题号得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知ba=13，则a−ba的值为（ ）
A. 2B. 12C. 32D. 232.下列事件中，不可能事件是（ ）
A. 今年的除夕夜会下雪
B. 在只装有红球的袋子里摸出一个黑球C. 射击运动员射击一次，命中10环D. 任意掷一枚硬币，正面朝上
3.已知⊙O的半径r=3，PO=10，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O外D. 不能确定4.对于二次函数y=2（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是直线x=−1C. 顶点坐标是(1,2)D. 与x轴有两个交点．5.如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有
（ ）
①DGGB=12；②AEAB=EDBC；③△EDG∽△CBG；④S△EGDS△BGC=14．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.
数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）A. 勾股定理
B. 直径所对的圆周角是直角C. 勾股定理的逆定理
D. 90∘的圆周角所对的弦是直径
将抛物线y=x2-2x-3的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数解析式为（ ）A. y=x2−3x−7B. y=x2−x−7C. y=x2−3x+1D. y=x2−4x−4如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成．如果两个直角三角形的两条斜边长分别为4米和6米，则草皮的总面积为（ ）平方米．A. 313B. 9C. 12D. 24
y=x2和y=1x的图象．（如图给出下列命题及函数y=x，
所示）①如果1a＞a＞a2，那么0＜a＜1；②如果a2＞a＞
一
二
三
四
总分
7.
8.
9.
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1a，那么a＞1；③如果a2＞1a＞a，那么a＜-1．则真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3
10.如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向
向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为（ ）
A. 4+233πaB. 8+433πaC. 4+33πaD. 4+236πa
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.已知线段a=4，线段b=9，则a，b的比例中项是______．12.正五边形的一个内角的度数是______度．
“黄金即使是一片小小的树叶，也蕴含着13.大自然是美的设计师，
P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的分割”，如图，
长度为10cm，那么AP的长度为______cm．
14.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠D=65°，则
∠BAC等于______度．
15.如图，点D在△ABC的边AC上，若要使△ABD与△ACB相似，可添加的一个条件
是______（只需写出一个）．
16.在线段、等边三角形、平行四边形、圆中任意抽取两个图形，抽到的既是中心对称
图形又是轴对称图形的概率是______．
17.王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB
为6m，则桥拱半径OC为______m．
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18.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边
BC=120cm，高AD=80cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分
AC上．别在AB、设PQ=xcm，矩形PQMN的面积为
ycm2，请写出y关于x的函数表达式（并注明x的取值范围）______．
扇形AOB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的19.如图，
E，D分别在OA，OB，AB上，过点A作AF⊥ED，交顶点C，
ED的延长线于点F，则图中阴影部分的面积等于______．
20.如图，已知正方形ABCD的边长为3，以点A为圆心，1为半径
作圆，E是⊙A上的任意一点，将DE绕点D按逆时针旋转90°，得到DF，连接AF，则AF的最小值是______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
21.已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A（-4，0）
（1）求m的值；
（2）求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．
四、解答题（本大题共5小题，共34.0分）
“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同22.现如今，
的垃圾分类投放桶，分别写着：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾．其中小明投放了一袋垃圾，小丽投放了两袋垃圾．（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）求小丽投放的两袋垃圾不同类的概率．
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23.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，D在弧AB上，连CD
交AB于点E，B是弧CD的中点，求证：∠B=∠BEC．
将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C124.如图，处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．（1）求证：△BC1F∽△AGC1；
（2）若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．
25.2015年12月16-18日，第二届互联网大会在浙江乌
镇胜利举行，这说明我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务．据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；
（2）设每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）关于销售单价x（元）的函数解析式；
（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）
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26.如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C
关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）已知点F（0，12），点P在x轴上运动，试求当m为何值时以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：∵=，设b=x，a=3x，∴
，
故选：D．
直接利用比例的性质假设出未知数，进而得出答案．
此题主要考查了比例式的性质，正确用同一未知数表示各数是解题关键．2.【答案】B
【解析】
解：A、今年的除夕夜会下雪是随机事件，故A错误；
B、在只装有红球的袋子里摸出一个黑球是不可能事件，故B正确； C、射击运动员射击一次，命中10环是随机事件，故C错误； D、任意掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故D错误； 故选：B．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.【答案】C
【解析】
解：∵OP=＞3，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故选：C．
点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
本题考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．4.【答案】C
【解析】
解：二次函数y=2（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点． 故选：C．
根据抛物线的性质由a=2得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．5.【答案】D
【解析】
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解：∵点G是△ABC的重心，∴AE，CD是△ABC的中线，∴DE∥BC，DE=BC，∴△DGE∽△BGC，∴
=
=，①正确；
，②正确；
△EDG∽△CBG，③正确；
=（
）2=，④正确，
故选：D．
根据三角形的重心的概念和性质得到AE，CD是△ABC的中线，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE=BC，根据相似三角形的性质定理判断即可．本题考查的是三角形的重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．6.【答案】B
【解析】
解：由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径画弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角． 故选：B．
由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断．本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关键．7.【答案】D
【解析】
解：∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴将抛物线y=x2-2x-3的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数y=（x-1-1）2-4-4，即y=（x-2）2-8=x2-4x-4．
故选：D．
利用配方法求得抛物线顶点式方程，然后由平移规律写出新函数解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．8.【答案】C
【解析】
解：∵△MDE是直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠MAB=∠BCE=90°，∠M+∠ABM=90°，
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∠ABM+∠CBE=90°，∴∠M=∠CBE，∴△AMB∽△CBE，∴
=
，
∵MB=6，BE=4，∴
=
==，
∵AB=BC，∴
=，
设CE=2x，则BC=3x，在Rt△CBE中，BE2=BC2+CE2，即42=（3x）2+（2x）2，解得x=∴CE=
，AB=BC=
，AM=AB=
×
+×
，，
×
∴S草皮=S△CBE+S△AMB=×=12．故选：C．
先根据相似三角形的判定定理得出△AMB∽△CBE，故可得出=的值，
设CE=x，则BC=2x，在Rt△CBE中根据勾股定理求出x的值，故可得出CE，AB=BC，AM=2AB的值，再根据S草皮=S△CBE+S△AMB，即可得出结论．本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．9.【答案】C
【解析】
解：当x=1时，三个函数的函数值都是1，所以，交点坐标为（1，1），根据对称性，y=x和y=为（-1，-1），
①如果＞a＞a2，那么0＜a＜1，故①正确；②如果a2＞a＞，那么a＞1或-1＜a＜0，故②错误；③如果a2＞＞a时，那么a＜-1，故③正确．
综上所述，真命题是①③．故选：C．
先确定出三函数图象的交点坐标为（1，1），再根据二次函数与不等式组的关系求解即可．
本题考查了二次函数与不等式组的关系，命题与定理，求出两交点的坐标并准确识图是解题的关键．10.【答案】A
【解析】
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在第三象限的交点坐标
解：连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如图，
∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，∴A1A4=2a，∠A1A6A5=120°，∴∠CA1A6=30°，∴A6C=a，A1C=∴A1A5=A1A3=
a，a，
当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以a，
a，2a，
a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，
+
+
+
+
，
∴顶点A1所经过的路径的长==
πa．
故选：A．
连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，利用正六边形的性质分别计算出A1A4=2a，A1A5=A1A3=
a，而当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经
a，2a，
a，a为半径，
过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以a，
圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．本题考查了弧长公式：l=11.【答案】6
【解析】
；也考查了正六边形的性质以及旋转的性质．
解：∵a=4，b=9，设线段x是a，b的比例中项，∴
，
∴x2=ab=4×9=36，
∴x=6，x=-6（舍去）．故答案为：6
根据已知线段a=4，b=9，设线段x是a，b的比例中项，列出等式，利用两内项
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之积等于两外项之积即可得出答案．
此题主要考查比例线段问题，关键是利用两内项之积等于两外项之积解答．12.【答案】108
【解析】
解：（5-2）•180=540°，540÷5=108°，所以正五边形的一个内角的度数是108度．因为n边形的内角和是（n-2）•180°，因而代入公式就可以求出内角和，再用内角和除以内角的个数就是一个内角的度数．
本题考查正多边形的基本性质，解题时应先算出正n边形的内角和再除以n即可得到答案．13.【答案】55−5
【解析】
解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP=
AB=
×10=5
-5（cm），
-5故答案为：5
利用黄金分割的定义计算出AP即可．此题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．14.【答案】25
【解析】
解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠D=65°，∠B与∠D是
对的圆周角，
∴∠D=∠B=65°，
∴∠BAC=90°-∠B=25°．故答案为：25．
由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB的度数，又由∠D=65°，即可求得∠B的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BAC的度数．
此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．
15.【答案】∠ABD=∠C
【解析】
解：要使△ABC与△ABD相似，还需具备的一个条件是∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC等， 故答案为：∠ABD=∠C．
两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角即可
此题考查了相似三角形的判定．注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．16.【答案】16
【解析】
解：将线段、等边三角形、平行四边形、圆分别记为A，B，C，D，根据题意画出树状图如下：
第10页，共16页
一共有12种情况，抽到的既是中心对称图形又是轴对称图形的是A，D，共有2种情况，
∴抽到的既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为
=．
画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】5
【解析】
解：连接OA，∵OD⊥AB，∴AD=AB=3，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即OC2=（9-OC）2+32，
解得，OC=5，故答案为：5．
连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式计算即可．
本题考查的是勾股定理和垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．
18.【答案】y=-32x2+120x（0＜x＜80）
【解析】
解：易得四边形PQDE为矩形，则DE=PQ=x，∴AE=AD-AE=80-x，∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，∴
=
，即
=
，
∴PN=-x+120，
∴y=x（-x+120）=-x2+120x（0＜x＜80）．故答案为y=-x2+120x（0＜x＜80）．
利用DE=PQ=x得到AE=80-x，证明△APN∽△ABC，利用相似比表示出PN=-x+120，然后根据矩形的面积用x表示y即可．
本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，用相似三角形对应边的高的比等于相似比进行相应线段的长．也考查了矩形的性质．19.【答案】2-1
【解析】
第11页，共16页
解：连接OD，
∵正方形的边长为1，即OC=CD=1，∴OD=
，
∴AC=OA-OC=-1，
∵DE=DC，BE=AC，弧BD=弧AD∴S阴=长方形ACDF的面积=AC•CD=
-1．，
-1故答案为：
根据题意可得出两个矩形全等，则阴影部分的面积等于等于矩形ACDF的面积．
本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质以及勾股定理，是基础知识比较简单．
20.【答案】32-1
【解析】
解：如图1，连接FC，AF，∵ED⊥DF，
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∴∠ADF+∠CDF=90°，∴∠EDA=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，∵
，
∴△ADE≌△CDF，∴CF=AE=1，
∴AF＞AC-CF，即AF＞AC-1，
∴当F在AC上时，AF最小，如图2，∵正方形ABCD的边长为3，∴AC=3，
-1；∴AF的最小值是3-1．故答案为：3
根据题意先证明△ADE≌△CDF，则CF=AE=1，根据三角形三边关系得：AF＞AC-CF，即AF＞AC-1，可知：当F在AC上时，AF最小，所以由勾股定理可得AC的长，可求得AF的最小值．
此题是正方形的性质，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是确定AF最小时，F在线段AC上，是一道中等难度的试题．
21.【答案】解：（1）将A点坐标（-4，0）代入y=x2+3x+m得：16-12+m=0，
解得：m=-4；
（2）当x=0时，则：y=-4，
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∴函数图象与y轴的交点为（0，-4），令y=0，则x2+3x-4=0，解得x1=1，x2=-4
∴函数图象与x轴的另一个交点为（1，0）．【解析】
（1）将A点坐标（-4，0）代入y=x2+3x+m，即可求解； （2）令x=0时，则：y=-4，令y=0，则x2+3x-4=0，即可求解．
本题考查的是抛物线与坐标轴的交点，是二次函数基础类题目．
22.【答案】解：（1）将有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾分别记为A，B，
C，D，
∵小明投放了一袋垃圾，
∴小明投放的垃圾恰好是B类：厨余垃圾的概率为：14；（2）画树状图如下：
由树状图知，小丽投放的垃圾共有16种等可能结果，其中小丽投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，
所以小丽投放的两袋垃圾不同类的概率为1216=34．【解析】
（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率； （2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键．23.【答案】证明：∵B是弧CD的中点，
∴BC=BD，
∴∠BCE=∠BAC，
∵∠BEC=180°-∠B-∠BCE，∠ACB=180°-∠BAC-∠B，∴∠BEC=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠BEC．【解析】
由B是弧CD的中点，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BCE=∠BAC，即可得∠BEC=∠ACB，然后由等腰三角形的性质，证得结论．
此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
24.【答案】证明：（1）由题意可知∠A=∠B=∠GC1F=90°，
∴∠BFC1+∠BC1F=90°，∠AC1G+∠BC1F=90°，∴∠BFC1=∠AC1G，∴△BC1F∽△AGC1．
（2）∵C1是AB的中点，AB=6，
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∴AC1=BC1=3．∵∠B=90°，
∴BF2+32=（9-BF）2，∴BF=4，
由（1）得△AGC1∽△BC1F，∴AGBC1=AC1BF，∴AG3=34，解得，AG=94．【解析】
（1）根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件，从而可以解答本题； （2）根据勾股定理和（1）中的结论可以求得AG的长．
本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．
25.【答案】解：（1）设y=kx+b，把（40，600），（75，250）代入可得
40k+b=60075k+b=250，交点k=−10b=1000，∴y=-10x+1000，
当x=50时，y=-10×50+1000=500件．
（2）w=（x-40）（-10x+1000）=-10x2+1400x-40000．（3）由题意x≤75−10x2+1400x−40000≥8000，解得60≤x≤75，设成本为S，
∴S=40（-10x+1000）=-400x+40000，∵-400＜0，
∴S随x增大而减小，
∴x=75时，S有最小值=10000元．【解析】
（1）设y=kx+b，把（40，600），（75，250）代入，列方程组即可． （2）根据利润=每件的利润×销售量，列出式子即可．
（3）思想列出不等式求出x的取值范围，设成本为S，构建一次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
本题考查二次函数．一次函数的应用，不等式组的应用等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
26.【答案】解：（1）由抛物线过点A（-1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）
（x-4），
将点C（0，2）代入，得：-4a=2，解得：a=-12，
则抛物线解析式为y=-12（x+1）（x-4）=-12x2+32x+2；（2）如图所示：
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∵当△BOD∽△QBM时，则DOOB=MBBQ=12，∵∠MBQ=90°，
∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，
∴12=4−m−12m2+32m+2，解得：m1=3、m2=4，
当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；
（3）由题意知点D坐标为（0，-2），设直线BD解析式为y=kx+b，
将B（4，0）、D（0，-2）代入，得：4k+b=0b=−2，解得：k=12b=−2，
∴直线BD解析式为y=12x-2，∵QM⊥x轴，P（m，0），
∴Q（m，-12m2+32m+2）、M（m，12m-2），则QM=-12m2+32m+2-（12m-2）=-12m2+m+4，∵F（0，12）、D（0，-2），∴DF=52，∵QM∥DF，
∴当|-12m2+m+4|=52时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m=-1或m=3或m=1+14或1-14
即m=-1或m=3或m=1+14或1-14时，四边形DMQF是平行四边形．【解析】
（1）待定系数法求解可得；（2）利用△BOD∽△QBM得即=
=
=，再证△MBQ∽△BPQ得
=
，
，解之即可得此时m的值．
（3）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=x-2，则Q（m，-m2+
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m+2）、M（m，m-2），由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF，据此列出关于m的方程，解之可得．
本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．
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