2016全国卷3高考试题及答案-理科数学

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试题类型：

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项： 页.

2.答题前，考生务必将自己的、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

〔1〕设集合S=Sx(x2)(x3)0,Txx0 ，则S

(A) [2，3] (B)〔- ，2](C) [3,+〕 (D)〔0，2]〔2〕假设z=1+2i，则

T= [3,+〕

[3,+〕

4i zz1(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i

〔3〕已知向量BA(,12231) ,BC(,), 则ABC= 222(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200

〔4〕某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气

温约为50C。下面表达不正确的选项是

(A) 各月的平均最低气温都在00C以上

(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C的月份有5个 〔5〕假设tan3 ，则cos22sin2 4(A)

644816 (B) (C) 1 (D) 252525433413〔6〕已知a2，b4，c25，则

〔A〕bac 〔B〕abc〔C〕bca〔D〕cab 〔7〕执行下列图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=

〔A〕3 〔B〕4 〔C〕5 〔D〕6

〔8〕在△ABC中，Bπ1，BC边上的高等于BC,则cosA43

310 10〔A〕31010 〔B〕 〔C〕101010 〔D〕10 (9)如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外表积为

〔A〕18365

〔B〕54185 〔C〕90 〔D〕81

(10) 在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，假设ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是 〔A〕4π 〔B〕

9 2 〔C〕6π 〔D〕

32 3x2y2〔11〕已知O为坐标原点，F是椭圆C：221(ab0)的左焦点，A，B分别为C

ab的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥xA的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.假设直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 〔A〕

13

〔B〕

12

〔C〕

23

〔D〕

3 4〔12〕定义“标准01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，

a1,a2,,ak中0的个数不少于1的个数.假设m=4，则不同的“标准01数列”共有

〔B〕16个

〔C〕14个

〔D〕12个

〔A〕18个

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每题5分

x−y+1≥0

〔13〕假设x，y满足约束条件{x−2y≪0 则z=x+y的最大值为_____________.

x+2y−2≪0〔14〕函数y=sinx−√3cosx的图像可由函数 y=sinx+√3cosx的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。

〔15〕已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，则曲线y=f(x)，在带你〔1，-3〕

处的切线方程是_______________。

〔16〕已知直线l:mx+y+3m−√3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，假设|AB|=2√3，则|CD|=__________________. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 〔17〕〔本小题总分值12分〕

已知数列{an}的前n项和Sn=1+a，Sn=1+an，其中0 〔I〕证明{an}是等比数列，并求其通项公式 〔II〕假设S5=32 ，求 〔18〕〔本小题总分值12分〕

下列图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量〔单位：亿吨〕的折线图

31

〔I〕由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明 〔II〕建立y关于t的回归方程〔〕，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。

〔19〕〔本小题总分值12分〕

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点. 〔I〕证明MN∥平面PAB;

〔II〕求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

〔20〕〔本小题总分值12分〕

已知抛物线C：y22x 的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.

〔I〕假设F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

〔II〕假设△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程. 〔21〕〔本小题总分值12分〕

设函数f〔x〕=acos2x+〔a-1〕〔cosx+1〕，其中a＞0，记|𝑓（𝑥）|的最大值为A. 〔Ⅰ〕求f＇〔x〕； 〔Ⅱ〕求A；

〔Ⅲ〕证明|𝑓′（𝑥）|≤2A.

请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O中AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点. 〔I〕假设∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；

〔II〕假设EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.

23.〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程

x3cos(为参数)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以坐标原点为极点，ysin以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin()22 .

4〔I〕写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

〔II〕设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标. 24.〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|2xa|a

〔I〕当a=2时，求不等式f(x)6的解集；

〔II〕设函数g(x)|2x1|,当xR时，f〔x〕+g〔x〕≥3，求a的取值范围.

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试题类型：新课标Ⅲ

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

〔1〕D 〔2〕C 〔3〕A 〔4〕D 〔5〕A 〔6〕A 〔7〕B 〔8〕C 〔9〕B 〔10〕B 〔11〕A 〔12〕C

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第〔13〕题~第〔21〕题为必考题，每个试题考生都必须作答。第〔22〕题~第〔24〕题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每题5分

〔13〕

3 2〔14〕

 3〔15〕y2x1 〔16〕4

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

〔17〕〔本小题总分值12分〕

解：〔Ⅰ〕由题意得a1S11a1，故1，a11，a10. 1由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，

0得an0，所以

an1. an1因此{an}是首项为

11n1，公比为的等比数列，于是an()． 1111〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得Sn1(解得1．

5131531得1(，即(， )n，由S5))321321321〔18〕〔本小题总分值12分〕

解：〔Ⅰ〕由折线图这数据和附注中参考数据得

7t4，(tit)28，

2i1(yi1ii7iy)20.55，

(ti17it)(yiy)tytyi1i177i40.1749.322.89，

r2.890.99.

0.5522.646因为y与t的相关系数近似为，说明y与t的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.

79.32ˆ〔Ⅱ〕由y1.331及〔Ⅰ〕得b7(ti1it)(yiy)i(ti17t)22.890.103， 28ˆt1.3310.10340.92. ˆybaˆ0.920.10t. 所以，y关于t的回归方程为：yˆ0.920.1091.82. 将2016年对应的t9代入回归方程得：y

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约亿吨. 〔19〕〔本小题总分值12分〕

解：〔Ⅰ〕由已知得AM知TN//BC，TN2AD2，取BP的中点T，连接AT,TN，由N为PC中点31BC2. 2又AD//BC，故TN平行且等于AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN//AT. 因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN//平面PAB.

〔Ⅱ〕取BC的中点E，连结AE，由ABAC得AEBC，从而AEAD，且

AEAB2BE2AB2(BC2)5. 2以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如下图的空间直角坐标系Axyz，由题意知，

P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(5,2,0)，N(5,1,2)， 2PM(0,2,4)，PN(55,1,2)，AN(,1,2). 222x4z0nPM0设n(x,y,z)为平面PMN的法向量，则，即5，可取

xy2z0nPN02n(0,2,1)，

于是|cosn,AN||nAN|85. |n||AN|25

〔20〕解：由题设F(,0).设l1:ya,l2:yb，则ab0，且

12a2b2111abA(,0),B(,b),P(,a),Q(,b),R(,). 222222记过A,B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0. .....3分 〔Ⅰ〕由于F在线段AB上，故1ab0. 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则

k1abab1abbk2. 1a2a2abaa所以AR∥FQ. ......5分

〔Ⅱ〕设l与x轴的交点为D(x1,0)，

则SABFab111baFDbax1,SPQF. 222211ab由题设可得bax1，所以x10〔舍去〕，x11.

222设满足条件的AB的中点为E(x,y).

当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得

2y(x1). abx1

而

aby，所以y2x1(x1). 22当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为yx1. ....12分 〔21〕〔本小题总分值12分〕

解：〔Ⅰ〕f(x)2asin2x(a1)sinx． 〔Ⅱ〕当a1时，

'|f'(x)||asin2x(a1)(cosx1)|a2(a1)3a2f(0)

因此，A3a2． ………4分

当0a1时，将f(x)变形为f(x)2acosx(a1)cosx1．

令g(t)2at(a1)t1，则A是|g(t)|在[1,1]上的最大值，g(1)a，g(1)3a2，

221a(a1)2a26a11a)1且当t时，g(t)取得极小值，极小值为g(． 4a8a8a4a令11a11，a． 1，解得a〔舍去〕

4a351时，g(t)在(1,1)内无极值点，|g(1)|a，|g(1)|23a，5〔ⅰ〕当0a|g(1)||g(1)|，所以A23a．

〔ⅱ〕当

11aa1时，由g(1)g(1)2(1a)0，知g(1)g(1)g()． 54a1aa26a11a(1a)(17a))|又|g(． )||g(1)|0，所以A|g(4a8a4a8a123a,0a52a6a11,a1． ………9分 综上，A8a53a2,a1

'

〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕得|f(x)||2asin2x(a1)sinx|2a|a1|.

当0a1'时，|f(x)|1a24a2(23a)2A. 5当

1a13a1时，A1，所以|f'(x)|1a2A. 588a4''当a1时，|f(x)|3a16a42A，所以|f(x)|2A.

请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲

解：〔Ⅰ〕连结PB,BC，则BFDPBABPD,PCDPCBBCD. 因为APBP，所以PBAPCB，又BPDBCD，所以BFDPCD. 又PFDBFD180,PFB2PCD，所以3PCD180， 因此PCD60. 〔Ⅱ〕因为PCDBFD，所以PCDEFD180，由此知C,D,F,E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，因此OGCD.



23.〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程

x2y21，C2的直角坐标方程为xy40. ……5分 解：〔Ⅰ〕C1的普通方程为3〔Ⅱ〕由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)，因为C2是直线，所以|PQ|的最小值，

即为P到

C2的距离

d()的最小值，

d()|3cossin4|2|sin()2|.

32………………8分 当且仅当2k6(kZ)时，d()取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标

为(,). ………………10分

312224.〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲 解：〔Ⅰ〕当a2时，f(x)|2x2|2. 解不等式|2x2|26，得1x3.

因此，f(x)6的解集为{x|1x3}. ………………5分 〔Ⅱ〕当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|

|2xa12x|a

|1a|a，

当x1时等号成立， 2所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3. ① ……7分 当a1时，①等价于1aa3，无解. 当a1时，①等价于a1a3，解得a2. 所以a的取值范围是[2,). ………………10分