高一数学同角三角函数关系式

考点一：求任意角的三角函数值

[例1] 求下列各三角函数值：

31π

(1)sin 1 320°； (2)cos(－)； (3)tan(－945°)．

6

1．求下列各三角函数式的值．

27π

(1)sin(－660°); (2)cos；

4

37π5π

(3)2cos 660°＋sin 630°； (4)tan·sin(－)．

63

2．求sin(2nπ＋2π3)cos(nπ＋4π

3)的值(n∈Z)．

考点二：给值(或式)求值

[例2] (1)已知cos(π＋α)＝－1

2，求sin(2π－α)的值；

(2)已知sin(π1π

3－α)＝2，求cos(6＋α)的值．

3．已知sin(75°＋α)＝1

3，则cos(15°－α)的值为( )

A．－1

B.13

3 C．－223

D.22

3

1ππ

4．已知cos(π＋α)＝－，求cos(＋α)的值． 5．已知cos(－θ)＝a(|a|≤1)．

226

考点三：利用诱导公式化简或证明

[例3] (12分)已知

π3π

cos＋α·cos2π－α·sin－α＋22

f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α

3π

sin－π－α·sin＋α

23π1

－)＝，求f(α)的值． 25

6．化简

tan2π－αsin－2π－αcos6π－α7．求证：＝－tan α.

3π3π

sinα＋cosα＋22

1＋2sin 280°·cos 440°

的结果是________．

sin 260°＋cos 800°

课后练习：

1．tan 690°的值为( ) A．－

33 B.3

3

C.3

D．－3

2．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π

4＋α)的值等于( )

A.223

B．－233 C.13

D．－1

3

3.1－2sinπ＋2cosπ－2等于( ) A．sin 2－cos 2

B．sin 2＋cos 2 C．±(sin 2－cos 2) D．cos 2－sin 24．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( A．－2a B．－3a C.2a

D.3a

323

2

5．已知角α的终边上一点P(3a,4a)(a＜0)，则cos(540°－α)的值是________． 6．若cos(π6－α)＝－15

3，则cos(6π＋α)＝________.

7．(1)已知sin(π＋α)＝－1

3，求cos(5π＋α)的值；

(2)已知sin(π3＋α)＝－12，求sin(α－5π

3)的值；

(3)已知cos(π6＋α)＝33，求cos(7π

6＋α)的值．

8．设tan(α＋8π

7

)＝m，

sin15π＋α＋3cosα－13π求证：77m＋3

sin20π22π＝.

7－α－cosα＋m＋17



)

1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象

1．正弦曲线

正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．

2．正弦函数图象的画法：五点法

画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点 ， ， ， ( ， ，用平滑的曲线连接．

3．余弦曲线

余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．

4．余弦函数图象的画法

用“五点法”：画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为 ， ， ， ， ，再用光滑的曲线连接．

考点一：用“五点法”作函数的图象

[例1] 画下列函数的简图： (1)y＝1＋cos x，x∈[0,2π]； (2)y＝－sin x，x∈[0,2π]．

1．作出函数y＝1－cos x的图象．

2．作出函数y＝1－sin2x的图象．

考点二：三角函数图象的应用

1

[例2] 写出使sin x≥(x∈R)成立的x的取值集合．

2

3．方程lg x＝sin x的实根的个数为________．

4．函数y＝2cos x－2的定义域是________．

5．求函数y＝lg(3－2sin x)的定义域． . 课后练习

1．以下对正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是( ) A．在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同 B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间

C．关于x轴对称 D．与y轴仅一个交点 2．下列函数图象相同的是( )

A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(π＋x) B．f(x)＝sinx－π2与g(x)＝sinπ

2－x C．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(－x) D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin x

3．用五点法作y＝2sin 2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是(A．0，π2，π，3π

2，2π

B．0，π4，π3π

2，4，π

C．0，π，2π，3π，4π

D．0，πππ4，3，2，2π

3

4．函数y＝－sin x，x∈[－π3π

2，2

]的简图是( )

)

5．方程x2＝cos x的实根的个数是________．

6．设0≤x＜2π且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为________． 7．作出函数y＝2＋cos x，x∈[0,2π]的简图．

8．已知直线y＝a，函数y＝sin x，x∈[0,2π]，试探求以下问题： (1)当a为何值时，直线与函数图象只有一个交点？ (2)当a为何值时，直线与函数图象有两个交点？ (3)当a为何值时，直线与函数图象有三个交点？ (4)当a为何值时，直线与函数图象无交点？

1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质

1．函数的周期性

(1)对于函数f(x)，如果存在一个 ，使得当x取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f(x)就叫周期函数， 叫做这个函数的周期．

(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．

2．正、余弦函数的周期性

正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数， (k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为 .

3、正余弦函数性质 正弦、余弦函数的奇偶性

正弦函数是 ，余弦函数是 . 正、余弦函数的单调性

正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从1减小到－1.

余弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从1减小到－1.

正弦函数和余弦函数的最值

(1)正弦函数当且仅当 时，取得最大值1；当且仅当 时，取得最小值－1.

(2)余弦函数当且仅当 时取得最大值1；当且仅当 时，取得最小值－1.

第一课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性

考点一：函数的周期

[例1] 求下列函数的周期：

1xπ(1)y＝sinx； (2)y＝2sin(－)．

236

π2π

1．函数y＝sin(ωx＋)(ω＞0)的周期是，则ω＝________.

43

π

2．求下列函数的周期：(1)y＝sin(2x＋)； (2)y＝|sin 2x|.

6

考点二：奇偶性的判断

[例2] 判断下列函数的奇偶性：

1－cos x

(1)f(x)＝xsin(π＋x)； (2)f(x)＝.

sin x

3．若函数y＝2sin(ωx＋φ)是偶函数，则φ可能等于( ) πππA. B. C. 632215π

4．函数f(x)＝7sin(x＋)是( )

32

A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的偶函数 4π

C．周期为3π的奇函数 D．周期为的偶函数

35．判断下列函数的奇偶性．

1＋sin x－cos2x

(1)f(x)＝sin xcos x; (2)f(x)＝.

1＋sin x

考点三：函数周期性与奇偶性的应用

D．π

ππ17

[例3] (12分)若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f()＝1，求f(－π)的值．

236

6．设f(x)是以4为周期的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x，则f(7.6)＝________.

9

7．若f(x)是奇函数，且f(x＋1)＝－f(x)，当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，求f()的值．

2

课后练习：

π

1．下列函数中，周期为的是( )

2

xx

A．y＝sin B．y＝sin 2x C．y＝cos

242 013

2．函数y＝sin(π－x)是( )

2A．奇函数

B．偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

D．y＝cos 4x

C．非奇非偶函数

π

3．设函数f(x)＝sin(2x－)，x∈R，则f(x)是( )

2

A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 ππ

C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数

22

4．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当

π5π

x∈[0，]时，f(x)＝sin x，则f()＝ ( )

23

1A．－

2

13B. C．－ 22D.3

25．已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，且f(1)＝1，则f(5)＝________. π

6．若函数f(x)＝2cos(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大

3值是________．

π

7．定义域为R的偶函数f(x)的最小正周期是π，当x∈[0，]时，f(x)＝sin x.

2π

(1)求x∈[，π]时，f(x)的解析式；

2(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；

ππ3π

8．有两个函数f(x)＝asin(kx＋)，g(x)＝bcos(2kx－)(k＞0)，它们的周期之和为，且332ππππ

f()＝g()，f()＝－3·g()＋1，求k，a，b. 2244

第二课时 正弦、余弦函数的单调性与最值

考点四：正、余弦函数的单调性

π

[例1] 求函数y＝2sin(x－)的单调区间．

3

π

1．已知函数y＝cos(－2x)，则它的单调减区间为________．

3ππ

2．求函数y＝sin(x－)的单调递增区间．

46

考点五：比较三角函数值的大小

[例2] 比较下列各组数的大小．

π13π

(1)cos(－)与cos； (2)sin 194°与cos 160°.

87

3．若α、β均为锐角，且sin α＞cos β，则( ) A．α＞β

4．比较下列各组函数值的大小．

ππ

B．α＜β C．α＋β＞ D．α＋β＜ 22

21π42π1(1)sin，sin； (2)sin，cos 5.

555

[例3] (12分)求下列函数的值域： ππ

(1)y＝cos(x＋)，x∈[0，]； (2)y＝cos2x－4cos x＋5.

62

π

5．函数y＝cos(2x－)在x＝________时，取到最大值________．

3m－1π2π

6．若sin α＝，α∈[－，]，则m的取值范围是________．

3637．求下列函数的最大值和最小值：

πππ

(1)y＝2sin(2x＋)(－≤x≤)； (2)y＝2cos2x＋5sin x－4.

366

课后练习：

正、余弦函数的值域与最值 ππ

1．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是( )

42π

A．y＝sin(2x＋)

2

πππ

B．y＝cos(2x＋) C．y＝sin(x＋) D．y＝cos(x＋)

222

π

2．函数f(x)＝3sin(x＋)在下列区间内递减的是( )

6ππ

A．[－，]

22

2π2π

B．[－π，0] C．[－，]

33

π2π

D．[，]

23

3．下列关系式中正确的是( )

A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°

ππ

4．设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ＋)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为π，且是偶函数，则( )

42ππ3π

A．f(x)在(0，)单调递减 B．f(x)在(，)单调递减

244ππ3π

C．f(x)在(0，)单调递增 D．f(x)在(，)单调递增

244

5．已知偶函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为π，则f(x)的单调递增区间是________．

6．sin 300°、sin(－310°)、sin 790°三个数值从小到大的排列顺序为________． ππ

7．已知函数f(x)＝2asin(2x＋)＋a＋b的定义域是[0，]，值域是[－5,1]，求a，b的值．

628．求下列函数的定义域、值域及单调递增区间．

π1

(1)y＝2sin(－x)； (2)y＝logsin x.

42