典型例题：函数零点

大家知道，如果函数yf(x)在xa处的函数值等于零，即f(a)0，则称

a为函数yf(x)的零点，因此函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的根。这样函数的零点把函数和方程紧密地联系在一起，它在很多问题中都有着极其重要的应用。举例说明。

1、利用函数零点解不等式

二次函数的图象是连续的，当它通过零点（不是二重零点）时，函数值变号，并且在任意两个相邻的变号零点之间函数值保持同号，根据二次函数变号零点的这一性质，可以求解二次不等式。

例1二次函数yax2bxc的部分对应值如下表：

x 3 2 1 0 y 6 1 2 3 4 0 4 6 6 4 0 6 则不等式ax2bxc0的解集是_______。

解：由表中数据可知函数的两个零点分别为2和3，这两个零点将其余实数分为三个区间：(,2),(2,3),(3,)。

在区间(,2)中取特殊值3，由于f(3)60，因此根据二次函数变号零点的性质可得：

当x(,2)时，都有f(x)0； 当x(2,3)时，都有f(x)0; 当x(3,)时，都有f(x)0。

不等式的解集为(,2)(3,)。 2、利用函数零点研究方程的根

由于函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的根，所以在研究方程的有关问题，如：比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等时，都可以

1 / 2

将方程问题转化为函数问题，借助函数的零点，结合函数的图象加以解决。 例2已知函数f(x)(xa)(xb)2(ab)，若、()是方程f(x)0的两个根，则实数a,b,,之间的大小关系是 （ ）

A.ab B.ab C.ab D.ab

解：令g(x)(xa)(xb)，则函数g(x)的两个零点是a,b。 因为、()是方程f(x)0的两个根，

、函数f(x)的两个零点。

而函数f(x)的图象是由函数g(x)的图象向上平移两个单位得到的，

结合图象可知：ab，故选Ｂ。

例3已知关于x的方程3x25xa0的两根x1,x2满足

x1(2,0),x2(1,3)，求实数a的取值范围。

解：依题意，关于x的方程3x25xa0的两根x1,x2满足

x1(2,0),x2(1,3)，即函数f(x)3x25xa的两零点x1,x2满足x1(2,0),x2(1,3)，

结合二次函数f(x)3x25xa的图象可得： f(2)0f(0)0， f(1)0f(3)0345(2)a0a0即，解得：12a0。 35a02715a0

2 / 2