材料力学答案

凝土柱的横截面为正方形，如图所示。若柱的自重为G90kN，并承受F200kN的偏心

压力，压力F通过z轴。当柱的底部横截面A点处的正应力A与B点处的正应力B之间的关系为A2B，求压力F的偏心距e及应力A、B。 A

y 2m 2m B O e A z 1. 求柱底横截面的内力

FNGF90200290kNMyFe200ekN.m

2. 求偏心距e

MyFNMyF,BN,又A2BAWyAWyFNMyFNMy2 AWyAWy363629010200e1029010200e10 232210633221062103210

66 e0.161m



3. 求应力σA、σB

FNMy2901032000.161106A0.0966MPa33AWy22106210BFN29010AWy22106My362000.161106

0.0483MPa210633

矩形截面悬臂梁左端为固定端，受力如图所示，图中尺寸单位为mm，若已知FP1=60kN，FP2=4kN，求固定端处横截面上A、B、C、D四点的正应力。

z y

1. 求固定端横截面的内力

FNFP160kNMzFP10.02600.021.2kN.m MyFP21.241.24.8kN.m

2. 求A、B、C、D四点的正应力

4.8106120200264.8106120200264.8106120200264.8106120200266MPaFNMzMy601031.2106AAWzWy2001202001202

6 FNMzMy601031.2106BAWzWy2001202001202

6

FNMzMy601031.2106CAWzWy2001202001202

6

FNMzMy601031.2106D AWzWy20012020012026

6MPa

11MPa1MPa 图示悬臂梁中，集中力FP1和FP2分别作用在铅垂对称面和水平对称面内，并且垂直于梁的

轴线，如图所示。已知FP1=800N，FP2=，l=1m，许用应力[σ]=160MPa。试确定以下两种情形下梁的横截面尺寸：(1) 截面为矩形，h=2b；（2）截面为圆形。

1. 外力分析

悬臂梁属于斜弯曲

z

FP1l y

2. 分类画内力图

固定端截面为危险截面，内力为：

MzFP1l8001800N.m0.8kN.mMyFP22l1.623.2kN.mMz

My 2FP2l4. 求矩形的h和b

maxMzMy,又h2bWzWy3. 求圆形的d

2M总Mz2My0.823.223.298kN.mMzMy 22bhhb660.81063.2106 16022b(2b)2bb66b40.7mm, h2b81.4mmmaxM总WzM 总3d323.298106 1603d32 d59.4mm8. 4 试求图a和b中所示之二杆横截面上最大正应力及其比值。

FN Mzz amaxbmax

1. 求图(a)中的最大正应力

3a1eaa,MzFPeFPa,又FNFP,则4441FPaFNMzFP4FP amax423AWz3a23aaaa2262. 求图( b)中的最大正应力

bmaxFNFP2 Aa3. 求图(a)和图(a)中最大正应力的比值

4FP243a FP3a28. 5正方形截面杆一端固定，另一端自由，中间部分开有切槽。杆自由端受有平行于杆轴线的纵向力FP。若已知FP=1kN，杆各部分尺寸如图中所示。试求杆内横截面上的最大正应力，并指出其作用位置。

MzzFP A y My FN

1. 中间开有切槽的横截面危险

FNFP1kNMzFP2.512.52.5kN.mm MyFP5155kN.mm2. 求最大的正应力

max FNMzMyAWzWyFNMzMy 2hb2bhbh 6611032.51035103 2105510210566 140MPa最大的正应力作用在图中横截面的A点。

铁道路标圆信号板装在外径D=60mm的空心圆柱上，结构尺寸如图。信号板所受风压

p=2kN/m2，材料许用应力[σ]=60MPa。试按第三强度理论选定空心圆柱壁的厚度。

F m

0.8F M 0.6F

T1. 外力分析

4mF0.6392.70.6235.6Nm空心圆柱属于弯扭组合变形。

FpA21030.52392.7N

2. 分类画内力图

空心圆柱底部截面为危险截面，内力为：

MF0.8392.70.8314.2NmTm235.6Nm

M2T2

r3Wz

314.22235.62103

60 3

60 14

32

0.91

dD0.916054.6mm Dd6054.6t2.7mm 22

3. 按第三强度理论计算空心圆柱壁的厚度t



图示钢轴AB上有两齿轮C、D。轮C上作用有沿铅垂方向的切向力Fl =50kN，轮D上的切向

力沿水平方向。轮C的直径dC = 300mm，轮D直径dD=150mm，轴的许用应力[σ]=100MPa，工作时AB圆轴作匀角速转动。试用第三强度理论设计轴径d。

2. 外力分析

m1m2dCdF2D2230015050F222F2100kNF1x

y z A m1 F1 m2 F2D C B m1500.37.5kNm2传动轴属于弯扭组合变形。

F1 x y

3. 分类画内力图

MC5.62523.7526.76kNmMD1.87511.2511.405kNm22

所以D截面为危险截面。

Mz kNm

z A

C F2 D x B kNm

My4. 按第三强度理论计算轴径d

r3m22Mz2MyT2Wz100

y z A

Tm11.875211.2527.52106C D x d332 d112mmB

kNm 

折杆ABC如图所示。材料的许用应力[σ]=120MPa。试按形状改变比能理论校核AB杆上A

截面的强度。

1. 外力分析

m1P10.310.30.3kNmm2P30.330.30.9kNm

AB杆属于拉弯扭组合变形。

2. 分类画内力图 A截面的内力为：

FN3kNMz0.4kNm

FN kN

My0.5kNmT0.3kNm3

。 3. 按第四强度理论校核强度

r4232F N2MM3T2z2y2 MzkNm

四、计算题

图示两端球形铰支细长压杆，弹性模量E=200GPa。试用欧拉公式计算其临界载荷。

（1）圆形截面，d=30mm，l=1.2m； （2）矩形截面，h=2b=50mm，l=1.2m； （3）字钢，l=2.0m。

F

d （1） 临界载荷 d4304223E200102EI z646454.5103N54.5kNFcr222l l11.2103

b l h

（2） 临界载荷

hb350253223

2EIminE122001012Fcr89.1103N89.1kN2 22l l11.2103



（3） 临界载荷

2EIminFcr,查表得Imin93.1cm42l220010393.1104Fcr

121032459103N459kN

图示压杆的材料都是Q235钢，截面都是圆形截面，弹性模量E=200GPa，直径均为d=160mm，求各杆的临界压力。 (a (b (c

5m F F 7m F 9m F （a） 临界载荷

22EIzE6420010643Fcr254010N2540kN （22b） 临界载荷 32ll41510 d1604223E200102 EIz6464 F2644103N2644kN cr2223（c） 临界载荷 ll0.7710 44d160223 2EIzE6420010643 Fcr313510N3135kN 2232ll0.5910

图示铰接杆系ABC中，AB和BC皆为细长压杆，且截面相同，材料一样。若因在ABC平面

内失稳而破坏，并规定0

d42316042,试确定F为最大值时的角。

F 90 F   90FN1 F N2

β （1） 求两杆的轴力

FN1Fcos FN2Fsin

（2） 求两杆的临界压力

22EIEI Fcr1l12lcos2

Fcr22EI2EI2l2lsin2

（3） 当两杆的实际轴力等于临界压力时，载荷F最大。

FN1Fcr1,FN2Fcr2,即2EIFcos-----（-a）2lcos2EIFsin-----（-b） 2lsin（a）（b）得 ctgtan2

arcctg(tan2)

图示蒸汽机活塞杆AB承受压力F =120kN，杆长l =1.8m，杆的横截面为圆形，直径 d=75mm。

材料为 Q275钢，E=210GPa，σp=240MPa。规定稳定安全因数nst=8, 试校核活塞杆的

稳定性。活塞杆可简化为两端铰约束。

F

F

F

1.求，p11.8103 9675i4 l2E2210103 p93p2402.求cr p,2E2210103 cr2225MPa296

图示托架中杆AB的直径d=40mm。长度l=800mm。两端可视为球铰链约束，材料为Q235钢。

试：

（1）求托架的临界载荷。

（2）若已知工作载荷FP=70kN，并要求杆AB的稳定安全因数［n］st=，校核托架是否安

全。

（3）若横梁为普通热轧工字钢，［σ］=160MPa，则托架所能承受的最大载荷有没有变

化

Fcx α Fcy α Fcr

一1.求 li1800804042.求cr p, crab3041.1280214.4MPa3.求Fcr FcrcrA214.44024269000N269kN

二1.当FP70kN时，求FNAB MC0 FP900FNABsin6000 sin FNAB2.校核 nstFcr2691.7nstFNAB158.8529800158.8kN 托架不稳定。三横梁属于拉伸与弯曲组合变形1.求FCx、FCy、FNAB MC0 FP900FNABsin6000 X0 FCxFNABcos0 Y0 FCyFPFNABsin0 sinFNAB529600,cos8008002.268FP,FCx1.701FP,FCy0.5FP 2.作横梁的内力图 (N) 由内力图知B截面危险。 3.求FP

图示结构中，梁与柱的材料均为Q235钢E=200GPa，σs=240MPa。均匀分布载荷集度 q=24kN

／m。竖杆为两根 63mm63mm5mm的等边角钢（连结成一整体）。试确定梁与柱的工作安全因数。 四、计算题

图示两根圆截面直杆，一为等截面杆，一为变截面杆，材料相同，试求两杆的弹性变形能。

2d d d 2d 2F2l图a:UEd27F2l图b:U 28Ed F F （a） （b）

图示受均布扭力矩me作用的圆截面轴。设轴长为l，直径为d，材料的切变模量为G，试求轴的弹性变形能。

me d 3l/8 l/4 3l/8 l l 16mel3U 43Gd 2

试计算下列图示梁的弹性变形能。

A EI l q B C

l/2

3q2l5U 1280EI 用莫尔定理计算图示梁中C截面的挠度和A截面的转角，EI已知。

A 2a q B C

a

1qa48EI1Aqa3

6EI wC 图示桁架中，各杆的拉压刚度均为EA，试求C点的铅垂位移和B点的水平位移。

D 3030A C a B CyBx10F a 39Fa 6EA

3Fa EA

试用莫尔定理计算图示刚架A截面的转角和A、B二截面的相对转角。设EI为常数。

a B F a C Fa2A 4EIA/B0 A 2a

计算图示刚架A、B两点之间的相对位移。EI为常数。 A F F B

h C aD

2Fh3Fah2AB3EIEI