高三2013第二轮复习前4道精选(原创)

1、已知函数f(x)4cos(x)(0)图像与函数g(x)42sin(2x)1的图像的对称轴完

全相同． （1）求函数

f(x)的单调递增区间；

可由函数ycosx通过怎样的变化得到？

,]时，求函数f(x)63（2）说出函数（2）当函数

f(x)f(x)的定义域为[的值域．

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2、 设函数f(x)1a2xaxlnx(aR).2 (Ⅰ) 当a1时，求函数f(x)的极值及过点（1，f(1)）的切线方程； （Ⅱ）当a1时，讨论函数f(x)的单调性.

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3、已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大． 现有以下两种设计，如图：

图①的过水断面为等腰△ABC，AB＝BC，过水湿周l1ABBC．图②的过水断面为等腰梯形ABCD，AB＝CD，AD∥BC，∠BAD＝60°，过水湿周l2ABBCCD． 若△ABC与梯形ABCD的面积都为S，

图① 图② （1）分别求l1和l2的最小值；

（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．

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4、如图，在ABC中，|AB||AC|中点P.

（1）求椭圆的标准方程；

72,|BC|2，以B、C为焦点的椭圆恰好过AC的

（2）过椭圆的右顶点A1作直线l与圆E:(x1)2y22相交于M、N两点，试探究点

M、N能将圆E分割成弧长比值为1:3的两段弧吗？若能，求出直线l的方程；若不能，

请说明理由.

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y A P x B O C 参考答案 1、解：（1）

T22，故2,

4所以f(x)2cos(2x)， 由2k故

x2k(kZ)，得：kxk8558(kZ)，

f(x)的单调递增区间为[k,k](kZ)．

88（2）因为x[故

f(x)63,]，所以2x6224[1212,11]，

的值域为[,2]．

上单调递8分

2、解：(Ⅰ)函数的定义域为(0,).

' 当a1时，f(x)xlnx,f(x)11xx1x.令f(x)0,得x1.

''' 当0x1时，f(x)0;当x1时，f(x)0.

f(x)极小值=f(1)1,无极大值.4分

1x（Ⅱ）f(x)(1a)xa1' (1a)xax1x2 [(1a)x1](x1)x

(1a)(x 1a1a1x)(x1) 5分

(x1)x2 当

函数；

当

1，即a2时，f(x)'0, f(x)在(0,)上是减

1a1'1，即a2时，令f(x)0,得0x1a1x1.

''1a1或x1;

令f(x)0,得 当

1a11，即1a2时，令f(x)0,得0x1或x1a11a1;

' 令f(x)0,得1x. 7分

综上，当a2时，f(x)在定义域上是减函数；

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当a2时，f(x)在(0,1a1)和(1,)单调递减，在(1a11a1,1)上单调递增； 1a1)上单调递

当1a2时，f(x)在(0,1)和(8分

,)单调递减，在(1,3、（1）在图①中，设∠ABC，AB＝BC＝a．则S2Ssin12asin，由于S、a、sin皆为

2正值，可解得a2S．当且仅当sin1，即＝90°时取等号．所以

l12a22S，l1的最小值为22S．在图②中，设AB＝CD＝m，BC＝n，由∠BAD＝60°

可求得AD＝m＋n，S12(nmn)324m，解得n2S3mm2．l22mn2m

2S3mm22S3m3m223S23S，l2的最小值为234S．当且仅当

2S3m3m2，即m4S33时取等号． （2）由于243，则l2的最小值小于l1的最

小值．所以在方案②中当l2取得最小值时的设计为最佳方案 4、解（1）∵|AB||AC|72,|BC|2∴|BO||OC|1,

|OA||AC||OC|224941352

∴B(1,0),C(1,0),A(0,依

椭

1235135)∴P(,) 224圆

2的3542定122义3542有

94744

：

2a|PB||PC|(1)(0)(1)(0)∴a2， 又c1，∴b2a2c23

x2∴椭圆的标准方程为

4y231……………………………………………7分

（求出点p的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P点的坐标代入即可求出椭圆方程， 也可以给满分.）

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椭圆的右顶点A1(2,0)，圆E圆心为E(1,0)，半径r2. 假设点M、N能将圆E分割成弧长比值为1:3的两段弧， 则MEN90，圆心E(1,0)到直线l的距离d当直线l斜率不存在时，l的方程为x2， 此时圆心E(1,0)到直线l的距离d1（符合）

当直线l斜率存在时，设l的方程为yk(x2)，即kxy2k0，

|k|k1222r1

∴圆心E(1,0)到直线l的距离d1，无解

综上：点M、N能将圆E分割成弧长比值为1:3的两段弧，此时l方程为x2

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