新高考数学选填小题限时模拟练习(18)

新高考数学选填小题限时模拟练习（18）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）设集合A{x|x25x60}，B{x|x20}，则AA．[1，2)

B．[3，2)

C．[2，2)

B( )

D．(2，6]

2．（5分）若复数z满足2zz13i，则z( ) A．1i

B．1i

C．1i

D．1i

3．（5分）已知a0，b0，且A．43 4．（5分）函数f(x)124，4a6b的最小值是( ) abB．423 C．823 D．43 32sinx3x在[，]的图象大致为( )

cosxx2A． B．

C． D．

5．（5分）已知直线l:axy20与C:(x1)2(ya)24相交于A、B两点，则ABC为钝角三角形的充要条件是( ) A．a(1,3)

C．a(23，1)(1，23)

B．a(23，23) D．a(,23)(23,)

6．（5分）“微信红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的金额为10元，被随机分配成1.36元，1.59元，2.31元，3.22元，1.52元，供甲乙丙丁戊5人抢，每人只能抢一次，则甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元的概率是(

)

A．

第1页（共12页）

1 2B．

2 53C．

5D．

4 5

7．（5分）阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为12，则该模型中球的体积为( ) A．8

B．4

8C．

3D．

82 3x2y28．（5分）设双曲线C:221(a0,b0)的左焦点为F，直线x2y50过点F且

ab与双曲线C在第一象限的交点为P，O为坐标原点，|OP||OF|，则双曲线的离心率为() A．2 B．3 C．2

D．5

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9．（5分）已知向量a(2,1)，b(3,1)，则( ) A．(ab)a B．|a2b|5

C．向量a在向量b上的投影是D．向量a的单位向量是(2 2

255,) 5510．（5分）为了了解某外贸企业职工对“一带一路”的认知程度，随机抽取了100名职工组织了“一带一路”知识竞赛，满分为100分(80分及以上为认知程度较高），并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图．从频率分布折线图中得到的这100名职工成绩的以下信息正确的是( )

A．成绩是50分或100分的职工人数是0 B．对“一带一路”认知程度较高的人数是35人

第2页（共12页）

C．中位数是74.5 D．平均分是75.5

11．（5分）若(12x)2021a0a1xa2x2a3x3a2021x2021(xR)，则( ) A．a01

320211B．a1a3a5a2021

2320211C．a0a2a4a2020

2a3a2021aaD．121

2222322021

12．（5分）关于函数f(x)3|sinx||cosx|有下述四个结论正确的有( ) A．f(x)的最小正周期为 C．f(x)在[，]上有四个零点

B．f(x)在(,)上单调递增

22D．f(x)的值域为[1，2]



三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知直线y2xb是曲线ylnx3的一条切线，则b ．

14．（5分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PD底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PD2，APDBAD积为 ．

3，则三棱锥PAOD的外接球表面

15．（5分）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积“中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即122c2a2b22S[ca()]，S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边长，现有ABC42第3页（共12页）

满足sinA:sinB:sinC3:22:5且SABC12．则ABC的外接圆的半径为 ． 16．（5分）F为抛物线C:y24x的焦点，过F且斜率为的直线l与抛物线交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线交x轴于点M，且|PQ|6，则|MF| ．

新高考数学选填小题限时模拟练习（18）

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）设集合A{x|x25x60}，B{x|x20}，则AA．[1，2)

B．[3，2)

C．[2，2)

B( )

D．(2，6]

【解答】解：集合A{x|x25x60}{x|1x6}，

B{x|x20}{x|x2}，

AB{x|1x2}[1，2)．

故选：A．

2．（5分）若复数z满足2zz13i，则z( ) A．1i

B．1i

C．1i

D．1i

【解答】解：设zabi(a,bR)，则zabi， 代入2zz13i，得2(abi)(abi)a3bi13i， ab1，则z1i．

故选：B．

3．（5分）已知a0，b0，且A．43 124，4a6b的最小值是( ) abB．423 C．823 D．43 3【解答】解：已知a0，b0，且所以4a6b(4a6b)(当且仅当

12114，则有1， ab4a2b112a3b2a3b)1342423， 4a2bb2ab2a2a3b11且1时取等号，

b2a4a2b则4a6b的最小值是的最小值是423．

第4页（共12页）

故选：B．

4．（5分）函数f(x)2sinx3x在[，]的图象大致为( )

cosxx2A． B．

C．

【解答】解：f(x)

2sinx3xf(x)， 2cosxxD．

则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A， 当0x时，f(x)0，排除D， f()30，排除B， 21故选：C．

5．（5分）已知直线l:axy20与C:(x1)2(ya)24相交于A、B两点，则ABC为钝角三角形的充要条件是( ) A．a(1,3)

C．a(23，1)(1，23)

B．a(23，23) D．a(,23)(23,)

【解答】解：C:(x1)2(ya)24的圆心为C(1,a)，半径r2， 故点C到直线l:axy20的距离为d故AB24d24又CACB2，

因为ABC为钝角三角形， 故AC2BC2AB2，即4416化简可得a24a10， 解得23a23，

第5页（共12页）

|aa2|a122|a1|a12，

2a， a212a， a21

当三点A，B，C共线时，有aa20，即a1，此时ABC不存在， 所以ABC为钝角三角形的充要条件是a(23，1)(1，23)． 故选：C．

6．（5分）“微信红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的金额为10元，被随机分配成1.36元，1.59元，2.31元，3.22元，1.52元，供甲乙丙丁戊5人抢，每人只能抢一次，则甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元的概率是(

)

A．

1 2B．

2 53C．

5D．

4 5【解答】解：若所发红包的金额为10元，被随机分配成1.36元，1.59元，2.31元，3.22元，1.52元，

供甲乙丙丁戊5人抢，每人只能抢一次，

考虑甲、乙二人抢到的金额之和，基本事件总数nC5210， 甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元包含的基本事件有：

(1.36,3.22)，(1.59,3.22)，(2.31,3.22)，(3.22,1.52)，共4个，

甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元的概率是P42． 105故选：B．

7．（5分）阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为12，则该模型中球的体积为( ) A．8

B．4

8C．

3D．82 3【解答】解：设该圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R 则圆柱的表面积SS底S侧2R22R2R12， 解得R22，即R2．

圆柱的体积为：VR22R42，

第6页（共12页）

282该圆柱的内切球体积为：42．

33故选：D．

x2y28．（5分）设双曲线C:221(a0,b0)的左焦点为F，直线x2y50过点F且

ab与双曲线C在第一象限的交点为P，O为坐标原点，|OP||OF|，则双曲线的离心率为(

)

A．2 B．3 C．2

D．5

【解答】解：由已知直线过点F，则令y0，所以x5，所以c5， 如图所示：过原点作OH垂直直线l，垂足为H， 设双曲线的右焦点为M，连接PM，

因为|OP||OF||OM|，所以由直角三角形的性质可得PFPM， 所以OH//PM，又O为FM的中点，所以H是PF的中点， 所以|PM|2|OH|，而|OH||5|12221，所以|PM|2，

由双曲线的定义可得：|PF||PM|2a，即|PF|22a， 在直角三角形PFM中，由勾股定理可得：|PF|2|PM|2|FM|2， 即(22a)244520，解得a1或3（舍去）， 所以双曲线的离心率为e故选：D．

c55， a1

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9．（5分）已知向量a(2,1)，b(3,1)，则( )

第7页（共12页）

A．(ab)a B．|a2b|5

C．向量a在向量b上的投影是D．向量a的单位向量是(【解答】解：

2 2

255,) 55ab(1,2)，a(2,1)，

(ab)a220， (ab)a，即A正确；

a2b(4,3)，|a2b|5，即B正确； a在b上的投影是

ab510，即C错误；

2|b|10a255a255(,)，或(,)，即D错误． |a|55|a|55向量a的单位向量为：故选：AB．

10．（5分）为了了解某外贸企业职工对“一带一路”的认知程度，随机抽取了100名职工组织了“一带一路”知识竞赛，满分为100分(80分及以上为认知程度较高），并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图．从频率分布折线图中得到的这100名职工成绩的以下信息正确的是( )

A．成绩是50分或100分的职工人数是0 B．对“一带一路”认知程度较高的人数是35人 C．中位数是74.5 D．平均分是75.5

【解答】解：选项A:50分或100分不能判断有多少人，A错误，

第8页（共12页）

选项B:a1(0.040.0150.0050.01)100.3，所以成绩大于80分的有

100(0.30.05)35人，B正确，

选项C：设中位数与70的距离为x，则(0.010.015)100.04x0.5，解得x6.25， 所以中位数为706.2576.25，C错误， 选

项

D：平均分为

550.0110650.01510750.0410850.0310950.0051075.5，D正确，

故选：BD．

11．（5分）若(12x)2021a0a1xa2x2a3x3a2021x2021(xR)，则( ) A．a01

320211B．a1a3a5a2021

2320211C．a0a2a4a2020

2a3a2021aaD．121

2222322021【解答】解：当x0时，a01，

当a1时，a0a1a2a3a20211，①， 当a1时，a0a1a2a3a202132021，②，

320211由①②可得，a0a2a2020，

2320211由①②可得，a1a3a2021，

2a3a2021a2021aaa1a2a31令x，可得a012，则01，

222223220212222322021故选：ACD．

12．（5分）关于函数f(x)3|sinx||cosx|有下述四个结论正确的有( ) A．f(x)的最小正周期为 C．f(x)在[，]上有四个零点

B．f(x)在(,)上单调递增

22D．f(x)的值域为[1，2]



【解答】解：根据函数数f(x)3|sinx||cosx|， 对于A:f(x)3|sin(x)||cos(x)|f(x) 所以函数的周期为，最小值正周期为，故A正确；

第9页（共12页）

对于B：对于函数f(x)3|sinx||cosx|，

由于函数g(x)3|sinx|在区间x(,)上有增有减，故B错误；

22对于C：由于函数满足f(x)3|sin(x)||cos(x)|f(x)， 所以函数为偶函数，函数的图象关于y轴对称， 当x6或5时函数的值为0， 6故函数在[，]上有四个零点，故C正确；

对于D：函数当满足x[2,2](Z)时，函数的值域为[1，3]，根本取不到最

2大值2，故D错误； 故选：AC．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知直线y2xb是曲线ylnx3的一条切线，则b 2ln2 ． 【解答】解：函数ylnx3(x0)的导数为：y1， x12， x由题意直线y2xb是曲线ylnx3(x0)的一条切线，可知所以x111，所以切点坐标为(，ln3)， 2221切点在直线上，所以by2xln312ln2．

2故答案为：2ln2．

14．（5分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PD底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PD2，APDBAD积为 16 ．

3，则三棱锥PAOD的外接球表面

【解答】解：如图，取PA中点M，AD中点N，连接OM，ON，MN，MN//PD，MN1PD， 2第10页（共12页）

PD底面ABCD，PDAD，PDON，

在RtPDA中，PD2，APDMN//PD，MNON，

3，PMMN11PA2，MDPA2． 22在菱形ABCD中，BADON3，则ABAD422223，

11AB3，MNPD1． 22OMON2MN22，

OMMAMDMP，M为三棱锥PAOD的外接球的球心，外接球的半径为2． 三棱锥PAOD的外接球表面积为42216，

故答案为：16．

15．（5分）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积“中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即122c2a2b22S[ca()]，S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边长，现有ABC42满足sinA:sinB:sinC3:22:5且SABC12．则ABC的外接圆的半径为 【解答】解：由正弦定理可得，sinA:sinB:sinCa:b:c3:22:5， 设a3(0)，则b22，c5，

a2b2c292825由余弦定理可得，cosC2ab2322210 ．

2， 2因为C(0,)，可得C4，

第11页（共12页）

122c2a2b22[ca()]12，将a3，b22，c5代入，解得2， 由S42所以可得c25，

设ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理可知，2Rc25210， sinC22即ABC的外接圆的半径为10． 故答案为：10．

16．（5分）F为抛物线C:y24x的焦点，过F且斜率为的直线l与抛物线交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线交x轴于点M，且|PQ|6，则|MF| 3 ． 【解答】解：因为F为抛物线C:y24x的焦点，则F(1,0)，p2， 则直线l的方程为y(x1)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， y(x1)联立2，消去y并整理得：

y4x2x2(224)x20，

则x1x2242，

利用抛物线得定义可知：|PQ|x1x2px1x226， 则x1x22424，解得2，

x1x22，则纵坐标为， 2而线段PQ中点的横坐标为

1所求线段PQ的垂直平分线的方程为y(x2)，

令y0，可得x4，即M(4,0)， 所以|MF|3． 故答案为：3．

第12页（共12页）