第三章 概 率(A) (时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列事件中不是随机事件的是( ) A．某人购买福利彩票中奖
B．从10个杯子(8个正品，2个次品)中任取2个，2个均为次品 C．在标准大气压下，水加热到100℃沸腾 D．某人投篮10次，投中8次
2．某班有男生25人，其中1人为班长，女生15人，现从该班选出1人，作为该班的代表参加座谈会，下列说法中正确的是( )
1
①选出1人是班长的概率为；
401
②选出1人是男生的概率是；
251
③选出1人是女生的概率是；
15
④在女生中选出1人是班长的概率是0.
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是( ) 1111A. B. C. D. 2348
4．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不是对立事件 D．以上答案都不对
5．在2010年广州亚运会火炬传递活动中，在编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( ) 13A. B. 101079C. D. 1010
6．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为( ) A．16 B．16.32 C．16.34 D．15.96
8．在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17 学习参考资料 word整理版 球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( ) A．0.45 B．0.67 C．0.64 D．0.32 10．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( ) 93A. B. 1005032C. D. 100911．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m>n的概率为( ) 73A. B. 101032C. D. 55 12．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( ) ππππ B. C．1－ D．1－ 412412题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]内的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为________． 14．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小 A. 于5的点数出现”，则事件A＋B发生的概率为________．(B表示B的对立事件) 15．先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.将a，b,5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________． 2 16．设b和c分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数，则方程x－bx＋c＝0有实根的概率为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (1)至多2人排队等候的概率是多少？ (2)至少3人排队等候的概率是多少？ 学习参考资料 word整理版 18．(12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂． (1)求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数； (2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率． 2 19．(12分)在区间(0,1)上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程x－nx＋m＝0有实根的概率． 20．(12分)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x，y)表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”． 学习参考资料 word整理版 (1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来； (2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率； (3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率． 21．(12分)在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写道： 摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱． (1)摸出的3个球为白球的概率是多少？ (2)假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一天能赚多少钱？ 学习参考资料 word整理版 22．(12分)汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)： 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆． (1)求z的值； (2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率； (3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下： 9.4,8.6,9.2,9.6，8.7，9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 学习参考资料 word整理版 第三章 概 率(A) 1．C 2．D [本班共有40人，1人为班长，故①对；而“选出1人是男生”的概率为 255＝；408 153 “选出1人为女生”的概率为＝，因班长是男生，∴“在女生中选班长”为不可能 408 事件，概率为0.] 3．C [抛掷两枚质地均匀的硬币，可能出现“正、正”、“反、反”、“正、反”、“反、 1 正”，因此两个正面朝上的概率P＝.] 4 4．C [由互斥事件的定义可知：甲、乙不能同时得到红牌，由对立事件的定义可知：甲、乙可能都得不到红牌，即“甲、乙分得红牌”的事件可能不发生．] 5．B [从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事 3 件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝.] 10 6．A [从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．] S阴204204 7．B [由题意＝，∴S阴＝×24＝16.32.] S矩300300 20－173 8．C [∵a∈(15,25]，∴P(17 45 9．D [摸出红球的概率为＝0.45，因为摸出红球，白球和黑球是互斥事件，因此摸 100 出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.] 10．A [任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i)(i＝0,1,2，…，9)；(1，i)(i＝0,1,2，…，9)；(2，i)(i＝0,1,2，…，9)；…；(9，i)(i＝0,1,2，…，9)． 故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)， 9 (6,9)，(9,3)，(9,6)，(9,9)．共有9种．故所求概率为.] 100 11．A [建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m>n的点应在梯形OABD内，所以所 S梯形OABD7 求事件的概率为P＝＝.] S矩形OABC10 正方形面积－圆锥底面积4－ππ 12．C [P＝＝＝1－.] 正方形面积44 13．0.3 解析 所求的概率P＝1－0.2－0.5＝0.3. 214. 3解析 事件A包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；B表示“大于等于5的 学习参考资料 word整理版 点数出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A与B是互斥的，112故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 333 715. 18 解析 基本事件的总数为6×6＝36. ∵三角形的一边长为5， ∴当a＝1时，b＝5符合题意，有1种情况； 当a＝2时，b＝5符合题意，有1种情况； 当a＝3时，b＝3或5符合题意，即有2种情况； 当a＝4时，b＝4或5符合题意，有2种情况； 当a＝5时，b∈{1,2,3,4,5,6}符合题意， 即有6种情况； 当a＝6时，b＝5或6符合题意，即有2种情况． 故满足条件的不同情况共有14种， 147 所求概率为＝. 3618 1916. 36 解析 基本事件总数为36个， 22 若使方程有实根，则Δ＝b－4c≥0，即b≥4c. 当c＝1时，b＝2,3,4,5,6； 当c＝2时，b＝3,4,5,6； 当c＝3时，b＝4,5,6； 当c＝4时，b＝4,5,6； 当c＝5时，b＝5,6； 当c＝6时，b＝5,6. 2 符合条件的事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，因此方程x－bx＋c＝0有实根的概率19为. 36 17．解 记“有0人等候”为事件A，“有1人等候”为事件B，“有2人等候”为事件C，“有3人等候”为事件D，“有4人等候”为事件E，“有5人及5人以上等候”为事件F，则易知A、B、C、D、E、F互斥． (1)记“至多2人排队等候”为事件G， 则G＝A∪B∪C， 所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)记“至少3人排队等候”为事件H， 则H＝D∪E∪F， 所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 也可以这样解，G与H互为对立事件， 所以P(H)＝1－P(G)＝1－0.56＝0.44. 71 18．解 (1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为＝，所639 以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2. (2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21种． 随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有：(A1，A2)，(A1，B1)， 学习参考资料 word整理版 (A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2， 11 C2)共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝. 21 19.解 在平面直角坐标系中，以x轴和y轴分别表示m，n的值，因为m，n在(0,1)内与图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域． n－4m≥02 设事件A表示方程x－nx＋m＝0有实根，则事件A＝{(m，n)|0 1S阴影1 对应的区域为图中的阴影部分，且阴影部分的面积为，故P(A)＝＝，即关于x8S正方形812 的一元二次方程x－nx＋m＝0有实根的概率为. 8 20．解 (1)甲、乙两人下车的所有可能的结果为： (2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． 1 (2)设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A，则P(A)＝. 9 12 (3)设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B，则P(B)＝1－3×＝. 93 21．解 把3只黄色乒乓球标记为A、B、C,3只白色的乒乓球标记为1、2、3.从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个． (1)事件E＝{摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123， P(E)＝1/20＝0.05. (2)事件F＝{摸出的3个球为同一颜色}＝{摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P(F)＝2/20＝0.1， 假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件F发生有10次，不发生90次． 则一天可赚90×1－10×5＝40，每天可赚40元． 22．解 (1)设该厂这个月共生产轿车n辆， 5010 由题意得＝，所以n＝2 000. n100＋300 则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400. (2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车， 400a由题意得＝，即a＝2. 1 0005 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车． 用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”， 则基本事件空间包含的基本事件有： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10个．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1， 77 B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7个．故P(E)＝，即所求概率为. 1010 1 (3)样本平均数x＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9. 8 学习参考资料 word整理版 设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有： 633 9．4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为. 844 学习参考资料 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容