2009 —2010东 北 大 学 研 究 生 院 考 试 试 卷及答案

班 级 … 北 大 东学 研 究 生 院 考 试 试 卷 … 一（9-10） 二 三 四 五 六 总分 一（1－8） …… 学 号 ○… …… 姓 名 …密 …… … …○ …… …… 封… …… …○ …… …线 …… …… …… ……

2009 —2010 学年第 1 学期 课程名称： 数值分析 一、解答下列各题： （每题5分，共50分） 1．设近似值x321.235近似x*具有5位有效数字，求x的相对误差限。 解 0.5102r321.2350.000015564(0.155641040.0015564%) 2132．用LU分解法求方程组451x1x53的解。 2632x31解 由于213451213235，所以A100210213035632307 301007 解Ly=b得：y(5,7,14)T，再解Ux=y得x(1,1,2)T。 3．解线性方程组的迭代格式x(k1)Mx(k)g,k0,1,2,...是否收敛，为什么？ 210其中M041。 023解 不收敛。因为2是M的特征值，所以(M)21. 4．求简单迭代法xxk1k12x,(k0,1,2,...)的收敛阶。 k 解 设limkxk得21，即2。又由于(x)x21x，所以， ()112220，()220，所以，迭代法收敛阶为2。 1 5．求满足条件f(0)0,f(1)1,f(2)0,f(1)0的三次插值多项式H3(x)的表达式。 解 设H3(x)x(x2)(axb)，则(ab)1，a0。 于是， H3(x)x(x2)。 nn6.设求积公式baf(x)dxAkf(xk)是插值型求积公式，求Ak. k0k0nnn解 Akbl(x)dxbl(x)dxb1k0kk0aakk0adxba。 n 或，由于公式对f(x)1精确成立，所以Abk1dxba。 k0a7．求区间[－1，1]上权函数为(x)x2的二次正交多项式P2(x)。 解 P0(x)1， P1(x)x(x,1)(1,1)1x， P(x2,1)(x2,x)32(x)x2(1,1)1(x,x)xx25 8．设f(x)5x3x23，求差商f[0,1],f[7,6,3,5],f[3,1,2,6,4]。 解 f[0,1]f(1)f(0)104，f[7,6,3,5]5，f[3,1,2,6,4]0。

…9．给定离散数据 ……xi －1 0 1 2 …yi 3 1 2 4 ○…试求形如yabx2的拟合曲线。 ……解 基函数为0(x)1，1(x)x2，于是 …密0(1,1,1,1)T,1(1,0,1,4)T,f(3,1,2,4)T， … 正则方程组为： ………4a6b106a18b21，解之得：a3/2,b2/3 ○…所以，拟合曲线为：y3…223x。 …yyex10．求解初值问题的改进Euler方法是否收敛？为…1x2y(1)2封…什么？ … 解 因为f(x,y)yex关于变量y满足Lipschitz条件，故收敛。 …… ○2x1x2x31…二、（11分）用Jacobi法解线性方程组x(0)0…13x2x32，取x0，…2x1x24x330线若使x(k)x*3110，问应迭代多少步？ ……… 解 由于Jacobi迭代矩阵为B01/21/21/301/35…,B1. 1/21/406……迭代一步得：x(1)(1/2,2/3,3/4)T，若使x(k)x*1103，则有： …… 2 3kln(1B1)lnB10/65x(1)x(0)1ln123/12ln651.28 所以，取k＝52。即应迭代52步。 三、（11分）说明方程xx35在区间[1, 2]内有唯一根，并建立一个收敛的迭代格式，使对任意初值x0[1,2]都收敛，说明收敛理由。 解 记f(x)x3x5，则f(x)C[1,2]，且f(1)50，f(2)10， f(x)3x210,x[1,2]。所以，方程xx35在区间[1, 2]内有唯一根。 将方程改写成：x3x5，建立迭代格式：xk13xk5,k0,1,2,... 由于迭代函数(x)3x5满足：136(x)3x5372,x[1,2]，2|(x)|1(x5)31331,x[1,2] 所以，对任意初值x0[1,2]迭代法都收敛。 四、（11分）利用复化Simpson公式S1n计算定积分Isinxdx若使|ISn|1050，问应取n为多少？并求此近似值。 解 由于|(sinx)(4)||sinx|sin1，所以，n应满足：n4sin128801052.32，故，应取n＝3。而且有： IS1318[sin0sin12sin132sin234sin164sin124sin56]0.4596997

n…五、（11分）已知求解常微分方程初值问题： 六、(6分)利用Lagrange基函数性质，证明： ikn k1,2,...,n2。0，……yf(x,y),x[a,b] …y(a)○的差分公式： ………yhn1yn(k12k2)…kf(x31n,yn) 密k3h,y32f(xnnhk1)…44y0…求此差分公式的阶。 …解 由于 …○kf3hfnfn9h22fn2fn2fn232n…4(xyfn)32(x22xyfny2fn)O(h)……yhfh2ff2yn3h3fn2nfn2fn2n1nn…2(xyfn)16(x22xyfny2fn)O(h4)封…h2h3y(xn1)y(xn)y(xn)hy(xn)y(x4…26n)O(h) ……yhfh2fnfnnn○2(xyfn)……h32…6[fnx22fnxyf2fn2fnfnfn242ny2fnxy(y)fh]O(h) 线于是，y(x…n1)yn1O(h3)， …此差分公式是2阶的。 ……3 ………i1(ij)jj1i证明：取节点xii,i1,2,...,n，f(x)xk1，则有：nnli(x)xxjxjjxj1iixjjij j1i由插值多项式的唯一性有： nnnxk1f(x)Lxjn(x)li(x)yii1(i1ij)ik1 jj1i取x0得： nn0(i1jnn)ik1(1)n1n!j1ij(i11)ik jj1ijjiin即：iki1n0，k1,2,...,n2。 (ij)jj1iyif(xi)ik1，