高斯分布及截断和抽样

来源：个人技术集锦

　第9卷　第3期　1997年8月

强激光与粒子束

HIGHPOWERLASERANDPARTICLEBEAMS

.9,No.3　Vol

Aug.,1997　

高斯分布及截断和抽样

施将君　李献文　刘　军

(中国工程物理研究院流体物理研究所,成都523信箱55号,610003)

　　摘　要　详细推论了高斯分布的轴对称电子束的截断方法和确定截断因子的表达式。结果表明在截断因子为0.9时,电子束发射度等于均方根发射度的二倍,而当电子束发射度等于均方根发射度时,截断因子仅为0.59。给出了四维坐标变量的几率密度函数公式,并简述了相应的抽样方法。

　　关键词　四维高斯分布　截断因子　样本电子坐标的抽样

　　ABSTRACT　ThecutmethodforGussianbeamhavingaxisymmetryisdiscussedindetailandtheexpressionforthecutfactorisdefinedinthispaper.Itisshownthatwhenthefactorisequalto0.9,thecut2beamemittanceistwiceaslargeasitsroot2mean2square(rms)emit2tanceandthefactorisonlyequalto0.59ifthecut2beamemittanceisequaltoitsrmsemit2tance.Theprobabilityfunctionforthefour2dimensionalnewvariablesarederivedandthe

.sampleproceduresforthemaresimplydescribedaswell

　　KEYWORDS　ADGaussiandistribution,cutfactor,sampleforelectroncoordinatesinphasespace

)的分布是很重要　　在电子束物理中讨论电子束传输时,电子在横向四维空间(x,y,x′,y′

的。而高斯分布又是最接近于实际束的分布,因此对四维横向空间的高斯分布进行深入分析和研究是十分必要而且具有广泛的实用意义的。由于高斯分布是无界分布,而在测量电子束的横向物理性质(例如束半径的测量和束发射度的确定)时作了有界处理。那么,在所测定的半径和发射度中束电流的截止份额为多少,是人们十分关心的。另一方面,在确定束电子的四维坐标值时需要从横向四维分布对相应的四个坐标值进行随机抽样(Monte2Carlo方法)。例如,在高能闪光照相中,讨论电子束与高Z轫致辐射靶相互作用而产生高强度X射线时,就必须进行这种抽样;但是,不同截断程度得到的坐标抽样值是不同的。对于轴对称的电子束,在任何截断程度下电子束截面是圆形的。从电子束相椭圆面积可确定高斯分布束截断后的发射度以及相应的电流。

　　迄今为止,在讨论截断份额(或截断因子)时,多数作者仅仅使用了二维截断而没有考虑另外二维的截断情况。例如,在关心束空间截面时,主观地将电子束分布的积分分成(x,y)平

)平面上的积分,并认为在(x′)上的积分是归一的。面上的积分和在(x′,y′,y′当x,y均在2Ρ

(Ρ为高斯分布的空间标准均方差)截断时,所得到的截断因子的值为86.5%(近似为0.9)[1,2],并把2Ρ称为0.9I0的截断半径。

　　这些近似处理是与电子束的轴对称假定不一致的,他们将四个横向变量分开各自积分,这实际上是把电子束看成四维“超立方”体,而不是四维的超椭球,因为他们忽视在相等的分布函数情况下各积分限之间的互相制约性。在电子样本的坐标值抽样中,也存在着这种单独

1997年1月14日收到原稿,1997年7月7日收到修改稿。

施将君,男,1942年8月出生,副研究员

370强激光与粒子束第9卷

截断与耦合截断的不同处理,这反映了对四个坐标变量是独立抽样还是相关抽样的问题。　　本文利用四维情况下的坐标变换法,把四维“直角”坐标系转换成四维超球坐标系。高斯分布用四个超球坐标变量表示时,它们的积分限不再相互关联,而对原坐标系中坐标变量的截断仅仅转化为新坐标系中的径向坐标变量的截断。这样一来,不仅解决了求截断因子时所存的上述问题,也使抽样过程大大简化。

1　四维高斯分布及其在超球坐标系中的形式

　　在电子束包络的腰部或腹部,电子横向四维分布的归一函数为

)=f4(x,y,x′,y′

exp(-22′

4ΠΡΡ2

1x+y2

2Ρ2

x′2

+y′

2Ρ′

(1)

)是电子的横向角发散,(它们等效于横向速度),其中(x,y)为电子的横向空间坐标,而(x′,y′

分别是轴对称束空间坐标和角发散的标准均方差。分布函数f4在四维空间的积分等于Ρ与Ρ′

1。值得注意的是在四重积分中,各积分变量的积分限是相互关联的。显然,该分布仍满足归

一条件。

),Θ为径向坐标变量、　　现在引入四维超球坐标(Θ,Α,Η,ΥΥ为方位角变量,而Α与Η为相互

独立的二个极角变量。并且,有

x=ΡΘsinΑsinΗsinΥy=ΡΘsinΑsinΗcosΥ;

,　x′=Ρ′ΘsinΑcosΗy′=Ρ′ΘcosΑ

(2)

);Υ的积分限为(0,2Π)。其中Θ的积分限为(0,∞);Α与Η的积分限为(0,Π新变量的积分限是

相互独立的,于是可求得

)dxdydx′)dΘ)dΑ)dΗ)dΥf4(x,y,x′,y′dy′=g1(Θg2(Αg3(Ηg4(Υ

(3)

其中,gi为相应坐标变量在各自定义域内的归一函数

)=g1(Θ

13-Θe

2Θ󰃗2

)=;g2(Α

2)=sin2Η;g3(Η

11sinΗ;g4(Υ)=22Π

(4)

222

可以求出x,y,x′,y′在新的球极坐标系中的均方值为〈x2〉=〈y2〉=Ρ2,〈x′〉=〈y′〉=Ρ′。

2　截断因子

　　根据公式(2)不难看出x,y,x′,y′的截止值与变量Θ的截止值相对应。令Θ的截止值为。相应的截断因子fcut,它是各个原坐标变量的截止程度Θ

cut

:为

Θout(1+)e-2

Θ2out󰃗

∫

Θcut

)dΘ=g1(Θ

∫

Θcut

13-Θe

2Θ󰃗2

dΘ=1-(5)

当Θcut取为1,　　从Θcut与f

2,2,22,3时,截断因子f

cut

相应为0.090,0.064,0.594,0.908,

01939。　　　　　

cut

取值关系可以看出,当x,y在2Ρ处截断而x′,y′在2Ρ′处截断(相当于Θ在2处

′′

2Ρ以及xcut=ycut=2

截断)时,截断因子仅为0.59,远小于其它文献所给的0.865或0.911。同时可以看出,为了在采用截断之后可以得到约0.9的截断因子,必须使xcut=ycut=2方根发射度值的二倍。

。与这一截断相对应,含90%电子束的发射度Ε=2Ε也就是说,Ε0.9=xcutx′cut=8ΡΡ′rms。0.9为均Ρ′

第3期施将君等:高斯分布及截断和抽样

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3　样本的相空间坐标变量值的抽样

　　设电子束可用N0个电子样本来描述,这N0个电子服从四维高斯分布,即由方程(1)所描述的分布。那么每个样本电子的四维坐标可以按照方程(4)归一分布(或几率密度函数)抽样求出,它们都满足归一条件,即

g∫

∞

(Θ)dΘ=1;

)dΑ=1;)dΗ=1;g(Αg(Ηg

∫∫∫

ΠΠ

2Π

(Υ)dΥ=1(6)

其中,坐标Η与Υ可以使用直接抽样法[3]求出它们的抽样值Υs=2Πs=1-2R2。R1;cosΗR1与R2

为在(0,1)区间内均匀分布的随机抽样值。

　　另二个坐标Θ与Α的分布函数不宜用直接抽样法,而可采用舍选抽样法[3]来给出它们的抽样值Θ于是电子坐标x,y,x′,y′的抽样值可如下给出s与Αs。

xs=Θx′sinΑsΡsinΑssinΗssinΥss=ΘsΡ′scosΗs

(7),　ys=Θy′′cosΑsΡsinΑssinΗscosΥs;s=ΘsΡs

4　结　语

　　综上所述,本文的重要结果是从理论上推导出对在四维横向相空间中按高斯分布的电子

束作有界处理时的截断因子,即公式(5)。此式表明,当截断边发射度等于均方根发射度时的截断因子仅为0.594;也就是说,所关心的束电流仅仅为总电流的59.4%。如果要使所关心的束电流为总电流的90%,那么电子束的截断边发射度应该二倍于均方根发射度;这样所求得的束亮度仅为诸多文献所给值的四分之一。参考文献

1　WarnerDJ.AcceleraterResearchandDevelopmentwithCERN3MeVLinac.Proc.1972ProtonLinearAccel.Conf.

1972,p33

2　施将君.电子束亮度及多空板法测量发射度的原理.强激光与粒子束,1989,1(4).3　杜书华等.输运问题的计算机模拟,长沙:湖南科学技术出版社,1989.491

CUTMETHODANDSAMPLEPROCEDUREFORGAUSSIANBEAM

ShiJiangjun,LiXianwen,LiuJun

InstituteofFluidPhysics,CAEP,P.O.Box523-25,Chengdu,610003

　　TheGaussianbeamisanunboundedbeam.Inordertodeterminethetransversecharacter,forexample,radiusandemittanceofthebeam,thevariableregionforthephasecoordinatesofelectronmustbecuttosomeextent.Inthecaseofusingdifferentcutextent,thecut2beamemittanceisdifferent.

　　Theintegralupperlimitsofthefourphase2spacevariblesarenotindependent,soitisdifficulttoevalu2atethecutfactoranalytically.Here,thefactorisdefinedastheratioofcurrentofcut2beamtototalone.

)aretransferedto(Θ)thefour2di,y’,Α,Η,ΥHowever,ifthefourphasevariables(x,y,x’mensonalsuper2

sphericalcoordinatessystem,thefactorwilleasilybefound.Theprobabilityfunctionsofthenewcut2beam

),g2(Α),g3(Η),g4(Υ)givenineq.(4),andthecut2beamemittanceΕ.Itisshownthat,arejustg1(Θn=ΘcutΡΡ′whenthefactorf

cut

isequalto0.9,thecut2beamemittanceisnotΕrmsbut2Εrmsandthefactorf

cut

isonlyequal

.to0.59ifthecut2beamemittanceisΕrms

　　Becausetheintegralupperlimitsofthenewvariblesareindependent,thesamplemethodcaneasilybe

chosen.TheraviablesΗandΥaresampledwiththedirectmethod,andΑandΘwiththeselectedmethod.

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