2065 - 经济应用数学二（线性代数）
单项选择题
1．设A和B都是n阶矩阵，且|A+AB|=0，则有（ ） A.|A|=0 B.|E+B|=0
C.|A|=0 或|E+B|=0 D.|A|=0且 |E+B|=0 答案：C
2．
A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案：C
3．若C=AB，则（ ） A.A与B的阶数相同; B.A与B的行数相同; C.A与B的列数相同; D.C与A的行数相同。 答案：D
4．A*是A的伴随矩阵，且|A|≠0，刚A的逆矩阵A-1
=（ ）。
A.AA*
B.|A|A*
C. ；
D.A'A* 答案：C
5．矩阵A的秩为r，则知 （ ） A.A中所有r阶子式不为0； B.A中所有r+1阶子式都为0；
C.r阶子式可能为0,r+1阶子式可能不为0； D.r-1阶子式都为0。 答案：B
6．A*是A的n阶伴随矩阵，且A可逆，刚|A*
|=（ ）。 A.|A| ；
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实用标准文案
B.1；
n-1
C.|A|
n+1
D.|A| 答案：C
7．设A，B，C为同阶矩阵，若AB＝AC，必推出B＝C，则A应满足条件（ ） A.|A|≠0 B.A＝O C.|A|＝0 D.A≠0 答案：A
T
8．设A是sxt矩阵，B是同m×n矩阵，如果ACB有意义，则C应是（ ）矩阵。 A.s×n B.s×m C.m×t D.t×m 答案：C
9．设 A、B为n阶矩阵，A可逆，k≠0，则运算（ ）正确. A.B.C.D.
答案：D
-1
10．设A为3阶方阵，且|A|=2，则|A|=（ ）。 A.2 B.-2 C.D.
答案：C
11．设 A是m×k矩阵, B是m×n矩阵, C是s×k矩阵, D是s×n矩阵,且k≠n, 则下列结论错误的是（ ）. TA.BA是n×k矩阵 TB.CD是n×k矩阵
TC.BD是m×s矩阵
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实用标准文案
D.DTC是n×k矩阵 答案：B
12．设 A、B为n阶方阵，则（ ）. A. B.
C.
D.AB = O时，A = O或B = O 答案：A
13．设A , B均为n 阶方阵, 下面结论正确的是（A.若A ,B均可逆, 则 A + B 可逆 B.若A ,B均可逆, 则 AB 可逆 C.若A + B可逆, 则 A- B 可逆 D.若A + B可逆, 则 A, B均可逆 答案：B
14．当（ ）时，A =是正交阵.
A.a = 1, b = 2, c = 3 B.a = b = c = 1 C.
D.
答案：C
15．设A为三阶方阵，且A2=0，以下成立的是（ A.A=0 B.A3=0 C.R(A)=0 D.R(A)=3 答案：B
16．在下列命题中，正确的是（ ） A. B.若A
B，则
；
C.设A,B是三角矩阵，则A+B也是三角矩阵； D.
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）。 ）实用标准文案
答案：D
17．t满足（ ）时，线性无关. A.t≠1； B.t=1 ； C.t≠0； D.t＝0. 答案：A
18．设 α1,α2,…,αs为n维向量组, 且秩R(α1,α2,…,αs)=r 则（ ）。 A.该向量组中任意r个向量线性无关； B.该向量组中任意 r+1 个向量线性相关； C.该向量组存在唯一极大无关组； D.该向量组有若干个极大无关组. 答案：B
19．如果两个同维的向量组可以相互线性表示, 则这两个向量组（ ）. A.相等
B.所含向量的个数相等 C.不相等 D.秩相等 答案：D
20．设α1,α2,α3是AX = B的三个线性无关的解, 其中A是秩为1的4×3矩阵, B是4维列向量，则下列（ ）是AX=O的基础解系. A.α1+α2+α3 B.α1+α2－2α3 C.α1，α2，α3
D.α2－α1，α3－α2 答案：D
21．如果两个同维的向量组等价，则这两个向量组（ ） A.相等；
B.所含向量的个数相等； C.不相等 ； D.秩相等。 答案：D
22．两个n阶矩阵A与B相似的，是指（ ）
-1A.PAP=B TB.QAQ=B -1C.QAQ=B
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实用标准文案
D.AB=E（Q，P，Q均为n阶可逆方阵） 答案：C
23．当A是正交阵时，下列结论错误的是（ ）. -1TA.A=A -1B.A也是正交阵 TC.A也是正交阵
D.A的行列式值一定为1 答案：D
24．设 λ =－4 是方阵A的一个特征值, 则矩阵A－5E的一个特征值是（ ）. A.1 B.－9 C.－1 D.9 答案：B 计算题
25．计算行列式D=答
。
案
：
26．计算行列式答
。
案
：
27．计算行列式D = 答案：D=(α-b)
2
22
.
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实用标准文案
28．
答案：解：
所以。
29．解矩阵方程XA =B ，其中.求X。
答案：
30．判断矩阵是否可逆？如可逆，求其可逆矩阵。
答案：解：因为，所以
可逆。
所以 。
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实用标准文案
31．求解线性方程组.
答案：
32．求向量组
量用此极大无关组线性表示。
，的一个极大无关组，并把其余向
答案：
，且
。
所以一个极大无关组为
33．求齐次线性方程组的通解。
答案：解:，
所以，基础解系.所以通解为：
。
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实用标准文案
34．设，求A的特征值及对应的特征向量.
答案：解：特征值λ1＝5，λ2＝λ3＝－1.
对于λ1＝5，
，特征向量为
对于λ2＝-1，
，特征向量为
.
35．
答案：
解：由
，
得A的特征值为：。
当
时，齐次方程组为
,
由，解得基础解系为
，所以A的属于特征值
的全部特征向量为
。
当
时，齐次方程组为 ,
由
，解得基础解系为
于特征值
的全部特征向量为
。
36．求矩阵的特征值和特征向量。
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所以A的属
实用标准文案
答案：解：由
当时，齐次方程组为 解得基础解系为
,
，得A的特征值为：。
，所以A的属于特征值
当
时，齐次方程组为
的全部特征向量为
,
。
解得基础解系为 所以A的属于特征值的全部特征向量为
。
22237．将二次型f(x1,x2,x3)=x1+4x1x2-4x1x3+2x2-4x2x3-x3化为标准型。 答案：解：
38．将二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3-3x2x3化为标准型。
答案：解：由于中无平方项，故令，代入二次型，得
22239．化二次型f(x1,x2,x3)=x1-4x1x2-4x1x3+2x2+3x3为标准型。
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答案：填空题
40．行列式D=的转置行列式D= ______ 。
T
答案：D=
41．8级排列36215784的逆序数在τ(36215784)=_____. 答案：10
T
42．若行列式，则x=________________。 答案：-5
43．排列36i15j84在i=_____,j=______时是奇排列。 答案：7，2
44．若答案：5 45．答案：
，则x=______.
46．设A为三阶矩阵且|A|＝2，则|4A|＝__________ . 答案：128
-1
47．A*是A的伴随矩阵，且A可逆，则(A*)=________________。
答案：
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实用标准文案
48．若A=答案：2 49．设A=
，则R(A) =______.
，则A=______.
-1答案：
50．若A=答案：3
，则R(A) =______.
51．设向量组，，
__________（填线性相关或线性无关）。 答案：线性相关
，，则向量组α1,α2,α3,α4线性
52．k满足_______时，线性方程组只有零解. 答案：k≠－2且k≠1
53．单独一个零向量必线性__________，单独一个非零向量必线性__________. 答案：相关，无关
54．设α=(1 1 0),β=(0 3 0),γ=(1 2 0),则 3α+2β-4γ =__________。 答案：(-1 1 0)
22 55．二次型 f(x,y)= x-4xy+y的系数矩阵是 ?
答案：
22256．当 t 满足条件__________，使二次型 f=x1+2x2+3x3+2x1x2-2x1x3+2tx2x3是正定的。 答案：
2257．二次型 f(x,y)=2x-xy-y的系数矩阵是______。
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答案：证明题
58．设A,B为 r 阶矩阵，且答案：证明：由
，证明：A=A成立的充要条件是B=E。 又
22故B=E,从而A=A等价于B=E。
59．设向量组α1,α2,α3线性无关，证明：向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关。
222答案：
60．如 α1,α2,α3,…αt向量组线性无关，试证明：向量组α1,α1+α2,α1+α2+α3, … ,α1+α2+…+αt 线性无关。
答案：证明：假设向量组α1,α1+α2, … ,α1+α2+ …+αt 线性相关，那么存在不全为0的数 k1，k2，… kt，使得：
k1α1+k2(α1+α2)+…+k1(α1+α2+ …+αt )=0 ，
所以：k1α1+k2α1+k2α2+…+k1α1+k1α2+ …+ktαt =0； 即：（k1+k2+…+kt）α1+(k2+…+kt)α2+……+ktαt=0 。 因为向量组 α1,α2,α3,…αt 线性无关，所以： k1+k2+…+kt =0， k2+…+kt =0， ……， kt =0，
所以 k1=k2=…=kt =0 矛盾。故向量组 α1,α1+α2, … ,α1+α2+ …+αt 线性无关。
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