专题二：动力学临界极值问题

1．当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件．用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键． 2．临界或极值条件的标志

(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；

(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；

(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点； (4)若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度． 3．动力学中的典型临界条件

(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN＝0.

(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．

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(3)绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：FT＝0.

(4)加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a＝0时．

例1 如图所示，质量为m＝1 kg的物块放在倾角为θ＝37°的斜面体上，斜面体质量为M＝2 kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为μ＝，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物块m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围．(sin 37°＝，cos 37°＝，g＝10 m/s2)

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!

例2 如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为mA＝6 kg，mB＝2 kg，A、B之间的动摩擦因数μ＝，开始时F＝10 N，此后逐渐增加，在增大到45 N的过程中，则( ) A．当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态

B．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N时，开始相对运动 C．两物体从受力开始就有相对运动 D．两物体始终没有相对运动

质疑与反思：

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（1）、若mA=2Kg，mB=6Kg，则：

（2）、若F作用于B物体，则：

变式训练1如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m和3m的三个木块，其中质量为2m和3m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为FT.现用水平拉力F拉质量为3m的木块，使三个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是( ) A．质量为2m的木块受到四个力的作用 B．当F逐渐增大到FT时，轻绳刚好被拉断 C．当F逐渐增大到时，轻绳还不会被拉断

D．当轻绳刚要被拉断时，质量为m和2m的木块间的摩擦力为FT

变式训练2如图所示，水平桌面光滑，A、B物体间的动摩擦因数为μ(可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，A物体质量为2m，B和C物体的质量均为m，滑轮光滑，砝码盘中可以任意加减砝码．在保持A、B、C三个物体相对静止共同向左运动的情况下，BC间绳子所能达到的最大拉力是( ) |

1

A．.2μmg B．μmg

C．2μmg

变式训练3光滑水平面上并排放置质量分别为m1＝2 kg、m2＝1 kg的两物块，t＝0时刻同时施加两个力，其中F1＝2 N、F2＝(4－2t) N，方向如图所示．则两物块分离的时刻为( ) A．1 s

变式训练4一弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为m1＝4 kg的物块P，Q为一重物，已知Q的质量为m2＝8 kg，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600 N/m，系统处于静止，如图所示．现给Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前 s时间内，F为变力， s以后，F为恒力，求：力F的最大值与最小值．(sin 37°＝，g＝10 m/s2)

B． s

C．2 s

D． s

D．3μmg

#

专题二：动力学中的临界极值问题

1．当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件．用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键． 2．临界或极值条件的标志 《

(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点； (2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态； (3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点；

(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度． 3．动力学中的典型临界条件

(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN＝0.

(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．

(3)绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：FT＝0.

(4)加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a＝0时．

例1 如图所示，质量为m＝1 kg的物块放在倾角为θ＝37°的斜面体上，斜面体质量为M＝2 kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为μ＝，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物块m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围．(sin 37°＝，cos 37°＝，g＝10 m/s2) |

审题指导 此题有两个临界条件：当推力F较小时，物块有相对斜面向下运动的可能性，此时物块受到的摩擦力沿斜面向上；当推力F较大时，物块有相对斜面向上运动的可能性，此时物块受到的摩擦力沿斜面向下．找准临界状态是求解此题的关键．

解析 (1)设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F1，此时物块受力分析如图所示，取加速度的方向为x轴正方向． 对物块，

水平方向有FNsin θ－μFNcos θ＝ma1 竖直方向有FNcos θ＋μFNsin θ－mg＝0 对M、m整体有F1＝(M＋m)a1 代入数值得：a1＝ m/s2，F1＝ N

(2)设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F2，对物块受力分析如图，在水平方向有 FN′sin θ＋μFN′cos θ＝ma2

竖直方向有FN′cos θ－μFN′sin θ－mg＝0 ）

对整体有F2＝(M＋m)a2

代入数值得a2＝ m/s2，F2＝ N

综上所述可知推力F的取值范围为： N≤F≤ N 答案 N≤F≤ N

例2 如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为mA＝6 kg，mB＝2 kg，A、B之间的动摩擦因数μ＝，开始时F＝10 N，此后逐渐增加，在增大到45 N的过程中，则( ) A．当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态

B．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N时，开始相对运动 C．两物体从受力开始就有相对运动 D．两物体始终没有相对运动

答案 D @

解析 当A、B间的静摩擦力达到最大静摩擦力，即滑动摩擦力时，A、B才会发生相对运动．此时对B有：Ffmax

＝μmAg＝12 N，而Ffmax＝mBa，a＝6 m/s2，即二者开始相对运动时的加速度为6 m/s2，此时对A、B整体：F＝(mA＋mB)a＝48 N，即F>48 N时，A、B才会开始相对运动，故选项A、B、C错误，D正确．

质疑与反思：

(1)、若mA=2Kg，mB=6Kg，则： (2)、若F作用于B物体，则：

变式训练1如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m和3m的三个木块，其中质量为2m和3m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为FT.现用水平拉力F拉质量为3m的木块，使三个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是( ) A．质量为2m的木块受到四个力的作用 B．当F逐渐增大到FT时，轻绳刚好被拉断 C．当F逐渐增大到时，轻绳还不会被拉断

D．当轻绳刚要被拉断时，质量为m和2m的木块间的摩擦力为FT

答案 C

解析 质量为2m的木块受重力、地面的支持力、轻绳的拉力、木块m的压力和摩擦力五个力作用，选项A错误；当轻绳达到最大拉力FT时，对m和2m整体，FT＝3ma，再对三个木块整体，F＝(m＋2m＋3m)a，得到F

1

＝2FT，选项B错误，C正确；对木块m，由Ff＝ma，得到Ff＝3FT，选项D错误．

?

变式训练2如图所示，水平桌面光滑，A、B物体间的动摩擦因数为μ(可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，A物

体质量为2m，B和C物体的质量均为m，滑轮光滑，砝码盘中可以任意加减砝码．在保持A、B、C三个物体相对静止共同向左运动的情况下，BC间绳子所能达到的最大拉力是( )

μmg

B．μmg D．3μmg

C．2μmg

答案 B

解析 因桌面光滑，当A、B、C三者共同的加速度最大时，FBC＝mCa才能最大．这时，A、B间的相互作用力FAB应是最大静摩擦力2μmg，对BC整体来讲：FAB＝2μmg＝(mB＋mC)a＝2ma，a＝μg，所以FBC＝mCa＝μmg，选项B正确．

变式训练3光滑水平面上并排放置质量分别为m1＝2 kg、m2＝1 kg的两物块，t＝0时刻同时施加两个力，其中F1＝2 N、F2＝(4－2t) N，方向如图所示．则两物块分离的时刻为( ) A．1 s

B． s

C．2 s

D． s

答案 D

解析 两物块未分离时，设m1与m2之间的作用力为F，对m1：F－F1＝m1a；对m2：F2－F＝m2a.两个物块分离时，F＝0，即有：－F1＝m1a，F2＝m2a.代入数据得t＝ s，选项D正确．

变式训练4一弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为m1＝4 kg的物块P，Q为一重物，已知Q的质量为m2＝8 kg，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600 N/m，系统处于静止，如图所示．现给Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前 s时间内，F为变力， s以后，F为恒力，求：力F的最大值与最小值．(sin 37°＝，g＝10 m/s2) $

解析 从受力角度看，两物体分离的条件是两物体间的正压力为0.从运动学角度看，一起运动的两物体恰好分离时，两物体在沿斜面方向上的加速度和速度仍相等． 设刚开始时弹簧压缩量为x0

则(m1＋m2)gsin θ＝kx0 ①

因为在前 s时间内，F为变力， s以后，F为恒力，所以在 s时，P对Q的作用力为0，由牛顿第二定律知 kx1－m1gsin θ＝m1a ② 前 s时间内P、Q向上运动的距离为

1

x0－x1＝2at2 ③ ①②③式联立解得a＝3 m/s2

当P、Q开始运动时拉力最小，此时有 Fmin＝(m1＋m2)a＝36 N

当P、Q分离时拉力最大，此时有 Fmax＝m2(a＋gsin θ)＝72 N．