专题二：动力学临界极值问题

1.

状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，

状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件.

当物体的运动从一种这个转折点所对应的 用变化的观点正确分

析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的 关键.

2. 临界或极值条件的标志

⑴ 有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着

临界点；

(2) 若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程 存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；

(3) 若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存 在着极值，这个极值点往往是临界点；

(4) 若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度.

3. 动力学中的典型临界条件

(1)

条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力

接触与脱离的临界FN= 0.

(2) 相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时， 常存在着静摩擦力，则相 对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值.

(3) 绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临 界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：

FT= 0.

(4)加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为 a= 0时.

[例 1 如图所示，质量为mi= 1 kg的物块放在倾角为= 37°的斜面体上，斜面体质量为

M= 2 kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为 [1 = 0.2，地面光滑，现对斜面体施 水平推力F，要使物块m相对斜面静止，试确定推力 F的取值范围. (sin

2

0.6，cos 37 °= 0.8，g= 10 m/s )

【例2】如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为6 kg， m>= 2 kg，A B之间的动摩擦因数 二0.2，开始时F= 10 N，此后逐渐增加，在增大到

9

i

45 N的过程中，则

A.当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态 B•两物体开始没有相对运动，当拉力超过 C•两物体从受力开始就有相对运动

()

A B 12 N时，开始相对运动

D.两物体始终没有相对运动

(1) 、若 m=2Kg, mB=6Kg,贝

U:

(2) 、若F作用于B物体，则: 【变式训练1如图所示，光滑水平面上放置质量分别为 为 F

质疑与反思:

m 2m和3m的三个木块，其中质量

2m和3m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为FT.现用水平拉力 拉质量为3m的木块，使三个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是口

2m

■

A.质量为2m的木块受到四个力的作用

B.当F逐渐增大到FT时，轻绳刚好被拉断

C•当F逐渐增大到1.5FT时，轻绳还不会被拉断

D.当轻绳刚要被拉断时，质量为 m和2m的木块间的摩擦力为FT

【变式训练2如图所示，水平桌面光滑，A、B物体间的动摩擦因数为 叽可认为最大静摩擦

力等于滑动摩擦力A物体质量为2m B和C物体的质量均为m滑轮光滑，砝码盘中可

以任意加减砝码•在保持 A、B、C三个物体相对静止共同向左运动的情况下,

)，

) 能达到的最大拉力是

1

B.卩 mg A. . 2 mg

C. 2 卩 D. 3 卩

mg mg 【变式训练3光滑水平面上并排放置质量分别为 m= 2 kg、m= 1 kg的两物块，t = 0时刻同

时施加两个力，其中F— 2 N、F2= (4 — 2t) N,方向如图所示.则两物块分离的时刻为(恥

(

爪

7777777777777777777777777

A. 1 s

B. 1.5 s C. 2 s D. 2.5 s

【变式训练4一弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为 m= 4 kg

的物块P, Q为一重物，已知Q的质量为m= 8 kg，弹簧的质量不计，劲度系数k= 600 N/m, 系统处于静止，如图所示.现给 Q施加一个方向沿斜面向上的力 F,使它从 静止开始沿斜面向上做匀加速运动， 已知在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后，F为恒力，求：力F的最大值与最小值.(sin 37°= 0.6 ,g= 10 m/s2)

专题二：动力学中的临界极值问题

1.当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点， 这个转折点所对应的 状态

叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件. 用变化的观点正确分 析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的 关键.

2 •临界或极值条件的标志

⑴有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界 占； 八、、)

(2) 若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在 着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；

(3) 若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极 值，这个极值点往往是临界点；

⑷ 若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度.

3•动力学中的典型临界条件

(1)

件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力

接触与脱离的临界条FN= 0.

(2) 相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时， 常存在着静摩擦力，则相 对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值.

(3) 绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临

界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：

FT= 0.

(4) 加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为 a= 0时.

【例1 如图所示，质量为mi= 1 kg的物块放在倾角为9 = 37°的斜面体上，斜面体质量为

Mk 2 kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为 卩=0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力 F,要使物块m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围.(sin 37°= 0.6 , cos 37°= 0.8 ,

2

g= 10 m/s )

审题指导 此题有两个临界条件：当推力F较小时，物块有相对斜面向下运动的可能性, 此时物块受到的摩擦力沿斜面向上；当推力 F较大时，物块有相对斜面向上运动的可能 性，此时物块受到的摩擦力沿斜面向下•找准临界状态是求解此题的关键.

解析(1)设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为

如图所示，取加速度的方向为x轴正方向.

对物块， 水平方向有 FNsin 0 — ^FNCOS 0 = ma

竖直方向有 FNCOS 0 + uF©n 0 — mc= 0

对M m整体有Fi= ( M+ n) ai

代入数值得：ai = 4.8 m/s 2, Fi= 14.4 N

(2)设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为 水平方向有

FN sin 0 + cos 0 = ma

竖直方向有 FN cos 0 — UFN' sin 0 — mc= 0

对整体有F2= (M+ m)a2

代入数值得 a2= 11.2 m/s 2, F2= 33.6 N

Fi,此时物块受力分析

Fti £ 1 综上所述可知推力F的取值范围为：14.4 N < FW 33.6 N

答案 14.4 N < F< 33.6 N

【例2 如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为HA= 6 kg,

2 kg，A B之间的动摩擦因数 卩二0.2，开始时F= 10 N，此后逐渐增加，在增大到 45 N的过程中，则(

)

A. 当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态

A •——

B•两物体开始没有相对运动，当拉力超过

12 N时，开始相对运动

7777777777777777777777777

C•两物体从受力开始就有相对运动

D.两物体始终没有相对运动 答案 D

解析 当A、B间的静摩擦力达到最大静摩擦力，即滑动摩擦力时， A、B才会发生相对 运动.此时对B有：Ffmax = ymAg= 12 N,而Ffmax= mBa，a = 6 m/s，即二者开始相对运动

时的加速度为6 m/s2,此时对A、B整体：F= ( mA+ m)a=48 N，即F>48 N时，A、B才 会开始相对运动，故选项 A B C错误，D正确.

质疑与反思：

(1)、若 m=2Kg, mB=6Kg,贝U:

⑵

、若F作用于B物体，则:

【变式训练1】如图所示，光滑水平面上放置质量分别为 m 2m和3m的三个木块，其中质量 为FT.现用水平拉力 2m和3m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为 F拉质量为3m的木块，使三个木块以同一加速度运动, 则以下说法正确的是笛 ( 2m [) 3m r r ----- * A.质量为2m的木块受到四个力的作用 B. 当F逐渐增大到FT时，轻绳刚好被拉断

C•当F逐渐增大到1.5FT时，轻绳还不会被拉断

D.当轻绳刚要被拉断时，质量为 m和2m的木块间的摩擦力为FT 答案 C

解析 质量为2m的木块受重力、地面的支持力、轻绳的拉力、木块 m的压力和摩擦力 五个力作用，选项A错误；当轻绳达到最大拉力 FT时，对m和2m整体，FT= 3mq再对 三个木块整体，F= (m^ 2m+ 3m)a，得到F= 2FT,选项B错误，C正确；对木块 m由 1

Ff = ma得到Ff = §FT，选项D错误.

【变式训练2：如图所示，水平桌面光滑，A、B物体间的动摩擦因数为 叽可认为最大静摩擦 力等于滑动摩擦力),A物体质量为2m, B和C物体的质量均为m滑轮光滑，砝码盘中可 以任意加减砝码•在保持 A、B、C三个物体相对静止共同向左运动的情况下, 能达到的最大拉力是(

)

1

A.尹 mg

B.卩 mg

C. 2 卩 mg D. 3 卩 mg

答案 B

解析 因桌面光滑，当A、B、C三者共同的加速度最大时，FBC= ma才能最大.这时，A、 B间的相互作用力FAB应是最大静摩擦力2卩mg对BC整体来讲：FAB= 2卩mg= (RB+ me) a

=2ma a=^g,所以FBC= ma=卩mg选项B正确.

【变式训练3】光滑水平面上并排放置质量分别为 m= 2 kg、m= 1 kg的两物块，t = 0时刻同 时施加两个力，其中只=2 N、F2= (4 — 2t) N,方向如图所示.则两物块分离的时刻为( mi

77771777777777777777^7777

A. 1 s B. 1.5 s C. 2 s D. 2.5 s

答案 D

解析 两物块未分离时，设 m与m之间的作用力为F,对m： F— Fi= ma；对m： F2— F =ma.两个物块分离时，F= 0,即有：一 Fp ma, F2 = ma.代入数据得t = 2.5 s，选项 D正确.

【变式训练4一弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为 m= 4 kg

的物块P, Q为一重物，已知Q的质量为m= 8 kg,弹簧的质量不计，劲度系数k= 600 N/m, 系统处于静止，如图所示.现给 Q施加一个方向沿斜面向上的力 F,使它从静止开始沿斜 面向上做匀加速运动，已知在前 0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后，F为恒力，求：力 F的最大值与最小值.(sin 37 °= 0.6 , g= 10 m/s 2)

解析 从受力角度看，两物体分离的条件是两物体间的正压力为

0.从运动学角度看，一起

运动的两物体恰好分离时，两物体在沿斜面方向上的加速度和速度仍相等.

设刚开始时弹簧压缩量为X。

则(m+ m)gsin

kxo ①

因为在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后，F为恒力，所以在0.2 s时，P对Q的作 用力为0,由牛顿第二定律知

前

0.2 s时间内P、Q向上运动的距离为

亠

③

1 2

Xo— Xi = qat

R<7° 2

①②③式联立解得a = 3 m/s2

当P、Q开始运动时拉力最小，此时有

Fmin = (m + m) a = 36 N

当P、Q分离时拉力最大，此时有

Fmax= m( a+ gsin 0 ) = 72 N .