庐山市高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ） A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2． 若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A．l∥α B．l⊥α

C．l⊂α D．l与α相交但不垂直

3． 执行如图所示的程序框图，则输出结果S=（ ）

A．15 B．25 C．50 D．100

224． 在ABC中，tanAsinBtanBsinA，那么ABC一定是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 5． 已知抛物线C：y28x的焦点为F，P是抛物线C的准线上的一点，且P的纵坐标为正数，

Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若PQ2QF，则直线PF的方程为（ ）

A．xy20 B．xy20 C．xy20 D．xy20 6． 下列结论正确的是（ ）

A．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β． B．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β． C．若直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2

D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等，则l∥α

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7． 已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ） A．4x+2y=5

B．4x﹣2y=5

C．x+2y=5

D．x﹣2y=5

kx＋b

8． 函数f（x）＝，关于点（－1，2）对称，且f（－2）＝3，则b的值为（ ）

x＋1A．－1 C．2

B．1 D．4

9． 一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（ ）

A.4 能力．

10．设Sn是等差数列{an}的前项和，若A．1 B．2 C．3 D．4

11．已知直线x+y+a=0与圆x2+y2=1交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且a的取值范围是（ ） A． D．

B．

C．

，那么实数

B.25

C. 5

D. 225

【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算

a55S，则9（ ） a39S512．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若

,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为 A[B[C[D[

]

] ] ]

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．（

72

﹣2）的展开式中，x的系数是 ．

14．抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|=4，则点M的横坐标x= ． 15．

如图，P是直线x＋y－5＝0上的动点，过P作圆C：x＋y－2x＋4y－4＝0的两切线、切点分别为A、B，当

2

2

四边形PACB的周长最小时，△ABC的面积为________．

16．已知函数y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）=x0，则称x0为函数y=f（x）的不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数y=f（x）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）

①﹣，1是函数g（x）=2x2﹣1有两个不动点；

②若x0为函数y=f（x）的不动点，则x0必为函数y=f（x）的稳定点； ③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0必为函数y=f（x）的不动点； ④函数g（x）=2x2﹣1共有三个稳定点；

⑤若函数y=f（x）在定义域I上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分10分） 已知函数fxxax2．

（1）若a4求不等式fx6的解集；

（2）若fxx3的解集包含0,1，求实数的取值范围．

18．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=

a．

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（Ⅰ）求；

22

（Ⅱ）若c=b+

a2，求B．

19．△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=（Ⅰ）求cos2C和角B的值； （Ⅱ）若a﹣c=

20．已知：函数f（x）=log2

，g（x）=2ax+1﹣a，又h（x）=f（x）+g（x）．

﹣1，求△ABC的面积．

222

，5（a+b﹣c）=3

ab．

（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点； （2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．

21．已知矩阵A＝

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，向量＝.求向量

，使得A2＝.

22．（本小题满分12分）在ABC中，内角A,B,C的对边为a,b,c，已知

A(cosB3sinB)cosC1. 2（I）求角C的值； 2cos2（II）若b=2，且ABC的面积取值范围为[3,3]，求c的取值范围． 2【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，意在考查基本运算能力．

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庐山市高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 【答案】B

【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立， 若a⊥b，则α⊥β不一定成立， 故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件， 故选：B．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．

2． 【答案】B

【解析】解：∵ =（1，0，2），=（﹣2，0，4）， ∴=﹣2， ∴∥， 因此l⊥α． 故选：B．

3． 【答案】C

【解析】解：根据程序框图，S=（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+（﹣97+99）=50，输出的S为50． 故选：C．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．

4． 【答案】D 【解析】

试题分析：在ABC中，tanAsinBtanBsinA，化简得

22sinAsinBsin2Bsin2A，解得 cosAcosBsinBsinAni2Asni2sinAcosAsinBcosB，即scosAcosBABB，所以2A2B或2A2B，即AB或

2，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D．

考点：三角形形状的判定．

【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答

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问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出sin2Asin2B，从而得到AB或AB题的一个难点，属于中档试题． 5． 【答案】B 【

解

析

2是试

】

考点：抛物线的定义及性质．

【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点． 6． 【答案】B

【解析】解：A选项中，两个平面可以相交，l与交线平行即可，故不正确； B选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；

C选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确； D中选项也可能相交． 故选：B．

【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

7． 【答案】B

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【解析】解：线段AB的中点为∴垂直平分线的斜率 k=

=2，

，kAB=

=﹣，

∴线段AB的垂直平分线的方程是 y﹣=2（x﹣2）⇒4x﹣2y﹣5=0， 故选B．

【点评】本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．

8． 【答案】

【解析】解析：选B.设点P（m，n）是函数图象上任一点，P关于（－1，2）的对称点为Q（－2－m，4－n），

则，恒成立．

k（－2－m）＋b4－n＝－1－m

由方程组得4m＋4＝2km＋2k恒成立， ∴4＝2k，即k＝2，

2x＋b－4＋b∴f（x）＝，又f（－2）＝＝3，

x＋1－1∴b＝1，故选B. 9． 【答案】B

km＋bn＝

m＋1

10．【答案】A 【解析】1111]

9(a1a9)S9a2试题分析：951．故选A．111] S55(a1a5)5a32考点：等差数列的前项和． 11．【答案】A

【解析】解：设AB的中点为C，则 因为

，

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所以|OC|≥|AC|， 因为|OC|=所以2（

22

，|AC|=1﹣|OC|， 2

）≥1，

所以a≤﹣1或a≥1， 因为

＜1，所以﹣

＜a＜

，

，

所以实数a的取值范围是故选：A．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．

12．【答案】B 【解析】当x≥0时，

f（x）=，

由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2； 当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；

由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。 ∴当x＞0时，

∵函数f（x）为奇函数， ∴当x＜0时，

。 。

∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）， ∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：故实数a的取值范围是

。

。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．【答案】﹣280 解：∵（由

7

﹣2）的展开式的通项为

=．

，得r=3．

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∴x2的系数是故答案为：﹣280．

14．【答案】 3 ．

2

【解析】解：∵抛物线y=4x=2px， ∴p=2，

．

由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ∴|MF|=4=x+=4， ∴x=3， 故答案为：3．

【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．

15．【答案】

圆心C（1，－2），半径为3，连接PC，

【解析】解析：圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9.

∴四边形PACB的周长为2（PA＋AC） ＝2PC2－AC2＋2AC＝2

PC2－9＋6.

当PC最小时，四边形PACB的周长最小． 此时PC⊥l.

∴直线PC的斜率为1，即x－y－3＝0，

x＋y－5＝0由，解得点P的坐标为（4，1）， x－y－3＝0

由于圆C的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线PA，PB分别与x轴平行和y轴平行， 即∠ACB＝90°，

119

∴S△ABC＝AC·BC＝×3×3＝. 222

9

即△ABC的面积为. 2

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9答案： 2

16．【答案】 ①②⑤

【解析】解：对于①，令g（x）=x，可得x=定点，故②正确；

222

对于③④，g（x）=2x﹣1，令2（2x﹣1）﹣1=x，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，

或x=1，故①正确；

对于②，因为f（x0）=x0，所以f（f（x0））=f（x0）=x0，即f（f（x0））=x0，故x0也是函数y=f（x）的稳

1，

2

由此因式分解，可得（x﹣1）（2x+1）（4x+2x﹣1）=0

还有另外两解

不动点，故③④错误；

，故函数g（x）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是

对于⑤，若函数y=f（x）有不动点x0，显然它也有稳定点x0；

若函数y=f（x）有稳定点x0，即f（f（x0））=x0，设f（x0）=y0，则f（y0）=x0 即（x0，y0）和（y0，x0）都在函数y=f（x）的图象上，

假设x0＞y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＞f（y0），即y0＞x0，与假设矛盾； 假设x0＜y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＜f（y0），即y0＜x0，与假设矛盾； 故x0=y0，即f（x0）=x0，y=f（x）有不动点x0，故⑤正确． 故答案为：①②⑤．

【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．【答案】（1）,0【解析】

6,；（2）1,0.

试题分析：（1）当a4时，fx6，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得解集为,0试题解析：

（1）当a4时，fx6，即恒成立，即1a0.

6,；（2）fxx3等价于xa2x3x，即1xa1x在0,1上

x2x42x4或或，

4x2x64xx26x4x26解得x0或x6，不等式的解集为,06,；

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考

点：不等式选讲． 18．【答案】

sinA

a2，得cosB=

2）a，

，0＜A＜π，

sinA，

22

【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sinAsinB+sinBcosA=22

即sinB（sinA+cosA）=

∴sinB=sinA， =

22

（Ⅱ）由余弦定理和C=b+222

由（Ⅰ）知b=2a，故c=（2+

2

可得cosB=，又cosB＞0，故cosB=

所以B=45° 题进行了互化．

19．【答案】

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问

【解析】解：（I）由∵cosA=∴sinA=

222

∵5（a+b﹣c）=3

=， ab，

∴cosC=∵0＜C＜π， ∴sinC=

=，

=，

2

∴cos2C=2cosC﹣1=，

∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣∵0＜B＜π， ∴B=

．

×+×=﹣

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（II）∵∴a=∵a﹣c=∴a=

=

=c，

，

﹣1，

，c=1，

×1×

=．

∴S=acsinB=×

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．

20．【答案】

+2x，

【解析】解：（1）证明：h（x）=f（x）+g（x）=log2=log2（1﹣∵y=1﹣

）+2x；

在（1，+∞）上是增函数，

故y=log2（1﹣

）在（1，+∞）上是增函数；

又∵y=2x在（1，+∞）上是增函数； ∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增； 而h（1.1）=﹣log221+2.2＜0， h（2）=﹣log23+4＞0；

同理可证，h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；

故h（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，

同理可证h（x）在（﹣∞，﹣1）上有且仅有一个零点， 故函数h（x）有两个零点；

（2）由题意，关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根可化为 1﹣故a=结合函数a=

＜a＜0；

即﹣1＜a＜0．

=2ax+1﹣a在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；

；

的图象可得，

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【点评】本题考查了复合函数的单调性的证明与函数零点的判断，属于中档题．

21．【答案】＝【解析】A2＝设

＝

.由A2＝，得

.

，从而

解得x＝-1，y＝2，所以＝22．【答案】 【解析】（I）∵2cos2A(cosB3sinB)cosC1， 2∴cosAcosBcosC3sinBcosC0， ∴cos(BC)cosBcosC3sinBcosC0，

∴cosBcosCsinBsinCcosBcosC3sinBcosC0， ∴sinBsinC3sinBcosC0，因为sinB>0，所以tanC3 又∵C是三角形的内角，∴C3.

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