高一期末质检模拟押题试卷（三）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5
分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求. 1．（5分）已知集合A={x|x2≤1}，B={x|x＜a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1]
C．（1，+∞） D．[1，+∞）
2．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2﹣ax+5﹣a，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（ ） A．（0，）
B．（，] C．（，] D．（，]
3．（5分）如图，在边长为3的正方形内有区域A（阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域A的面积．若每次在正方形内每次随机产生10000个点，并记录落在区域A内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域A内点的个数平均值为6600个，则区域A的面积约为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（5分）某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 气温（℃） 18 13 10 ﹣1 用电量（度） 24 34 38 64 ，由此估计用电量为72度时气温的度数
由表中数据，得线性回归方程约为（ ） A．﹣10
B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4
5．（5分）若运行如图所示的程序，最后输出y的值为7，那么输出的t的值为
第1页（共20页）
（ ）A．﹣3 B．3
C．﹣3或3 D．3或﹣3或5
﹣ln
，则（ ）
6．（5分）已知a=ln8，b=ln5，c=ln
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 7．（5分）若
A．f（x）＞1 B．0＜f（x）＜1
，则有（ ） C．
D．
8．（5分）随机抽取某篮球运动员2015年和2016年各10场篮球赛投篮得分X，得到如图所示X的茎叶图．
2015、2016与
S22015、S22016是分别是2015年和2016
年X的平均数与方差，由图可知（ ）
A．B．C．D．
22
2015＞2016，S2015＞S2016 22
2015＞2016，S2015＜S2016 22
2015＜2016，S2015＜S2016 22
2015＜2016，S2015＞S2016
9．（5分）排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），甲在每局比赛获胜的概率
第2页（共20页）
都相等为，前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜的概率是（ ） A． B．
C．
D．
10．（5分）函数的图象大致是（ ）
A． B． C．
D．
11．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是（ ）
，则a的值为
A．13 B．12 C．11 D．10
12．（5分）设函数f（x）=xex﹣ax+a，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是（ ） A．[﹣
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
第3页（共20页）
，） B．[，） C．[﹣，） D．[，）
13．（5分）某企业有员工75人，其中男员工有30人，为作某项调查，拟采用分层抽样的方法抽取容量为20的样本，则女员工应抽取的人数是 ． 14．（5分）已知函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对∀x1∈D，∃唯一的x2∈D，使得
=C，则称常数C是函数（fx）在D上的“倍几何平均数”．已
知函数f（x）=2﹣x，x∈[1，3]，则f（x）在[1，3]上的“倍几何平均数”是 ． 15．（5分）228与1995的最大公约数的三进制表示是 ．
16．（5分）定义：区间[x1，x2]（x1＜x2）的长度为x2﹣x1，若函数y=|log2|的定义域为[m，n]，值域为[0，2]，则区间[m，n]长度的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}． （1）求（∁RB）∪A；
（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若 C⊆A，求实数a的取值范围．
18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．
第4页（共20页）
19．（12分）已知函数f（x）=（a为常数）
（1）证明：a=1是函数f（x）为奇函数的充分不必要条件； （2）如果存在x0∈R，使得f（x0）=1，求a的取值范围； （3）若f（x）在[0，1]上是单调递减函数，求a的取值范围．
20．（12分）经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）万元时，该商品的月供给量为y1吨，y1=ax+a2﹣a（a＞0）：月需求量为y2吨，y2=﹣
x2﹣
x+1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量：当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．
（1）已知a=，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；
（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数a的取值范围．
21．（12分）已知正方形ABCD的边长为1，如图所示： （1）在正方形内任取一点，求事件“|AM|≤1”的概率；
（2）用芝麻颗粒将正方形均匀铺满，经清点，发现芝麻一共56粒，有44粒落在扇形BAD内，请据此估计圆周率π的近似值（精确到0.001）．
22．（12分）已知函数f（x）=|x2﹣2x|+ax+a． （1）当f（x）有两个零点时，求实数a的取值范围； （2）当x∈R时，求函数的最小值g（a）．
第5页（共20页）
高一期末质检模拟押题试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5
分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求. 1．（5分）已知集合A={x|x2≤1}，B={x|x＜a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1]
C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【解答】解：∵A={x|x2≤1}=[﹣1，1]，B={x|x＜a}=（﹣∞，a），若A∪B=B， ∴A⊆B，∴a＞1， 故选：C．
2．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2﹣ax+5﹣a，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（ ） A．（0，）
B．（，] C．（，] D．（，]
【解答】解：设g（x）=x3﹣3x2+5，h（x）=a（x+1）， 两个函数图象如图：要使存在唯一的正整数x0， 使得f（x0）＜0，只要
，即
，
解得＜a故选B．
；
第6页（共20页）
3．（5分）如图，在边长为3的正方形内有区域A（阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域A的面积．若每次在正方形内每次随机产生10000个点，并记录落在区域A内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域A内点的个数平均值为6600个，则区域A的面积约为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：由题意，∵在正方形中随机产生了10000个点，落在区域A内点的个数平均值为6600个， ∴概率P=
=
，
∵边长为3的正方形的面积为9， ∴区域A的面积的估计值为故选：B．
4．（5分）某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
第7页（共20页）
≈6．
气温（℃） 18 13 10 ﹣1 用电量（度） 24 34 38 64 ，由此估计用电量为72度时气温的度数
由表中数据，得线性回归方程约为（ ） A．﹣10
B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4
，
【解答】解：==40．
∴40=﹣2×10+，解得=60． ∴回归方程为
，
令y=72得，﹣2x+60=72，解得x=﹣6． 故选C．
5．（5分）若运行如图所示的程序，最后输出y的值为7，那么输出的t的值为
（ ）A．﹣3 B．3
C．﹣3或3 D．3或﹣3或5
【解答】解；由已知中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数t=
的值，
第8页（共20页）
由题意可得：t＜4时，t2﹣2=7，或t≥4时，t+2=7， 解得：t=±3，或5． 故选：D．
6．（5分）已知a=ln8，b=ln5，c=ln
﹣ln
，则（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【解答】解：a=ln8=∵ln2＜ln3＜ln5， ∴a＜c＜b． 故选：B．
7．（5分）若
A．f（x）＞1 B．0＜f（x）＜1 【解答】解：∵函数y=f（x）=∴当0＜x＜1时，1＜即1＜f（x）＜． 故选：C．
8．（5分）随机抽取某篮球运动员2015年和2016年各10场篮球赛投篮得分X，得到如图所示X的茎叶图．
2015、2016与
，b=ln5，c=ln﹣ln=，
，则有（ ） C．
D．
是定义域R上的单调增函数，
＜，
S22015、S22016是分别是2015年和2016
年X的平均数与方差，由图可知（ ）
A．
22
2015＞2016，S2015＞S2016
第9页（共20页）
22
2015＞2016，S2015＜S2016 22
2015＜2016，S2015＜S2016 22
2015＜2016，S2015＞S2016
2015=
B．C．D．
【解答】解：由茎叶图得
2016=
（8+10+16+24+25+26+28+30+32+40）=23.9
2015＜2016，
（14+18+26+27+28+32+33+34+35+37）=28.4，则
由茎叶图中数据可知，2015年的数据比较分散，而2016年的数据比较集中，则S22015＞S22016， 故选：D．
9．（5分）排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），甲在每局比赛获胜的概率都相等为，前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜的概率是（ ） A． B．
C．
D．
【解答】解：∵排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），甲在每局比赛获胜的概率都相等为，
前2局中乙队以2：0领先， ∴最后乙队获胜的概率：p=故选：C．
10．（5分）函数
的图象大致是（ ）
=
．
A． B． C．
第10页（共20页）
D．
【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，1）∪（1，+∞），
则f（﹣x）==﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，
∴y=f（x）的图象关于原点对称，故排除C， 当0＜x＜1时，y＜0，
当x＞1时，y＞0，故排除B，D， 故选：A
11．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是（ ）
，则a的值为
A．13 B．12 C．11 D．10
【解答】解：模拟执行程序框图，可得 S=1，k=1
不满足条件k＞a，S=1+=2不满足条件k＞a，S=1++
，k=2 =2
，k=3
第11页（共20页）
不满足条件k＞a，S=1+不满足条件k＞a，S=1+不满足条件k＞a，S=1+不满足条件k＞a，S=1+…
++++
=2+++
，k=4 =2﹣，k=5 ++
=2+
，k=6 =2﹣，k=7
最后一次循环，不满足条件k＞a，S=2﹣=满足条件k＞a，退出循环，输出S的值为可解得：x=12，即由题意可得a的值为11． 故选：C．
，k=x+1 ．
12．（5分）设函数f（x）=xex﹣ax+a，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是（ ） A．[﹣
，
） B．[
，
）
C．[﹣
，）
D．[
，）
【解答】解：令y=xex，y=ax﹣a， ∵y′=ex（x+1），
∴y=xex在（﹣∞，﹣1]上是减函数，在（﹣1，+∞）上是增函数， 又∵y=ax﹣a是恒过点（1，0）的直线， ∴作y=xex与y=ax﹣a的图象如下，
第12页（共20页）
，
当直线y=ax﹣a与y=xex相切时，设切点为（x，xex）， 则则x=
=ex+xex，
，x=
；
结合图象可知，或，
解得，a∈[故选：B．
，
）∪（2e2，e3]，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）某企业有员工75人，其中男员工有30人，为作某项调查，拟采用分层抽样的方法抽取容量为20的样本，则女员工应抽取的人数是 12 ． 【解答】解：总体的个数是75人，要抽一个20人的样本，则每个个体被抽到的
第13页（共20页）
概率是=，
=12人，
女员工应选取的人数（75﹣30）×故答案为：12．
14．（5分）已知函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对∀x1∈D，∃唯一的x2∈D，使得
=C，则称常数C是函数（fx）在D上的“倍几何平均数”．已
．
知函数f（x）=2﹣x，x∈[1，3]，则f（x）在[1，3]上的“倍几何平均数”是 【解答】解：∵x∈[1，3]；
∴对∀x1∈[1，3]，∃唯一的x2=4﹣x1，且x2∈[1，3]，使，x1+x2=4； ∴
=
；
∴f（x）在[1，3]上的“倍几何平均数”是． 故答案为：．
15．（5分）228与1995的最大公约数的三进制表示是 2010（3） ． 【解答】解：解：∵1995=228×8+171，228=171×1+57，171=57×3 ∴228与1995的最大公约数是57． 利用连续除3取余法可得：
228与1995的最大公约数的三进制表示是：2010（3）， 故答案为：2010（3），
16．（5分）定义：区间[x1，x2]（x1＜x2）的长度为x2﹣x1，若函数y=|log2|的定义域为[m，n]，值域为[0，2]，则区间[m，n]长度的最小值为
．
第14页（共20页）
【解答】解：根据题意知，函数﹣m最小；
x=2时，y=0，x=时，y=﹣2； ∴
；
在[m，n]上的值域为[﹣2，0]时，n
即n﹣m的最小值为． 故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}． （1）求（∁RB）∪A；
（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若 C⊆A，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3}…（1分） B={x|log2x＞1}={x|x＞2}…（3分）
（CRB）∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}…（6分） （2）当a≤1时，C=∅，此时C⊆A…（8分） 当a＞1时，C⊆A，则1＜a≤3…（10分） 综上所述，a的取值范围是（﹣∞，3]…（12分）
18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．
第15页（共20页）
【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5， 整理可得：2=1.4+2a， ∴解得：a=0.3．
（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下： 由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，
又样本容量为30万，
则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万． （Ⅲ）根据频率分布直方图，得；
0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5， 0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，
∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，
令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5， 解得x=0.04；
∴中位数是2+0.04=2.04．
19．（12分）已知函数f（x）=
（a为常数）
（1）证明：a=1是函数f（x）为奇函数的充分不必要条件； （2）如果存在x0∈R，使得f（x0）=1，求a的取值范围； （3）若f（x）在[0，1]上是单调递减函数，求a的取值范围．
第16页（共20页）
【解答】解：（1）证明：当a=1时，（fx）=，，
f（x）为奇函数．
若f（x）为奇函数，则有f（﹣x）=﹣f（x），∴a=1是函数f（x）为奇函数的充分不必要条件． （2）由∴﹣1＜a＜1．
（3）令0≤x1＜x2≤1，f（x1）﹣f（x2）=0 ∵
∴a＞2，或a＜1
20．（12分）经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）万元时，该商品的月供给量为y1吨，y1=ax+a2﹣a（a＞0）：月需求量为y2吨，y2=﹣
x2﹣
，解得a=±1，
，得，
=＞
x+1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量：当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．
（1）已知a=，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；
（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=，x=7时，y1=×7+×（）2﹣=1+y2=﹣
×（7）2﹣
×7+1=
，
﹣=
，
第17页（共20页）
∴y1＜y2，
∴该月销售额为7×
×104≈50313（元）．
x2+（
+a）x+
﹣a﹣1，
（2）令f（x）=y1﹣y2=
则f（x）在[6，14）上有零点，
∵a＞0，∴f（x）对称轴为直线x=﹣＜0，又f（x）的图象开口向上，
∴f（x）在[6，14）上只有1个零点，
∴，即，
又a＞0，
解得：0＜a≤．
21．（12分）已知正方形ABCD的边长为1，如图所示： （1）在正方形内任取一点，求事件“|AM|≤1”的概率；
（2）用芝麻颗粒将正方形均匀铺满，经清点，发现芝麻一共56粒，有44粒落在扇形BAD内，请据此估计圆周率π的近似值（精确到0.001）．
【解答】解：（1）如图，在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，满足条件的点M落在扇形BAD内（图中阴影部分），由几何概型概率计算公式，有：
，
故事件“|AM|≤1”发生的概率为
．
第18页（共20页）
（2）正方形内的56粒芝麻颗粒中有44粒落在扇形BAD内，频率为用频率估计概率，由（1）知∴
22．（12分）已知函数f（x）=|x2﹣2x|+ax+a． （1）当f（x）有两个零点时，求实数a的取值范围； （2）当x∈R时，求函数的最小值g（a）． 【解答】解：（1）若f（x）有两个零点，
则函数y=|x2﹣2x|与函数y=﹣ax﹣a的图象有两个交点， 在同一坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：
，
，
，即π的近似值为3.143．
若y=﹣ax﹣a与y=x2﹣2x，x＜0相切，则（a﹣2）2﹣4a=0， 解得：a=4+2
，或a=4﹣2
（舍去），
若y=﹣ax﹣a与y=﹣x2+2x，0＜x＜2相切，则（a﹣2）2﹣4a=0， 解得：a=﹣4+2
，或a=﹣4﹣2
（舍去），
，+∞）；
，
故a∈（﹣∞，﹣4+2）∪{0}∪（4+2
（2）函数f（x）=|x2﹣2x|+ax+a=
第19页（共20页）
若若
，即a＞2，则＞2，则当x=时，函数取最小值≤2，
，
，即﹣2≤a≤2，则0≤
由f（0）=a，f（2）=3a得：
﹣2≤a≤0时，当x=2时，函数取最小值3a； 0＜a≤2时，当x=0时，函数取最小值a； 若
，即a＜﹣2，则
＜0，则当x=
时，函数取最小值
，
综上可得：函数的最小值g（a）=
第20页（共20页）
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