2021年天津高考数学模拟仿真试卷(十八)(含答案)

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：

·如果事件与事件互斥，那么． ·如果事件与事件相互独立，那么． ·球的表面积公式，其中表示球的半径．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．二项式(x)的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为 A．160

B．80

C．80

D．160

2xn2．已知全集U{0,1,2,3,4,5}，集合A{1,3,5},B{0,1,2}，则A．{0,1}

B．{0,2}

C．{1,2}

UAB

D．{2}

3．有些银行存款按照复利的方式计算利息，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期利息.假设最开始本金为a元.每期利率为r时，在x期后本息和为fx.若fx2a，则a1r2a.解

x得xln2.银行业中经常使用的“70”原则：因为ln20.69315，而且当r比较小时，ln1rr，

ln(1r)ln20.6931570.若r3%，fx2a.则x的最小整数值为 所以

ln1rr100rA．22

B．25

C．23

D．24

4．已知单位向量e1与e2的夹角为A．2，则向量e1在向量e2方向上的投影为 3C．3 2B．

1 21 22D．3 25．设O为坐标原点，直线l过定点1,0，与抛物线C:y2pxp0交于A,B两点，若OAOB，

则抛物线C的准线方程为

1A．x

41B．x

2C．x1 D．x2

6．已知在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a:c2:3,B30，则角C的大小是 A．75

8B．45 C．30 D．60

17．在1x2021的展开式中，x2的系数为 xA．2021

B．28

C．28

D．56

8．在三棱锥ABCD中，ACAD5,ABCD2,BCBD为 A．

2，则这个三棱锥的外接球的半径

210 5B．210 3C．

25 3D．25 9．小学数学在“认识图形”这一章节中，一般从生活实物入手，抽象出数学图形，在学生正确认识图形特征的基础上，通过习题帮助学生辦认所学图形；例如在小学数学课本中有这样一个21的方格表（如图所示），它由2个单位小方格组成，其中每个小方格均为正方形；若在这21方格表的6个顶点中任取2个顶点，则这2个顶点构成的线段长度不超过2的概率为

A．

13 15B．

11 15C．

2 3第Ⅱ卷

D．

3 5注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

xy0,10．已知x，y满足约束条件2xy40,则z＝5x+2y的最大值为__________．

xy40,11．抛物线C：x2＝2py，其焦点到准线l的距离为4，则准线l被圆x2＋y2﹣6x＝0截得的弦长为_______． 12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x0时，f(x)xe2x1，则不等式

f2x210xfx26x120的解集为__________．

13．函数fxAsinxcosxbA0,0的最大值为3，最小值为1，图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.则b___________，___________.

14．某学校为普及垃圾分类知识，增强学生的垃圾分类意识，在全校范围内举办垃圾分类知识竞赛．通过选拔，仅有甲、乙两名选手进入决赛．决赛采用积分制，规则为：抢答3道题，每题10分，答对得10分，答错自己不得分，对方得10分．选手是否抢到试题是等可能的，且回答对错互不影响，得分高的获胜．已知甲、乙两名选手答对每道题的概率分别为

21，，记甲选手的得分为X（单位：分），则PX20______，33EX______．

15．已知双曲线C的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴，且经过点P(2,3)，下列条件中哪一个条件能确定唯一双曲线C，该条件的序号是__________；满足该条件的双曲线C的标准方程是________. 条件①：双曲线C的离心率e2；

条件②：双曲线C的渐近线方程为y3x； 条件③：双曲线C的实轴长为2.

三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演步骤．

16．某种机器需要同时装配两个部件S才能正常运行，且两个部件互不影响，部件S有两个等级：一等品售价5千元，使用寿命为5个月或6个月（概率均为0.5)；二等品售价2千元，使用寿命为2个月或3个月（概率均为0.5)

（1）若从4件一等品和2件二等品共6件部件S中任取2件装入机器内，求机器可运行时间不少于3个月的概率．

（2）现有两种购置部件S的方案，方案甲：购置2件一等品；方案乙：购置1件一等品和2件二等品，试从性价比（即机器正常运行时间与购置部件S的成本之比）角度考虑，选择哪一种方案更实惠．

17．如图所示，在四棱锥SABCD中，平面SAB底面ABCD.ABC90，ACD60，ACAD，

SA2，AB3，BC1.设平面SCD与平面SAB的交线为l，E为SD的中点.

（1）求证：l//平面ACE；

（2）当四棱锥SABCD的体积最大时，求平面ABCD与平面ACE所成锐二面角的余弦值.

233x2y22,18．已知椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为，且点在33ab2C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

BF1（2）设过F2的直线l与C交于A，B两点，若AF1·10，求AB． 319．已知数列an，其前n项和为Sn，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中使得最终结论成立并证明你的结论．

条件①：Snant(t为常数)；

条件②：anbnbn1，其中数列bn满足b11，(n1)bn1nbn；

223an条件③：3an1an1an．

数列an中a1是二项式(x21)6展开式中的常数项，且 ．求证：Sn＜1对nN恒成立． 30x注：如果选择多个条件作答，则按第一个条件的解答计分． 20．设fxlnaxa11x，gxbeln,其中a,bR，且a0. xxx（1）试讨论fx的单调性；

（2）当a1时，fxxgxlnx恒成立，求实数b的取值范围.

参考答案

1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．D 7．B 8．A 9．B 10．14 11．25 12．,(6,) 13．1 14．

231 24 20 92y215．② x1

316．（1）

41；（2）方案乙更实惠． 60【解析】

（1）由题意知机器运行时间不少于3个月，共有三种可能：

2C42第一，取到2个一等品，对应概率为2，

C65第二，取到1个一等品，1个二等品，且二等品的使用寿命为3个月，

11C4C214， 对应概率为2C6215第三，取到2个二等品，且二者使用寿命均为3个月，对应概率为：

2C2111， 2C62260机器可运行时间不少于3个月的概率P24141． 5156060（2）若采用甲方案，则机器正常运行的时间为X（单位：月）， 则X的可能取值为5，6，

111P(X6)，

224P(X5)1P(X6)3， 4则X的分布列为：

X P 5 6 3 41 43121E(X)56，

444E(X)21它与成本价之比为， 5540若采用方案乙，两个二等品的使用寿命之和Y（单位：月），

Y的可能取值为4，5，6，

111P(Y4)，

224111P(Y5)2，

222111P(Y6)，

224则Y的分布列为：

Y P 4 5 6 1 41 21 4记M为一等品的使用寿命（单位：月），此时机器的正常运用时间为Z， 则Z的可能取值为4，5，6，

P(Z4)P(Y4)1， 413115， 24228P(Z5)P(M5，Y5)P(M6，Y5)111P(Z6)P(My6)，

248Z的分布列为：

Z P 4 5 6 1 45 81 815139E(Z)456，

4888它与成本价之比为

E(Z)13，

522242113， 4024从性价比角度考虑，方案乙更实惠．

17．（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）在Rt△ABC中，因为BC1，AB133，AC2， 321. 73，

所以tanBAC所以BAC30.

在ABC中，因为ACAD，ACD60，所以△ACD为等边三角形， 所以CD2，CAD60，所以BAD90， 又ABC90，所以BC//AD.

如图，延长AB和DC交于点F，连接SF，因为FAB，AB同理可得F平面SCD. 所以SF所在直线即为直线l. 因为

平面SAB，所以F平面SAB.

BCFC1，所以C为DF的中点，所以在△SDF中，l//CE. ADFD2因为l不在平面ACE内，CE平面ACE，所以l//平面ACE.

（2）过S向AB作垂线，垂足为P，因为平面SAB底面ABCD，所以SP底面ABCD.

因为梯形ABCD的面积和SA的长为定值，所以当点P与A重合，即SA底面ABCD时，四棱锥SABCD的体积最大.

当点P与A重合时，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

可得A0,0,0，C3,1,0，S0,0,2，E0,1,1，

AE0,1,1，AC3,1,0.

设平面ACE的一个法向量为nx,y,z，

nAEyz0,由取z3，得n1,3,3， nAC3xy0,由题意，平面ABCD的一个法向量为AS0,0,2， 则cosn,ASnASnAS2321.

77221. 7所以平面ABCD与平面ACE所成锐二面角的余弦值为

x24218．（1）y21；（2）|AB|．

23【解析】

（1）因为椭圆C过点所以

233,， 33411．① 223a3bc212又椭圆C的离心率为，所以2，

a22b2a2c2c21故212．② 2aaa2141,22a22,3a3bx2联立①②得2解得2故椭圆C的标准方程为y21．

2b1,b1,a22b2222910（2）当直线l的斜率不存在时，AF2BF2，所以AF1BF1(22， )a2223故直线l的斜率存在，设直线l:yk(x1),Ax1,y1,Bx2,y2．

yk(x1),22222k1x4kx2k20， y联立x2消去并整理得2y1,24k22k22则x1x2． ,x1x2222k12k1x122AF1x11y1x111222x12222x1， 2同理|BF1|2x2． 242x1x2x1x218k22102因为AF1BF1，解得k1， 224k23所以AF1BF14x1x282， 3242． 3又因为AF1BF1|AB|42，所以|AB|19．答案见解析. 【解析】

x26r116r123rrTC()()rC()x二项展开式的通项为r1， 6x3030r6令r4得展开式的常数项为a11. 2可选择的条件为①或②或③

若选择①：在Snant中令n1，得t1

Snan1（i），Sn1an11(n2)（ii）

（i）（ii）得：an故an是以

1an1， 211为首项为公比的等比数列， 22a1(1qn)1n1（）1恒成立. 所以Sn1q2若选择②：由(n1)bn1nbn，得

bn1n bnn1所以bnbnbn1b21b1(n2),n1 时也满足，

bn1bn2b1n则an111，

n(n1)nn1111111Sn111恒成立. 223nn+1n+122若选择③：则3an13an(an1an),an1an,或an1an0

130，n为偶数.1Sn1 又a1，当an1an0时， Sn12，n为奇数.2当an1an时，Sn此时n2时(Sn)max13nn(n1)1(n24n), 26621． 320．（1）答案见解析；（2）,e. 【解析】 （1）fx1axa22， xxx①当a0时，由ax0得：x0，即fx定义域为,0；

当x,a时，fx0；当xa,0时，fx0；

fx在,a上单调递减，在a,0上单调递增；

②当a0时，由ax0得：x0，即fx定义域为0,；

当x0,a时，fx0；当xa,时，fx0；

fx在0,a上单调递减，在a,上单调递增；

综上所述：当a0时，fx在,a上单调递减，在a,0上单调递增；当a0时，fx在0,a上单调递减，在a,上单调递增. （2）由fxxgxlnx得：lnx设httlnt，则ht11111bxexlnlnx，即bxexln， xxxx1tt1， t当t0,1时，ht0；当t1,时，ht0；

ht在0,1上单调递增，在1,上单调递减；

又t1在0,上单调递减， x1111ln在0,1上单调递减，在1,上单调递增，ln1ln11；

xminxxxxyexbxe1在0,上恒成立，b；

xexx1ex设mx，则mx， 2xx当x0,1时，mx0；当x1,时，mx0；

mx在0,1上单调递减，在1,上单调递增，mxminm1e，be，

即实数b的取值范围为,e.

