2019-2020学年北京市朝阳区高一(上)期末数学试卷(解析)

选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.

1．（5分）已知集合A{1，0，1}，集合B{xZ|x22x0}，那么AA．{1}

B．{0，1}

C．{0，1，2}

B等于( )

D．{1，0，1，2}

2．（5分）已知命题p:x1，x21，则p是( ) A．x1，x21

B．x1，x21

C．x1，x21 D．x1，x21

3．（5分）下列命题是真命题的是( ) A．若ab0，则ac2bc2 C．若ab0，则a2abb2

B．若ab，则a2b2 D．若ab0，则

11 ab4．（5分）函数f(x)cos2xsin2x的最小正周期是( ) A．

 2B． C．2 D．4

5．（5分）已知函数f(x)在区间(0,)上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f(x)只可能是( ) A．f(x)x B．f(x)sinx2 C．f(x)ln(x2x1) 2x1,x0D．f(x)

x1,x0126．（5分）已知a，b，cR，则“abc”是“a2b2c2abacbc”的( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

7．（5分）通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE4.81.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为( ) A．E132E2

B．E164E2

C．E11000E2

D．E11024E2

8．（5分）已知函数f(x)x42在同一平面直角坐标系里，a(aR)，g(x)x4x3，

x函数f(x)与g(x)的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是( ) A．{a|a3}

B．{a|a3}

C．{a|a3}

D．{a|3a4}

9．（5分）已知大于1的三个实数a，b，c满足(lga)22lgalgblgblgc0，则a，b，c的大小关系不可能是( ) A．abc

B．abc

C．bca

D．bac

10．（5分）已知正整数x1，x2，，x10满足当ij(i,jN*)时，xixj，且

22x12x2x102020，则x9(x1x2x3x4)的最大值为( )

A．19 B．20 C．21 D．22

二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分. 11．（5分）计算sin330 ．

12．（5分）若集合A{x|x2ax20}，则实数a的取值范围是 ．

13．（5分）已知函数f(x)log2x，在x轴上取两点A(x1，0)，B(x2，0)(0x1x2)，设线段AB的中点为C，过A，B，与函数f(x)的图象分别交于A1，B1，C1，C作x轴的垂线，则点C1在线段A1B1中点M的 ．（横线上填“上方”或者“下方”) 14．（5分）给出下列命题：

①函数f(x)sin(2x)是偶函数；

2②函数f(x)tan2x在(③直线x

44,)上单调递增；

是函数f(x)sin(2x)图象的一条对称轴； 84④将函数f(x)cos(2x)的图象向左平移单位，得到函数ycos2x的图象．

33其中所有正确的命题的序号是 ．

15．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A(1,1)关于y轴的对称点A的坐标是 ．若yxa，则实数a的取值范围是 ． A和A中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组1xy()a216．（5分）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数yAsin(x)，x[0，)表示，其中A0，0．如图，平面直角坐标系xOy中，

以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为，

则点A的坐标是 ，从A点出发，以恒定的角速度转动，经过t秒转动到点B(x,y)，动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为 ． 三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（14分）已知集合A{x|x25x60}，B{x|m1x2m1，mR}． （Ⅰ）求集合（Ⅱ）若ARA；

BA，求实数m的取值范围．

18．（18分）已知函数f(x)sin2x23sin2x3． （Ⅰ）若点P(31,)在角的终边上，求tan2和f()的值； 22（Ⅱ）求函数f(x)的最小正周期； （Ⅲ）若x[0,2]，求函数f(x)的最小值．

2x(xa)． xa19．（18分）已知函数f(x)（Ⅰ）若2f（1）f(1)，求a的值；

（Ⅱ）若a2，用函数单调性定义证明f(x)在(2,)上单调递减；

（Ⅲ）设g(x)xf(x)3，若函数g(x)在(0,1)上有唯一零点，求实数a的取值范围． 20．（20分）已知函数f(x)log2(xa)(a0)．当点M(x,y)在函数yg(x)图象上运动时，对应的点M(3x,2y)在函数yf(x)图象上运动，则称函数yg(x)是函数yf(x)的相关函数．

（Ⅰ）解关于x的不等式f(x)1；

（Ⅱ）对任意的x(0,1)，f(x)的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围； （Ⅲ）设函数F(x)f(x)g(x)，x(0,1)．当a1时，求|F(x)|的最大值

2019-2020学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.

1．（5分）已知集合A{1，0，1}，集合B{xZ|x22x0}，那么AA．{1}

B．{0，1}

C．{0，1，2}

B等于( )

D．{1，0，1，2}

【解答】解：集合A{1，0，1}，

集合B{xZ|x22x0}{xZ|0x2}{0，1，2}，

AB{1，0，1，2}．

故选：D．

2．（5分）已知命题p:x1，x21，则p是( ) A．x1，x21

B．x1，x21

C．x1，x21 D．x1，x21

【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定为：x1，x21， 故选：A．

3．（5分）下列命题是真命题的是( ) A．若ab0，则ac2bc2 C．若ab0，则a2abb2

B．若ab，则a2b2 D．若ab0，则

11 ab【解答】解：对于A，若ab0，则ac2bc2，c0时，A不成立； 对于B，若ab，则a2b2，反例a0，b2，所以B不成立； 对于C，若ab0，则a2abb2，反例a4，b1，所以C不成立； 对于D，若ab0，则故选：D．

4．（5分）函数f(x)cos2xsin2x的最小正周期是( ) A．

11

，成立； ab

 2B． C．2 D．4

2， 2【解答】解：函数ycos2xsin2xcos2x，函数的最小正周期为T故选：B．

5．（5分）已知函数f(x)在区间(0,)上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f(x)只可能是( ) A．f(x)x B．f(x)sinx2 C．f(x)ln(x2x1) 2x1,x0D．f(x)

x1,x012【解答】解：x0，

根据幂函数的性质可知，yx0，不符合题意，

121sinx1，

2sinx0恒成立，故选项B不符合题意，

13C:x2x1(x)22433，而f(x)ln(x2x1)ln，故值域中不恒为正数，符合题44意，

D：当x0时，f(x)2x10恒成立，不符合题意，

故选：C．

6．（5分）已知a，b，cR，则“abc”是“a2b2c2abacbc”的( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

【解答】解：由a，b，cR，知： 1[(ab)2(bc)2(ac)2]， 2“abc”“a2b2c2abacbc”，

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

“a2b2c2abacbc”“a，b，c不全相等”．

“abc”是“a2b2c2abacbc”的既不充分也不必要条件． 故选：D．

7．（5分）通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE4.81.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为( ) A．E132E2

B．E164E2

C．E11000E2

D．E11024E2

【解答】解：根据题意得： lgE14.81.59①， lgE24.81.57②，

①②得lgE1lgE23， lg(E1)3， E2E1103， E2所以

即E11000E2，

故选：C．

8．（5分）已知函数f(x)x42在同一平面直角坐标系里，a(aR)，g(x)x4x3，

x函数f(x)与g(x)的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是( ) A．{a|a3}

B．{a|a3}

C．{a|a3}

D．{a|3a4}

【解答】解：在同一坐标系中作出函数f(x)与g(x)的示意图如图： 因为f(x)x4a24a4a(x0)，当且仅当x2时取等号， x而g(x)的对称轴为x2，最大值为7， 根据条件可知4a7，解得a3， 故选：B．

9．（5分）已知大于1的三个实数a，b，c满足(lga)22lgalgblgblgc0，则a，b，c的大小关系不可能是( ) A．abc

B．abc

C．bca

D．bac

【解答】解：三个实数a，b，c都大于1，lga0，lgb0，lgc0，

(lga)22lgalgblgblgc0， (lga)2lgalgblgblgclgalgb0，

lga(lgalgb)lgb(lgclga)0， lgalgaclgblg0， baac0，lg0，满足题意； ba对于A选项：若abc，则lg对于B选项：若abc，则

aacc1，01，lg0，lg0，满足题意；

baabaacc1，1，lg0，lg0，满足题意；

bbaa对于C选项：若bca，则0对于D选项：若bac，则0不满足题意； 故选：D．

aaccaclg0，1，01，lg0，lgalglgblg0，

bbaaba10．（5分）已知正整数x1，x2，，x10满足当ij(i,jN*)时，xixj，且

22x12x2x102020，则x9(x1x2x3x4)的最大值为( )

A．19 B．20 C．21 D．22

【解答】解：依题意，要使x9(x1x2x3x4)取得最大值，则xii(i1，2，3，4，5，6，7，8)，且x10x91，

故12223282x92(x91)22020，即2x922x918150， 又22922291815750，23022301815450， 故x9的最大值为29，

x9(x1x2x3x4)的最大值为29(1234)19．

故选：A．

二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分. 111．（5分）计算sin330  ．

21【解答】解：sin330sin(36030)sin30．

21故答案为：

212．（5分）若集合A{x|x2ax20}，则实数a的取值范围是 [22，22] ． 【解答】解：集合A{x|x2ax20}，则不等式x2ax20无解， 所以△(a)24120， 解得22a22，

所以实数a的取值范围是[22，22]． 故答案为：[22，22]．

13．（5分）已知函数f(x)log2x，在x轴上取两点A(x1，0)，B(x2，0)(0x1x2)，设线段AB的中点为C，过A，B，与函数f(x)的图象分别交于A1，B1，C1，C作x轴的垂线，则点C1在线段A1B1中点M的 上方 ．（横线上填“上方”或者“下方”) 【解答】解：依题意，A1(x1，log2x1)，B1(x2，log2x2)， 则C1(则

log22x1x2x1x2log2x1log2x2xx211log2(x1x2)log2x1log2x21log211log2102222x1x2x1x2x1x2xx2xx2log2x1log2x2,log21),M(1,)， 2222，

故点C1在线段A1B1中点M的上方． 故答案为：上方．

14．（5分）给出下列命题：

①函数f(x)sin(2x)是偶函数；

2②函数f(x)tan2x在(③直线x

44,)上单调递增；

是函数f(x)sin(2x)图象的一条对称轴； 84④将函数f(x)cos(2x)的图象向左平移单位，得到函数ycos2x的图象．

33其中所有正确的命题的序号是 ①②③ ．

【解答】解：在①中，函数f(x)sin(2x)cos2x是偶函数，故①正确；

2在②中，

ytanx在(，)上单调递增， 22函数f(x)tan2x在(,)上单调递增，故②正确； 44在③中，函数f(x)sin(2x)图象的对称轴方程为：

42x4k2，kZ，即xk，k0时，x，

828直线x

是函数f(x)sin(2x)图象的一条对称轴，故③正确； 84在④中，将函数f(x)cos(2x)的图象向左平移单位，

33得到函数ycos(2x)的图象，故④错误．

3故答案为：①②③．

15．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A(1,1)关于y轴的对称点A的坐标是 yxa，则实数a的取(1,1) ．若A和A中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组1xy()a2值范围是 ．

【解答】解：因为点A(1,1)关于y轴的对称点A的坐标是(1,1)； yxa， A和A中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组1xy()a2yxa其对立面是A和A中两个点的横纵坐标都满足不等式组， 1xy()a211a11a可得：1且a0且a1a1； 111a1()a22故满足条件的a的取值范围是{a|a1}． 故答案为：(1,1)，{a|a1}．

16．（5分）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数yAsin(x)，x[0，)表示，其中A0，0．如图，平面直角坐标系xOy中，

以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为，则点A的坐标是 A(rcos,rsin) ，从A点出发，以恒定的角速度转动，经过t秒转动到点B(x,y)，动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为 ．

【解答】解：由任意角三角函数的定义，A(rcos,rsin)， 若从A点出发，以恒定的角速度转动，经过t秒转动到点B(x,y)， 则BOxt，

点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为yrsin(t)． 故答案为：A(rcos,rsin)，yrsin(t)．

三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（14分）已知集合A{x|x25x60}，B{x|m1x2m1，mR}． （Ⅰ）求集合（Ⅱ）若ARA；

BA，求实数m的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）A{x|1x6}， RA{x|x1或x6}，

（Ⅱ）ABA，

BA，

①B时，m12m1，解得m2；

m27②B时，m11，解得2m，

22m167实数m的取值范围为(,]．

218．（18分）已知函数f(x)sin2x23sin2x3． （Ⅰ）若点P(31,)在角的终边上，求tan2和f()的值； 22（Ⅱ）求函数f(x)的最小正周期； （Ⅲ）若x[0,2]，求函数f(x)的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）若点P(所以sin31,)在角的终边上， 22331，cos，故tan，

232232tan33． 所以tan221tan31()233f()sin23cos22sin(2)23．

32（Ⅱ）由于函数f(x)sin2x23sin2x32sin(2x)．

3所以函数的最小正周期为T2． 24（Ⅲ）由于x[0,]，所以2x[,]，

2333所以当x

4时，函数的最小值为f()2sin()3． 2232x(xa)． xa19．（18分）已知函数f(x)（Ⅰ）若2f（1）f(1)，求a的值；

（Ⅱ）若a2，用函数单调性定义证明f(x)在(2,)上单调递减；

（Ⅲ）设g(x)xf(x)3，若函数g(x)在(0,1)上有唯一零点，求实数a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由2f（1）f(1)得，（Ⅱ）当a2时，f(x)42，解得a3； 1a1a2x，设x1，x2(2,)，且x1x2， x22x12x24(x2x1)则f(x1)f(x2)， x12x22(x12)(x22)x1，x2(2,)，且x1x2， x2x10，(x12)(x22)0， f(x1)f(x2)，

f(x)在(2,)上单调递减；

2x2x23x3a（Ⅲ）g(x)x， 3xaxa若函数g(x)在(0,1)上有唯一零点，即h(x)2x23x3a在(0,1)上有唯一零点(xa不是函数h(x)的零点），

且二次函数h(x)2x23x3a的对称轴为x意，

①当h(0)h（1）0时，3a(3a1)0，解得0a②当△0时，924a0，解得a③当h（1）0时，解得a题意．

13综上所述，实数a的取值范围为(0,]{}．

381； 33，若函数h(x)在(0,1)上有唯一零点，依题433，则方程h(x)0的根为x，符合题意；

4811，则此时h(x)2x23x1的两个零点为x11,x2，符合

2320．（20分）已知函数f(x)log2(xa)(a0)．当点M(x,y)在函数yg(x)图象上运动时，对应的点M(3x,2y)在函数yf(x)图象上运动，则称函数yg(x)是函数yf(x)的相关函数．

（Ⅰ）解关于x的不等式f(x)1；

（Ⅱ）对任意的x(0,1)，f(x)的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围； （Ⅲ）设函数F(x)f(x)g(x)，x(0,1)．当a1时，求|F(x)|的最大值 xa0xa0【解答】解：（Ⅰ）依题意，，则，解得ax2a，

log(xa)1xa22所求不等式的解集为(a,2a)；

1（Ⅱ）由题意，2ylog2(3xa)，即f(x)的相关函数为g(x)log2(3xa)，

2对任意的x(0,1)，f(x)的图象总在其相关函数图象的下方， 1当x(0,1)时，f(x)g(x)log2(xa)log2(3xa)0恒成立，

2a由xa0，3xa0，a0得x，

3在此条件下，即x(0,1)时，log2(xa)2log2(3xa)恒成立，即(xa)23xa，即

x2(2a3)xa2a0在(0,1)上恒成立，

a2a0，解得0a1， 212a3aa0故实数a的取值范围为(0，1]．

（Ⅲ）当a1时，由（Ⅱ）知在区间(0,1)上，f(x)g(x)，

1(x1)213x13x1|F(x)||f(x)g(x)|g(x)f(x)log2，令t则， ,x(0,1)，

2(x1)2(x1)2t3x1令3x1(14)，则x1t(13，

23)2114148(4)(24)，当且仅当“x”时取等号，

3999193|F(x)|的最大值为log2log23．

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