高等数学(下册)期末复习试题及答案

x0x3tx2y4z2．直线L1:． 与直线L2:y13t的夹角为

2253z27t2223．设函数f(x,y,z)x2y3z，则gradf(1,1,1){2,4,6}．

4．设级数

unun收敛，则nlimn10．

0,x05．设周期函数在一个周期内的表达式为f(x) 则它的傅里叶级数在x处

1x,0x,收敛于

12．

6．全微分方程ydxxdy0的通解为

xxyC．

7．写出微分方程yy2ye的特解的形式

y*axex．

二、解答题（共18分 每小题6分）

x2yz30(1,2,1)1．求过点且垂直于直线的平面方程．

xyz20ijk解：设所求平面的法向量为n，则n1211,2,3 (4分)

111所求平面方程为 x2y3z0 (6分) 2．将积分

f(x,y,z)dv化为柱面坐标系下的三次积分，其中是曲面

 z2(xy)及z222x2y2所围成的区域．

解： : rz2r, 0r1, 02 (3分)

f(x,y,z)dvdrdr00212r2rf(rcos,rsin,z)dz (6分)

3．计算二重积分IeD(x2y2)dxdy，其中闭区域D:x2y24.

解 I02de02r22r212142rdr0d0ed(r)20der(1e)

2222 三、解答题（共35分 每题7分）

221．设zue，而uxy，vxy，求dz．

v解：

zzuzvev2xuevyexy(2xx2yy3) xuxvx(3分)

zzuzvev2yuevxexy(2yx3xy2) (6分) yuyvydzexy(2xx2yy3)dxexy(2yx3xy2)dy (7分)

zz,2．函数zz(x,y)由方程exyz0所确定，求． xyz解：令F(x,y,z)exyz， (2分)

z则 Fxyz, Fyxz, Fzexy, (5分)

zFyzxzFxzyzz ， ． (7分) zyFzexyxFzexy3．计算曲线积分向弧段．

解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段OA围成的闭区域记为D，根据格林

公式

Lydxxdy，其中L是在圆周y2xx2上由A(2,0)到点O(0,0)的有

Lydxxdy2dxdyOAydxxdy (5分)

D 24．设曲线积分求f(x)．

20 (7分)

L[exf(x)]ydxf(x)dy与路径无关，其中f(x)是连续可微函数且满足f(0)1，

PQx解： 由 得 ef(x)f(x)， yx即f(x)f(x)e (3分)

(1)dx(exedxdxC)ex(xC)， (6分) 所以 f(x)ex 代入初始条件，解得C1，所以f(x)e(x1)． (7分)

x(n!)25．判断级数的敛散性．

n1(2n)!un1[(n1)!]2lim解： 因为 limnun(2n2)!n(n!)2 (3分) (2n)!1(n1)21 (6分) limn(2n2)(2n1)4故该级数收敛． (7分)

四、（7分）计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy，其中是上半球

面z1xy的上侧．

解：添加辅助曲面1:z0,xy1，取下侧，则在由1和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得

2222xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy

1 xdydzydzdxzdxdy (4分)

1 3dv0 (6分)

 3142． (7分) 23 五、（6分）在半径为R的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．

解：设三角形各边所对圆心角分别为x,y,z，则xyz2， 且面积为A12R(sinxsinysinz)， 2 令Fsinxsinysinz(xyz2) (3分)

Fxcosx0Fcosy02y由  (4分)得xyz．此

3Fzcosz0xyz2时，其边长为23R3R． 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三2角形时其面积最大． (6分)

xn六、（8分）求级数的收敛域，并求其和函数．

n1n解： Rlimnan(n1)lim1，故收敛半径为R1． (2分) an1nn当x1时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛； 当x1时， 级数为调和级数，发散．

故原级数的收敛域为[1,1)． (5分)

xn设和为S(x)，即S(x)，求导得

n1nS(x)xn1n11， (6分) 1x再积分得 S(x)0S(x)dx

x1dxln(1x)，(1x1) (8分) 01xx七、（5分）设函数f(x)在正实轴上连续，且等式

1xyf(t)dtyf(t)dtxf(t)dt

11xy对任何x0,y0成立．如果f(1)3，求f(x)． 解：等式两边对y求偏导得

xf(xy)f(t)dtxf(y) (2分)

1x上式对任何x0,y0仍成立．令y1，且因f(1)3，故有

xf(x)f(t)dt3x． (3分)

1x由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得

xf(x)f(x)f(x)3 即f(x)3x(x0)．

故通解为 f(x)3lnxC．当x1时，f(1)3，故C3． 因此所求的函数为 f(x)3(lnx1)． 八． （5分）已知y1

(5分)

xexe2x，y2xexex，y3xexe2xex

2x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程． 解1：由线性微分方程解的结构定理知e与ex是对应齐次方程的两个线性无

关的解，xe是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为 将yxyy2yf(x)

xex代入上式，得f(x)ex2xex，因此所求的微分方程为

yy2yex2xex

2x

解2：由线性微分方程解的结构定理知ex与ex是对应齐次方程的两个线性无

关的解，xe是非齐次方程的一个特解，故y 求微分方程的通解，从而有

xexC1e2xC2ex是所

yexxex2C1e2xC2ex， y2exxex4C1e2xC2ex

消去C1,C2，得所求的微分方程为

06高数B

yy2yex2xex

一、填空题（共30分 每小题3分）

1．

xoy坐标面上的双曲线4x29y236绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为

4x29(y2z2)36．

22．设函数f(x,y,z)2xyzz，则gradf(1,0,1)(2,1,2)．

x3tx2y4z3．直线L1:． 与直线L2:y13t的夹角为

2253z27t4. 设是曲面z2x2y2及zx2y2所围成的区域积分，则

212r2rf(x,y,z)dv化为柱面

坐标系下的三次积分形式是 5. 设L是圆周y

0drdr0f(rcos,rsin,z)dz ．

L2xx2，取正向，则曲线积分ydxxdy

2．

(1)n1xn 6. 幂级数的收敛半径

nn1R1．

7．设级数

unun收敛，则nlimn10．

0,x08．设周期函数在一个周期内的表达式为f(x) 则它的傅

x,0x, 里叶级数在x处收敛于

2．

9．全微分方程xdxydy0的通解为 xyC．

x10．写出微分方程yy2ye的特解的形式y*axex．

二、解答题（共42分 每小题６分）

xyz201．求过点(1,2,1)且垂直于直线的平面方程．

x2yz30ijk解：设所求平面的法向量为n，则n1211,2,3 (4分)

111所求平面方程为 x2y3z0 (2分)

z2．函数zz(x,y)由方程sin(x2y3z)x2y3z所确定，求．

x解：令F(x,y,z)sin(x2y3z)x2y3z， (2分)

则Fxcos(x2y3z)1, Fz3cos(x2y3z)3． (2分)

Fz1cos(x2y3z) ． (2分) xxFz33cos(x2y3z) 3．计算

xyd，其中D是由直线y1, x2及yx所围成的闭区域．

D 解法一： 原式21[1xydy]dx (2分)

2x2x3y2xx[x]1dx()dx 11222x4x221[]11. (4分)

8484y122 解法二： 原式[xydx]dy[y]11.(同上类似分)

1y88224．计算

D1x2y2dxdy，其中D是由x2y21即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区

域．

解： 选极坐标系

原式20d011r2rdr (3分)

1122 ()1rd(1r) (3分)

22065．计算

(y2z2)dx2yzdyx2dz，其中是曲线xt,yt2,

zt3上由t10到t21的一段弧．

解：原式011[(t4t6)2t52tt23t2]dt (3分)

64372511(3t2t)dt[tt]0 (3分)

075356．判断级数

2n12n的敛散性． n1解： 因为 limun1(2n1)2n1 (3分) limn1nnun22n11， (2分) 2 故该级数收敛． (1分) 7．求微分方程y3y4y0满足初始条件yx00,yx05的特解． 解：特征方程 r3r40，特征根 r14, 通解为 yC1e y4C1e 所以特解

4x4x2r21

C2ex， (3分)

C2ex，代入初始条件得 C11,C21，

(3分)

ye4xex．

22三、（8分）计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy，其中是上半球面z1xy的上侧．

解：添加辅助曲面1:z0,xy1，取下侧，则在由1和所围成的 空间闭区域上应用高斯公式得

22

xdydzydzdxzdxdy xdydzydzdxzdxdy1 xdydzydzdxzdxdy (4分)

1 3dv0 (2分)

 3142． (2分) 232 四、（8分）设曲线积分yf(x)dx[2xf(x)x]dy在右半平面(x0)内

L 与路径无关，其中f(x)可导，且满足f(1)1，求f(x)．

PQ 解：由， 得f(x)2f(x)2xf(x)2x， yx 即f(x)1f(x)1， (3分) 2x1dx2x( 所以

f(x)exe1dx2xdxC)

3x212(1x2dxC)代入初始条件，解得C1，所以3321f(x)x． (2分)

33xx12(2C)， (3分)

33五、（6分）求函数f(x,y)xy3xy的极值． 2fx(x,y)3x3y0解： 2fy(x,y)3y3x0得驻点 (0,0),(1,1) (3分)

fxx(x,y)6x, fxy(x,y)3, fyy(x,y)6y

2在点(0,0)处，BAC90, 故f(0,0)非极值；

2在点(1,1)处，BAC270, 故f(1,1)1是极小值． (3分)

y六、（6分）试证：曲面zxf()上任一点处的切平面都过原点．

x证：因

zy1yzyyyxf()f() (3分) f()f(), yxxxxxxx则取任意点M0(x0,y0,z0)，有z0x0f(y0)，得切平面方程为 x0y0y0y0y0y0z0x0f()[f()f()](xx0)f()(yy0)

x0x0x0x0x0即 [f(y0yyy)0f(0)]xf(0)yz0 x0x0x0x0故切平面过原点． (3分)

07A

一、 填空题（每小题3分，共21分）

1．设向量a{2,3,1},b{,1,5}，已知a与b垂直，则2．设a3,b2,(a,b)，则ab31

6

y2z23．yoz坐标面上的曲线221绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为

ab

x2y2z2212ab

x2z104．过点(2,4,0)且与直线垂直的平面方程2x3yz80

y3z205．二元函数z6．函数7．设zxln(xy)的定义域为D{(x,yx0,xy0}

f(x,y,z)ln(x2y2z2)，则gradf(1,0,1)exy，则dz{1,0,1}

exy(ydxxdy)

yu8．设uxf(x,)，f具有连续偏导数，则xx239．曲线xt,yt,zt上点(1,1,1)处的切向量T10．交换积分顺序：0dy011．闭区域由曲面z21yyfxf1f2x

{1,2,3}

f(x,y)dxdxf(x,y)dy0x11x2y2及平面z1所围成，将三重积分f(x,y,z)dv化为柱面

坐标系下的三次积分为12．设L为下半圆周ydrdrf(rcos,rsin,z)dz00r211

1x2，则L(x2y2)ds13．设L为取正向圆周x2y29，则L(2xy2y)dx(x24x)dy18

0f(x)xx00x则它的傅里叶级数在

14．设周期函数在一个周期内的表达式为

x处收敛于

15．若limunn2n1

0，则级数un的敛散性是 发散 2nn!16．级数n的敛散性是 收敛

n1n17．设一般项级数un，已知n1n1un收敛，则un的敛散性是 绝对收敛 n118．微分方程xy2(y)35xy0是 2 阶微分方程

0的通解y19．微分方程y4y4y20．微分方程y3y2y二、（共5分） 设zC1e2xC2xe2x

xe2x的特解形式为x(axb)e2xu2lnv,uxzz,vxy，求, yxyzzuzv1u2x22ulnvy2[2ln(xy)1] 解：

xuxvxyvyzzuzvxu2x22ulnv(2)x3[2ln(xy)1]

yuyvyyvy三、（共5分） 设x2yz2xyz0，求

z x解：令F(x,y,z)

x2yz2xyz

xyzxy

xyzFxxyzyz FzxyzFxyzxyzz xFzxyzxy四、（共5分）

计算xdxdydz，其中为三个坐标面及平面xyz1所围成的闭区域

解：:0x1,0y1x,0z1xy

xdxdydz0dx0dy011x1xyxdz0dx0x(1xy)dy

11x 五、（共6分） 计算

11111 0x(1x)2dx0(x2x2x3)dx2224xx(esinyy)dx(ecosy1)dy，其中L为由点A(a,0)到点O(0,0)的上半圆周Lx2y2ax

解：添加有向辅助线段OA,则有向辅助线段OA和有向弧段OA围成闭区域记为D，根据格林 公式

xx(esinyy)dx(ecosy1)dy Ldxdy(exsinyy)dx(excosy1)dy

DOA1a2()0 2213a 8六、（共6分）

(x3)n求幂级数的收敛域 nn1n3解：对绝对值级数，用比值判敛法

un1x3limlimnnun(n1)3n1n1x31n1limx3x3 nnn33n13n1当x31时，即0x6，原级数绝对收敛 3当

1x31时，即x0或x6，原级数发散 3(1)n当x0时，根据莱布尼兹判别法，级数n1n当x6时，级数七、（共5分） 计算z2收敛

1发散，故收敛域为[0,6) n1ndxdy，其中为球面x2y2z21在第一卦限的外侧

2解：在xoy面的投影Dxy：xy21,x0,y0

2zdxdy (1xy)dxdy02d0(1r2)rdr22Dxy11248

八、（共7分）

1设f(1)0，求f(x)使[lnxf(x)]ydxf(x)dy为某二元函数u(x,y)的全微分，并求u(x,y)

xPQ11解：由，得lnxf(x)f(x)，即f(x)f(x)lnx yxxx所以

f(x)e1dxx(lnxexdx1112C)x(lnxdxC)x(lnxC)

x21xln2x 2带入初始条件，解得C(x,y)0,所以f(x)121u(x,y)(0,0)(lnxlnx)ydxxln2xdy

22

07高数B

112000xlnxdyxyln2x

22xy一、（共60分 每题3分） 得分 1. 设向量a{6, 2, 4}，b{, 1, 2}，已知a与b平行,则3．

y2z2x2y2z221． 2. yoz坐标面上的曲线221绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为

aca2b3.

设a2,b1,(a,b),则ab3．

3x2y404. 设一平面经过点(1,1,1)，且与直线垂直，则此平面方程为2xy3z0．

3yz05. 6. 7.

二元函数zlny22x1的定义域为(x,y)|y22x10．

xy设ze，则dzexy(ydxxdy)．

函数f(x,y,z)ln(x2y2z2)，则gradf(1,0,1)(1,0,1)．

8. 设uxf(x,)，f具有连续导数，则

yxuy． fxf1f2xx9. 曲面x2y2z21在点(1,0,2)处的法向量n2,0,4．

10. 交换积分顺序：

0dx0f(x,y)dy 0dyyf(x,y)dx．

f(x,y,z)dv化为柱面坐标系下的三次1x1111. 闭区域由曲面zx2y2及平面z1所围成，将三重积

211积分为

0drdr2f(rcos,rsin,z)dz．

0r12. 设是闭区域的整个边界曲面的外侧,V是的体积，则 13. 设L为上半圆周y1x2，则

xdydxydzdxzdxdy=3V．

L(x2y2)ds．

14. 设周期函数在一个周期内的表达式为f(x)0,x0 则它的傅里叶级数在x处收敛

x,0x,于

2．

15. 若limun0，则级数

nun1n的敛散性是 发散 ．

nn16. 级数n的敛散性是 收敛 ．

n15n!17. 级数

sinn的敛散性是 收敛 ． 2n1n18. 微分方程x2y5(y)46y0是 2 阶微分方程． 19. 微分方程y2yy0的通解为20.

ex(C1C2x)．

微分方程y5y6y3xe2x的特解的形式

得分 y*(ax2bx)e2x．

三、（共5分） 函数zz(x,y)由方程x2y2z24z0所确定，求

222z． x解：令F(x,y,z)xyz4z， (1分)

则 Fx2x, Fz2z4, (2分)

Fzx (2分) xxFz2z得分 五、（共6分）

计算曲线积分

L(x22y)dx(xsin2y)dy，其中L为由点A(2,0)到点O(0,0)的上半圆周

x2y22x．

解：添加有向辅助线段OA，它与上半圆周围成的闭区域记为D，根据格林公式

LD(x22y)dx(xsin2y)dy

(x22y)dx(xsin2y)dy (3分)

(12)dxdydxdyD22OA012382xdx1 (3分)

2323七、（共6分） 得分 设f(1)0，确定f(x)使[sinxf(x)]dxf(x)dy为某二元函数u(x,y)的全微分．

yx解： 由

sinxf(x)PQf(x)， 得 xyx1sinxf(x) (2分) xx1dxx即 f(x) 所以 f(x)esinxxdx(edxC)

x1elnx(sinxlnxedxC) (2分) x1(cosxC)， (1分) x1(cos1cosx)． (1分) x 代入初始条件，解得Ccos1，所以f(x)八、(共6分) 计算

得分 2222zdxdyxyz1外侧在x0,y0的部分． ，其中是球面解：

zdxdydxdy zdxdy12 (2分)

Dxy2222(1xy)dxdy(1)(1xy)dxdy (2分) Dxy2(1x2y2)dxdy

Dxy202d(1r2)rdr 014 (2分)

08高数A

一、选择题（共24分 每小题3分）

1．设s1m1,n1,p1，s1m2,n2,p2分别为直线L1，L2的方向向量，则L1与L2垂直的充要条件是 （A ）

（A）m1m2n1n2p1p20（B）m1n1pmnp1（C）m1m2n1n2p1p21（D）1111 m2n2p2m2n2p22．Yoz平面上曲线zy21绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )

（A）zy21（B）zy2x2（C）zy2x21 （D）zy2x

3．二元函数zlny22x1的定义域为 （B）

（A）(x,y)|y22x0（B）(x,y)|y22x10 （C）(x,y)|y22x10（D）(x,y)|x0,y0

4．交换积分顺序：

1101dyf(x,y)dx （ A ）

0111yy（A）0dxxf(x,y)dy（B）0dyyf(x,y)dx（C）0dy1f(x,y)dx（D）dxf(x,y)dy

011x5．空间闭区域由曲面r1所围成，则三重积分2dv= （ C ） （A）2 （B）2 （C）

84 （D） 336．函数zz(x,y)由方程x2y2z24z0所确定，则

z= （ D ） xx 2z（A）

y 2z （B）

x（C）z2y 2z （D）

xn7．幂级数n的收敛域是 （ C ）

n1n3（A）

3,3 （B）0,3（C） 3,3 （D）3,3

x8．已知微分方程yy2ye的一个特解为y*xex，则它的通解是（ B ）

（A）C1xC2x2xex（B）C1exC2e2xxex（C）C1xC2x2ex（D）C1exC2exxex

二、填空题（共15分 每小题3分）

1．曲面x2y2z在点(1,0,1)处的切平面的方程是2xz10． 2．若limun0，则级数

nun1n的敛散性是 发散 ．

3．级数cosn的敛散性是 绝对收敛 ． 2nn14．二元函数f(x,y)(x2y2)sin1，当x,y0,0时的极限等于 0 。 x25．全微分方程ydxxdy0的通解为_____xyc____________．

三、解答题（共54分 每小题6分）

1．用对称式方程及参数方程表示直线

xyzi0xyz10  2xy3z402xy3z40解：因所求直线与两平面的法向量都垂直，于是该直线的方向向量为

ijks1114,1,3 (4分)

213 在直线上找出一点，例如，取x01代入题设方程组得直线上一点

1,0,2 （5分）

故题设直线的对称式方程为

x1y0z2 (6分) 413 参数方程为

x14t yt （7分）

z23t4．计算三重积分x2y2dv，其中是平面z2

 及曲面z

x2y2所围成的区域（提示：利用柱面坐标计算）．

解：: rz2, 0r2, 02 (3分)

xydvdrdrrdz （6分）

00r22222 8 （7分） 35．计算曲线积分ydx2xdy，其中L是在圆周yL2xx2上由A(2,0)到点O(0,0)的有向弧

段．

解法1：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段AO围成的闭区域记为D，根据格林公式 （2分）

Lydx2xdy3dxdyydx2xdy (4分)

DOA 3解法2：直接求曲线积分

202 (6分)

6．求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积。

解法1：设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，则题设问题归结为约束条件 (x,y,z)2xy2yz2xza20

下，求函数Vxyz（x,y,z均大于0）的最大值。 （2分）

作拉格朗日函数

L(x,y,z,)xyz(2xy2yz2xza2) （4分） 由方程组

LXyz2(yz)0 Lyxz2(xz)0 （5分）

Lzxy2(yx)0 进而解得唯一可能的极值点 xyz6a 6 由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值点。故该问题的最大体积为 V63a （6分） 36解法2：从条件中解出z代入目标函数中，再用无条件极值的办法求解。

7．计算xyzds，其中为平面yz4被柱面x2y216所截的部分。

 解：积分曲面的方程为z4y，它在xoy面上的投影为闭区域

Dxyx,yx2y216 （2分） 又 所以

221zxzy2

xyzds=xy4yDxy2dxdy （4分）

=24xdxdy=2d4rcosrdr （5分）

Dxy0024 642

24dxdy4162642

Dxy（6分）

8．将函数f(x)11x2,x(1,1)展开成x的幂级数。

解法1： 因为 11x'11x2 （2分）

而又

11x1xx2x3.....xn...... x(1,1) （4分） 逐项求导，得

11x212x3x2......nxn1...... x(1,1) （6分）

解法2：直接求展开式的系数，然后根据余项是否趋近于零确定收敛域。

9．求微分方程y''1y'2的通解。

解：令y'u 则原方程变为

u'1u2 （2分）

分离变量后积分得 arctanuxc1 （4分）

则，

y'tanxc1 （5分）

故原方程的通解为

ylncosxc1c2 （6分）

四、证明题（7分） 证

明：若函数f(x,y)在Ra1xb1,a2yb2上连续，Ra1x,a2y，则

2 Rf(x,y)dxdyf(,)

 证：已知f(x,y)在R连续，,R，设

F(,)f(x,y)dxdyadx1af(x,y)dy （3分）

R2因为(x)af(x,y)dy在a1,连续，所以，有

2,R令

，

Ff(,y)dy a2 （5分）

又因为f(,y)在a2,b2上连续，所以有

2Ff(,)

2即

08高数B

Rf(x,y)dxdyf(,) （7分）

一、选择题（共24分 每小题3分）

1．设两平面的法向量分别是n1a1,b1,c1，n1a2,b2,c2，则这两平面垂直的充要条件是 （C ）

（A）a1a2b1b2c1c21 （B）

a1b1c1a2b2c2

（C）a1a2b1b2c1c20 （D）

a1b1c11 a2b2c22．Yoz平面上曲线zy2绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( B )

（A）zy21 （B）zy2x2 （C）zy2x21 （D）zy2x

3．二元函数zyx的定义域为 （A）

x,x0 （A）(x,y)|y （B）(x,y)|x10

（C）(x,y)|y2x （D）(x,y)|x0,y0

4．交换积分顺序：

1110dxf(x,y)dy = （B ）

x1 （A）0dyyf(x,y)dx （B）0dy0 （C）0dy11y1yf(x,y)dx

f(x,y)dy

f(x,y)dx

（D）0dx11x5．空间闭区域由曲面r1所围成，则三重积分3dv= （ D ）

 （A）3 （B）2 （C）4 （D）4

36．函数zz(x,y)由方程x2y2z24z0所确定，则

z= （A ） y （A） （C）

y 2zz 2z （B） （D）

x 2yx 2z

xn7．幂级数n的收敛域是 （D ）

n1n5 （A） （C）

5,5 （B）0,5

5,5 （D）5,5

x8．已知微分方程yy2ye的一个特解为y*xex，则它的通解是（ A）

（A）C1exC2e2xxex（B）C1xC2x2xex（C）C1xC2x2ex（D）C1exC2exxex

二、填空题（共15分 每小题3分）

1．曲面x2y2z在点(0,1,1)处的切平面的方程是2Yz10． 2．若级数

un1n的敛散性，则数列un当n时的极限是 0 ．

sin2n3．级数2的敛散性是 收敛 ．

nn14．二元函数f(x,y)(x2y2)sin1，当x,y,时的极限等于 1 。

x2y2y5．微分方程y'1的通解为_xcxy)____________．

x2三、解答题（共54分 每小题6分）

1．设平面过点(1,2,1)且垂直于两平面

1：x2yz0 2：xyz0

求此平面的方程．

解：设所求平面的法向量为n，则n1ijk211,2,3 (4分) 111所求平面方程为 x2y3z7 (6分)

x2y3z8

2．求两个底圆半径都等于2的直交圆柱面所围成的立体的体积。

解：设两个圆柱面的方程分别为

x2y24 x2z24 （2分） 由于对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积V1，然后再乘以8即可。

2V4xdxdy （4分） 1D 204x22164xdydx 03128 （6分） 3 从而所求立体的体积为V8V1v223．设zue，而uxy，vxy，求dz．

解：

zzuzvev2xuevyexy(2xx2yy3) xuxvx(2分)

zzuzvev2yuevxexy(2yx3xy2) (4分) yuyvydzexy(2xx2yy3)dxexy(2yx3xy2)dy (6分)

4．计算三重积分x2y2dv，其中是曲面zx2y2

及平面z1所围成的区域（提示：利用柱面坐标计算）．

解：: rz1, 0r1, 02 (2分)

xydv22drdrrdz （5分）

00r211 6 （6分）

5．求内接于半径为a2的球而体积为最大的长方体的体积。

解：设长方体的长、宽、高分别为2x,2y,2z，则题设问题归结为约束条件 (x,y,z)x2y2z2a20

下，求函数V8xyz（x,y,z均大于0）的最大值。 （2分）

作拉格朗日函数

L(x,y,z,)8xyz(x2y2z2a2) （4分） 由方程组

LX8yz2x0 Ly8xz2y0 （5分）

Lz8xy2z0 进而解得唯一可能的极值点，xyz33a 93a由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值 3，

点。故该问题的最大体积为V6．计算曲线积分ydx2xdy，其中L是由点A(a,0)到点O(0,0)的上半圆周x2y2a2的有向弧

L段． B(a,0)

解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段AO围成的闭区域记为D，根据格林

公式 （2分）

Lydx2xdy3dxdyydx2xdy (4分)

DOA 38

．

设

2a2032a (6分) 2为平面yz3被柱面

x2y29所截的部分，

计算曲面积分xyzds 。

解：积分曲面的方程为z3y，它在xoy面上的投影为闭区域

Dxyx,yx2y29 （2分） 又 所以

221zxzy2

xyzds=xy3yDxy23002dxdy （4分）

=23xdxdy=2d3rcosrdr （5分）

Dxy =272 （6分） 9．求微分方程

y''1y'的通解。

u'1u （2分）

（4分）

解法1：令y'u 则原方程变为 分离变量后积分得

'xln1uxc则，

yc1e1故原方程的通解为

yc1exxc2 （6分）

解法2：可通过观察或求解二阶常系数非齐次线性微分方程的办法先得原方程的一个特解y*x。之后再根据相应的齐次方程的通解而构造出原问题的通解。

(