数列（2）
理数
1. (2014广东,19,14分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15. (1)求a1,a2,a3的值; (2)求数列{an}的通项公式.
[解析] 1.(1)依题有解得a1=3,a2=5,a3=7. (2)∵Sn=2nan+1-3n2-4n,①
∴当n≥2时,Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).②
①-②并整理得an+1=.
由(1)猜想an=2n+1,下面用数学归纳法证明. 当n=1时,a1=2+1=3,命题成立; 假设当n=k时,ak=2k+1命题成立.
则当n=k+1时,ak+1=
=
=2k+3=2(k+1)+1,
即当n=k+1时,结论成立. 综上,∀n∈N*,an=2n+1.
第1页 / 共 5页
2.(2014课标全国卷Ⅱ,17,12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(Ⅰ)证明是等比数列,并求{an}的通项公式;
(Ⅱ)证明++…+<.
[解析] 2.(Ⅰ)由an+1=3an+1得an+1+=3.
又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.
an+=,因此{an}的通项公式为an=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知=.
因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.
于是++…+≤1++…+=<.
所以++…+<.
3.（2013广东，19,14分）设数列{an}的前n项和为Sn. 已知a1=1, (1) 求a2的值;
(2) 求数列{an}的通项公式;
=an+1-n2-n-, n∈N*.
第2页 / 共 5页
(3) 证明: 对一切正整数n, 有++…+< . 3.
答案和解析
理数
[答案] 1.查看解析
[解析] 1.(1)依题有解得a1=3,a2=5,a3=7. (2)∵Sn=2nan+1-3n2-4n,①
∴当n≥2时,Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).②
①-②并整理得an+1=.
由(1)猜想an=2n+1,下面用数学归纳法证明. 当n=1时,a1=2+1=3,命题成立; 假设当n=k时,ak=2k+1命题成立.
则当n=k+1时,ak+1=
=
=2k+3=2(k+1)+1,
即当n=k+1时,结论成立.
第3页 / 共 5页
综上,∀n∈N*,an=2n+1. [答案] 2.查看解析
[解析] 2.(Ⅰ)由an+1=3an+1得an+1+=3.
又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.
an+=,因此{an}的通项公式为an=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知=.
因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.
于是++…+≤1++…+=<.
所以++…+<.
[答案] 3.(Ⅰ) 依题意, 2S1=a2--1-, 又S1=a1=1, 所以a2=4;
(Ⅱ) 当n≥2时, 2Sn=nan+1-n3-n2-n,
2Sn-1=(n-1) an-(n-1) 3-(n-1) 2-(n-1)
两式相减得2an=nan+1-(n-1) an-(3n2-3n+1) -(2n-1) -,
整理得(n+1) an=nan+1-n(n+1), 即-=1, 又-=1,
第4页 / 共 5页
故数列是首项为=1, 公差为1的等差数列,
所以=1+(n-1) ×1=n, 所以an=n2.
(Ⅲ) 当n=1时, =1< ;
当n=2时, +=1+=< ;
当n≥3时, =< =-, 此时
++…+=1++++…+< 1++++…+
=1++-=-<
综上, 对一切正整数n, 有++…+< . 3.
第5页 / 共 5页
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容