探考情 悟真题 【考情探究】
5年考情
考点
内容解读
考题例如
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
两角和与差的三角函数
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,会用二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
简单的三角恒等变换
能利用两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行简单的三角恒等变换.
2021浙江,10,6分
三角恒等变换
2021浙江,18,14分
二倍角公式
三角函数的性质
★★★
2021浙江,16,14分
二倍角公式
正弦定理
2021浙江,16,14分
二倍角公式
解三角形
★★☆
2021浙江,18,14分
余弦公式
的定义、诱导公式
预测热度
考向
两角差的
关联考点
任意角的三角函数
分析解读 1.对本节内容的考查仍以容易题和中等难度题为主.
2.主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及运用上述公式进行简单的恒等变换(例:2021浙江,10).
3.对三角恒等变换的考查往往与解三角形、向量知识综合在一起.
4.预计2021年高考试题中,三角恒等变换仍是考查的重点,复习时应高度重视.
破考点 练考向 【考点集训】
考点一 两角和与差的三角函数
1.(2021浙江台州中学一模,2)计算:sin 5°cos 55°-cos 175°sin 55°的结果是( ) A.- B. C.- D.
2
2
1
2
12
√3√3答案 D
2.(2021浙江杭州二中期中,15)假设α满足sin(α+20°)=cos(α+10°)+cos(α-10°),那么tan α= .
答案 √3 考点二 简单的三角恒等变换
1.(2021课标全国Ⅱ理,10,5分)α∈(0,),2sin 2α=cos 2α+1,那么sin α=( )
π2
A. B. C. D.
5
3
15
√5√32√5 5
答案 B
π6
√22.(2021浙江镇海中学期中,7)sin(-α)=-,那么cos 2α+√3sin 2α=( )
3
A. B.- C.- D. 答案 A
π64√3,那么511π
)= 61091095959
3.(2021届山东夏季高考模拟,14)cos(𝛼+)-sin α=sin(𝛼+ .
答案 - 45
4.(2021届浙江镇海中学期中,18)f(x)=sin·(cos+sin)+a的最大值为.
2
𝑥2𝑥2𝑥2
√2(1)求实数a的值;
√2sin(2𝛼-4)+1ππ√2+)+f(𝛼-)=,求的值. 4431+tan𝛼
π
(2)假设f(𝛼
解析 此题考查三角恒等变换以及三角函数式的求值;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.
𝑥2𝑥2𝑥212𝑥2𝑥21212121√222π4123π4π4(1)f(x)=sincos+sin2+a=(2sincos)+(1-cos x)+a=sin x-cos x+a+=sin(𝑥-)+a+,当x=2kπ+(k∈Z)时,sin(𝑥-)=1, f(x)取得最大值为+a+,结合条件,可知a=-.
2π
√2sin(2𝛼-4)+1sin2𝛼-cos2𝛼+1(2)= sin𝛼1+tan𝛼1+cos𝛼√21
212=
2sin𝛼cos𝛼+sin2α-cos2α+sin2α+cos2α
cos𝛼+sin𝛼cos𝛼=2sin αcos α①,
由(1)知f(x)=sin(𝑥-),
2
√2π4
那么f(𝛼+)=sin α, f(𝛼-)=-cos α,
22π4√2π4√2结合条件,可知sin α-cos α=, 又因为sin2α+cos2α=1,
√2sin(2𝛼-4)+155
2sin αcos α=②,由①②得=.
91+tan𝛼9
π
2
3
所以
炼技法 提能力 【方法集训】
方法1 三角函数式的化简方法
sin(𝛼+2 018)π
1.tan α=2 018tan,那么=( π2 018sin(𝛼+)
2 0182 017π
)
A.-1 B.1 C.-答案 C
(1+sin𝜃+cos𝜃)·(sin2-cos2)
√2+2cos𝜃𝜃
𝜃
2 017
2 019
D.
2 017
2 019
2.化简(0<θ<π)= .
答案 -cos θ
3.(2021届浙江绍兴一中期中,18)函数f(x)=cos x(msin x+cos x),且满足f()=1.
π4
(1)求m的值;
π4(2)假设x∈[0,],求f(x)的最大值和最小值,并求出相应的x的值.
解析 此题考查三角恒等变换以及三角函数式的化简、三角函数最值的求法;考查数学运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.
π4
π4
π4
π4
√2√2√2(1)f()=cos(𝑚sin+cos)=
2
(
2
m+
2
)=1⇒m=1.
(2)f(x)=cos x(sin x+cos x)=sin 2x+cos 2x+=sin(2𝑥+)+,因为x∈[0,],
12121√222π412π4
所以2x+∈[,
π4π3π
], 44
因此当2x+=或2x+=时, f(x)min=1,此时x=0或x=.
ππ44π3π44π4
当2x+=时, f(x)max=
ππ42
√2+12
,此时x=.
π8
方法2 三角函数式的求值方法
1.(2021浙江台州中学一模,15)α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-,那么cos 2α= ,tan(α-β)= .
5
43
√5答案 -;- 722511
2.(2021安徽江南十校联考改编,14)
sin𝛼·cos𝛼1
=,且
1+3cos2α4
tan(α+β)=,其中β∈(0,π),那么β的值为 .
13
答案
3π 4
π
3.(2021届浙江慈溪期中,16)α∈(0,)且
2tan(𝛼+4)4
tan 2α=,那么π的值等于 3tan(𝛼-)4π
.
答案 -9
方法3 利用辅助角公式解决问题的方法
1.(2021浙江诸暨期末,18)函数f(x)=-2√3sin 2x+2sin xcos x. (1)求函数f(x)在区间[0,]上的值域;
π
2
(2)设α∈(0,π),f()=-√3,求cos α的值.
𝛼212
解析 (1)f(x)=-2√3·1−cos2𝑥
+sin 2x 2
=sin 2x+√3cos 2x-√3 =2sin(2𝑥+)-√3,
π3
∵x∈[0,],∴2x+∈[,
π2π3π4π
], 33∴sin(2𝑥+)∈[-
π3√32,1],
∴f(x)∈[-2√3,2-√3].
(2)∵f()=2sin(𝛼+)-√3=-√3,
𝛼2π312
∴sin(𝛼+)=.
π314又∵α∈(0,π),∴α+∈(,
π3π4π
), 33
∴α+必在第二象限,∴cos(𝛼+)=-
π3π3√154,
∴cos α=cos[(𝛼+)-]
π3π3
=cos(𝛼+)cos+sin(𝛼+)sin π3π3π3π3
=-
√1511√34
×+× 24
2
=
√3-√158
.
2.(2021浙江“七彩阳光〞联盟期初联考,18)f(x)=2√3cos2x+sin 2x-√3+1(x∈R).
(1)求f(x)的单调增区间;
ππ44(2)当x∈[-,]时,求f(x)的值域.
解析 由题可知f(x)=sin 2x+√3(2cos2x-1)+1=sin 2x+√3cos 2x+1=2sin(2𝑥+)+1.
π3(1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
π2π3π2
即2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,
5π6π6
∴kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
5π12π12
∴函数f(x)的单调增区间为[𝑘π-
5π,kπ12
+
π
](k∈Z). 12
(2)∵x∈[-,],∴2x+∈[-,
ππ44π3π5π
], 66∴sin(2𝑥+)∈[-,1],∴f(x)∈[0,3].
π3123.(2021届浙江湖州、衢州、丽水三地联考,18)平面向量a=(
√32
sin𝑥,cos𝑥),b=(cos x,0),函数f(x)=|2a+b|(x∈R).
(1)求函数f(x)图象的对称轴;
π2
(2)当x∈(0,)时,求f(x)的值域.
解析 此题考查平面向量的模的求法、三角恒等变换、辅助角公式的应用;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养. (1)2a+b=(√3sin x+cos x,2cos x),
f(x)=|2a+b|=√(√3sin𝑥+cos𝑥)2+(2cos𝑥)2=√2sin(2𝑥+)+4(x∈R).
π6
由2x+=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,故函数f(x)图象的对称轴为直线x=+,k∈Z.
π6π2𝑘ππ26𝑘ππ26
(2)因为x∈(0,),所以2x+∈(,
π2π6π7π
), 66所以sin(2𝑥+)∈(-,1],
π612
可得f(x)∈(√3,√6],即f(x)的值域为(√3,√6].
【五年高考】
A组 自主命题·浙江卷题组
(2021浙江,10,6分)2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),那么A= ,b= . 答案 √2;1
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 两角和与差的三角函数
1.(2021课标全国Ⅲ理,4,5分)假设sin α=,那么cos 2α=( )
13
A. B. C.- D.- 答案 B
2.(2021课标全国Ⅱ,9,5分)假设cos(-α)=,那么sin 2α=( )
π4
35
89797989
A. B. C.- D.- 答案 D 3.(2021江苏,13,5分)
π=-,那么tan(𝛼+4)3
7
251515725
tan𝛼2
sin(2𝛼+)的值是 .
π4
答案
√210
4.(2021课标全国Ⅰ文,15,5分)α∈(0,),tan α=2,那么cos(𝛼-)= .
π2π4
答案
3√10 10
考点二 简单的三角恒等变换
1.(2021课标全国Ⅲ文,4,5分)sin α-cos α=,那么sin 2α=( )
43
A.- B.-
7929
C. D. 答案 A
π8
π8
2979
2.(2021四川,11,5分)cos2-sin2= .
答案
√22
C组 教师专用题组
考点一 两角和与差的三角函数
1.(2021课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) A.- B. 2
2
√3√3C.- D. 答案 D
1
2122.(2021重庆,9,5分)假设
cos(𝛼-10)π
tan α=2tan,那么π=( 5sin(𝛼-)53π
)
A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C
3.(2021江苏,5,5分)假设tan(𝛼-)=,那么tan α= .
π
4
16
答案
7 5
4.(2021江苏,8,5分)tan α=-2,tan(α+β)=,那么tan β的值为 . 答案 3
17
考点二 简单的三角恒等变换
1.(2021山东文,4,5分)cos x=,那么cos 2x=( )
34
A.- B. 1414C.- D. 答案 D
2.(2021四川,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是 . 答案
√61
818
2
3.(2021江苏,16,14分)向量a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),x∈[0,π].
(1)假设a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解析 (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),a∥b, 所以-√3cos x=3sin x.
假设cos x=0,那么sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.
于是tan x=-√33
.
又x∈[0,π],所以x=5π6
.
(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-√3)=3cos x-√3sin x=2√3cos(𝑥+π6).
因为x∈[0,π],所以x+π∈[π6,
7π
66
], 从而-1≤cos(𝑥+π)≤√36
2
.
于是,当x+π=π66
,即x=0时, f(x)取到最大值3;
当x+π=π,即x=5π66
时, f(x)取到最小值-2√3.
【三年模拟】
一、选择题(每题4分,共12分)
1.(2021届浙江杭州二中开学考,3)cos(π-α)=25π
63,那么cos(
3
+2α)的值为( )
A.5 B.199
C.-1 D.-599
答案 C
2.(2021浙江绍兴一中新高考调研卷五,5)△ABC,有关系式tan C(sin 2B-sin A)=cos 2B+cos A成立,那么△ABC为(A.等腰三角形
B.∠A=60°的三角形
C.等腰三角形或∠A=60°的三角形
D.等腰直角三角形
)
答案 C
sin𝐴√2+cos C=0,tan A=,那么sin𝐵43.(2021届浙江五校十月联考,9)在△ABC中,tan B=( )
A.√2 B.2√2 C. D.
3
2
√2√2答案 D
二、填空题(每空3分,共12分)
4.(2021届浙江名校协作体开学联考,12)设函数f(x)=cos 2x-sin x,那么f()= ,假设f(x)≥0,那么实数x的取值范围是 . 答案 0;[2𝑘π-7ππ
,2kπ+](k∈Z) 665π
6
5.(2021届浙江之江教育联盟联考,14)函数f(x)=sin2x-sin2(𝑥-),x∈R,那么f(x)的最小正周期为 ,单调递增区间为 . 答案 π;[-+kπ,+kπ](k∈Z)
π6
π3
π6
三、解答题(共90分)
6.(2021届浙江金丽衢十二校联考,18)设函数f(x)=sin x+cos x,x∈R.
(1)求f(x)·f(π-x)的最小正周期;
(2)求函数g(x)=sin3x+cos3x的最大值.
解析 此题考查三角恒等变换以及三角函数的性质;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.
(1)f(x)·f(π-x)=(sin x+cos x)(sin x-cos x)=-cos 2x.
所以最小正周期T==π.
2π2
(2)g(x)=sin3x+cos3x=(sin x+cos x)(1-sin xcos x),
𝑡2-1
, 2令sin x+cos x=t,那么t∈[-√2,√2],所以sin x·cos x=
所以g(t)=t(1−
𝑡2-13−𝑡23𝑡-𝑡33−3𝑡2
)=t·=,g'(t)=, 2222
即g(t)在[-√2,-1]上单调递减,在[-1,1]上单调递增,在[1,√2]上单调递减,所以g(t)max=g(1)=1.
7.(2021浙江三校联考,18)函数f(x)=6cos2+√3sin ωx-3(ω>0)的图象上相邻两对称轴之间的距离为4.
𝜔𝑥
2
(1)求ω的值及f(x)的单调增区间;
6√3214
,且x0∈(,),求533(2)假设f(x0)=f(x0+1)的值.
解析 (1)f(x)=3cos ωx+√3sin ωx=2√3sin(𝜔𝑥+).
π
3
由题意得T=8,所以ω==,
2ππ84
所以f(x)=2√3sin(
π𝑥π+). 43令-+2kπ≤+≤+2kπ,k∈Z,
π
2π𝑥ππ432
解得-+8k≤x≤+8k,k∈Z.
10323所以f(x)的单调增区间为[-
102
+8k,+8k],k∈Z. 33
(2)由(1)知f(x0)=2√3sin(
π𝑥04
+)=
π36√3, 5
即sin(
π𝑥04
+)=,
π335
因为x0∈(,
214
), 33
所以
π𝑥0ππ3π
+∈(,), 4322所以cos(
π𝑥04
+)=-.
π345
所以f(x0+1)=2√3sin(
π𝑥04
++)
π4π3
=2√3[sin(
π𝑥04
+)cos+cos(
π3π4π𝑥04
+)sin]
π3π4
=2√3×(×
3
5
√24
2
-×
5
√22
)=-.
5
√68.(2021浙江杭州高级中学期中,18)函数f(x)=cos2x+√3cos xcos(𝑥+).
π2
(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值;
110
ππ
,),求123
(2)假设f(x0)=-,x0∈(cos 2x0的值.
解析 (1)f(x)=-sin(2𝑥-)+.易知当sin(2𝑥-)=-1时, f(x)取得最大值,此时2x-=-+2kπ,k∈Z,故x=-+kπ,k∈Z,所以当 x=-+kπ,k∈Z时,f(x)max=.
32
π612π6π6π2π6π6
(2)因为f(x0)=-sin(2𝑥0-)+=-,
π612110所以sin(2𝑥0-)=.
π635
因为x0∈(
ππ,), 123
所以2x0-∈(0,),
π6π2
故cos(2𝑥0-)=.
π645
所以cos 2x0=cos[(2𝑥0-)+]=cos(2𝑥0-)cos-sin(2𝑥0-)sin=
π6π6π6π6π6π4√3-3
.
610
9.(2021浙江高考数学仿真卷(二),18)函数f(x)=-√3sin 2x-2cos2x+1. (1)求函数f(x)的振幅和单调递增区间;
12(2)在△ABC中,C为锐角,满足sin 2C+2sin2A=1,假设f(C)=,求cos 2A的值. 解析 (1)f(x)=-√3sin 2x-cos 2x =-2sin(2𝑥+),
π6∴f(x)的振幅为2.
令+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),
π2
π3π62
那么+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
π62π3∴f(x)的单调递增区间为[+kπ,
π62π
+kπ](k∈Z). 3
(2)∵sin 2C+2sin2A=1,
π2
∴sin 2C=1-2sin2A=cos 2A=sin(+2A),
∴2C=+2A或2C+2A+=π,所以C-A=或C+A=.
π2π2π4π4
∵C为锐角,∴2C+∈(,
π6π7π1
),∵f(C)=, 662
∴-2sin(2𝐶+)=,
π
612∴sin(2𝐶+)=-,
π614∴2C+∈(π,
π67π), 6∴C∈(
5ππ,), 122
∴C-A=,此时cos(2𝐶+)=-
π4π6
√154
,
∴cos 2A=cos[2(𝐶-)]=cos(2𝐶-)=sin 2C
π4π2
=sin[(2𝐶+)-]=sin(2𝐶+)cos-cos(2𝐶+)sin
π6π6π6π6π6π6=-×-(-
1√342√154)×=1√15-√3.
2810.(2021浙江高考信息优化卷(一),18)函数f(x)=2√3sin ωxsin(𝜔𝑥+)-2sin2ωx+1(ω>0),且f(x)的最小正周期为π.
π
2
(1)求ω的值以及f(x)在区间[0,]上的值域;
π3
(2)假设f(α)=
2√5,且5
α∈[,],求cos 2α的值.
ππ62
解析 (1)f(x)=2√3sin ωxcos ωx+cos 2ωx=√3sin 2ωx+cos 2ωx=2sin(2𝜔𝑥+),∵T=
π62π
=π,∴ω=1, 2𝜔∴f(x)=2sin(2𝑥+),
π6
∵x∈[0,],∴2x+∈[,
π3π6π5π
], 66∴sin(2𝑥+)∈[,1],
π612
∴f(x)∈[1,2].
(2)易知f(α)=2sin(2𝛼+)=
π62√5⇒sin(2𝛼5
+)=,
5
π6
√5∵α∈[,],∴2α+∈[,
ππ62π6π7π
], 26
∴cos(2𝛼+)=-
π62√5, 5
∴cos 2α=cos[(2𝛼+)-]=cos(2𝛼+)cos+sin(2𝛼+)sin=
π6π6π6π6π6π√5-2√15.
610
11.(2021届浙江Z20联盟开学联考,18)函数f(x)=cos2x+√3sin xcos x. (1)求f()的值;
π
3
(2)假设f()=,α∈(0,),求cos α的值.
解析 此题考查简单的三角恒等变换;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.
1+cos2𝑥√31
+sin 2x=+sin(2𝑥222
π
6
𝛼21310π3
(1)因为f(x)=cos2x+√3sin xcos x=+),
所以f()=+sin(
π3122ππ15π11
+)=+sin =+=1. 362622
(2)由f()=,α∈(0,),得sin(𝛼+)=,cos(𝛼+)=,
𝛼
21310π3π645π635
所以cos α=cos(𝛼+-)=cos(𝛼+)cos+sin(𝛼+)·sin=ππ66π6π6π6π3√3+4.
610
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