一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确的选项，请把正确选项的代号填涂在答题卷的相应位置上． 1．（3分）（2013•新余模拟）﹣3的相反数是（ ） 3 A．B． ﹣3 C． D． ﹣ 考点： 相反数． 分析： 根据相反数的概念解答即可． 解答： 解：﹣3的相反数是3， 故选A． 点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 2．（3分）（2013•新余模拟）下列运算正确的是（ ） 3232532326 A．B． C． D． x﹣x=x x+x=x x÷x=x x•x=x 考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法． 专题： 常规题型． 分析： 根据合并同类项法则；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加，对各选项分析判断后利用排除法求解． 32解答： 解：A、x与x，不是同类项，不能合并，故本选项错误； 32B、x与x，不是同类项，不能合并，故本选项错误； 323﹣2C、x÷x=x=x，故本选项正确； 323+25D、x•x=x=x，故本选项错误． 故选C． 点评： 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 3．（3分）（2013•新余模拟）直线y=x﹣1的图象经过的象限是（ ） A．第一、二、三象限 B． 第一、二、四象限 C． 第二、三、四象限 D． 第一、三、四象限 考点： 一次函数的性质． 专题： 计算题． 分析： 由y=x﹣1可知直线与y轴交于（0，﹣1）点，且y随x的增大而增大，可判断直线所经过的象限． 解答： 解：直线y=x﹣1与y轴交于（0，﹣1）点， 且k=1＞0，y随x的增大而增大， ∴直线y=x﹣1的图象经过第一、三、四象限． 故选D． 点评： 本题考查了一次函数的性质．关键是根据图象与y轴的交点位置，函数的增减性判断图象经过的象限． 4．（3分）（2013•新余模拟）下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是（ ）
①③ ②③ ③④ ②④ A．B． C． D． 考点： 简单几何体的三视图． 分析： 分别分析四个几何体的三视图，从中找出只有两个视图相同的几何体，可得出结论． 解答： 解：①正方形的主、左和俯视图都是正方形； ②圆锥的主、左视图是三角形，俯视图是圆； ③球体的主、左和俯视图都是圆形； ④圆柱的主、左视图是长方形，俯视图是圆； 只有两个视图相同的几何体是圆锥和圆柱． 故选D． 点评： 本题考查了几何体的三视图，熟练掌握常见几何体的三视图，考查了学生的空间想象能力． 5．（3分）（2013•新余模拟）如图，点A，B，C的坐标分别为（0，﹣1），（0，2），（3，0）．从下面四个点M（3，3），N（3，﹣3），P（﹣3，0），Q（﹣3，1）中选择一个点，以A，B，C与该点为顶点的四边形是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 中心对称图形；坐标与图形性质． 分析： 根据中心对称图形的概念，知：只要组成的四边形是平行四边形，则一定是中心对称图形． 解答： 解：根据平行四边形的判定，知M、N、Q三点都能够和已知的三个点组成平行四边形，则一定是中心对称图形． 故选C． 点评： 本题结合平面直角坐标系，考查了旋转对称图形的概念，属于基础题，比较容易解答． 6．（3分）（2013•新余模拟）类比二次函数图象的平移，把双曲线y=向左平移2个单位，再向上平移1个单位，其对应的函数解析式变为（ ） A．B． C． 考点： 反比例函数的性质． 专题： 压轴题；探究型． 分析： 根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 解答： 解：双曲线y=向左平移2个单位可得到，y=， D． 再把y=的图象向上平移一个单位即可得到，y﹣1=，即y=． 故选A． 点评： 本题考查的是反比例函数的性质，在解答此题时要熟知函数图象在平移时要遵循“左加右减，上加下减”的原则． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 7．（3分）（2013•新余模拟）国家统计局初步测算，2011年中国国内生产总值（GDP）约为
5
470000亿元．将“470000亿元”用科学记数法表示为 4.7×10 亿元． 考点： 科学记数法—表示较大的数． n分析： 科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 5解答： 解：470000=4.7×10， 5故答案为：4.7×10． n点评： 此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 8．（3分）（2013•新余模拟）函数 的自变量x的取值范围是 x≤2 ．
考点： 函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件． 专题： 计算题． 分析： 本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数． 解答： 解：根据题意得：4﹣2x≥0， 解得x≤2． 点评： 函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 9．（3分）（2013•新余模拟）分解因式：ab﹣2ab+b= b（a﹣1） ． 考点： 提公因式法与公式法的综合运用． 分析： 先提取公因式b，再利用完全平方公式进行二次分解． 2解答： 解：ab﹣2ab+b， 2=b（a﹣2a+1），…（提取公因式） 2=b（a﹣1）．…（完全平方公式） 点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意要分解彻底． 10．（3分）（2013•新余模拟）如图，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C= 25゜ ．
22
考点： 平行线的性质；三角形的外角性质． 分析： 由AB∥CD，∠A=50°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠1的度数，又由∠C=∠E与三角形外角的性质，即可求得答案． 解答： 解：∵AB∥CD，∠A=50°， ∴∠1=∠A=50°， ∵∠C=∠E，∠1=∠C+∠E， ∴∠C=∠1=×50°=25°． 故答案为：25°． 点评： 此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用． 11．（3分）（2013•新余模拟）若不等式x﹣3（x﹣2）≤a的解为x≥﹣1，则a的值为 8 ． 考点： 解一元一次不等式． 专题： 探究型． 分析： 先用a表示出不等式的解集，再根据不等式的解为x≥﹣1求出a的值即可． 解答： 解：解不等式x﹣3（x﹣2）≤a得，x≥， ∵不等式x﹣3（x﹣2）≤a的解为x≥﹣1， ∴=﹣1， 解得a=8． 故答案为：8． 点评： 本题考查的是解一元一次不等式，先根据题意用a表示出不等式的解集是解答此题的关键． 12．（3分）（2013•新余模拟）如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是
．
考点： 概率公式；几何体的展开图． 分析： 根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 解答： 解：∵空白部分的小正方形共有7个， 其中在最下面一行中取任意一个均能够成这个正方体的表面展开图， 最下面一行共有4个空格， ∴任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是：． 故答案为：． 点评： 本题考查了概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 13．（3分）（2013•新余模拟）如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是 18π ．
考点： 扇形面积的计算；旋转的性质． 分析： 根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积．即可求解． 解答： 解：阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积． 则阴影部分的面积是：×6π=18π． 故答案为：18π． 点评： 本题主要考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积是解题的关键． 14．（3分）（2013•新余模拟）如图，△ABC是一个直角三角形，其中∠C=90゜，∠A=30°，BC=6；O为AB上一点，且OB=3，⊙O是一个以O为圆心、OB为半径的圆；现有另一半径为的⊙D以每秒为1的速度沿B→A→C→B运动，设时间为t，当⊙D与⊙O外切时，t的值为 ．
2
考点： 圆与圆的位置关系． 专题： 压轴题；分类讨论． 分析： 分别从①在B→A的过程中，②在A→C的过程中，③当C与D重合时去分析求解，利用含30°角的直角三角形的性质与圆与圆的外切的性质，即可求得答案． 解答： 解：①在B→A的过程中，当OD=3+3﹣3=3时，⊙D与⊙O外切，此时BD=OB+OD=3+3， 即t=3+3； ②如图1，在A→C的过程中，过点C作CH⊥AB于H，连接OD，OC， ∵∠C=90゜，∠A=30°，BC=6， ∴AB=2BC=12，AC=∴∠B=60°， =6， ∴BH=BC•cos∠B=6×=3，CH=BC•sin∠B=3∵OB=3， ∴O与H重合， 即OC⊥AB，OC=3， ∴∠BOC=90°﹣∠B=60°， ∵OD=3， ∴OC=OD， ∴△OCD是等边三角形， ∴CD=OD=3， ∴AB+AD=AB+AC﹣CD=12+6﹣3=12+3即t=12+3； ③∵由②得，OC=3=OD， ∴当C与D重合时，⊙D与⊙O外切； ， ， 即t=12+6； 综上，当⊙D与⊙O外切时，t的值为3+3或12+3故答案为：3+3或12+3或12+6． 或12+6． 点评： 此题考查了圆与圆的位置关系，直角三角形的性质以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 15．（6分）（2013•新余模拟）计算：|﹣
|+（）﹣2cos60°+（2﹣π）．
﹣1
0
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题． 分析： 0根据绝对值和负整数指数幂的意义、a=1（a≠1）和cos60°=得到原式=+2﹣2×+1，再化简和进行乘法运算得到原式=2解答： 解：原式=+2﹣2×+1 +2﹣1+1，然后合并即可． =2+2﹣1+1 =2+2． 点评： 本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减运0算．也考查了负整数指数幂的意义、a=1（a≠1）以及特殊角的三角函数值． 16．（6分）（2013•新余模拟）先化简，再求值
，其中x=
．
考点： 分式的化简求值． 专题： 计算题． 分析： 这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式化简，然后再代入求值． 解答： 解： =（x+2）•=． 当x=时，原式==． 点评： 分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算． 17．（6分）（2013•新余模拟）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
考点： 作图—应用与设计作图． 专题： 作图题；压轴题． 分析： 易得M在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半． 解答： 解：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M， 作图如下： 点评： 考查设计作图；得到点M是AB的垂直平分线与以点C为圆心，以AB的一半为半径的弧的交点是解决本题的关键． 18．（6分）（2013•新余模拟）甲乙丙三个同学在打兵乓球时，为了确定哪两个人先打，商定三人伸出手来，若其中两人的手心或手背同时向上，则这两个人先打，如果三个人手心或手背都向上则重来．
（1）求甲乙两人先打的概率； （2）求丙同学先打的概率．
考点： 列表法与树状图法． 专题： 压轴题． 分析： （1）首先此题需两步完成，所以采用树状图法求解比较简单；然后依据树状图分析所有等可能的出现结果，根据概率公式即可求出该事件的概率； （2）首先求得出手一次出现“两同一异”的所有情况，然后根据概率公式即可求出该事件的概率． 解答： 解：（1）设手心向上为A，手背向上为B，画树状图得： 则共有4种等可能的结果：AA，AB，BA，BB， 而甲乙两人先打的可能性有：AA，BB， 所以P（甲乙两人先打）=； （2）∵甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，则共有8种等可能的结果， 而出手一次出现“两同一异”的情况并且有丙参与的有：ABA，ABB，BAA，BAB， ∴P（丙同学先打）==． 点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 19．（8分）（2013•新余模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F． （1）若AC=8，AB=12，求⊙O的半径；
（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．
考点： 切线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；相似三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题． 分析： （1）设圆O的半径为r，连接OD，由BC为圆O的切线，根据切线的性质得到OD垂直于BC，由AC垂直于BC，得到一对直角相等，再由公共角相等，利用两对对应角相等的三角形相似，可得出三角形OBD与三角形ABC相似，由相似得比例，将AC，AB，OD及OB代入，得到关于r的方程，求出方程的解即可求出圆O的半径； （2）四边形BDEF为菱形，理由为：由平行四边形的对角相等可得出∠B=∠DEF，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍得到∠DOB为∠DEF的2倍，等量代换可得出∠DOB为∠B的2倍，由三角形OBD为直角三角形，利用三角形的内角和定理得到∠DOB为60°，再由平行四边形的对边平行得到DE与AB平行，根据两直线平行内错角相等可得出∠EDO为60°，再由OE=OD，可得出三角形OED为等边三角形，根据等边三角形的三边相等可得出ED=EO=OF，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到OFDE为平行四边形，由OE=OF，利用邻边相等的平行四边形为菱形可得出四边形OFDE为菱形． 解答： 解：（1）设⊙O的半径为r，连接OD， ∵BC切⊙O于点D， ∴OD⊥BC，即∠ODB=90°， ∵∠C=90°， ∴∠C=∠ODB， ∵∠B=∠B， ∴△OBD∽△ABC，…（2分） 又∵AC=8，AB=12， ∴=，即， ；…（4分） ， 解得：r=∴⊙O的半径为 （2）四边形OFDE是菱形，理由为：…（5分） ∵四边形BDEF是平行四边形， ∴∠DEF=∠B， ∵∠DEF=∠DOB， ∴∠B=∠DOB， ∵∠ODB=90°， ∴∠DOB+∠B=90°， ∴∠DOB=60°， ∵DE∥AB， ∴∠ODE=60°， ∵OD=OE， ∴△ODE是等边三角形， ∴OD=DE， ∵OD=OF， ∴DE=OF，又DE∥OF， ∴四边形OFDE是平行四边形，…（7分） ∵OE=OF， ∴平行四边形OFDE是菱形．…（8分） 点评： 此题考查了切线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键． 20．（8分）（2013•新余模拟）如图：把一张给定大小的矩形卡片ABCD放在间距为10mm的横格纸中（所有横线互相平行），恰好四个顶点都在横格线上，AD与l2交于点E，BD与l4交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）已知α=25°，求矩形卡片的周长．（可用计算器求值，答案精确到1mm，参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）
考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形． 专题： 压轴题． 分析： （1）利用已知条件首先证明四边形BFDE是平行四边形，利用全等的性质得到BE=FD，再根据“Hl”即可证明△ABE≌△CDF； （2）作AF⊥l4于F，交l2于E．在Rt△ABE中根据三角函数即可求得AB的长；在直角△AFD中，根据三角函数即可求得AD的长，从而求得长方形卡片的周长． 解答： （1）证明：∵l2∥l4 BC∥AD， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴BE=FD， ∵AB=CD，∠BAE=∠FCD=90゜ ∴△ABE≌△CDF（HL）； （2）过A作AG⊥l4，交l2于H， ∵α=25°， ∴∠ABE=25° ∴sin∠ABE=≈0.42， 解得：AB≈47.62， ∵∠ABE+∠AEB=90゜∠HAE+∠AEB=90゜， ∴∠HAE=25゜ ∴cos∠DAG=≈0.91， 解得：AD≈43.96， ∴矩形卡片ABCD的周长为（47.62+43.96）×2≈183（mm）． 点评： 本题考查了矩形对边相等的性质，全等三角形的判定，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．通过作辅助线构造直角三角形是解决本题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．（9分）（2013•新余模拟）某公司为了解顾客对自己商品的总体印象，采取随机抽样的方式，对购买了自己商品的年龄在16～65岁之间的400个顾客，进行了抽样调查．并根据每个年龄段的抽查人数和该年龄段对商品总体印象感到满意的人数绘制了下面的图（1）和图（2）．
根据上图提供的信息回答下列问题：
（1）被抽查的顾客中，人数最多的年龄段是 21～30 岁；
（2）已知被抽查的400人中有83%的人对商品总体印象感到满意，请你求出31～40岁年龄段的满意人数，并补全图（2）；
（3）比较31～40岁和41～50岁这两个年龄段对商品总体印象满意率的高低（四舍五入到1%）．注：某年龄段的满意率=该年龄段满意人数÷该年龄段被抽查人数×100%．
考点： 条形统计图；扇形统计图． 分析： （1）根据扇形统计图可以得出出，人数最多的年龄段； （2）利用总体印象感到满意的人数共有（人），得出31～40岁年龄段总体印象感到满意的人数即可； （3）根据31～40岁年龄段被抽人数得出总体印象的满意率，进而得出41～50岁被抽到的人数以及总体印象的满意率，进而比较即可得出答案． 解答： 解：（1）根据扇形统计图得出被抽查的顾客中，人数最多的年龄段是21～30岁； 故答案为：21～30； （2）总体印象感到满意的人数共有（人）， 31～40岁年龄段总体印象感到满意的人数是332﹣（54+126+53+24+9）=66（人）， 如图所示： （3）31～40岁年龄段被抽人数是总体印象的满意率是×100%=82.5%≈83%， 人，满意人数是53人， （人）， 41～50岁被抽到的人数是总体印象的满意率是×100%=88.3%≈88%； 故41～50岁年龄段比31～40岁年龄段对商品总体印象的满意率高． 点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22．（9分）（2013•新余模拟）某超市经销甲、乙两种商品．现有如下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？
（2）该超市平均每天卖出甲商品50件和乙商品20件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.2元，这两种商品每天可各多销售10件．为了使每天获取更大的利润，超市决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．设总利润为n元，请用含m的式子表示超市每天销售甲、乙两种商品获取的总利润n，在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使超市每天销售甲、乙两种商品获取的总利润最大？每天的最大利润是多少？ 考点： 二次函数的应用． 分析： （1）根据图片得出关于两种商品的等式，进而求出即可； （2）根据总利润=销量×每件商品的利润进而得出关于m，n的函数关系式，求出最值即可． 解答： 解：（1）设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元． 根据题意，得 解得， 答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元． （2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为n元，则 n=（1﹣m）（50+10×2）+（5﹣3﹣m）（20+10×2） 即 n=﹣100m+80m+90=﹣100（m﹣0.4）+106． ∴当m=0.4时，n有最大值，最大值为106． 答：当m定为0.4时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是106元． 点评： 此题主要考查了二次函数的应用以及二元一次方程组的解法等知识，根据题意得出n与m的函数关系式是解题关键． 六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
22
23．（10分）（2013•新余模拟）已知抛物线y=x﹣2mx+3m+2m．
（1）若抛物线经过原点，求m的值及顶点坐标，并判断抛物线顶点是否在第三象限的平分线所在的直线上；
（2）是否无论m取任何实数值，抛物线顶点一定不在第四象限？说明理由；当实数m变化时，列出抛物线顶点的纵、横坐标之间的函数关系式，并求出该函数的最小函数值． 考点： 二次函数的性质；二次函数的最值． 专题： 分类讨论． 分析： （1）先根据二次函数的顶点坐标公式用m表示出其顶点坐标，由抛物线经过原点可求出m的值，进而得出其顶点坐标，再判断出其顶点坐标是否在y=x上即可； （2）分别根据当m＞0时，m=0，m＜0时顶点的纵坐标判断出函数图象顶点所在的2象限即可，设顶点横坐标为m，纵坐标为n，则n=2m+2m，再把此式化为顶点式的形式，进而可得出结论． 2222解答： 解：∵y=x﹣2mx+3m+2m=（x﹣m）+2m+2m， 2∴抛物线顶点为（m，2m+2m）， （1）将（0，0）代入抛物线解析式中解得：m=0或m=当m=0时，顶点坐标为（0，0） 当m=时，顶点坐标为（，）， ， ∵第三象限的平分线所在的直线为y=x， ∴（0，0）在该直线上，（ （2）∵抛物线顶点为（m，2m+2m）， 2∴①当m＞0时，2m+2m＞0，此时抛物线顶点在第一象限； 2②当m=0时，2m+2m=0，此时抛物线的顶点在原点； 22③当m＜0时，若2m+2m＞0，则顶点坐标在第二象限；若2m+2m＜0，则顶点坐标在第三象限， ∴m无论为何值抛物线的顶点一定不在第四象限； 2设顶点横坐标为m，纵坐标为n，则n=2m+2m， ∵n=2m+2m=2（m+）﹣ ∴当m=﹣时，n有最小值﹣． 点评： 本题考查的是二次函数的性质及二次函数的最值，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键． 24．（10分）（2013•新余模拟）已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．
（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标； （3）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
222，）不在该直线上；
考点： 全等三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；直角三角形的性质． 专题： 综合题；压轴题． 分析： （1）由于点Q从点O运动到点C需要秒，点P从点A→O→B需要秒，所以分两种情况讨论：①0＜t＜；②≤t＜．针对每一种情况，根据P点所在的位置，由三角形的面积公式得出△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并且得出自变量t的取值范围； （2）如果△OCD为等腰三角形，那么分D在OA边或者OB边上或AB边上三种情形．每一种情形，都有可能O为顶点，C为顶点，D为顶点，分别讨论，得出结果； （3）如果延长BA至点F，使AF=OM，连接CF，则由SAS可证△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS证出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，那么△BMN的周长=BA+BO=4． 解答： 解：（1）过点C作CD⊥OA于点D．（如图） ∵OC=AC，∠ACO=120°， ∴∠AOC=∠OAC=30°． ∵OC=AC，CD⊥OA，∴OD=DA=1． 在Rt△ODC中，OC= （i）当0＜t＜时，OQ=t，AP=3t，OP=OA﹣AP=2﹣3t． 过点Q作QE⊥OA于点E．（如图） 在Rt△OEQ中， ∵∠AOC=30°， ∴QE=OQ=， ∴S△OPQ=OP•EQ=（2﹣3t）•=﹣即S=﹣ （ii）当＜t≤时（如图） +t；（3分） +t， ==（1分） OQ=t，OP=3t﹣2． ∴∠BOA=60°，∠AOC=30°，∴∠POQ=90°． ∴S△OPQ=OQ•OP=t•（3t﹣2）=即S=﹣t； +t，当＜t≤时，S=﹣t（5分） ﹣t， 故当0＜t＜时，S=﹣ （2）D（，1）或（，0）或（，0）或（，）（9分） （3）△BMN的周长不发生变化．理由如下： 延长BA至点F，使AF=OM，连接CF．（如图） 又∵∠MOC=∠FAC=90°，OC=AC， ∴△MOC≌△FAC， ∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．（10分） ∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA =∠OCA﹣∠MCN =60°， ∴∠FCN=∠MCN． 在△MCN和△FCN中， ， ∴△MCN≌△FCN， ∴MN=NF．（11分） ∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO﹣OM+BA+AF=BA+BO=4． ∴△BMN的周长不变，其周长为4． 点评： 本题综合考查了等腰三角形、等边三角形的性质，全等三角形的判定．难度很大．注意分类讨论时，做到不重复，不遗漏．
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