高中数学必修一集合经典题型总结

慧诚教育2017年秋季高中数学讲义

必修一第一章复习

知识点一 集合的概念 1.集合

一般地,把一些能够________________对象瞧成一个整体,就说这个整体就是由这些对象________构成的集合(或集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…来表示. 2.元素

构成集合的____________叫做这个集合的元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…来表示. 3.空集

不含任何元素的集合叫做空集,记为∅、

1

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知识点二 集合与元素的关系 1.属于

如果a就是集合A的元素,就说a________集合A,记作a________A、 2.不属于

如果a不就是集合A中的元素,就说a________集合A,记作a________A、 知识点三 集合的特性及分类 1.集合元素的特性

________、________、________、 2.集合的分类

(1)有限集:含有________元素的集合. (2)无限集:含有________元素的集合. 3.常用数集及符号表示

名称 符号 知识点四 集合的表示方法 1.列举法

把集合的元素________________,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 2.描述法

用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法. 知识点五 集合与集合的关系 1.子集与真子集

定义 符号语言 图形语言 (Venn图) 非负整数集(自然数集) N N*或N＋ 整数集 Z Q 实数集 R 如果集合A中的________元素子集 都就是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集 ________(或________) 2

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如果集合A⊆B,但存在元素真子集 ________,且________,我们称集合A就是集合B的真子集 ________(或________) 2、子集的性质 (1)规定:空集就是____________的子集,也就就是说,对任意集合A,都有________. (2)任何一个集合A都就是它本身的子集,即________. (3)如果A⊆B,B⊆C,则________. (4)如果AB,BC,则________. 3.集合相等

定义 如果集合A就是集合B的子集(A⊆B),且集合相等 ________________,此时,集合A与集合B中的元素就是一样的,因此,集合A与集合B相等 4、集合相等的性质 如果A⊆B,B⊆A,则A＝B;反之,________________________、 知识点六 集合的运算 1.交集

自然语言 由___________________ _____________________ 组成的集合,称为A与B的交集 2.并集

自然语言 符号语言 3

符号语言 图形图言 (Venn图) A＝B 符号语言 图形语言 A∩B＝_________ 图形语言 高中数学必修一集合经典题型总结

由_________________ _________________组成的集合,称为A与B的并集 3、交集与并集的性质 交集的运算性质 A∩B＝________ A∩A＝________ A∩∅＝________ A⊆B⇔A∩B＝________ 4、全集

在研究集合与集合之间的关系时,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________,那么就称这个集合为全集,通常记作________. 5.补集

文字语言 符号语言 对于一个集合A,由全集U中__________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作________ ∁UA＝________________ 并集的运算性质 A∪B＝________ A∪A＝________ A∪∅＝________ A⊆B⇔A∪B＝________ A∪B＝_______________ 图形语言 典例精讲

题型一 判断能否构成集合

1.在“①高一数学中的难题;②所有的正三角形;③方程x2－2＝0的实数解”中,能够构成集合的就是 。

题型二 验证元素就是否就是集合的元素

4

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1、已知集合Axxm2n2,mZ,nZ、 求证:(1)3A;

(2)偶数4k-2(kZ)不属于A、

2、集合A就是由形如m3nmZ,nZ的数构成的,判断

1就是不就是集合A中的元素、

23题型三 求集合

3x＋y＝2

1.方程组的解集就是( )

2x－3y＝27

x＝3A、 B.{x,y|x＝3且y＝－7}

y＝－7

C.{3,－7} D.{(x,y)|x＝3且y＝－7}

2.下列六种表示法:①{x＝－1,y＝2};②{(x,y)|x＝－1,y＝2};③{－1,2};④(－1,2);⑤{(－1,2)};

⑥{(x,y)|x＝－1或y＝2}.

2x＋y＝0能表示方程组的解集的就是( )

x－y＋3＝0

A.①②③④⑤⑥ C.②⑤

B.②③④⑤ D.②⑤⑥

1＋a1

3、数集A满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1).若∈A,求集合中的其她元素、

31－a

xyz|xyz|

4.已知x,y,z为非零实数,代数式＋＋＋的值所组成的集合就是M,用列举法表示集合M为 。

|x||y||z|xyz

题型四 利用集合中元素的性质求参数

1.已知集合S＝{a,b,c}中的三个元素就是△ABC的三边长,那么△ABC一定不就是( )

A.锐角三角形 C.钝角三角形

0

B.直角三角形 D.等腰三角形

b

2、设a,b∈R,集合{1,a＋b,a}＝a,则b－a＝________、

b

3、已知P＝{x|2＜x＜k,x∈N,k∈R},若集合P中恰有3个元素,则实数k的取值范围就是________、 4、已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}、

(1)若A就是单元素集合,求集合A;

(2)若A中至少有一个元素,求a的取值范围.

5、已知集合A就是由0,m,m2－3m＋2三个元素组成的集合,且2∈A,则实数m的值为( )

A.2

B.3

5

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C.0或3

D.0或2或3

6.(2016·浙江镇海检测)已知集合A就是由0,m,m2－3m＋2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m＝________、

题型五 判断集合间的关系

1、设Mxxk1k1,kZ,Nxx,kZ,则M与N的关系正确的就是( ) 2442A、 M=N B、MN C、MN D、以上都不对

2.判断下列集合间的关系: (1)A＝{x|x－3＞2},B＝{x|2x－5≥0}; (2)A＝{x∈Z|－1≤x<3},B＝{x|x＝|y|,y∈A}.

1n1p1

3.已知集合M＝{x|x＝m＋,m∈Z},N＝{x|x＝－,n∈Z},P＝{x|x＝＋,p∈Z},试确定M,N,P之间的关

62326系、

题型六 求子集个数

1.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的取值构成的集合为________.

题型七 利用两个集合之间的关系求参数

1、已知集合A＝{1,2,m3},B＝{1,m},B⊆A,则m＝________、

2.已知集合A＝{1,2},B＝{x|ax－2＝0},若B⊆A,则a的值不可能就是( )

A.0 C.2

B.1 D.3

3.设集合A＝{x|－2≤x≤5},B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}、 (1)若B⊆A,求实数m的取值范围; (2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数;

(3)当x∈R时,不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.

题型八 集合间的基本运算

1.下面四个结论:①若a∈(A∪B),则a∈A;②若a∈(A∩B),则a∈(A∪B);③若a∈A,且a∈B,则a∈(A∩B);④若A∪B＝A,则A∩B＝B、其中正确的个数为( )

A.1 C.3

B.2 D.4

2.已知集合M＝{x|－33},则M∪N＝( ) A.{x|x>－3} C.{x|3B.{x|－36

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3.已知集合A＝{2,－3},集合B满足B∩A＝B,那么符合条件的集合B的个数就是( ) A.1 C.3

B.2 D.4

4.(2016·全国卷Ⅲ理,1)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0},T＝{x|x>0},则S∩T＝( ) A.[2,3] C.[3,＋∞)

5.下列关系式中,正确的个数为( ) ①(M∩N)⊆N;②(M∩N)⊆(M∪N); ③(M∪N)⊆N;④若M⊆N,则M∩N＝M、 A.4 C.2

B.3 D.1

B.(－∞,2]∪[3,＋∞) D.(0,2]∪[3,＋∞)

6.设U＝{0,1,2,3},A＝{x∈U|x2＋mx＝0},若∁UA＝{1,2},则实数m＝________、

7.(2016·唐山一中月考试题)已知全集U＝{x|x≤4},集合A＝{x|－28.设全集U＝{1,2,3,4,5},集合S与T都就是U的子集,满足S∩T＝{2},(∁US)∩T＝{4},(∁US)∩(∁UT)＝{1,5}则有( )

A.3∈S,3∈T C.3∈∁US,3∈T

B.3∈S,3∈∁UT D.3∈∁US,3∈∁UT

题型九 根据集合运算的结果求参数

1.若集合A＝{2,4,x},B＝{2,x2},且A∪B＝{2,4,x},则x＝________、 2.已知集合A＝{x|－1≤x＜3},B＝{x|2x－4≥x－2}、

(1)求A∩B;

(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0},满足B∪C＝C,求实数a的取值范围.

3.设A＝{x|x2＋8x＝0},B＝{x|x2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0},其中a∈R、如果A∩B＝B,求实数a的取值范围、 4.已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}与B＝{x|x2－ax＋b＝0},满足(∁UA)∩B＝{2},A∩(∁UB)＝{4},U＝R,求实数a,b的值、

5.U＝{1,2},A＝{x|x2＋px＋q＝0},∁UA＝{1},则p＋q＝________、

4.设全集U＝R,集合A＝{x|x≤1或x≥3},集合B＝{x|k＜x＜k＋1,k＜2},且B∩(∁UA)≠∅,则( )

A.k＜0 C.0＜k＜2

B.k＜2 D.－1＜k＜2

6.已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0},B＝{x|x2－5x＋6＝0},C＝{x|x2＋2x－8＝0},试探求a取何实数时,(A∩B)∅与A∩C＝∅同时成立、

题型十 交集、并集、补集思想的应用

1.若三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0,x2＋(a－1)x＋a2＝0,x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数

7

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解,试求实数a的取值范围. 题型十一 集合中的新定义问题

1.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为“可倒数集”、 (1)判断集合A＝{－1,1,2}就是否为可倒数集; (2)试写出一个含3个元素的可倒数集.

2.集合P＝{3,4,5},Q＝{6,7},定义P*Q＝{(a,b)|a∈P,b∈Q},则P*Q的子集个数为( ) A.7 C.32

B.12 D.64

3.当x∈A时,若x－1∉A,且x＋1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”,若集合M＝{0,1,3}的孤星集为M′,集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′,则M′∪N′＝( )

A.{0,1,3,4} C.{1,3}

B.{1,4} D.{0,3}

4.设U为全集,对集合X,Y定义运算“*”,X*Y＝∁U(X∩Y),对于任意集合X,Y,Z,则(X*Y)*Z＝( ) A.(X∪Y)∩∁UZ C.(∁UX∪∁UY)∩Z

B.(X∩Y)∪∁UZ D.(∁UX∩∁UY)∪Z

31

5.设数集M＝{x|m≤x≤m＋},N＝{x|n－≤x≤n},且M,N都就是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把b－a叫做集

43合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值就是________、

6.设A,B就是两个非空集合,定义A与B的差集A－B＝{x|x∈A,且x∉B}、 (1)试举出两个数集,求它们的差集;

(2)差集A－B与B－A就是否一定相等？说明理由;

(3)已知A＝{x|x>4},B＝{x|－68

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知识点一 函数的有关概念

知识点二 两个函数相等的条件 1.定义域________. 2.________完全一致. 知识点三 区间的概念及表示 1.一般区间的表示

设a,b∈R,且a定义 名称 符号 数轴表示 9

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{x|a≤x≤b} 闭区间 {x|a高中数学必修一集合经典题型总结

2、特殊区间的表示

定义 符号 R (－∞,＋∞) {x|x≥a} a,＋∞) {x|x>a} (a,＋∞) {x|x≤a} (－∞,a] {x|x如果函数y＝f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的________,那么称这样的函数为分段函数.分段函数就是一个函数,分段函数的定义域就是各段定义域的________,值域就是各段值域的________. 知识点六 映射的概念

设A,B就是两个________________,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的________________,在集合B中都有________确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射. 知识点七 函数的单调性

1.增函数、减函数:设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上就是减函数.

2.函数的单调性:若函数f(x)在区间D上就是增(减)函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的单调区间.

3.单调性的常见结论:若函数f(x),g(x)均为增(减)函数,则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数;若函数f(x)为增(减)函数,则－f(x)为减(增)函数;若函数f(x)为增(减)函数,且f(x)>0,则知识点八 函数的最大值、最小值

最值 类别 最大值 最小值 1

为减(增)函数. fx

设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I,都有__________ (2)存在x0∈I,使得______________ 结论 M就是函数y＝f(x)的最大值 (1)对于任意的x∈I,都有________ (2)存在x0∈I,使得________ M就是函数y＝f(x)的最小值 性质:定义在闭区间上的单调函数,必有最大(小)值. 知识点九 函数的奇偶性 1.函数奇偶性的概念

条件 偶函数 奇函数 对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 11

高中数学必修一集合经典题型总结 f(－x)＝f(x) 结论 2、性质

(1)偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称.

(2)奇函数在对称的区间上单调性相同,偶函数在对称的区间上单调性相反.

(3)在定义域的公共部分内,两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数;两个奇函数之与为奇函数;两个偶函数函数f(x)就是偶函数 f(－x)＝－f(x) 函数f(x)就是奇函数 的与、积与商为偶函数;一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数.

例1 (2016年10月学考)函数f(x)＝ln(x－3)的定义域为( ) A.{x|x>－3} B.{x|x>0} C.{x|x>3}

D.{x|x≥3}

例2 (2016年4月学考)下列图象中,不可能成为函数y＝f(x)图象的就是( 12

)

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x>1

例3 已知函数f(x)＝

－x－2x＋4x≤1

2

1logx3

则f(f(3))＝________,f(x)的单调递减区间就是________.

x＋a＋|x－a|

例4 (2015年10月学考)已知函数f(x)＝,g(x)＝ax＋1,其中a>0,若f(x)与g(x)的图象有两个不同

2的交点,则a的取值范围就是________.

ax<0

例5 已知函数f(x)＝满足对任意的x1f(x2),求a的取值范围.

a－3x＋4ax≥0

11

例6 (2016年4月学考改编)已知函数f(x)＝－、

x－1x－3(1)设g(x)＝f(x＋2),判断函数g(x)的奇偶性,并说明理由; (2)求证:函数f(x)在2,3)上就是增函数.

11

例7 (2015年10月学考)已知函数f(x)＝ax＋＋,a∈R、

x＋1x－1(1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)当a<2时,证明:函数f(x)在(0,1)上单调递减.

1

例8 (2016年10月学考)设函数f(x)＝的定义域为D,其中a<1、

|x－1|－a2(1)当a＝－3时,写出函数f(x)的单调区间(不要求证明);

(2)若对于任意的x∈0,2]∩D,均有f(x)≥kx2成立,求实数k的取值范围.

x

13

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一、选择题

1.函数f(x)＝1－2x＋1

x＋3

的定义域为( ) A.(－3,0]

B.(－3,1]

C.(－∞,－3)∪(－3,0]

D.(－∞,－3)∪(－3,1]

2.下列四组函数中,表示同一个函数的就是( ) A.y＝－2x3与y＝x－2x B.y＝(x)2与y＝|x|

C.y＝x＋1·x－1与y＝x＋1x－1 D.f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1

3.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2},值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数y＝f(x)的图象可能就是(

14

)

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4.已知f(x)就是一次函数,且ff(x)]＝x＋2,则f(x)等于( ) A.x＋1 C.－x＋1

B.2x－1 D.x＋1或－x－1

5.设集合A＝{x|0≤x≤6},B＝{y|0≤y≤2},从A到B的对应法则f不就是映射的就是( ) 1

A.f:x→y＝x

21

C.f:x→y＝x

4

1

B.f:x→y＝x

31

D.f:x→y＝x

6

6.已知f(x)就是奇函数,g(x)就是偶函数,且f(－1)＋g(1)＝2,f(1)＋g(－1)＝4,则g(1)等于( ) A.4B.3C.2D.1

7.若函数y＝ax＋1在1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值为( ) A.2B.－2C.2或－2D.0

8.偶函数f(x)(x∈R)满足:f(4)＝f(1)＝0,且在区间0,3]与3,＋∞)上分别递减与递增,则不等式x·f(x)<0的解集为( )

A.(－∞,－4)∪(4,＋∞) B.(－∞,－4)∪(－1,0) C.(－4,－1)∪(1,4)

D.(－∞,－4)∪(－1,0)∪(1,4) 二、填空题



x≥0

9.已知函数f(x)＝1

xx<0

11－x2

若f(a)＝a,则实数a＝________、

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10.设f(x)＝ax2＋bx＋2就是定义在1＋a,1]上的偶函数,则f(x)>0的解集为________. 11.若关于x的不等式x2－4x－a≥0在1,3]上恒成立,则实数a的取值范围为________. 三、解答题

1＋ax2

12.已知函数f(x)＝的图象经过点(1,3),并且g(x)＝xf(x)就是偶函数.

x＋b(1)求函数中a、b的值;

(2)判断函数g(x)在区间(1,＋∞)上的单调性,并用单调性定义证明.

13.已知二次函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b在区间2,3]上有最大值5,最小值2、 (1)求f(x)的解析式;

(2)若b>1,g(x)＝f(x)＋mx在2,4]上为单调函数,求实数m的取值范围.

答案精析

知识条目排查 知识点一

1.确定的不同的 全体 2.每个对象 知识点二 1.属于 ∈ 2.不属于 ∉ 知识点三

1.确定性 互异性 无序性 2.(1)有限个 (2)无限个 3.正整数集 有理数集 知识点四 1.一一列举出来 2.共同特征 知识点五

1.任意一个 A⊆B B⊇A x∈B x∉A A

B B

A

2.(1)任何集合 ∅⊆A (2)A⊆A (3)A⊆C (4)A

C

3.集合B就是集合A的子集(B⊆A) 4.如果A＝B, 则A⊆B,且B⊆A

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知识点六

1.属于集合A且属于集合B的所有元素 {x|x∈A,且x∈B} 2.所有属于集合A或属于集合B的元素 {x|x∈A,或x∈B} 3.B∩A B∪A A A ∅ A A B 4.所有元素 U

5.不属于集合A ∁UA {x|x∈U,且x∉A} 题型分类示例 例1 D

例2 A ∵A＝B,∴2∈B,则a＝2、] 例3 {4}

解析 ∵全集U＝{2,3,4},集合A＝{2,3},∴∁UA＝{4}. 例4 A ∵A∩B＝A,∴A⊆B、 ∵A＝{1,2},B＝{1,m,3}, ∴m＝2,故选A、]

例5 B 由B中不等式变形得 (x－2)(x＋4)>0, 解得x<－4或x>2, 即B＝(－∞,－4)∪(2,＋∞). ∵A＝－2,3],

∴A∪B＝(－∞,－4)∪－2,＋∞). 故选B、]

例6 C 图中的阴影部分就是M∩P的子集,

不属于集合S,属于集合S的补集,即就是∁IS的子集,则阴影部分所表示的集合就是(M∩P)∩∁IS,故选C、] 例7 A A＝{x|1≤3x≤81} ＝{x|0≤x≤4},

B＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x|x2－x>2} ＝{x|x<－1或x>2}, ∴A∩B＝{x|21.B ∵集合A＝{x|1≤x≤5},Z为整数集, 则集合A∩Z＝{1,2,3,4,5}. ∴集合A∩Z中元素的个数就是5, 故选B、]

2.C 由x2－5x＋6≥0,解得x≥3或x≤2、

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又集合A＝{x|－1≤x≤1},∴A⊆B, 故选C、] 3.D 4、C

5.A ∁UB＝{2,4,5,7},A∩(∁UB)＝{3,4,5}∩{2,4,5,7}＝{4,5},故选A、] 6.A 因为全集U＝{－1,1,3}, 集合A＝{a＋2,a2＋2},且∁UA＝{－1}, 所以1,3就是集合A中的元素,

a＋2＝1

a＋2＝3

所以a2＋2＝3或a2＋2＝1

a＋2＝1

由

a2＋2＝3 得a＝－1、

a＋2＝3由

a2＋2＝1

得a无解,

所以a＝－1,故选A、]

7.D A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}, ∵B⊆A,∴B＝∅或{3}或{5}, 若B＝∅时,a＝0; 若B＝{3},则a＝13;

若B＝{5},则a＝1

5、

故a＝13或1

5

或0,故选D、]

8.D ∵集合A＝{x|x2≥16}＝{x|x≤－4或x≥4}, B＝{m},且A∪B＝A,∴B⊆A, ∴m≤－4或m≥4, ∴实数m的取值范围就是 (－∞,－4]∪4,＋∞),故选D、] 9.{1,2} 10.0 1

解析 A＝{1,a},∵x(x－a)(x－b)＝0, 解得x＝0或a或b, 若A＝B,则a＝0,b＝1、 11.4

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解析 全集U＝{x∈Z|－2≤x≤4}＝{－2,－1,0,1,2,3,4},A＝{－1,0,1,2,3},∁UA＝{－2,4}, ∵B⊆∁UA,则集合B＝∅,{－2},{4},{－2,4}, 因此满足条件的集合B的个数就是4、 12.1,＋∞)

解析 由x2－x<0,解得0∵B＝(0,a)(a>0),A⊆B, ∴a≥1、 13.3,＋∞)

解析 由|x－2|0), ∴A＝(2－a,2＋a)(a>0). 由x2－2x－3<0,解得－1A,则2－a≤－1

∵B⊆2＋a≥3

解得a≥3、

19

高中数学必修一集合经典题型总结

答案精析

知识条目排查 知识点一

非空数集 唯一确定 从集合A到集合B {f(x)|x∈A} 知识点二 1.相同 2.对应关系 知识点三

1.a,b] (a,b) a,b) (a,b] 知识点五

对应关系 并集 并集 知识点六

非空的集合 任意一个元素x 唯一 知识点八

f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 题型分类示例 例1 C

例2 A 当x＝0时,有两个y值对应,故A不可能就是函数y＝f(x)的图象.] 例3 5 －1,＋∞) 1

解析 f(3)＝log3＝－1,

3∴f(f(3))＝f(－1)＝－1＋2＋4＝5, 当x≤1时,f(x)＝－x2－2x＋4 ＝－(x＋1)2＋5, 对称轴x＝－1,

f(x)在－1,1]上递减,当x>1时,f(x)递减, ∴f(x)在－1,＋∞)上递减. 例4 (0,1)

x>a

解析 由题意得f(x)＝a

x≤a

x

在平面直角坐标系内分别画出01时,函数f(x),g(x)的图象,

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由图易得当f(x),g(x)的图象有两个交点时,

0ga>a

a的取值范围为021

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例5 解 由题意知,f(x)为减函数, ∴04

、

例6 (1)解 ∵f(x)＝11

x－1－x－3, ∴g(x)＝f(x＋2)＝1x＋1－1

x－1, ∵g(－x)＝11

－x＋1－－x－1

＝

1x＋1－1x－1

＝g(x), 又∵g(x)的定义域为{x|x≠－1且x≠1}, ∴y＝g(x)就是偶函数.

(2)证明 设x1,x2∈2,3)且x1f(x1)－f(x2)＝(1111

x1－x1－3)－(x－1－2－1x2－3) ＝

2x1－x2x1＋x2－4

x1－1x1－3x2－1x2－3

,

∵x1,x2∈2,3)且x10, (x1－1)(x1－3)(x2－1)(x2－3)>0, 综上得f(x1)－f(x2)<0, 即f(x1)∴函数f(x)在2,3)上就是增函数.

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例7 (1)解 因为f(－x)＝－ax＋11

＝－(ax＋＋)

x－1x＋1＝－f(x),

又因为f(x)的定义域为{x∈R|x≠－1且x≠1}, 所以函数f(x)为奇函数.

(2)证明 任取x1,x2∈(0,1),设x1x2－x1x2－x1

＋ x1－1x2－1x1＋1x2＋1

11

＋ －x＋1－x－1

11

－]

x1－1x2－1x1＋1x2＋1

2x1x2＋1

＝(x1－x2)a－2]. x1－1x22－1因为02所以2(x1x2＋1)>2,0<(x21－1)(x2－1)<1,

2x1x2＋1

所以2>2>a,

x1－1x22－12x1x2＋1所以a－2<0、

x1－1x22－1又因为x1－x2<0,所以f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减.

例8 解 (1)单调递增区间就是(－∞,1],单调递减区间就是1,＋∞). (2)当x＝0时,不等式f(x)≥kx2成立; 当x≠0时,f(x)≥kx2等价于 1

k≤、 [x|x－1|－a]2设h(x)＝x(|x－1|－a) －x[x－1－a]0＜x≤1＝

x[x－1＋a]1＜x≤2、

①当a≤－1时,h(x)在(0,2]上单调递增, 所以01

、

41－a2

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1－a1－a

②当－1221－a21－a

因为h(2)＝2－2a≥＝h().

42即01

、

41－a2

1－a

③当0≤a＜1时,h(x)在(0,]上单调递增,

2在

1－a

,1－a)上单调递减,在(1－a,1]上单调递减, 2

在1,1＋a)上单调递增,在(1＋a,2]上单调递增, 1－a

所以h(1)≤h(x)≤max{h(2),h()}且h(x)≠0、

21－a21－a

因为h(2)＝2－2a>＝h(),

42所以－a≤h(x)≤2－2a且h(x)≠0、 2

当0≤a＜时,因为|2－2a|＞|－a|,

31

所以k≤;

41－a2

2

当≤a＜1时,因为|2－2a|≤|－a|, 31

所以k≤2,

a

21

综上所述,当a<时,k≤; 341－a221

当≤a<1时,k≤2、 3a考点专项训练 1.A 要使函数有意义,

x≤01－2≥0则即

x＋3>0x>－3、

故－3即函数的定义域为(－3,0],故选A、]

2.D 在A选项中,前者的y属于非负数,后者的y≤0,两个函数的值域不同; 在B选项中,前者的定义域x≥0,后者的x∈R,定义域不同; 在C选项中,前者定义域为x>1,后者为x>1或x<－1,定义域不同;

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x

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在D选项中,两个函数就是同一个函数,故选D、] 3.B

4.A f(x)就是一次函数,设f(x)＝kx＋b, ff(x)]＝x＋2,可得k(kx＋b)＋b＝x＋2, 即k2x＋kb＋b＝x＋2,k2＝1, kb＋b＝2,解得k＝1,b＝1、 则f(x)＝x＋1,故选A、] 5.A 6、B 7、C

8.D 求x·f(x)<0即等价于求函数在第二、四象限图象x的取值范围.

∵偶函数f(x)(x∈R)满足f(4)＝f(1)＝0, ∴f(4)＝f(－1) ＝f(－4)＝f(1)＝0,

且f(x)在区间0,3]与3,＋∞)上分别递减与递增, 如图可知:即x∈(1,4)时,函数图象位于第四象限, x∈(－∞,－4)∪(－1,0)时,函数图象位于第二象限, 综上所述,x·f(x)<0的解集为(－∞,－4)∪(－1,0)∪(1,4), 故选D、] 29.－1或 3

1

解析 当a≥0时,f(a)＝1－a＝a,

22得a＝;

3

1

当a<0时,＝a,解得a＝－1或1(舍去).

a

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2

∴a＝－1或、

310.(－1,1)

解析 ∵f(x)为定义在1＋a,1]上的偶函数, ∴1＋a＝－1,∴a＝－2,

又f(－x)＝f(x),即ax2－bx＋2＝ax2＋bx＋2, ∴2bx＝0,∴b＝0,∴f(x)＝－2x2＋2、 ∴由f(x)>0得,－2x2＋2>0,

解得－10的解集为(－1,1). 11.(－∞,－4]

解析 若关于x的不等式x2－4x－a≥0在1,3]上恒成立, 则a≤x2－4x在1,3]上恒成立, 令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4,x∈1,3], 对称轴x＝2,开口向上, f(x)在1,2)递减,在(2,3]递增, ∴f(x)min＝f(2)＝－4,∴a≤－4、

x＋ax3

12.解 (1)∵函数g(x)＝xf(x)＝就是偶函数,

x＋b则g(－x)＝g(x).

－x－ax3x＋ax3∴＝恒成立, －x＋bx＋b即x－b＝x＋b恒成立,∴b＝0、 又函数f(x)的图象经过点(1,3), ∴f(1)＝3,即1＋a＝3, ∴a＝2、

(2)由(1)知g(x)＝xf(x)＝2x2＋1, g(x)在(1,＋∞)上单调递增, 设x2>x1>1,

2则g(x2)－g(x1)＝2x22＋1－2x1－1

＝2(x2－x1)(x2＋x1).

∵x2>x1>1,∴(x2－x1)(x2＋x1)>0, ∴g(x2)>g(x1),

∴函数g(x)在区间(1,＋∞)上就是增函数. 13.解 (1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a、 ①当a>0时,f(x)在2,3]上单调递增,

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f2＝2 2＋b＝2故f3＝5即3a＋2＋b＝5

a＝1所以b＝0、

②当a<0时,f(x)在2,3]上单调递减,

故f2＝5

2＋b＝5f3＝2即3a＋2＋b＝2

a＝－1所以

b＝3、

所以f(x)＝x2－2x＋2或f(x)＝－x2＋2x＋5、 (2)因为b>1,所以f(x)＝－x2＋2x＋5,

所以g(x)＝－x2＋(m＋2)x＋5在2,4]上为单调函数, 故

m＋22≤2或m＋22

≥4, 所以m≤2或m≥6、

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