泛函分析习题

第七章 度量空间和赋范线性空间

复习题：

1。设(X,d)为一度量空间，令

U(x0,){x|xX,d(x,x0)},S(x0,){x|xX,d(x,x0)},

问U(x0,)的闭包是否等于S(x0,)?

2.设C[a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数的全体，定义

1|f(r)(t)g(r)(t)|. d(f,g)rmaxatb1|f(r)(t)g(r)(t)|2r0证明C[a,b]按d(f,g)成度量空间.

3。设B是度量空间X中闭集,证明必有一列开集O1,O2,n1,On,包含B,而且

OnB.

4.设d(x,y)为空间X上的距离，证明

d(x,y)d(x,y)

1d(x,y)也是X上的距离.

5。证明点列{fn}按题2中距离收敛于fC[a,b]的充要条件为fn的各阶导数在

[a,b]上一致收敛于f的各阶导数.

6.设B[a,b],证明度量空间C[a,b]中的集 {f|当tB时, f(t)=0}

为C[a,b]中的闭集，而集 A{f|当tB时,|f(t)|a}(a0)

为开集的充要条件是B为闭集。

7。设E及F是度量空间中两个集，如果d(E,F)0，证明必有不相交开集O及G分别包含E及F。

泛函分析习题

8.设B[a,b]表示[a,b]上实有界函数全体，对B[a,b]中任意两元素f,gB[a,b]，规定距离为

d(f,g)sup|f(t)g(t)|.

atb证明B[a,b]不是可分区间.

9.设X是可分距离空间，f为X的一个开覆盖，即f是一族开集，使得对每个

xX，有f中开集O，使xO，证明必可从f中选出可数个集组成X的一个覆盖. 10。设X为距离空间，A为X中子集，令f(x)infd(x,y),xX，证明f(x)是X上连yA续函数。

11。设X为距离空间,F1，F2为X中不相交的闭集，证明存在开集G1，G2，使得

G1G2,G1F1，G2F2。

12。设X,Y,Z为三个度量空间,f是X到Y中的连续映射,g是Y到Z中的连续映射，证明复合映射(gf)(x)g(f(x))是X到Z中的连续映射.

13。设X是度量空间，f是X上的实函数，证明f是连续映射的充要条件是对每个实数c，集合

{x|xX,f(x)c}和集合{x|xX,f(x)c}. 都是闭集.

14.证明柯西点列是有界点列.

15.证明§1中空间S,B(A)以及离散空间都是完备的度量空间。 16。证明l与C(0,1]的一个子空间等距同构。

17.设F是n维欧几里得空间R中有界闭集,A是F到自身中的映射，并且适合下列条件：对任何x,yF(xy)，有

d(Ax,Ay)d(x,y), 证明映射A在F中存在唯一的不动点.

18.设X为完备度量空间,A是X到X中映射,记

n

泛函分析习题

d(Anx,Anx). ansupd(x,x)xx若an，则映射A有唯一不动点。

n119.设A为从完备度量空间X到Y中映射，若在开球U(x0,r) (r0)内适合 d(Ax,Ax)d(x,x),01. 又A在闭球S(x0,r){x|d(x,x0)r}上连续，并且 d(x0,Ax0)(1)r. 证明：A在S(x0,r)中有唯一的不动点。

20。设ajk,j,k1,2,,n为一组实数，适合条件

i,j1(anijij)21，其中jk当jk时为

1，否则为0。证明:代数方程组

a11x1a12x2axax211222 an1x1an2x2a1nxnb1,a2nxnb2,annxnbn,xn.

对任何一组固定的b1,b2,,bn，必有唯一的解x1,x2,21.设V[a,b]表示[a,b]上右连续的有界变差函数全体，其线性运算为通常函数空间中的运算.在V[a,b]中定义范数||x|||x(a)|V(x),证明V[a,b]是Banach空间。

a22.设

X1,X2,b是一列Banach空间，

x{x1,x2,,xn,}是一列元素，其中

xnXn,n1,2,,并且||xn||p,这种元素列的全体记成Xn1，类似通常数列的加法和数

乘,在X中引入线性运算.若令

||x||(||xn||)pn11p，

证明：当p1时，X是Banach空间.

23。设X是线性赋范空间，对每个(x,y)XX，XX为两个X的笛卡尔乘积空间，定义||(x,y)||||x||2||y||2,则XX成为赋范线性空间.证明XX到X的映射：

泛函分析习题

(x,y)xy是连续映射。

24.设是实(复）数域，X为赋范线性空间，对每个(,x)X，定义

||(,x)||||2||x||2，则(,x)x为X到X中的连续映射。

25.设C为一切收敛数列所组成的空间，其中的线性运算与通常序列空间相同。在C中令||x||sup|xi|,x{xn}C,证明C是可分的Banach空间。

i第八章 有界线性算子和连续线性泛函

复习题

1。举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性子空间。

2.求C[1,1]上线性泛函3.设无穷阵

f(x)x(t)dtx(t)dt的范数。

1001(aij)i,j1,2,,满足sup|aij|.作

ij1l到

l中算子如下：若

x(ξξ),y(1,2,),Txy,则i1,2,ξ,i1,2,ijjj1.

证明||T||sup|aij|.

ij14.设

x(ξξ1,2,sup|n|n1,在

lp(p1)中定义线性算子：

yTx,iξii,i1,2,,其中

,ξ),y(1,2,n,,n,),证明T是有界线性算子，并且||T||sup|n|.

n15.设X是n维向量空间,在X中取一组基{e1,e2,n,en},(t)是nn矩阵,作Xn到X中

算子如下：当xxe时，yTxye，其中ytx,1,2,,n.若规定向量的范

1n11数为||x||(|x|1n122)，证明上述算子的范数满足max(|t|)||T||(|t|)。 111n122nn1226.设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y的线性算子,若T的零空间是闭集，T是否一定有界？

7。作lp(1p)中算子T如下：当x(x1,x2,yntnmxm,n1,2,3,m1)lp时，Tx(y1,y2,,yn,),其中

,(|tnm|q)p/q,

n1m1泛函分析习题

111，证明：T是有界线性算子. pq8.R按范数||x||max|ξj|,x=(ξξ,ξ1,2,n)成赋范线性空间,问此赋范线性空间的共j轭空间是什么?

9。设C0表示极限为0的实数列全体，按通常的加法和数乘,以及

||x||sup|ξξi|,x=(ξ1,2,in

,ξ)构成n,Banach空间，证明:(C0)l1.

第九章 内积空间和希尔伯特空间

复习题：

1。设{xn}是内积空间X中点列，若||xn||||x||(n),且对一切

xn,yx,y(n),证明xnx(n).

yX有

2.设X1X2,,Xn是一列内积空间,令

时，规定

{xn},{yn}xn,yn,证明：Xn1X{{xn}|xnXn,||xn||2},当{xn},{yn}Xn1{xn}{yn}{xnyn},其中,Xn都是

是数，

是内积空间,又当

Hilbert空间时,证明X也是Hilbert空间.

,en}是X{e1,e2,3.设X是n维线性空间，

的一组基,证明x,y成为X上内积的充要

条件是存在nn正定方阵(a)，使得

xe,ye11nnaxy. ,1n4.设X是实内积空间,若||xy||2||x||2||y||2,则xy，当X是复内积空间时，这个结论是否仍然成立？

5.证明:内积空间X中两个向量x,y垂直的充要条件是：对一切数a，成立

||xay||||x||.

6.设X是Hilbert空间,MX，并且M，证明(M)是X中包含M的最小闭

泛函分析习题

子空间。

7。设{en}是L2[a,b]中的规范正交系,说明两元函数列en(x)em(y)

(n,m1,2,3,)是

L2([a,b][a,b])中的规范正交系，若{en}完全，则两元函数列

en(x)em(y)(n,m1,2,3,)也是完全的.

8.设e1,e2,子P为Px1nen为内积空间X中规范正交系，证明：X到span{e1,e2,,en}的投影算

x,ee,xX.

9。设X为可分Hilbert空间，证明X中任何规范正交系至多为可数集。 10.设X是内积空间，X是它的共轭空间，fz表示X上线性泛函fz(x)x,z,若X到X的映射F：zfz是一一到上的映射，则X是Hilbert空间.

11.设X和Y为Hilbert空间，是X到Y中的有界线性算子,N(A)和R(A)分别表示算子A的零空间和值域，证明

N(A)R(A),N(A)R(A)R(A)N(A),R(A)N(A)

12.设T是Hilbert空间X中有界线性算子，||T||1，证明：

{x|Txx}{x|Txx}.

13。设H是Hilbert空间，M是H的闭子空间，x0H，证明: min{||xx0|||xM}max{|x0,y||yM,||y||1}.

14.设H是复Hilbert空间，M为H的闭子空间，则M为H上某个非零连续线性泛函的零空间的充要条件是M是一维子空间.

15。设T为Hilbert空间X上正常算子，TAiB为T的笛卡尔分解，证明： （1）||T||2||A2B2||, （2)||T2||||T||2。

16.证明：A是实内积空间X上自伴算子时，A0的充要条件为对所有xX，成

泛函分析习题

立Ax,x0。

17.设U是Hilbert空间L2[0,2]中如下定义的算子： (Uf)(t)eitf(t),fL2[0,2], 证明U是酉算子.

18。设是平面上有界L可集测，L2()表示上关于平面L测度平方可积函数全体，对每个fL2(),定义(Tf)(z)zf(z),z,证明T是正常算子。

第十章 巴拿赫空间中的基本定理

复习题:

1。设X是赋范线性空间，x1,x2,,xk是X中k个线性无关向量，1,2,组数，证明：在X上存在满足下列两条件：

（1）f(x)v,1,2,,k, （2）||f||M

,k是一

的线性连续泛函f的充要条件为:对任何数t1,t2,|t|M||tx|| 都成立.

11kk,tk,

2。设X是赋范线性空间，Z是X的线性子空间，x0X，又d(x0,Z)0，证明存在fX，满足条件：

（1）当xZ时，f(x)0； （2）f(x0)d(x0,Z)； （3）||f||1。

3.证明:无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的. 4。证明Banach空间X自反的充要条件是X自反。 5.设0,1,,n,是一列数，证明存在

[a,b]上有界变差函数

p(t)ct,0ng(t)，使

batdg(t)n,n0,1,2,n成立的充要条件为对一切多项式成立着

泛函分析习题

|c|Mmax|p(t)|.其中M为常数.

0atbn6.设T为

Txy{0,ξξ1,2,lp(p1)中单向移位算子，即若

x(ξξ1,2,,ξ)lpn,，则

,ξ}，求T。 n,7.举例说明一致有界性定理中空间X完备的条件不能去掉. 8。证明：在完备度量空间X中存在闭球套定理,即若 S且S1S2{x|d(x,x)},1,2,,

Sn,0()，则存在唯一的xS1；反之,若在度量空间X中存

在闭球套定理,则X是完备度量空间。

9。设y{1,2,,n,}是一列复数，若对任何x{ξξ1,2,,ξ}C0,级数ξjjn,j1都收

敛,证明：yl1，其中C0的定义见第八章题9。

10。设f(t)是[a,b]上的L可测函数，p1，若对一切gLp[a,b],函数f(t)g(t)都在[a,b]上L可积，则fLq[a,b]，其中

111. pq11。证明：设X是Banach空间，p(x)是X上泛函,满足条件: （1)p(x)0；

（2）0时,p(x)p(x); （3）p(x1x2)p(x1)p(x2)；

(4）当xX,xnx时,limp(xn)p(x)。证明必有M0，使对一切xX,成立np(x)M||x||.

12.设TnB(XY)(n1,2,)，其中X是Banach空间，Y是赋范线性空间，若对每

个xX,{Tnx}都收敛,令Txlim Tnx,证明T是X到Y中有界线性算子，并且||T||lim||Tn||。xn13。设X是可分Banach空间，M是X中有界集，证明M中每个点列含有一个弱

＊

收敛子列。

泛函分析习题

14.证明：空间C[a,b]中点列{xn}弱收敛于x0的充要条件是存在常数M，使得

||xn||M,n1,2,,并且对任何t[a,b]，成立limxn(t)x0(t)。

n15。设X是赋范线性空间，M为X的闭子空间，若M中点列{xn}，当n时弱收敛于x0，那么必有x0M.

(n)(n)ξξ,16.证明:lp(p1)中点列xn{1,2},n1,2,,弱收敛于x{ξξ}lp的充要条1,2,(n)件为sup||x||，且对每个k，limξξkk。 nn17.设X是线性空间，||x||1和||x||2是X上两个范数，若X按||x||1及||x||2都完备，并且由点列{xn}按||x||1收敛于0,必有按||x||2也收敛于0，证明存在正数a和b，使

a||x||1||x||2b||x||1。

18。设T是Banach空间X到赋范线性空间F中的线性算子，令

Mn{x|||Tx||n||x||},n1,2,,证明:总有Mn0在X中稠密。

19.用闭图像定理证明逆算子定理。

20。设A及B是定义在Hilbert空间X上的两个线性算子，满足Ax,yx,By，其中x,y为X中任意向量，证明A是有界算子.

21.设T为定义在复Hilbert空间X上的有界线性算子，若存在常数00，使

Tx,x0x,x，则称T为正定的.证明：正定算子必有有界逆算子T1，并且||T1||10.

第十一章 线性算子的谱

复习题： 1.设XC[0,1],(Ax)(t)tx(t),xX.证明(A)[0,1]，且其中没有特征值.

2。设X3。设XC[0,2],(Ax)(t)eitx(t),xX.证明(A){|||1}。 l2,AxA(x1,x2,,xn)(x2,x3,,xn)，试求(A)。

4.设F是平面上无限有界闭集，{an}是F的一稠密子集，在l2中定义算子T：

泛函分析习题

TxT(x1,x2,,xn,)(1x1,,nxn,),则n都是特征值，(T)F,F\\{an}中每个点是T的

连续谱.

5.设为线性算子An的特征值,则的n次根中至少有一个是算子A的特征值。 6。设A为Banach空间X上的有界线性算子， 0(A), 又设{An}为X上一列有界线性算子,且lim||AnA||0,证明当n充分大后，An也以0为正则点。 x7.设A是Banach空间X上的有界线性算子,当||||A||时, R(AI)1n0An,||R||n11。

||||A||()RR。其中R与R8。设A为X上的有界线性算子，,(A)，则RR的意义同第七题。

9。设A为Hilbert空间H上的有界线性算子，A为A的共轭算子，证明

(A){|(A)}(A).

10。设T1是X1到X2的全连续算子,T2是X2到X3的有界线性算子，则T2T1是X1到X3的全连续算子.

11.设A是l上线性算子，记en(0,0,,0,1,0,)，Aek=ajkej，其中|aij|2<，证明

2n1个j1i, j1A是全连续的。

12.en的符号同第十一题.作l2上算子U. Uek=算子且(U)={0}.

1ek+1,k=1,2,k证明U是l2上全连续

13.设(A)(s)=es+t(t)dt。求A的特征值和特征函数.

01（提示：记c=0et(t)dt）

14。如果积分算子的核为K(s,t)=pk(s)qk(t),其中{pk}为线性无关的函数组，则其

k1n1非零特征值相应的特征向量e有形式e=ckpk，ck是常数。 若记qij=aqi(x)pj(x)dx，

bnk1泛函分析习题

则ck可由下式决定:ck=qikci,k=1,2,i1n,n.

15。在14题中，若pi(x)qi(x),16。若K(s,t)cos(st),pi,qj0,(ij)。试求特征值和特征函数。

0s,t,求积分算子K的特征值和特征函数。

17.解方程(x)20cos(xs)(s)ds1。 18。解方程(x)30xs(s)ds3x2。

2