数 学
J单元 计数原理
J1 基本计数原理
13．J1，K2[2016·四川卷] 从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．
1
13. [解析] 由题意可知，(a，b)可能的情况有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，68)，(3，9)，(8，2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共12种情况，其中只有1
(2，8)，(3，9)满足题意，故所求概率为＝.
126
2
J2 排列、组合
6．J2，K2[2016·北京卷] 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )
12A. B. 55
C. D. 2525
89
C124
6．B [解析] 甲被选中的概率为2＝.
C55
423．J2、J3、J4[2016·江苏卷] (1)求7C36－4C7的值；
mmm(2)设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)Cmm＋(m＋2)Cm＋1＋(m＋3)Cm＋2＋…＋nCn－1m＋2＋(n＋1)Cmn＝(m＋1)Cn＋2.
423．解：(1)7C36－4C7＝7×
6×5×47×6×5×4
－4×＝0.
3×2×14×3×2×1
(2)证明：当n＝m时，结论显然成立．
当n>m时，(k＋1)Cmk＝
（k＋1）·k！
m！·（k－m）！
＝(m＋
＋11)·＝(m＋1)Cmk＋1，k＝m＋1，m＋2，…，n.
（m＋1）！·[（k＋1）－（m＋1）]！
（k＋1）！
＋1m＋2m＋2又因为Cmk＋1＋Ck＋1＝Ck＋2，
m＋2m＋2所以(k＋1)Cmk＝(m＋1)(Ck＋2－Ck＋1)，k＝m＋1，m＋2，…，n.
m＋(m＋2)Cmmmm因此(m＋1)Cmm＋1＋(m＋3)Cm＋2＋…＋(n＋1)Cn＝(m＋1)Cm＋[(m＋mmm＋2m＋2m＋2m＋22)Cmm＋1＋(m＋3)Cm＋2＋…＋(n＋1)Cn]＝(m＋1)Cm＋2＋(m＋1)[(Cm＋3－Cm＋2)＋(Cm＋4
＋2m＋2m＋2m＋2－Cmm＋3)＋…＋(Cn＋2－Cn＋1)]＝(m＋1)Cn＋2.
J3 二项式定理
9．J3[2016·上海卷] 在(则常数项等于________．
3
2
x－)n的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，
x9．112 [解析] 由二项式定理得，二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n.由题意得2n＝256，所以n＝8，则二项展开式的通项为Tr＋1＝Cr8(84
r，令－r＝0，得r＝2，所以常数项为T＝112. 3
33
3
842
－x)8－r(－)r＝(－2)rCr8xx33
04[2016·浙江卷] “计数原理与概率”模块
(1)已知(1＋2x)4(1－x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求a2的值．
(2)设袋中共有8个球，其中3个白球、5个红球，从袋中随机取出3个球，求至少有1个白球的概率．
r解：(1)因为(1＋2x)4二项展开式的通项为Cr4(2x)，r＝0，1，2，3，4.
2r(1－x2)3二项展开式的通项为Cr3(－x)，r＝0，1，2，3.
2001所以a2＝C24·2·C3＋C4·C3·(－1)＝21.
(2)从袋中取出3个球，总的取法有C38＝56(种)；
其中都是红球的取法有C35＝10(种)．
因此，从袋中取出3个球至少有1个白球的概率是
C3235
1－3＝.
C828
423．J2、J3、J4[2016·江苏卷] (1)求7C36－4C7的值；
mmm(2)设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)Cmm＋(m＋2)Cm＋1＋(m＋3)Cm＋2＋…＋nCn－1m＋2＋(n＋1)Cmn＝(m＋1)Cn＋2.
6×5×47×6×5×4
423．解：(1)7C3－4×＝0. 6－4C7＝7×
3×2×14×3×2×1
(2)证明：当n＝m时，结论显然成立．
当n>m时，(k＋1)Cmk＝
（k＋1）·k！
m！·（k－m）！
＝(m＋
＋11)·＝(m＋1)Cmk＋1，k＝m＋1，m＋2，…，n.
（m＋1）！·[（k＋1）－（m＋1）]！
（k＋1）！
＋1m＋2m＋2又因为Cmk＋1＋Ck＋1＝Ck＋2，
m＋2m＋2所以(k＋1)Cmk＝(m＋1)(Ck＋2－Ck＋1)，k＝m＋1，m＋2，…，n.
m＋(m＋2)Cmmmm因此(m＋1)Cmm＋1＋(m＋3)Cm＋2＋…＋(n＋1)Cn＝(m＋1)Cm＋[(m＋mmm＋2m＋2m＋2m＋22)Cmm＋1＋(m＋3)Cm＋2＋…＋(n＋1)Cn]＝(m＋1)Cm＋2＋(m＋1)[(Cm＋3－Cm＋2)＋(Cm＋4
＋2m＋2m＋2m＋2－Cmm＋3)＋…＋(Cn＋2－Cn＋1)]＝(m＋1)Cn＋2.
J4 单元综合
423．J2、J3、J4[2016·江苏卷] (1)求7C36－4C7的值；
mmm(2)设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)Cmm＋(m＋2)Cm＋1＋(m＋3)Cm＋2＋…＋nCn－1m＋2＋(n＋1)Cmn＝(m＋1)Cn＋2.
6×5×47×6×5×4
423．解：(1)7C3－4×＝0. 6－4C7＝7×
3×2×14×3×2×1
(2)证明：当n＝m时，结论显然成立．
当n>m时，(k＋1)Cmk＝
（k＋1）·k！
m！·（k－m）！
＝(m＋
＋11)·＝(m＋1)Cmk＋1，k＝m＋1，m＋2，…，n.
（m＋1）！·[（k＋1）－（m＋1）]！
（k＋1）！
＋1m＋2m＋2又因为Cmk＋1＋Ck＋1＝Ck＋2，
m＋2m＋2所以(k＋1)Cmk＝(m＋1)(Ck＋2－Ck＋1)，k＝m＋1，m＋2，…，n.
m＋(m＋2)Cmmmm因此(m＋1)Cmm＋1＋(m＋3)Cm＋2＋…＋(n＋1)Cn＝(m＋1)Cm＋[(m＋
mmm＋2m＋2m＋2m＋22)Cmm＋1＋(m＋3)Cm＋2＋…＋(n＋1)Cn]＝(m＋1)Cm＋2＋(m＋1)[(Cm＋3－Cm＋2)＋(Cm＋4
＋2m＋2m＋2m＋2－Cmm＋3)＋…＋(Cn＋2－Cn＋1)]＝(m＋1)Cn＋2.
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容