高中数学导数与函数知识点归纳总结

一、基本概念 1. 导数的定义：

设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数。

fx在点x0处的导数记作yxx0f(x0)limx0f(x0x)f(x0)

x2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）

函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为

3．基本常见函数的导数:

n①C0;（C为常数） ②xnxxxn1;

③(sinx)cosx; ④(cosx)sinx; ⑤(e)e; ⑥(a)alna; ⑦lnxxx11; ⑧logaxlogae. xx二、导数的运算

1.导数的四则运算：

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： fxgx fxgx法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：

fxgxfxgxfxgx常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cf(x))'Cf'(x).(C为常数)

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：

fxfxgxfxgxgx0。 2gxgx2.复合函数的导数

形如

yf[(x)]的函数称为复合函数。法则： f[(x)]f()*(x).

三、导数的应用

1.函数的单调性与导数

（1）设函数

yf(x)在某个区间(a,b)可导，

如果如果

f'(x)0，则f(x)在此区间上为增函数； f'(x)0，则f(x)在此区间上为减函数。

f'(x)0，则f(x)为常函数。

（2）如果在某区间内恒有

2．函数的极点与极值：当函数在点处连续时，

①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值； ②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.

3．函数的最值：

一般地，在区间

[a,b]上连续的函数

f(x)在

[a,b]上必有最大值与最小值。函数

值点处取得。 f(x)在区间[a,b]上的最值只可能在区间端点及极求函数

f(x)在区间[a,b]上最值的一般步骤：①求函数f(x)的导数，令导数f'(x)0解出方程的跟

f'(x),f(x)的表格，求出极值及f(a)、f(b)的值;③比较端点及极值点处的函数值的大

②在区间[a,b]列出x,小，从而得出函数的最值。

4．相关结论总结：

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

四、函数的概念

1.函数的概念

①设

A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合

A中任何一个数x，在集合B中都有唯

）叫做集合

一确定的数

f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则ff:AB．

A到B的一个函数，记作

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．

五、函数的性质

1.函数的单调性

①定义及判定方法

函数的 定义 性 质 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x< x时，都12．．．．．有f(x)f(x)，那么就说12．．．．．．．．．．．f(x)在这个区间上是减函数． ．．． （4）利用复合函数 （1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减） （4）利用复合函数 ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数若

图象 判定方法 yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)为增，ug(x)为增，则yf[g(x)]为增；

yf(u)为减，ug(x)为减，则yf[g(x)]为增；若yf(u)为增，ug(x)为减，则

y yf[g(x)]为减；若yf(u)为减，ug(x)为增，则yf[g(x)]为减． （2）打“√”函数

af(x)x(a0)的图像与性质

xf(x)分别在(,a]、[a,)上为增函数，分别在[a,0)、(0,a]上为减函数． 2.最大（小）值（较常用导数求函数最值，类比记忆函数的极值）

①一般地，设函数

都有

yf(x)的定义域为I；

，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，o x f(x)M （2）存在x0I，使得

②一般地，设函数

f(x0)M．那么，我们称M是函数

f(x) 的最大值，记作fmax(x)M．

yf(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)m；

（2）存在x0I，使得f(x0)m．那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作fmax(x)m．

3.奇偶性

①定义及判定方法

函数的 定义 性 质 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－．．．．．．．f(x),那么函数f(x)叫做奇．．．．．函数． ．． 函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－．．．x)=f(x),那么函数f(x)叫做．．．．．．．偶函数． ．．． 关于原点对称） （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y轴对称） （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象图象 判定方法 ②若函数

f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0．

③奇函数在

y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．