第２５卷第１２期 ２００６年１２月 大学物理 ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳ ＶＯＩ．２５ ＮＯ．１２ Ｄｅｃ ２００６ 平面波经小圆环衍射轴上光强特性分析 储修祥 ，倪涌舟 ，陈瑞品 ＇ （１．浙江林学院信息物理系，浙江临安３１１３００；２浙江林学院光电子研究所，浙江Ｉ｝缶安３１１３００） 提 要：从标量衍射理论出发，采用瑞利一索末菲衍射边界条件，通过求解第一类瑞利一索末菲衍射积分得到平面波经 圆环衍射后轴上的波函数，进而分析轴上的光强特性以及光强极值数量、位置和大小与衍射圆环内外孔径的关系．比较用传 统的光强定义和精确定义得到的光强公式的偏差，以及偏差与内外半径的关系．并将圆环衍射向内半径为零和外半径为无穷 大两个方向进行推广，即对圆孔和圆形障碍物两种情况下的衍射情况进行讨论 关键词：圆环衍射；平面波；第一类瑞利一索末菲衍射积分；菲涅耳数 中图分类号：０ ４３６．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００—０７１２（２００６）１２ ００３９．０３ 衍射是光学研究中最活跃、应用最广、前景最为 圆环． ＞０为衍射区．有一单色平面波正入射到小 看好的分支之一．对于衍射理论的研究在计算机获得 普及的情况下，得到了广泛的关注＿１＿４Ｊ，但因它具有近 似和复杂的特点，而给衍射理论的教学和实际应用带 圆环上，第一类瑞利一索末菲边界条件近似为 ，ｙ，Ｏ ＝ Ｕ（ ｊ ０‘ 叭ｆＤ ㈩ （１） ｐ！来了诸多不便，限制了衍射理论的进一步发展．因此， 衍射理论中那些简单但准确的公式在光学教学中显 得尤其重要 ． 利用不含时间因子的亥姆霍兹方程结合格林定理可 得到第一类瑞利一索末菲衍射积分公式为 Ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ ｅｘｐ（ｉｋｒ）（１＋ ｉ）ｃ。 小圆环衍射在工程技术上应用得较为广泛．一 方面，由于它具有旋转对称性，轴上的衍射特性在整 个衍射特性上占有特殊地位，在某种程度上反映了 小圆环衍射的整体规律；另一方面，圆孔衍射和圆形 其中 ｒｒ）ｄＳ （２） 忌＝２７【／ ，ｃ。ｓ（，ｌ，ｒ）＝三 ｒ 障碍物衍射可以看成是圆环衍射的两种特殊情况， 这两种情况在光学教学中都有所涉及．第三，有关圆 环衍射的研究，尤其是精确研究相当少，本文为精确 而 ｒ：、／／（ｚ— 【】） ＋（Ｙ—Ｙｏ）！＋ ？ 为衍射面上任一点（ ，Ｙ。，０）到观察点（ ，Ｙ， ）的 研究圆形光栅衍射提供了方便；第四，由矢量衍射理 论容易证明，平面波经旋转对称衍射孔衍射时，其轴 上沿传播方向的振动分量为零，因此本文从标量衍 射理论出发，采用瑞利一索末菲衍射边界条件，通过 求解第一类瑞利一索末菲衍射积分得到轴上波函数 的精确解，分析并总结了平面波经小圆环衍射后轴 上光强分布的一般规律．文中采用的是大学阶段相 对简单的数学知识，避免了因数学手段的复杂而对 衍射教学有所限制． 距离，ｄＳ为衍射面上任意一面积元．对于轴上观察 点（Ｏ，０， ）有ｌＤ ＋ ＝ｒ ，Ｐ为衍射面上任意一点 的极坐标，根据对称性有 ｄＳ＝２ｒｔｐｄｐ ｐｄｐ：ｒｄｒ （３） （４） 将式（３）、（４）代入式（２）并积分得 ｕ（ｏ，ｚ） ｅｘｐ（ｉｋｒ２）一 ｅｘｐ（ｉｋｒ ） ２ １ （５） 其中ｒ。＝、／／ ＋Ｐ ，ｒ ＝￣／ ＋Ｐｉ．即轴上任一点 的波函数可以看成是圆环内外边界衍射波在该处的 方向分量的叠加，于是式（５）可改写为 ｕ（ｏ， ）＝Ａ（ ）ｅｘｐ（ｉ ） （６） １小圆环衍射轴上的波函数 在真空中位于＃＝０处的ｘｙ平面上有一无限 大不透明屏，屏上开有半径分别为Ｐ。和』Ｄ 的透光 其中 收稿日期：２００５一ｌ１—２２：修回日期：２００６—０４—１７ 基金项目：浙江省教育厅资助项目（２００３０５７１） 作者简介：储修祥（１９６４～），男，安徽六安人，浙江林学院信息物理系副教授，硕士，主要从事大学物理教学和衍射光学方面的研究工作 ４０ 大学 物 理 第２５卷 ）＝［鲁＋ ２１２—２惫２ ｃｏｓ ｍ ２ 传统光强定义下圆环衍射轴上的光强特性 采用振幅的平方表示光强，由式（７）得到圆环衍 射轴上的光强分布为 ［击＋去一 ｃｏｓ ｍ ）］ 轴上光强的极值由内外边缘衍射波到达 点的相 位差决定，极值条件为 ｒ１一ｒ ２＝Ｎ （１０） Ｎ为自然数．容易看出 Ｎ： （１１）（儿） 为小圆环衍射精确的菲涅耳数．当 远大于孑Ｌ径且 ｊＤ２：０时 Ｎ： （１２） 通过运算可以求得极值的位置为 ［（１Ｄ ＋ｌＤ ） （ＮＡ／２） ］［（１Ｄ。一ｌＤ：）。一（ＮＡ／２） ］ （１３） 由式（１３）可以看出 Ｎｎ￣ｘ＝Ｉｎｔ（ ） （１４） Ｉｎｔ表示取整数，Ｎ…为最大菲涅耳数．Ｎ可以取 Ｎ 个数值，当Ｎ为奇数时， 表示极大值的位置； 当Ｎ为偶数时， 表示极小值的位置． ２．１轴上光强的极大值 Ｎ取奇数时，光强为极大值，将式（１３）代人式 （９）得到对应的极大值为 ，＝ ４（ｐ；一 ） ［（１Ｄｌ＋ｌＤ ） 一（Ｍ／２） ］［（１Ｄ 一ｌＤ ） 一（Ｎａ／２）。］ ［（１Ｄｉ—Ｐ１２） （Ｎａ／２） ］ （１５） 由式（１３）、（１５）可以看出，轴上光强的极大值位置及 大小均由内外半径共同决定，而极大值的数目则仅 由内外半径的差决定．当Ｎ＝１时，由式（１３）和式 （１５）知轴上光强的最大值位置和大小分别为： ！ ［ ： ＾ （１６） 』 ＝ ４（０２，ｐ ） ［（ｐ ＋ｐ：） 一（ｘ／２） ］［（Ｐ 一Ｐ：） 一（ｘ／２） ］ （１７） 由式（１６）和式（１７）可知，轴上光强的最大值位置和 大小都随外孔径及内外孑Ｌ径差的增大而增大，最大 值的位置是离衍射孔最远的极大值位置．当ｐ。０２ 》ｘ／２时，可略去ｘ／２项，此时式（１７）的值为４，所以 圆环衍射的最大值的极限值也为４． ２．２轴上光强的极小值 当Ｎ为偶数时，将式（１３）代人式（９）得极小值 为 ，＝ ４Ｎ ［（１Ｄ。＋ｌＤ２） 一（ ／２）。Ⅱ（１Ｄ．一ｌＤ：） 一（』＼ ／２） ］ （１８） 若Ｎ取２，由式（１３）和式（１５）可得轴上光强的最小 值的位置和大小分别为： ！！：二 ： ！二 ：二 ： （１９）２ Ｌ ，： Ⅲｎ一——— 厂一 （２０）ｕ√ 由式（１９）可以看出，最小值的位置是在离衍射屏最 远的极小值处，且靠近最大值．当ｌＤ 一ｌＤ ＞＞ 时， 可略去 项，式（２０）近似为 ［ ］ （２１） 由式（２１）可以看出，随着外半径的增大，最小值越来 越小，当外半径足够大时，轴上光强的最小值趋于 零． ３ 精确光强定义下圆环衍射轴上的光强特性 光束传输过程中轴横截面上光强的精确定义 为 ‘， ＝Ｒｅ（去【，＊（，）丢【，（，．）） （２２） 将式（５）代人式（２２）得 ‘， —；．＿了［ｒ ＋ｒ ３２一（ｒ ｒ２＋ｒｉ ｒ１）ｃｏｓ ｋ（ｒＩ— ｒｚ）卜南（１Ｄ 一ｌＤ ｎ是（ ｒｚ）（２３） 当２＞ｊＤ。时，式（２３）可以近似为 ≈ ［去＋去 １ｒ ｒ； ｒ ｒ ｒ２（ Ｉ ｒ＋ ２ ）ｃ。ｓ ｒ－‘ 一ｒ 。 ）］ （２４） 第ｌ２期 储修祥等：平面波经小圆环衍射轴上光强特性分析 ４ｌ 与式（９）相比，二者在形式上有许多相似性，如极大 由式（１３）可得轴上光强极大值的位置为 一— 值和极小值的位置相同，变化趋势一致；二者的偏差 为 。 一 （３５）ｊｊ 十蔷（ 一 丢（ 一 （卜毒）］ｃ。ｓ是（ｒｔ—ｒ２） ＿（１一 （２５） 即有无穷多个极值，最大值位置在无穷远．由式（１５） 得到极大值为 显然，当 很大时，偏差趋于零，即 ｉｍ ８＝０，这从另 （－一杀 （３６ 方面说明，在衍射距离较大时，用模方表示光强与 由式（１７）得到最大值为４．同样可以由式（１３）和式 光强的精确表示一致． ４圆环衍射的两个特列 ４．１ 圆孔衍射轴上的光强特性 当』Ｄ：＝０时，圆环衍射即为圆孔衍射，由式（１３） 可得轴上光强极大值的位置为 由式（１５）可得极大值的大小为 ４ 者） （２７） 由式（１６）可得最大值位置为 ， ２ ２ 一— —一 （２８）ｏ 由式（１７）可得最大值为 ４（ｔ一 ） 同样可以由式（１３）和式（１８）得到轴上光强的极小值 位置和极小值分别为： 一＝ ——— — ｒ．——一 ＬｊＵ 卜 （３１） 由式（１９）和式（２０）得最小值位置和最小值分别为： 。 （３２） ｎｎ 研 （３３） 精确光强公式为 ＝１＋三了一 ［ｚ（，．１＋ ｃｏｓ足（ｒ１一 ）＋ ｓｉｎ足（ｒ。一ｚ）］ （３４） ４．２ 圆形瞳碍物衍射轴 的光强特性 当』Ｄ。一０（３时，圆环衍射即为圆形障碍物衍射， （１８）得到轴上光强的极小值位置和极小值分别为： 一— （３７）ｊ， ， （３８） 由式（３７）和式（３８）可以得出，在Ｎ ２时最小值位 置为无穷远，最小值为零． ４ 总结 从由瑞利一索末菲第一类衍射积分得到的轴上 光场的精确公式出发，准确地描述了圆环衍射轴上 光强的一般特性，这比用傅里叶变换和空间频谱研 究轴上光传输的规律简单了许多．从分析可以看出， 光强极值的大小和位置是由圆环的内外半径共同决 定的，而极值的数量仅由内外半径差决定，这与在远 场情况用菲涅耳半波带法研究的结果一致．由此可 以进一步探知，当有多个圆环（相当于将菲涅耳半波 带相问涂黑），在近场时的衍射规律也同样可以得 到． 参考文献： ［１］ Ｎｅｍｏｔｏ Ｓ．Ｎｏｎｐａｒａｘｉａｌ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｂｅａｍｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌ Ｏｐｔ， １９９０，２９：ｌ ９４０． ［２］ 王忠纯．高斯光束下的圆屏衍射［Ｊ］．大学物理，２００３， ２２（６）：２１—２３． ［３］Ｄｕａｎ Ｋ。Ｌｉ】Ｂ．Ｎｏｎｐａｒａｘｉａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｆａｒ．ｆｉｅｌｄ ｐｒｏｐｅｒ－ ｔｉｅｓ ｏｆ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｂｅａｍｓ ｄｉｆｆｒａｃｔｅｄ ａｔ ａ ｃｉｒｃｕｌａｒ ａｐｅｒｔｕｒｅ ［Ｊ］．Ｏｐｔ Ｅｘｐｒ，２００３，１ｌ：ｌ ４７４． ［４］ 周国泉，赵道木，王绍民．平面波经小圆孑Ｌ衍射的轴上 光强特性［Ｊ］．光学学报。２００３，２３（１）：２２．２５ ［５］蔡履中．菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射对自由传播问题 的自恰性［Ｊ］．大学物理，２００２，２１（１０）：３－６ ［６］ 曹清，邓锡铭，郭弘横截面上光强的精确表述［Ｊ］．光 学学报．１９９６。１６（７）：８９７ ９００． （下转５９页） 第ｌ２期 北师大理科基地：办好理科基地。为建设创新型国家培养优秀的后备人才 ５９ 的同时，由浅入深，系统地开设物理学前沿课程，引 导学生逐步认识物理学科的不同领域，为今后个性 化地选择专业发展方向奠定基础。 ２００５年暑假期间，受国家自然科学基金委委 托，由北京师范大学、中科院理论物理所、北京应用 物理与计算数学研究所等３家单位合作，在西北师 范大学组织举办了为期４周的“２００５年西部地区理 论物理暑期讲习班”，来自多所西部高校及北京大 ３）加强探究性课程的建设，支持并组织学生参 加科学研究活动，着力培养学生的研究能力和创新 意识． ４）按照人才成长的规律以及社会发展的需要， 学、南开大学等内地院校的教师、研究生共８Ｏ多人 参加了讲习班，基地的教授为学员讲授了“混沌动力 学”和“非平衡统计物理”等课程．基地还和多所西部 改革人才培养模式．物理类课程实行分层次教学，同 时，开设包括教师教育课程等在内的多个课程选修 模块，供学生选择，以适应学生的不同发展需求，为 院校建立了共建关系，积极支持这些院校的建设，每 年接受数十名兄弟院校的教师来基地进修学习；同 物理学及相关基础学科做好优秀人才储备，为教育 战线培养高素质、研究型的教学人才． 时选派优秀青年教师去西部学校任课，协助进行课 程建设，培训教师，并用自制的实验设备支援这些学 校．基地每年都有多位教授去各地师范院校和高中 “示范校”进行短期讲学． ３基地示范辐射作用 近年来，校内理工科各专业对物理学科的要求 越来越高，为满足这些要求，基地为相关的院系所开 设了普通物理、普物实验、电工实验和近代物理实验 基地还注重将教学科研成果向基础教育战线辐 射．在以基地教师为主承担人的２０００年北京市“十 五”规划课题“信息技术与中学物理课的整合”完成 后，主要成果以教材（北京市高中辅助教材《计算物 理基础》）的形式于２００２年出版，发行量达１５万套， 项目成果获２００４年北京市第二届基础教育成果二 等奖． 等课程，并每年向这些学科输送一定数量的优秀毕 业生进行本硕连读．基地还请知名教授为全校学生 开设了旨在提高学生科学素养的通选课． 基地教师十分注重高质量教材的编写，近５年 来新出版的教材有包括“普通高等学校优秀教材”、 “面向２１世纪课程”教材、北京市精品教材、“九五” 自基地建立以来，在教育部和国家自然科学基 金委的大力支持下，基地在人才培养的各个方面都 取得了可喜的进步和成绩，今后我们将继续努力，加 强与兄弟院校的交流，学习别人先进的办学理念，使 基地越办越好，人才培养质量得到进一步提高． 国家级重点教材和教育部二等奖教材等在内的共 ｌ７册，其中《电磁学》和《力学基础》两部教材被众多 高校所选用．２００３年ｌＯ月，基地在承德师范专科学 校举办了为期ｌ周的“‘面向２ｌ世纪课程’教材《基 础物理学》教学研讨与培训班”，虽然受到“非典”的 感谢教育部和国家自然科学基金委对我们的 支持！ 影响，但依然有３Ｏ余所院校的５Ｏ余人参加． （上接４１页） Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｐｌａｎｅ ｗａｖｅ ｄｉｆｆｒａｃｔｅｄ ｂｙ ｓｍａｌｌ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｂａｎｄ ＣＨＵ Ｘｉｕ—ｘｉａｎｇ，ＮＩ Ｙｏｎｇ—ｚｈｏｕ，ＣＨＥＮ Ｒｕｉ—ｐｉｎ （１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｆｏｒｅｓｔｒｙ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｉｎａｎ，Ｚｈｅｊｉａｎｇ ３１１３００，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｐｈｏｔｏｅｌｅｃｔｒｏｎ。Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｆｏｒｅｓｔｒｙ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｉｎａｎ，Ｚｈｅｊｉａｎｇ ３１１３００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｓｃａｌａｒ ｄｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｒａｙｌｅｉｇｈ—Ｓｏｍｍｅｒｆｅｌｄ，ｔｈｅ ａｃ— ｃｕｒａｔｅ ｏｎ—ａｘｉｓ ｐｒｏｐａｇａｔｉｎｇ ｗａｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｐｌａｎｅ ｗａｖｅ ｄｉｆｆｒａｃｔｅｄ ｂｙ ｓｍａｌｌ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｂａｎｄ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ Ｒａｙｌｅｉｇｈ—Ｓｏｍｍｅｒｆｅｌｄ．Ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｅｘｔｒｅｍａｓ ｏｆ ｏｎ—ａｘｉｓ ｌｉｇｈｔ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ，ｔｈｅ ｌｏｃａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｎｕｍｂｅｒ ａｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒａｄｉｕｓ ｏｆ ｓｍａｌｌ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｂａｎｄ ａｒｅ ａｎａｌｙｚｅｄ．ａｎｄ ｔｈｅｎ ｅｘｔｅｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕ— ｓｉｏｎ ａｓ ｔｈｅ ｉｎｎｅｒ ｒａｄｉｕｓ ｔｒｅｎｄｓ ｔｏ ｚｅｒｏ ｏｒ ｏｕｔｅｒ ｒａｄｉｕｓ ｔｒｅｎｄｓ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ．Ｔｈｉｓ ｓｔｕｄｙ ｏｆｆｅｒｓ ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｆｏｒ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｂｕｔ ａｌｓｏ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｐｔｉｃｓ ｅｄｕｃａｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｂａｎｄ；ｐｌａｎｅ ｗａｖｅ；ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ Ｒａｙｌｅｉｇｈ—Ｓｏｍｍｅｒｆｅｌｄ；Ｆｒｅｓｎｅｌ ｎｕｍｂｅｒ