三角函数图象和性质讲义

（一）知识要点

1正弦、余弦、正切函数的图像和性质 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 ysinxR [1,1] ycosxR y tanx1 x|xR且xk,kZ2

[1,1] R 2 奇函数 [2  偶函数 [2k1,2k]奇函数 22k,22k]上为增函数；[；上为增函数[2k, 2k1]上为减函数 k,k上为22增函数（kZ） 2k,（k23 2k]2Z） 上为减函数（kZ）

最值取到处，对称性。

y=sinx-4-7-32-52-2-3-2-2y1-1oy--2-2-323222532724x

y=cosx-4-72-5-321-1o2322527324x

画出y=tanx的图象

2yAsin(x)(A0,0)的图像和性质

（1）定义域 （2）值域 （3）周期性 （4）奇偶性 （5）单调性 （二）学习要点

1．会求三角函数的定义域 2.会求三角函数的值域

3.会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法。如ysinx与ycosx的周期是. 4.会判断三角函数奇偶性 5.会求三角函数单调区间 6.对yAsin(x)(A0,0)函数的要求

（1）五点法作简图 （2）会写ysinx变为yAsin(x)(A0,0)的步骤 （3）会求yAsin(x)的解析式

（4）知道yAcos(x)，yAtan(x)的简单性质 （三）例题讲解

例1：已知函数f(x)2sin(2xy x 4)

（1）求函数的周期；（2）求函数的值域； （3）求函数的最值及相应的x值集合； （4）求函数的单调增区间；

（5）求函数在【0，】的单调增区间； （5）若x[0,3]，求f(x)的取值范围； 4（6）求函数f(x)的对称轴与对称中心；

（7）若f(x)为奇函数，[0,2)，求； 若f(x)为偶函数，[0,2)，求。

例2：求函数ytan(2x

例3．（1）将函数y3)的定义域，周期，单调区间。

1sin(2x)图象向______平移_______个单位得到函数的241sin2x的图象(只要求写出一个值) 21(2)要得到ycos(2x)的图象,可以把函数ysin(x)cos(x)的图象向

2466y______平移_______个单位(只要求写出一个值). 例4.设xR,函数f(x)cos(x)21(0,o),已知f(x)的最小正周期为221,且f(). (1)求和的值; (2)求的单调增区间.

84

例5.如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b (1)求这段时间的最大温差

y温度/0C(2)写出这段曲线的函数解析式 30

20

10时间/h

10146xo

（四）练习题 一、选择题

1.将函数ysinx(0)的图象向左平移的图象所对应函数的解析式是 A．ysin(x个单位，平移后的图象如图所示，则平移后66)

6) B．ysin(x) D．ysin(2x) 33sinxa(0x)，下列结论正确的是 2.设a0，对于函数fxsinx A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值 3.函数y=1+cosx的图象

（A）关于x轴对称（B）关于y轴对称（C）关于原点对称（D）关于直线x=4.已知函数f(x)=2sinx(>0)在区间[A.

C．ysin(2x对称 234,

]上的最小值是－2，则的最小值等于

23 B. C.2 D.3 325.设点P是函数f(x)sinx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距

离的最小值

，则f(x)的最小正周期是 4 D. 24A．2π B. π C.

6.已知aR，函数f(x)sinx|a|,xR为奇函数，则a＝( )

（A）0 （B）1 （C）－1 （D）±1

x7为了得到函数y2sin(),xR的图像，只需把函数y2sinx,xR的图像上所有的

36点

（A）向左平移（B）向右平移（C）向左平移

1个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） 631个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） 636个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

（D）向右平移8.已知函数f(x)611(sinxcosx)sinxcosx,则f(x)的值域是 222,1 (C) (A)1,1 (B) 21221, (D)

221,

29.函数y|sin(x3)|的最小正周期是（ ）

Ａ．

π 2 Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π

10.函数fxtanx的单调增区间为 4A．k2,k,kZ B．k,k1,kZ 2,kZ C．k33,k,kZ D．k,k444411.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （A）ysinx6 （B）ysin2x 6（C）ycos4x3 （D）ycos2x 612.已知函数f(x)asinxbcosx（a、b为常数，a0，xR）在x小值，则函数yf(4处取得最

3x)是（ ） 43,0)对称 2A．偶函数且它的图象关于点(,0)对称 B．偶函数且它的图象关于点(C．奇函数且它的图象关于点(3,0)对称 D．奇函数且它的图象关于点(,0)对称 213设，，，那么“”是“tantan”的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｃ．充分必要条件 二、填空题 14.ysin(x

Ｂ．必要而不充分条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

ππ224)在x[0,2]的增区间是

15.满足22cosx0(xR)的x的集合是 16.tanx1,且x是直线的倾斜角,则x 17.已知f(x)2sinx(0)在区间则的最小值是＿＿。 ,上的最小值是2，

3418.若f(x)asin(x)3sin(x)是偶函数，则a= . 三．解答题

19.设函数y3sin(2x443)

（1）用“五点法”作出在一个周期内的简图；【0，】上的简图。 （2）写出它可由y=sinx的图像经怎样的变化得到。

20.已知函数f(x)sin2xacos2x的图像关于直线x

21.已知f(x)2cos2x3sin2xa（aR是常数 （1）若f(x)的定义域为R，求f(x)的单调增区间； （2）若x[0,

22.已知函数yAsin(x)B(A0,0,||6对称，求a的值。

2]时，f(x)的最大值为4，求a的值。

2)在同一个周期上的最高点为

(2,2)，最低点为(8,4)。求函数解析式。

23. 已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0t24，单位小时）的函数，记作：

yf(t)下表是某日各时的浪高数据：

t时 y米 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcostb。

（1）根据以上数据，求函数的最小正周期T，振幅A及函数表达式；

（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放。由（1）的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

24.已知函数f(x)=Asin2(x)(A>0,>0,0<<相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求;

（2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008).

函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象2