大兴区实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 已知函数f(x)的定义域为a,b，函数yf(x)的图象如图甲所示，则函数f(|x|)的图象是 图乙中的（ ）

2． 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为4cm，高为10cm，则一质点自点A出发，沿着三棱 柱的侧面，绕行两周到达点A1的最短路线的长为（ ）

A．16cm B．123cm C．243cm D．26cm

3． “m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的（ ）

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

4． 已知三个数a1，a1，a5成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{an}的前三 项，则能使不等式a1a2an11a1a21成立的自然数的最大值为（ ） anA．9 B．8 C.7 D．5

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

5． 已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），若f（1）＝1，f（b）＝－3，则f（5－b）＝（ ） 1

log，x＞1x＋1

a

ax－1，x≤1

1A．－

43C．－

41B．－

25D．－

4

6． 已知函数f(x)2sin(x)(0小距离为

2)与y轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最

，则使f(xt)f(xt)0成立的t的最小值为（ ）1111] 22A． B． C． D．

3632xy2„07． 已知实数x[1,1]，y[0,2]，则点P(x,y)落在区域x2y1„0 内的概率为（ ）

2xy2…0A.

3 4B.

3 8C.

1 4D.

1 8【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.

8． 一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ） A．6 B．3 C．1 D．2

9． 已知an=

*

（n∈N），则在数列{an}的前30项中最大项和最小项分别是（ ）

A．a1，a30 B．a1，a9 C．a10，a9 D．a10，a30

10．已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则x=（ ） A． 4 B． ﹣4 C． 2 D． ﹣2

二、填空题

11．设函数f（x）=

12．已知（1+x+x2）（x

n+

）（n∈N）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n= ．

则函数y=f（x）与y=的交点个数是 ．

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13．若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于 。

14．直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于 _________ 。 15．如图，函数f（x）的图象为折线 AC B，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是 ．

16．某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果. 已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为 .

三、解答题

17．已知函数f（x）=lnx﹣a（1﹣），a∈R． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若f（x）的最小值为0． （i）求实数a的值；

（ii）已知数列{an}满足：a1=1，an+1=f（an）+2，记[x]表示不大于x的最大整数，求证：n＞1时[an]=2．

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18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且ABC120．点E是棱PC的中点，平面ABE 与棱PD交于点F． （1）求证：AB//EF；

（2）若PAPDAD2，且平面PAD平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余 弦值．

PFDAECB

【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面，直线与直线垂直的判定，二面角等基础知识，考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，以及数形结合思想、化归与转化思想.

19．已知函数f（x）=

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间； （2）当

时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．

．

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20．【南通中学2018届高三10月月考】设，线

在点

（Ⅱ）求证：函数（Ⅲ）若

21．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．

（1）求证：BD⊥平面AA1C1C； （2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．

处的切线方程为

存在极小值； ，使得不等式

成立，求实数的取值范围.

.

（Ⅰ）求实数、的值；

，函数

，其中是自然对数的底数，曲

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22．已知定义域为R的函数（1）求f（x）；

（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）； （3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．

是奇函数．

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大兴区实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

试题分析：f(|x|)的图象是由fx这样操作而来：保留y轴右边的图象，左边不要.然后将右边的图象关于y轴对称翻折过来，故选B． 考点：函数图象与性质．

【思路点晴】本题主要考查函数的奇偶性、数形结合的数学思想方法.由fx加绝对值所得的图象有如下几种，一个是fx——将函数fx在轴下方的图象翻折上来，就得到fx的图象，实际的意义就是将函数值为负数转化为正的；一个是f于y轴对称翻折过来.

2． 【答案】D 【解析】

x，这是偶函数，所以保留y轴右边的图象，左边不要.然后将右边的图象关

考

点：多面体的表面上最短距离问题．

【方法点晴】本题主要考查了多面体和旋转体的表面上的最短距离问题，其中解答中涉及到多面体与旋转体的侧面展开图的应用、直角三角形的勾股定理的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，学生的空间想象能力、以及转化与化归思想的应用，试题属于基础题． 3． 【答案】B

【解析】解：当m=0时，两条直线方程分别化为：﹣2x﹣1=0，2x﹣2y+3=0，此时两条直线不垂直，舍去；

当m=2时，两条直线方程分别化为：﹣6y﹣1=0，4x+3=0，此时两条直线相互垂直；

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当m≠0，2时，两条直线相互垂直，则×=﹣1，解得m=1．

综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：m=1，2．

∴“m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的充分不必要条件．

故选：B．

【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件、充要条件的判定，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

4． 【答案】C 【解析】

试题分析：因为三个数a1,a1,a5等比数列，所以a1a1a5,a3，倒数重新排列后恰

2

好为递增的等比数列{an}的前三项，为,11111,，公比为，数列是以为首项，为公比的等比数列，则8422an不等式a1a2an11a1a211n811212n8，整理，得等价为1an12122n27,1n7,nN，故选C. 1

考点：1、等比数列的性质；2、等比数列前项和公式. 5． 【答案】

【解析】解析：选C.由题意得a－1＝1，∴a＝2. 若b≤1，则2b－1＝－3，即2b＝－2，无解．

111

∴b＞1，即有log2＝－3，∴＝，∴b＝7.

b＋1b＋18

3

∴f（5－b）＝f（－2）＝2－2－1＝－，故选C.

46． 【答案】A 【解析】

考

点：三角函数的图象性质．

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7． 【答案】B 【

解

析

】

8． 【答案】A 【解析】

试题分析：根据与相邻的数是1,4,3，而与相邻的数有1,2,5，所以1,3,5是相邻的数，故“？”表示的数是，故选A．

考点：几何体的结构特征． 9． 【答案】C 【解析】解：an=

图象如图， ∵9＜

＜10．

=1+

，该函数在（0，

）和（

，+∞）上都是递减的，

∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10，a9． 故选：C． 是基础题．

10．【答案】D

【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象，

【解析】： 解：∵∥， ∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2． 故选：D．

二、填空题

11．【答案】 4 ．

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【解析】解：在同一坐标系中作出函数y=f（x）=示，

由图知两函数y=f（x）与y=的交点个数是4． 故答案为：4．

的图象与函数y=的图象，如下图所

12．【答案】 5 ．

【解析】二项式定理． 【专题】计算题．

n+12

）（n∈N）的展开式中无常数项、x﹣项、x﹣项，利

【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（x用（x

n+

）（n∈N）的通项公式讨论即可．

xn﹣rx﹣3r=

xn﹣4r，2≤n≤8，

【解答】解：设（x

）（n∈N）的展开式的通项为Tr+1，则Tr+1=

n

+

当n=2时，若r=0，（1+x+x）（x

2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠2；

n

+

当n=3时，若r=1，（1+x+x）（x

2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠3；

n

+

当n=4时，若r=1，（1+x+x）（x

2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠4；

n

+

n

+

2

当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x）（x）（n∈N）的展开式中均没有常数项，故n=5适合

题意；

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当n=6时，若r=1，（1+x+x）（x

2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠6；

n

+

当n=7时，若r=2，（1+x+x）（x

2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠7；

n

+

当n=8时，若r=2，（1+x+x）（x

2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠2；

n

+

综上所述，n=5时，满足题意． 故答案为：5．

【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．

13．【答案】

【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差， 则

。

14．【答案】

【解析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部， 且点A与圆心O之间的距离为OA=圆的半径为r=

，

=

，

∴sinθ==，

∴cosθ=，tanθ==，

∴tan2θ===，

故答案为：。

15．【答案】 （﹣1，1] ．

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【解析】解：在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log2（x+1）的图象，如图所示：

由图可得不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，． 故答案为：（﹣1，1]

16．【答案】12 【解析】

考点：分层抽样

三、解答题

17．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=﹣=

．

当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间（0，+∞）内单调递增； 当a＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞a；由f′（x）＜0，解得0＜x＜a． 所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）． 综上述：a≤0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；

a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0，a），单调递增区间是（a，+∞）． （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）无最小值，不合题意； 当a＞0时，[f（x）]min=f（a）=1﹣a+lna=0， 令g（x）=1﹣x+lnx（x＞0），则g′（x）=﹣1+=

，

由g′（x）＞0，解得0＜x＜1；由g′（x）＜0，解得x＞1．

所以g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）． 故[g（x）]max=g（1）=0，即当且仅当x=1时，g（x）=0． 因此，a=1．

（ⅱ）因为f（x）=lnx﹣1+，所以an+1=f（an）+2=1+

+lnan．

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由a1=1得a2=2于是a3=+ln2．因为＜ln2＜1，所以2＜a3＜． 猜想当n≥3，n∈N时，2＜an＜． 下面用数学归纳法进行证明．

①当n=3时，a3=+ln2，故2＜a3＜．成立．

②假设当n=k（k≥3，k∈N）时，不等式2＜ak＜成立． 则当n=k+1时，ak+1=1+

+lnak，

由（Ⅰ）知函数h（x）=f（x）+2=1++lnx在区间（2，）单调递增， 所以h（2）＜h（ak）＜h（），又因为h（2）=1++ln2＞2， h（）=1++ln＜1++1＜．

故2＜ak+1＜成立，即当n=k+1时，不等式成立． 根据①②可知，当n≥3，n∈N时，不等式2＜an＜成立． 综上可得，n＞1时[an]=2．

【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等，属难题．

18．【答案】 【

解

析

】

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∵BG平面PAD，∴GB(0,3,0)是平面PAF的一个法向量，

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19．【答案】

【解析】解：（1）f（x）==sin2x+=

=sin（2x﹣周期T=π，

因为cosx≠0，所以{x|x≠当2x﹣

∈，即

+kπ，k∈Z}…5分

+kπ，x≠

+kπ，k∈Z时函数f（x）单调递减，

sinxcosx﹣ +

sin2x﹣ ）…3分

﹣

+kπ≤x≤

所以函数f（x）的单调递减区间为，，k∈Z…7分 （2）当sin（2x﹣

，2x﹣

∈，…9分

时取最大值，

）∈（﹣，1），当x=

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故当x=时函数f（x）取最大值为1…12分

【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数最值的解法，属于基础题．

20．【答案】（Ⅰ）【解析】试题分析：

（Ⅰ）利用导函数研究函数的切线，得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得在极小值；

；

（Ⅱ）结合（Ⅰ）中求得的函数的解析式首先求解导函数，然后利用导函数讨论函数的单调性即可确定函数存

；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）

.

试题解析： （Ⅰ）∵（Ⅱ）由（Ⅰ）得是增函数，∵

，结合函数 ∴函数（Ⅲ）（*），令则

∴结合（Ⅱ）得

存在极小值

；

成立，即

，

，使得不等式

递减 在 极小值 ，

，∴

，由题设得，∴

，且函数

是增函数有： 递增 ） ，∴

图像在

，∴

； ，∴函数上不间断，∴

在，使得

，使得不等式

，，

成立……

，其中，满足，

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即∴

，∴，

，，∴

在

，∴

内单调递增，

，

∴

结合（*）有21．【答案】

，

，即实数的取值范围为

．

【解析】解：（1）∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC=A1C1， ∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，

∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1为等边三角形， 同理△ABC1是等边三角形， ∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1， ∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，

平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD⊂平面ABC1， ∴BD⊥平面AA1C1C．

（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 平面ABC1的一个法向量为由题意可得

，

，1，1），

，设平面ABC的法向量为

，则

， ，

所以平面ABC的一个法向量为=（∴cosθ=

．

即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于

．

【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．

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22．【答案】

【解析】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数， 所以f（0）=0，即从而有

经检验，符合题意；… （2）由（1）知，f（x）=

x

=0，解得b=1； ；…

=﹣+；

由y=2的单调性可推知f（x）在R上为减函数； … （3）因为f（x）在R上为减函数且是奇函数，从而不等式 f（1+|x|）+f（x）＜0等价于f（1+|x|）＜﹣f（x）， 即f（1+|x|）＜f（﹣x）； … 又因f（x）是R上的减函数， 由上式推得1+|x|＞﹣x，… 解得x∈R．…

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