．Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｗａｙ ｏｆ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ｔｈｅ Ｃｏｐｕｌａ ｗｉｔｈ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｓｅｃｔｉｏｎｓ ｏｒ ｃｕｂｉｃ ｓｅｃｔｉｏｎｓ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ Ｃｏｐｕｌａｓ ｗｈｉｃｈ ｉｓ Ｌｅｆｔ－－Ｂｌｏｃｋ－－Ｓｙｍｍｅｔｒｙ，ｎｏｔ Ｒｉｇｈｔ—－Ｂｌｏｃｋ－·Ｓｙｍｍｅｔｒｙ，ａｎｄ ｔｈｅ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ Ｃｏｐｕｌａｓ ｗｈｉｃｈ ｉｓ Ｌｅｆｔ—Ｂｌｏｃｋ－Ｓｙｍｍｅｔｒｙ ａｎｄ Ｒａｄｉａｌ－Ｓｙｍｍｅｔｒｙ，ｂｕｔ ｎｏｔ ｅｘｃｈａｎｇｅａｂｌｅ，ｔｈｅ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ Ｃｏｐｕｌａｓ ｗｈｉｃｈ ｉｓ Ｌｅｆｔ—Ｂｌｏｃｋ－Ｓｙｍｍｅｔｒｙ，ｂｕｔ ｎｅｉｔｈｅｒ Ｒａｄｉａｌ—Ｓｙｍｍｅｔｒｙ，ｎｏｒ ｅｘｃｈａｎｇｅａｂｌｅ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｗｅ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｃｏｐｕｌａ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ Ｌｅｆｔ—Ｂｌｏｃｋ－Ｓｙｍｍｅｔｒｙ，ｅｘｃｈａｎｇｅａｂｌｅ ａｎｄ ｎｏｔ Ｒａｄｉａｌ－Ｓｙｍｍｅｔｒｙ， ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｅｘｉｓｔ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｅ ｆｏｕｒ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｂｙ Ｗａｎｇ Ｑｉｎ ｉｎ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ【２】ａｒｅ ｓｏｌｖｅｄ ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： Ｃｏｐｕｌａ；ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ Ｃｏｐｕｌａ；ｅｘｃｈａｎｇｅａｂｌｅ Ｃｏｐｕｌａ；ｓｕｒｖｉｖａｌ Ｃｏｐｕｌａ ２０１０ ＭＲ Ｓｕｂｊｅｃｔ Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ： ６０Ｅ０５