数列 (2)

第2课 数列求和

求数列的前n项和的方法

1．公式法

(1)等差数列的前n项和公式

或

(2)等比数列前n项和公式

； .

；

2．分组转化法

把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 4．倒序相加法

把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)． 5．错位相减法

主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．

考点一 : 分组转化求和

分组转化求和就是从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之． 【规律小结】 分组转化求和常见类型及方法．

(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和． 提醒：应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值．

考点二 : 裂项相消求和

1．利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．

2.一般情况,若数列{an}是等差数列,则 .此外根式在分母上时可考虑有理化因式相消求和. 【规律小结】 常见的拆项公式有：

考点三 ：错位相减法求和

1．如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．

2．用乘公比错位相减法求和时，应注意

(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．

【误区警示】 利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．

考点四 ：数列求和的综合应用

对于由递推关系给出的数列，常借助于Sn＋1－Sn＝an＋1转换为an与an＋1的关系式或Sn与Sn＋1的关系式，进而求出an或Sn使问题得以解决．

【名师点评】 数列综合问题、数列通项、数列求和从近几年高考看考查力度非常大，常以解答题形式出现，同时数列与三角函数、解析几何以及不等式证明问题相结合更是高考考查的重点．本例既考查了数列通项，又考查了数列求和，同时也考查了不等式的证明，解题时注意分类讨论思想的应用．

规律方法总结：

1．求数列通项的方法技巧：(1)通过对数列前若干项的观察、分析，找出项与项数之间的统一对应关系，猜想通项公式；(2)理解数列的项与前n项和之间满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)的关系，并能灵活运用它解决有关数列问题．

2．数列求和，如果是等差、等比数列的求和，可直接用求和公式求解，公式要做到灵活运用．

3．非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思路：

(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；

(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和，要将例题中的几类一般数列的求和方法记牢．