第四章习题
1. 在 1中令ρ1(x , y ) = (x - y )2，ρ2(x , y ) = | x - y |1/2，，问ρ1, ρ2是否为 1
上的距离？ [解] 显然ρ1, ρ2满足距离空间定义中的非负性和对称性． 但ρ1不满足三角不等式：取点x = -1, y = 0, z = 1，则
ρ1(x , z ) = 4 > 2 = ρ1(x , y ) + ρ1(y , z )，所以ρ1不是 1 上的距离。 而?x , y , z ∈ 1 ，
ρ2(x , y ) = ||||2||||||||||y z z x y z z x y z z x y x -?-+-+-≤-+-≤- ||||)||||(2y z z x y z z x -+-=-+-==ρ2(x , z ) + ρ2(z , y )；
所以ρ2是 1上的距离．
2. 设(X , ρ)是距离空间，令ρ1(x , y ) = n y x ),(ρ，?x , y ∈X ．证明(X , ρ1)也是距离空间．
[证明] 显然ρ1满足距离空间定义中的非负性和对称性， 故只需证明ρ1满足三角不等式即可．
实际上?x , y , z ∈X ，n n y z z x y x y x ),(),(),(),(1ρρρρ+≤= n n n n n y z z x n z y x M y z z x )),(),((),,,(),(),(ρρρρ+=++≤ ),(),(),(),(11y z z x y z z x n n ρρρρ+=+=． 3. 设(X , ρ)是距离空间，证明
| ρ(x , z ) - ρ(y , z ) | ≤ ρ(x , y )，?x , y , z ∈X ；
| ρ(x , y ) - ρ(z , w ) | ≤ ρ(x , z ) + ρ(y , w )，?x , y , z , w ∈X ． [证明] ?x , y , z , w ∈X ，由三角不等式有
- ρ(x , y ) ≤ ρ(x , z ) - ρ(y , z ) ≤ ρ(x , y )，故第一个不等式成立． 由第一个不等式可直接推出第二个不等式：
| ρ(x , y ) - ρ(z , w ) | ≤ | ρ(x , y ) - ρ(y , z ) | + | ρ(y , z ) - ρ(z , w ) | ≤ ρ(x , z ) + ρ(y , w )．
4. 用Cauchy 不等式证明(| ζ1 | + | ζ1 | + ... + | ζn | )2 ≤ n (| ζ1
|2 + | ζ1 |2 + ... + | ζn |2 )． [证明] 在P159中的Cauchy 不等式中令a i = | ζi |，b i = 1，?i = 1, 2, ..., n 即可．
5. 用图形表示C [a , b ]上的S (x 0, 1)． [注] 我不明白此题意义，建议不做．
6. 设(X , d )是距离空间，A ? X ，int(A )表示A 的全体内点所组成的集合．证明int(A )是开集．
[证明] 若A = ?，则int(A ) = ?，结论显然成立． 若A ≠ ?，则?x ∈ A ，?r > 0使得S (x , r ) ? A ．
对?y ∈ S (x , r )，令s = r - d (x , y )，则s > 0，并且S (y , s ) ? S (x , r ) ? A ； 所以y ∈ int(A )．故S (x , r ) ? int(A )，从而int(A )是开集．
7. 设(X , d )是距离空间，A ? X ，A ≠ ?．证明：A 是开集当且仅当A 是开球的并． [证明] 若A 是开球的并，由于开球是开集，所以A 是开集．
若A 是开集，?x ∈A ，存在r (x ) > 0，使得S (x , r (x )) ? A ． 显然A = x ∈A S (x , r (x ))．
8. 举例说明对于一般的距离空间X ，并不是总有),(),(r x S r x S =，?x ∈X ，r > 0． [例] 设X = {a , b }，定义d : X ? X 为d (a , a ) = d (b , b ) = 0，d (a , b ) = 1． 则(X , d )是距离空间．
当r = 1时，不论x 为a 还是b ，总有),(}{),(r x S X x r x S =≠=． 9. 设(X , d )是距离空间，X B A ?,．证明：B A B A ?=?，B A B A ． [证明] 由于A A ?，B B ?，故B A B A ．
由于A 和B 都是闭集，所以B A ?也是闭集，所以B A B A ． 另一方面，由B A B A ??,，得B A B A ??,，所以B A B A ； 这样就证明了第一个等式．
由B A B A ,??得B A B A ,??，所以B A B A 。
10. 证明：距离空间中的闭集必为可列个开集的交，开集必为可列个闭集的并． [证明] 由开集与闭集的关系，实际上我们只需证明第一部分即可． 设(X , d )是距离空间，A ? X ，A 是闭集． 若A = ?则结论显然成立，下面设A ≠ ?．
n ∈ +
，定义A n = x ∈A S (x , 1/n )，则A n 是开集，且A ? A n ．因此A ? n A n ．
若x ? A ，则由于A 是闭集，?N ∈ +
，使得S (x , 1/N ) A = ?； 即x ? A N ，，所以x ? n A n ．这样就证明了A = n A n ． 因此距离空间中的闭集必为可列个开集的交．
11. 设(X , d )是距离空间，}{n x 是基本列，且有收敛子列x x k n →．证明x x n →． [证明] 0>?ε，由于}{n x 是基本列，存在自然数N ，当N n m >,时2
),(ε <=\"\">
由于子列x x k n →，存在自然数K ，当K k >时，N n k >且2 ),(ε <=\"\">
当N n >时，因N n K >+1，故2 ),(1ε <
+K n n x x d ，2 ),(1ε <
+x x d K n ，从而ε<),(x x d n ．
12. 设在非空集合X 上定义了两种距离d 和1d ，且存在正数a 和b ，使得对任意的x , y ∈X 总有a d 1(x , y ) ≤ d (x , y ) ≤ b d 1(x , y )．证明：在距离空间(X , d )和(X , d 1)中，基本列与收敛点列是共同的．并举出这种空间的例子． [证明] 设{ x n }是(X , d )中的基本列，则
对?ε > 0，?N ∈ +
，当m , n > N 时d (x m , x n ) < a ε．
此时有d 1(x m , x n ) ≤ d (x m , x n )/a < a ε /a = ε，所以{ x n }也是(X , d 1)中的基本列． 相反方向的证明是类似的．关于收敛点列的证明与关于基本列的证明类似． 一个简单的例子就是在至少两个点的
距离空间(X , d )中定义新的距离d 1， 使得d 1 = 2d ．
13. 设X 是正整数集合，令d (x , y ) = | x – y |，，证明(X , d )是完备距离空间．
[证明] 首先从距离定义看，(X , d )实际上是 1 的子空间，当然是距离空间．
因 1是完备的，而X 又是 1中闭集，所以(X , d )是完备距离空间． 14. 设X 是正整数集合，令d (x , y ) = | 1/x – 1/y |，证明(X , d )不是完备距离空间． [证明] 首先直接验证可知(X , d )是距离空间．
n ∈ +
，设x n = n ．则{ x n }是(X , d )中的基本列．
若{ x n }收敛于x ∈ X ，则d (x n , x ) 0，即| 1/x n – 1/x | 0 (当n ∞时)． 由此推出1/x = 0，而这是不可能的．
所以基本列{ x n }不收敛，因此(X , d )不是完备距离空间． 15. 证明：离散距离空间(X , d )是完备距离空间． [证明] 设}{n x 是(X , d )中的基本列，
则存在自然数N ，当N n m >,时1),(<=\"\">
由离散距离空间定义知，0),(=n m x x d ，所以应有n m x x =； 即从1+N 项开始}{n x 为常序列，因此}{n x 必为收敛列．
所以(X , d )是完备距离空间。
16. 证明：c 是可分的完备距离空间． [证明] 首先证明c 是完备距离空间．
设}{n x 是基本列，0>?ε，存在自然数N ，当N n m >,时ε<),(n m x x d ． 记)()(n i n x ξ=，则εξξ<-||)()(m i n i ，（1≥?i ）． 可见对1≥?i ，数列}1|{)(≥n n i ξ是1R 中的基本列，
因此设i n n i ξξ??→?∞ →)(，并记)(i x ξ=．
显然当N n >时，1≥?i 有εξξ≤-||)(i n i ，取1+=N n 则1≥?i 有εξξ≤-+||)1(i N i ． 由于)()1(1++=N i N x ξ是收敛列，存在N M >使得当M n m >,时，
εξξ<-++||)1()1(N m N n ．
此时εξξξξξξξξ3||||||||)1()1()1()1(<-+-+-≤-++++m N m N m N n N n n m n ．
故)(i x ξ=是1R 中的基本列，所以c x ∈．
由前面可见，0>?ε，存在自然数N ，当N n >时1≥?i 有εξξ≤-||)(i n i ， 故有εξξ≤-≥||sup )(1
i n i i ，即ε≤),(x x d n ，所以基本列}{n x 是收敛的． 下面证明c 是可分的．
在c 中，令}|)({N i i i N i N x A ξξξξ=≥?==有使得为有理数，存在自然数． 则A 显然为可数集，且A 在c 中稠密，所以c 是可分的．
17. 证明：s 是可分的完备距离空间． [证明] 首先证明s 是完备距离空间．
设}{n x 是基本列，0>?ε，存在自然数N ，当N n m >,时ε<),(n m x x d ． 记)()(n i n x ξ=，容易看出1≥?i ，数列}1|{)(≥n n i ξ是1R 中的基本列，
因此设i n n i ξξ??→?∞ →)(，并记)(i x ξ=． 注意εξξξξ<-+-?∑∞
=1)()()()(||1||21i m i n i m i n i i ，故εξξξξ<-+-?∑=M i m i
n i m i n i i 1) ()()()(||1|
|21 (对任意自然数M )． 令∞→m 得到εξξξξ≤-+-?∑=M i i n i i n i i 1) ()(||1| |2
1，(对任意自然数M )． 所以有ε≤),(x x d n ．即基本列}{n x 是收敛的． 下面证明s 是可分的．
在s 中构造A 如下：}0|)({不为为有理数，只有有限项i i x A ξξ==． 显然A 为可数集，且A 在s 中中稠密，所以s 是可分的．
18. 从集合的角度看，m ? s ，但s 是可分的而m 不是可分的，这能给我们什么启迪？
[答] 距离空间的可分性除了依赖于集合本身外，更重要的是依赖于集合上所给出的距离，仅对集合而言是谈不到什么可分不可分的．
19. 证明：)1(∞<
1）存在0>K ，使得对任意的A x i ∈=)(ξ有K i p i <∑∞ =1 ||ξ，
2）对任意的0>ε，存在自然数N ，使得对任意的A x i ∈=)(ξ有 p N i p i εξ <∑∞ +=1 ||．
[证明] 若A 是列紧集，则A 是全有界集，第一个条件显然成立． 设}1|)({)(m n x n i n ≤≤=ξ是A 的有限-2ε网，
则存在自然数N 使p N i p n i )2(||1 )(ε ξ <∑∞
+=，对m n ,,2,1 =?．
对A x i ∈=?)(ξ，存在m n n ≤≤001:，使得2),(0ε<=\"\"> 那么εε ξ ξ ξξ<+ <+-≤∑∑∑∞ +=∞ +=∞
+=2 ),()||( )||( )||( 00011 ) (11 )(11 x x d n p N i p i n p N i p n i i p N i p i ，
从而第二个条件成立．
反过来，假设集合A 满足这两个条件， 设},2,1|)({)( ==n x n i n ξ是A 中任意一个点列， 由第一个条件，对任意的 ,2,1=i ，数集}{)(n i ξ有界，
存在自然数列的子列}{1k n 使}{)(11 k n ξ收敛于1ξ．
又存在}{1k n 的子列}{2k n 使}{)(11 k n ξ收敛于2ξ，等等如此下去． 令)() (j j j j n i n x ξ
=，利用第二个条件容易证明}{j j n x 是基本列．
令)(i x ξ=，利用第一个条件可以证明p l x ∈，并且}{j j n x 收敛于x ．
即可在},2,1|)({)( ==n x n i n ξ中选出收敛子列，所以集合A 是列紧集．
20. 证明：s 中的集合A 是列紧集的充要条件是：对任意自然数i ，存在0>i c 使得，对任意的A x i ∈=)(ξ有i i c ≤||ξ．
[证明] 若存在自然数i ，对任意的0>M ，存在A x i ∈=)(ξ使得M i >||ξ． 这样就可以做一个A 中的序列)()
(n i n x ξ=使得n n i >||)
(ξ． 若}{n x 有子列}{k n x 收敛，设其极限为)(i y η=， 则因021||1||21)() (≠→-+-?i
i n i i n i i k k ηξηξ，所以),(y x d k n 不收敛于零，得到矛盾， 所以}{n x 没有收敛子列，即A 不是列紧集，必要性得证． 下面证明充分性．
设对任意自然数i ，存在0>i c 使得，对任意的A x i ∈=)(ξ有i i c ≤||ξ． 设}{n x 是A 中任一序列，存在}{n x 的子列)}({)1,(1,n i n x ξ=使1)1,(1ηξ→n ，
下一步，存在}{1,n x 的子列)}({)2,(2,n i n x ξ=使得2) 2,(2ηξ→n ，依次做下去；
然后考虑}{n x 的子列}{,n n x ，则它的第i 个坐标收敛于i η． 令}{i y η=，显然}{,n n x 收敛于s y ∈．所以A 是列紧集． 21. 设(X , d )是距离空间，A ? X ，令f (x ) = A y ∈inf d (x , y )，?x ∈X ．证明f 是连续函数． [证明] ?x 1, x 2∈X ，?ε > 0，? y 1, y 2∈A ，使得 d (x 1, y 1) - ε < f (x 1)，d (x 2, y 2) - ε < f (x 2)．
由于d (x 1, y 1) - ε < f (x 1) ≤ d (x 1, y 2)，d (x 2, y 2) - ε < f (x 2) ≤ d (x 2, y 1)，我们有
f (x 1) - f (x 2) < d (x 1, y 2) - ( d (x 2, y 2) - ε ) ≤ | d (x 1, y 2) - d (x 2, y 2) | + ε ≤ d (x 1, x 2) + ε， f (x 2) - f (x 1) < d (x 2, y 1) -
( d (x 1, y 1) - ε ) ≤ | d (x 2, y 1) - d (x 1, y 1) | + ε ≤ d (x 1, x 2) + ε， 所以| f (x 2) - f (x 1) | ≤ d (x 1, x 2) + ε，由ε的任意性，| f (x 2) - f (x 1) | ≤ d (x 1, x 2)． 所以f 是(X , d )上的连续函数．（由证明可见，实际上是一致连续函数）．
22. 设(X , d )是距离空间，F 1, F 2? X ，F 1, F 2是闭集且F 1 F 2= ?．证明存在开集G 1, G 2? X ，使得F 1? G 1，F 2? G 2且G 1 G 2= ?． [证明] 对任意闭集F ，定义f F (x ) = inf y ∈F d (x , y )， 由21题结果知f F 是(X , d )上的连续函数．
显然当x ∈F 时，f F (x ) = 0，而当x ?F 时，f F (x ) > 0． 令)()()
()(211x f x f x f x g F F F +=则g 是(X , d )上的连续函数，且g (F 1) = 0，g (F 2) = 1．
令G 1 = g -1(-∞, 1/2)，G 2 = g -1(1/2, +∞)，则容易看出它们就是满足条件的开集．
23. 举例说明全有界集不一定是列紧的． [例] 最为熟悉的例子是考虑 1 中的开区间I = (0, 1)； 作为 1
的子空间，显然它是全有界的距离空间，但不是列紧的距离空间． 24. 证明距离空间(X , d )中紧集的闭子集也是紧集 [证明] 设E 为(X , d )中紧集，F 是(X , d )中闭集，F ? E ． 设A = {A α | α∈Λ }是F 的一个开覆盖，则B = A {X \\ F }是E 的一个开覆盖． 由E 紧，B 有有限子覆盖C ，则可得到F 的有限覆盖C \\{X \\ F }， 实际上它也是A 的一个有限子覆盖．所以F 是紧集．
25. 证明：距离空间(X , d )中列紧集F 的闭包是紧集． [证明] 由F 列紧，知F 自列紧，因此F 是紧集．
26. 设(X , d )为紧距离空间，{ F n }是闭集列，F 1 ? F 2 ? ... ? F n ? ...，并且F n ≠ ?．证
明： n F n ≠ ?．这个结论在一般的距离空间是否成立？ [证明] 若 n F n = ?，则{ F n c }是X 的一个开覆盖，它存在有限
的子覆盖． 由于F 1c ? F 2c ? ... ? F n c ? ...，故存在自然数N 使得F N c = X ，此即F N = ?． 这与题目假设相矛盾．
在一般的距离空间显然没有这样的结论． 例如，在 1
上考虑闭集列{ F n }，其中F n = [ n , +∞)． 27. 设(X , d )为距离空间，F 是X 中的紧集，f : F 1
连续．证明f 一致连续． [证明] 若不然，存在0>ε，及F 中的序列}{n x ，}{n y ，使得
n
y x d n n 1),(<，但ε≥-|)()(|n n y f x f ． 由于F 是X 中的紧集，故也是自列紧集；
存在自然数列的一个子列}{k n 使得}{k n x ，}{k n y 皆收敛于F 中点．
设x x k n →，y y k n →，由k n n n y x d k k 1
),(<，ε≥-|)()(|k k n n y f x f ， 知y x =，但ε≥-|)()(|y f x f ，此为不可能．
28. 设]1,0[C f ∈，求证方程?+=t ds s x t f t x 0)()()(λ，]1,0[∈t 有连续解．
[解] 因0=λ时方程是平凡的，不妨设0≠λ，记n a 1=，n 满足||2λ>n ． 考虑映射],0[],0[:a C a C T →，?+=t
dt s x t f t Tx 0)()()(λ．注意到 ),(2 1
),(|||)()(|m a x ||),(0]1,0[y x d y x ad ds s y s x Ty Tx d t t ≤
≤-=?∈λλ，
所以T 为压缩映射，故有唯一不动点],0[1a C x ∈，此x 即为方程的局部解．
同理方程??++=t
a a
dt s x dt s x t f t Tx )()()()(0 λλ有解]2,[2a a C x ∈，
如此下去，直到],)1[(na a n C x n -∈．
则)()(t x t x i =，],)1[(ia a i C t -∈即为所求的整体的连续解． 29. 设A = (a ij )n ?n 为实矩阵，满足 1)(1 ,12<-∑==n j i ij ij a δ．
证明：对?b = (b 1, b 2, ..., b n )T ，方程组Ax = b 有唯一解． [证明] 定义T : n n 为Tx = x - Ax + b ．则x ∈ n
为方程组的解等价于x 是T 的不动点，实际上，||))((||),(y x A I Ty Tx d --= 21
12
1))))((((∑∑==--=n i n
j j j ij ij y x a δ 21 11 212
)))()()(((∑∑∑===--≤n i n
j j j n j ij ij y x a δ ∑∑∑===--=n i n j j j n j ij ij y x a 12
1 1 221 1 2 ) )(())((δ ),())(( 21 1
,12y x d a n j i ij ij ∑==-=δ． 所以T : n n
为压缩映射，故有唯一不动点x ，此x 即为方程组的唯一解． 30. 设(X , d )为完备距离空间，T : X X 满足1) ,()
,(sup inf 0<=≠y x d y T x T d n n y x n α．证明T 有唯一不动点．
[证明] 存在自然数N 使得21),(),(sup 0 α+<
≠y x d y T x T d N N y
x ， 因此对?x , y ∈X ，有d (T N x , T N y ) ≤ 2 10
α+d (x , y )．
所以T N 为压缩映射，故T N 有唯一不动点x ∈X ．
因为T N (Tx ) = T (T N x ) = Tx ，所以Tx 也是T N 的不动点． 由于T N 的不动点是唯一的，所以Tx = x ，即x ∈X 是T 的不动点． 因为T 的不动点必是T N 的不动点，所以T 的不动点是唯一的．
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