【专题诠释】
1．临界或极值条件的标志
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点．
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态．
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点． (4)若题目要求“最终加速度”“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度． 2．几种临界状态和其对应的临界条件
临界状态 临界条件 速度达到最大 物体所受的合外力为零 两物体刚好分离 两物体间的弹力FN＝0 绳刚好被拉直 绳中张力为零 绳刚好被拉断 【高考领航】
绳中张力等于绳能承受的最大拉力 【2019·江苏高考】如图所示，质量相等的物块A和B叠放在水平地面上，左边缘对齐。A与B、B与地面间的动摩擦因数均为μ。先敲击A，A立即获得水平向右的初速度，在B上滑动距离L后停下。接着敲击B，B立即获得水平向右的初速度，A、B都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至停下。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：
(1)A被敲击后获得的初速度大小vA；
(2)在左边缘再次对齐的前、后，B运动加速度的大小aB、aB′； (3)B被敲击后获得的初速度大小vB。
【2012·重庆理综】某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为x.比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v0时，再以v0做匀速直线运动跑至终点．整个过程中球一直保持在球拍中心不动．比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为θ0，如图所示．设球在运动中受到的空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g.
(1)求空气阻力大小与球速大小的比例系数k；
(2)求在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式；
(3)整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v0，而球拍的倾角比θ0大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件． 【方法技巧】．
处理临界问题的三种方法
把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴极限法 露出来，以达到正确解决问题的目的 临界问题存在多种可能，特别是有非此即彼两种可能时，假设法 或变化过程中可能出现临界条件、也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题 将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界数学法 条件 【最新考向解码】
【例1】(2019·安徽宣城高三上学期期末)质量为m＝1 kg、大小不计的物块，在水平桌面上向右运动，经过O点时速度为v＝4 m/s，此时对物块施加F＝6 N的方向向左的拉力，一段时间后撤去拉力，物块刚好能回到O点。已知与桌面间动摩擦因数为μ＝0.2，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)此过程中物块到O点的最远距离； (2)撤去F时物块到O点的距离。
【例2】(2019·湖北黄冈中学模拟)如图所示，水平地面上有一车厢，车厢内固定的平台通过相同的弹簧把相 同的物块A、B压在竖直侧壁和水平的顶板上，已知A、B与接触面间的动摩擦因数均为μ，车厢静止时， 两弹簧长度相同，A恰好不下滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.现使车厢沿水平方向加速 运动，为保证A、B仍相对车厢静止，则 ( )
A．速度可能向左，加速度可大于(1＋μ)g B．加速度一定向右，不能超过(1－μ)g C．加速度一定向左，不能超过μg D．加速度一定向左，不能超过(1－μ)g
【例3】(2019·辽宁葫芦岛六校联考)如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可 视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑．若让该小木块从木板的底端以大小恒定的初速率v0沿木板 向上运动，随着θ的改变，小木块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度为g.
(1)求小木块与木板间的动摩擦因数；
(2)当θ角为何值时，小木块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值．
【微专题精练】
1.如图所示，质量m＝2 kg的小球用细绳拴在倾角θ＝37°的光滑斜面上，此时，细绳平行于斜面．g取10 m/s2. 下列说法正确的是 ( )
A．当斜面以5 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力为20 N B．当斜面以5 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力为30 N C．当斜面以20 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力为40 N D．当斜面以20 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力为60 N
2.(2019·河北衡水中学二调)如图所示，在光滑水平面上有一辆小车A，其质量为mA＝2.0 kg，小车上放一个物体B，其质量为mB＝1.0 kg.如图甲所示，给B一个水平推力F，当F增大到稍大于3.0 N时，A、B开始相对滑动．如果撤去F，对A施加一水平推力F′，如图乙所示．要使A、B不相对滑动，则F′的最大值Fmax为( )
A．2.0 N C．6.0 N
B．3.0 N D．9.0 N
3.如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg的恒力F向上拉B，运动距离h时，B与A分离．下列说法正确的是( )
A．B和A刚分离时，弹簧长度等于原长 B．B和A刚分离时，它们的加速度为g mg
C．弹簧的劲度系数等于 D．在B与A分离之前，它们做匀加速直线运动
h
4.如图所示，悬挂于O点的轻质弹簧，劲度系数k＝100 N/m，其下端拴一质量m＝1 kg的小物体A，紧挨物体A有一质量M＝2 kg的物体B，现对B施加一个竖直向上、大小为38 N的力F，系统处于静止状态，现突然改变力F的大小，使物体A、B以加速度a＝2 m/s2匀加速下降，直到A、B两物体分离，取g＝10 m/s2，则( )
A．两物体刚开始匀加速下降时，力F大小为8 N B．两物体分离时，弹簧刚好恢复原长 C．改变力F的大小后经0.4 s A、B两物体分离
D．从改变力F到两物体分离的过程中，系统克服力F做的功为3.84 J
5.(2019·陕西宝鸡中学月考)不可伸长的轻绳跨过质量不计的滑轮，绳的一端系一质量M＝15 kg的重物，重物静止于地面上，有一质量m＝10 kg的小猴从绳的另一端沿绳上爬，如图所示，不计滑轮摩擦，在重物不离开地面的条件下，小猴向上爬的最大加速度为(g取10 m/s2)
( )
A．5 m/s2 C．15 m/s2
B．10 m/s2 D．25 m/s2
6.如图(a)，一物块在t＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v -t图线如图(b)所示．若重力加速 度及图中的v0、v1、t1均为已知量，则可求出 ( )
A．斜面的倾角 B．物块的质量
C． 物块与斜面间的动摩擦因数 D．物块沿斜面向上滑行的最大高度
7.如图所示，水平面上有一个足够长的木板A, 上面叠放着物块B.已知A、B的质量均为m，A与地面间动 摩擦因数μ1＝0.2, A与B间动摩擦因数μ2＝0.1，重力加速度g取10 m/s2，若给A板一个水平向右的初速度，在以后的运动过程中，A、B加速度的大小可能为
( )
A．aA＝5 m/s2, aB＝1 m/s2 B．aA＝2 m/s2, aB＝2 m/s2 C．aA＝3 m/s2, aB＝1 m/s2 D．aA＝1 m/s2, aB＝1 m/s2
8.(2019·安徽芜湖、马鞍山质检)两物体A、B并排放在水平地面上，且两物体接触面为竖直面，现用一水平 推力F作用在物体A上，使A、B由静止开始一起向右做匀加速运动，如图(a)所示，在A、B的速度达到6 m/s时，撤去推力F.已知A、B质量分别为mA＝1 kg、mB＝3 kg，A与地面间的动摩擦因数μ＝0.3，B与地 面间没有摩擦，B物体运动的vt图象如图(b)所示．g取10 m/s2，求：
(1)推力F的大小．
(2)A物体刚停止运动时，物体A、B之间的距离．
9．(2019·成都龙泉二中月考)一平台的局部如图甲所示，水平面光滑，竖直面粗糙，物体B与竖直面动摩擦 因数μ＝0.5，右角上固定一定滑轮，在水平面上放着一质量mA＝1.0 kg、大小可忽略的物块A，一轻绳绕过 定滑轮，轻绳左端系在物块A上，右端系住物块B，物块B质量mB＝1.0 kg，物块B刚好可与竖直面接触．起 始时令两物体都处于静止状态，绳被拉直，设物体A距滑轮足够远，台面足够高，最大静摩擦力等于滑动 摩擦力，忽略滑轮质量及其与轴之间的摩擦，g取10 m/s2，求：
(1)同时由静止释放A、B，经t＝1 s，则A的速度多大；
(2)同时由静止释放A、B，同时也对物块B施加力F，方向水平向左，大小随时间变化规律如图乙所示，求物块B运动过程中的最大速度和物块B经多长时间停止运动．
10.如图所示，一儿童玩具静止在水平地面上，一个幼儿用沿与水平面成30°角的恒力拉着它沿水平面运动， 已知拉力F＝6.5 N，玩具的质量m＝1 kg，经过时间t＝2.0 s，玩具移动了距离x＝23 m，这时幼儿松开手， 玩具又滑行了一段距离后停下．g取10 m/s2，求：
(1)玩具与地面间的动摩擦因数； (2)松开手后玩具还能运动多远？
(3)幼儿要拉动玩具，拉力F与水平面夹角多大时，最省力？
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