例谈高考数学常考、易错、失分点2

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作者：刘永旺

【易错点5】映射与函数

例5、已知函数yf(x)xF，若集合A{(x,y)|yf(x),xF}，

B{(x,y)|x1}，则AB中所含元素的个数有 个

【易错点诊断】：此题误认为由于集合A、B均表示点集，故直线与一函数图像的交点个数有无穷多个，而忽略了函数的定义。

解析：由于集合A表示函数yf(x)xF图像上的点构成的点集，集合B表示垂直于x轴的直线x1，由于函数是一个特殊的映射，其自变量与函数的对应可以是一对一、多对一，但一对多不构成映射，故其元素个数只能是0个或1个。

【迷津指点】函数f: AB是特殊的映射，特殊在定义域A和值域B都是非空数集！因此理解函数的概念更多的可从映射的角度去理解和把握，据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。

例6、若fx,gx都是定义在实数集R上的函数，且方程xfgx0有实数解，则gfx不可能是（） A、x215 B、x215 C、xx215 D、xx215

【易错点诊断】本题主要考查函数的概念，由于给定的条件较为抽象，学生易思维受阻，找不到解题思路，对抽象函数的解答应回归到函数的基本概念及性质上来，此题应从映射的角度来理解“对应法测”寻求解题思路。

解析：由题意可知，存在x0，使x0fgx00，即x0fgx0，从函数定义出发，画出映射帮助思考，如图从A到B再到C是由题意可得，如果继续对C集合中的x0，应用法则g，则会得到gx0，从B到C再到D的映射为gx0x0gx0，即存在ugx0，使gfuu，即函数gfx过点u,u，即方程gfxx有解，

fg易知xx215x在实数集R上无解故选D。

【适用性练习】

（1）（06浙江）函数f:1,2,31,2,3满足ffxfx，则这样的函数个数共有

(A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个

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解析：答案：D；从映射角度明确两集合中元素的对应情况，若象有且只有一个，则这样的映射对应函数均符合，这样的函数有3个，若象有且仅有2个，则必需相应的原象对应相同的数值,剩下一个可以任意对应，这样的映射即函数共有C3226个，若象有三个,满足条件的函数只有1个即只能1,2,3分别对应于1,2,3.综上满足条件的函数共有10个. （2）若函数 y= f（x-1）的反函数是 y= f（x-1），则下列等式成立的是（ ） A、f（x）= f（x-1） B、f（x）= -f（x-1） C、f（x）- f（x-1）=1 D、f（x）- f（x-1）= -1

解析：由反函数的知识（或映射知识）易知y= f-1（x-1）可等价推出x-1=f(y),故其原函数为y-1=f(x)也就是y=1+f(x)而由题意知原函数为y= f（x-1）故y= f（x-1）=1+f(x)从而f（x-1）-f(x)=1，答案：D

【易错点6】已知yfx的定义域，确定yfx定义域类问题,求解函数一类问题要树立定义域优先的意识.

例7、已知函数f(x)log3x2,x[1,9]，试求函数gx[f(x)]f(x)的最大值。

22-1

【易错点诊断】此题极易忽略函数gx中fx2对定义域的限制，而错误的将函数gx的定义域认为仍是[1,9]而导致错解。

解析：由于yf(x)的定义域为[1,9]，故对于gx[f(x)]f(x)自变量需满足

221x91x3，故函数gx的定义域为x|1x3，从而21x9gxlog32log32log3xx22x26log36log333，由于x1,3，

xx2x故log30,1，故当log31时函数取得最大值13。

x【迷津指点】复合函数的定义域：若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式ag(x)b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于当x[a,b]时，求g(x)的值域（即f(x)的定义域）。在解答函数如函数的单调性、奇偶性、值域、解析式等等一定要养成定义域优先的意识。 【适用性练习】 （1）已知函数fxlog答案: x|1x3

3x2,x1,9,求函数yfxfx22的单调递增区间.

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（2）（06湖北卷）设f(x)lg2x2x，则f()f()的定义域为

2xx2A．(4,0)(0,4) B．(4,1)(1,4) C．(2,1)(1,2) D．(4,2)(2,4) 解：f（x）的定义域是（－2，2），故应有－2故选B

（3）已知函数fx1x1xx22且－2

2x2解得－4x－1或1x4

的定义域为A,函数yffx的定义域为B,则（）

A.ABB B.AB C.AB D.ABB (提示:Ax|xR且x1,Bx|xR且x1,x0)答案:D 【易错点7】函数的图象变换

例8、设函数yfx定义在实数集上，则函数yf1x与yfx1的图象关于 A、直线y0对称 B、直线x0对称 C、直线y1对称 D、直线x1对称 【易错点诊断】易误由题意得到f1xfx1，而套用结论若函数fx满足fxafxa则函数关于xa对称的结论而得到函数关于直线x0对称的错误

结论，须知这个结论是对同一个函数而言，而本题是关于两个函数的对称问题。

解析：由图象变换可以得到两个图象间的关系，函数yfx1是由函数yfx的图象向右平移一个单位得到，而yf1xfx1是由函数yfx的图象关于y轴对称得到yfx再向右平移一个单位得到，故两函数的图象关于直线x1对称。故选D

【迷津指点】若把对称问题迁移到函数中，则有结论：函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a-x)=f(a+x)。但若函数满足y=f(a-x)和y=f(a+x)，则它们的图像关于y轴对称。这是很容易混淆的。前者是一个函数图像自身关于直线x=a对称，后者是两个函数图像关于y轴对称。函数图像关于直线对称，还有结论：函数y=f(b-x)与y＝f(a＋x)的图像关于直线x=(b-a)/2对称。函数y=f(a-x)与y＝f(x-a)，则f(x)的图像关于直线x＝a对称。函数图像关于点对称，有结论：函数y=f(x)满足f(x)＋f(2a-x)＝2b(或f(a+x)＋f(a-x)＝2b)，则f(x)的图像关于点(a,b)对称。当b＝0时，函数y=f(x)满足f(2a-x)＝-f(x)，则f(x)的图像关于点(a,0)对称。与周期函数联系，有结论：函数y=f(x)满足f(x-a)＝f(x＋a)，则2a是f(x)的一个周期。函数y=f(x)满足f(x＋a)＝-f(x)，则2a是f(x)的一个周期。函数y=f(x)的图像关于直线x＝a和x＝b都对称，则2(a-b)是f(x)的一个周期。函数y=f(x)的图像关于直线x＝a和点(b,c)都对称，则4(a-b)是f(x)的一个周期。以上结论，用于解客观题就是“秘密武器”，用于解答题可以化繁为简。

求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明

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图像C1与C2的对称性，需证两方面：①证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上；②证明C2上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C1上。 【适用性练习】

（1）（06安徽卷）函数fx对于任意实数x满足条件fx2（答案:f5_______________。

151fx，若f15,则

f）

（2）已知二次函数f(x)ax2bx(a0)满足条件f(5x)f(x3)且方程f(x)x有等根，则f(x)＝_____(答案：12xx)；

2（3）若函数yx2x与yg(x)的图象关于点（-2，3）对称，则g(x)＝______（答案：

x7x6）

2（4）已知f(x)是偶函数，且f(1)=993，g(x)=f(x1)是奇函数，求f(2005)的值(答案：993)；

【易错点8】求函数的定义域与求函数值域错位

例9、已知函数fxlgm3m2x2m1x5（1）如果函数fx的定义

22域为R求实数m的取值范围。（2）如果函数fx的值域为R求实数m的取值范围。 【易错点诊断】此题学生易忽视对m3m2是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。另一方面对两个问题中定义域为R和值域为R的含义理解不透彻导致错解。 解析：（1）据题意知若函数的定义域为R即对任意的x值

2m223m2x2m1x50恒成立，令

222gxm3m2x2m1x5，当m3m2=0时，即m1或2。经验证

当m1时适合，当m23m20时，据二次函数知识若对任意x值函数值大于零恒成立，m23m2099只需解之得m1或m综上所知m的取值范围为m1或m。

440（2）如果函数fx的值域为R即对数的真数m23m2x22m1x5能取到任

2意的正数，令gxm23m2x22m1x5当m3m2=0时，即m1或

2。经验证当m2时适合，当m23m20时，据二次函数知识知要使的函数值取得所

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m23m209有正值只需解之得2m综上可知满足题意的m的取值范围是

402m94。

【迷津指点】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母，要注意对字母是否为零进行讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。同时通过

本题的解析同学们要认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。再者本题中函数的定义域和值域为R是两个不同的概念，前者是对任意的自变量x的值函数值恒正，后者是函数值必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。

【适用性练习】 （1）已知函数fxa21x2a1x2的定义域和值域分别为R试分别确定

2满足条件的a的取值范围。答案：（1）a1或a3（2）3a1或a1 （2）（2004年湖北，10）设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是

A.PQ B.QP C.P=Q D.P∩Q=Q 剖析：Q={m∈R|mx+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，对m分类：①m=0时，－4＜

2

0恒成立；②m＜0时，需Δ=（4m）－4×m×（－4）＜0，解得m＜0.综合①②知m≤0，∴Q={m∈R|m≤0}.答案：A(本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视) 【易错点9】有关函数的单调性概念

例10、已知函数yfx在区间a,b上为增函数，且在区间b,c为增函数，则函数在区间a,c上为（）

A、必是增函数 B、必是减函数 C、不确定 D、不是增函数也不是减函数

【易错点诊断】此题易选答案A，判断函数的单调性应从单调性定义或函数的图象这两个角度来分析。

解析：从单调性的定义可知设x1,x2a,c,由条件不能确定fx1与fx2的大小,如图当

【迷津指点】函数单调性可以从三个方面理解

（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减. （2）定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.

（3）定量刻画，即定义. 【适用性练习】

(3a1)x4a,x1（06北京卷）已知f(x)是(,)上的减函数，那么a的取值范

logx,x1a

2

2

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围是（A）(0,1) （B）(0,) （C）[,)

311173（D）[,1)

71解：依题意，有0a1且3a－10，解得0ax1时，logax0，所以7a－10解得x

1713，又当x1时，（3a－1）x＋4a7a－1，当

故选C

【易错点10】有关复合函数的单调性判断

例11、已知函数yfx为定义在区间1,1上的偶函数,试确定f1x2的单调区间 （06天津卷理）已知函数yf(x)的图象与函数yax（a0且a1）的图象关于直线yx对称，记g(x)f(x)[f(x)2f(2)1]．若yg(x)在区间[,2]上是增函数，

21则实数a的取值范围是（ ）

A．[2,) B．(0,1)(1,2) C．[,1) D．(0,]

2211【易错点诊断】此题易联想到采用复合函数的单调性的判断方法解答，但易忽略对中间变量的范围的确定和讨论不全面而致错的比率非常高。

解析：本题考查函数单调性知识；可考虑采用复合函数的单调性的判断方法解答，据题意可知fxloga，故gxlogaxloga21logax，令logat，则原函数变为

xx2gttloga1t，则当a>1时，loga22x12t为增函数，且tloga2,loga，故只需

122tloga,loga时gtt2loga21t为增函数即可，故有

211loga2loga2a，当a<1时，logax12t为减函数，且tloga,loga2，故只需

122tloga,loga时gtt2loga21t为减函数即可，故有

211loga2loga20a12。答案：D

【迷津指点】如果y是u的函数，u又是x的函数，即yfu，ugx，那么y关于x的函数yf其中u叫做中间变量，gx叫做函数yfu和ugx的复合函数，

对于复合函数yfgx，若ugx在区间a,b上是单调，其值域为c,d，又函

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数yfu在区间c,d单调，那么复合函数yfgx在区间a,b上必单调，其单调性可简记为“简记为同增异减”

【适用性练习】（06天津卷文）如果函数f(x)ax(ax3a21)a在区间(0且a1)∞上是增函数，那么实数a的取值范围是（ 0， ）

3，∞ 2Ａ．0，2 3Ｂ． ，1 33Ｃ．1，3

Ｄ．

答案：B；解析：本题考查与复合函数的单调区间有关问题；据题意

fxax2令ta则原函数化为ftt3a1t，当a>1时，3a1a，taxx2x为增函数且t1,，故要使原函数为增函数只需ftt3a1t在t1,上

2为增函数即可，只需

3a1221a，当0x使原函数为增函数只需ftt3a1t在t0,1上为减函数即可，只需

23a12231a,1，故选B。

3a2【易错点11】要挖掘伪装，避免审题不慎导致错误

2例12、若函数f(x)loga(xax3)(a0且a1)，满足对任意的x1、当x1x2x2，

时，f(x1)f(x2)0，则实数a的取值范围为（ ）

A、(0,1)(1,3) B、(1,3)

C、(0,1)(1,23)

D、(1,23)

a【易错点诊断】“对任意的x1、x2，当x1x2时，f(x1)f(x2)0”实质上就是“函2数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f(x)有意义”。 a1,2解析：事实据题意可知g(x)xax3在x时递减，从而a由此得a的取2g()0.2a值范围为(1,23)。故选D。 【迷津指点】解答数学题目审题是至为关键重要的,可是说“成也审题，败也审题”，特别象在比较简单的答题中，有的考生一看到比较容易的题就产生兴奋、激动，同时表现出浮躁、粗心，不再进行细致思考，仓促应答，出现错误；容易的题也容易出错，命题者往往在一些看起来较容易的题目中隐藏一些容易被忽视、被漏掉的问题，如不细心，极易出错；有的考生凭经验审题，当试题要求变化时，因审题不认真而丢分。

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【适用性练习】 ①若yloga2ax在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）

A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞]

解析：由对数概念显然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是减函数，y= logau应为增函数，故a＞1，又函数的单调区间一定是定义域的子集，故还需当x0,1时，

u2ax0，由于u2ax在减函数，故只需u12a0即可，综上所述a的取

值范围是1a2，答案B。

②（2005 高考天津）若函数fxlogax3axa0,a1在区间(则a的取值范围是（）

A、[,1) B、[,1) C、(,) D、(1,)

4444139912,0)内单调递增，

答案：B.

③已知对数函数f(x)＝lnx，二次函数g(x)＝则a的取值范围是（）

A、（－1，0）∪（0，+∞）B、（0，1）C、（-1，0）D、1,,0

解题探究:本题考查函数的单调性与导数的关系及二次函数知识的综合应用.注意题目中“存在”与“是”的区别,审题一定要严. 解析:h(x)lnx12ax2x，则h(x)212ax＋2x，若h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，

2

1xax22

ax22x1x.因为函数h(x)存在

单调递减区间，所以h(x)<0有解又因为x>0时，则ax+2x－1>0有x>0的解.①当a>0时，

y=ax+2x－1为开口向上的抛物线，ax+2x－1>0总有x>0的解；②当a<0时，y=ax+2x－1 为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解； 则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0 至少有一正根.此时，－1【易错点12】函数的单调性与数列单调性的关系

2例13、已知数列{an}中annkn(nN)，且{an}单调递增，则k的取值范围是（）

A、(,2] B、(,3) C、(,2) D、(,3] 【易错点】此题易利用二次函数的单调性解答，即关于n的二次函数的对称轴在区间1,的左侧，从而求得k的取值范围。

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2解析：由于an1ann1kn1n2kn2n1k，由于{an}单调递增，故应有an1an0即2n1k0恒成立，分离变量得k2n1，故只需k3即可。答案：B

【迷津指点】函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对就应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调单调，其所在函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，„，n｝）的特殊函数。故对于数列的单调的判断一般要通过比较 an1与an的大小来判断，若an1an则数列为递增数列，若

an1an则数列为递减数列。

【适用性练习】

23）（1）已知数列{an}中，且{an}是递增数列，求实数的取值范围（答：； annn，

（2）设an＝－n2＋10n＋11，则数列｛an｝从首项到第______________项的和最大.

A.10 B.11 C.10或11 D.12 解析：an＝－n2＋10n＋11是关于n的二项函数，它是抛物线f（x）＝－x2＋10x＋11上的一些离散的点，从图象可看出前10项都是正数，第11项是0，所以前10项或前11项的和最大.

（3）已知数列{an}的通项an=（n+1）（

1011）（n∈N）.试问该数列{an}有没有最大项？若

n

有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.

解：∵an+1－an=（n+2）（

1011）n+1－（n+1）（

1011）n=（

1011）n·

9n11，

∴当n＜9时，an+1－an＞0，即an+1＞an；当n=9时，an+1－an=0，即an+1=an；

当n＞9时，an+1－an＜0，即an+1＜an；故a1＜a2＜a3＜„＜a9=a10＞a11＞a12＞„. ∴数列{an}有最大项a9或a10，其值为10·（【易错点13】有关函数的奇偶性 例14、(石家庄二模) 函数fx=

ax221011），其项数为9或10.

9

|xb||xc|(0A、x轴 B、y轴 C、原点 D、直线y=x 【易错点诊断】解答此题易忽视定义域的限制而将函数解析式得不到正确的化简，而只是从表面形式得到fxfx，而将解题的视线转移到判断A、D选项是否正确中去而导致思维受阻。

22解析：由于ax0，故函数的定义域为x|axa，根据已知0易将函数解析式化简为fx=

ax22xb(xc)axbc22，故fxfx且其定义域

关于原点对称，即函数为偶函数，其图象关于y轴对称。答案：B

【迷津指点】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，

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因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。

（2）确定函数奇偶性时若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性，有时可转化为判断fxfx0是否成立。

（3）函数fx具有奇偶性，则fxfx或fxfx是对定义域内x的恒等式，常常利用这一点求解函数中字母参数的值。 【适用性练习】 （1）判断函数y|x4|49x2的奇偶性

解析：由函数解析式易知其定义域为x|3x3，故

|x4|49x2yx9x22=fx，即函数为奇函数。

（2）函数f(x)=

ax2|xb|b(0A、x轴 B、y轴 C、原点 D、直线y=x 解析：化简f(x)=

ax22xbb为奇函数，选C

【易错点14】有关反函数的性质

11例15、函数fxlog22x1x或x的反函数为f222x21x，证明f1x是奇函数

且在其定义域上是增函数。 【易错点诊断】若求f到f11x的表达式，再证明，由于解析式太繁，致使思维受阻，若注意

只需研究原函数fx的单调性和奇偶性即x与fx具有相同的单调性和奇偶性，

可。

2x12x12x1解析：fxlog22x1log22x1log22x1fx，故fx为奇函数从而f为奇函数。又令t2x12x1122x11x在,11tylog和上均为增函数且,2221为增函数，故fx在,11和故f,上分别为增函数。22x分别在0,和

,0上分别为增函数。

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【迷津指点】反函数的性质：①定义域上的单调函数必有反函数，定义域为非单元素的偶函数不存在反函数；周期函数不存在反函数；②反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域；③函数yf(x)的图象与其反函数yf1(x)的图象关于直线

yx对称，注意函数yf(x)的图象与xf1(y)的图象相同；

1④f(a)bff11(b)a。⑤奇函数的反函数也是奇函数，互为反函数的两个函数具有相

(x)]x(xB)，

11同的单调性和奇函数性。⑥设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f[f(x)]x(xA)，但f[f(x)]f[f(x)]。

【适用性练习】

（1）已知fx是R上的增函数，点A1,1,B1,3在它的图象上，f那么不等式f11x是它的反函数，

log2（2,8））； x1的解集为________（答：

（2）函数yx22ax3在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是A、a,1 B、a2, C、a[1,2] D、a,12, （答：D）

（3）（2005天津卷）设f21x是函数fxaxaxa1的反函数，则使

21f1x1成

立的x的取值范围为（） A、(a12a,) B、(,a12a2) C、(1a12a2,a) D、(a,)

1答案：A （a1时，fx单调增函数，所以fx1ffxf1xf1a1.） 2a2（4）(06陕西卷)设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点

(2,8),则a+b等于( )

A.6 B.5 C.4 D.3 解析：函数f(x)=loga(x+b)(a>0，a≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)， loga(2b)12ba则，∴，a3或a2(舍)，b=1，∴a+b=4，选C． 28balog(8b)2a【易错点15】求反函数与求反函数值借位 例16、已知函数fx12x1x，函数ygx的图像与yf1x1的图象关于直线

yx对称，则ygx的解析式为（）

A、gx32xx B、gx2x1x C、gx11x2x D、gx32x

【易错点诊断】解答本题时易由ygx与yf1x1互为反函数，而认为12x11x132xxyfx1的反函数是yfx1则ygx=fx1=而错选A。

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解析：由fx112x1x得f1x1x2x从而yf1x11x1212x1x再求

yfx1的反函数得gx12x1x。正确答案：B

fx1并不互为反函数，他只是表示

fx1【迷津指点】函数yff1x1与函数yx中x用x1替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设y1则fy1x1，xf1y1再将x,y互换即得y1fx1的反函数为

yfx1，故yfx1的反函数不是yfx1，因此在今后求解此题问题

1时一定要谨慎。

【适用性练习】（2004高考福建卷）已知函数ylog2x的反函数是yfyf1x，则函数y=

1x的图象是（）

答案：B

（2）设函数f(x)=

2x3x1,函数y=g(x)的图象与函数y=f－1(x+1)的图象关于直线y=x对称，

72则g（3）=_____________（答案：）

1【易错点16】函数yfx和其反函数yf例17、求函数yx的交点问题

3x7与其反函数的交点坐标

【易错点诊断】解答本题易由函数与其反函数的图象关于直线yx对称，而误认为“互为反函数的图象如果有交点，则交点必在直线yx上”，从而将函数与yx联立求得交点错误的认为即为原函数与反函数的交点坐标。 解析：由原函数可确定其反函数为y7x32x0，联立方程得方程组

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33733727xxxx1x2y22，解之得，由于函数3,,,y2y1337337y3x7yy22y73x7的定义域与值域的交集Ax|0x，故所求交点只能为

3337337。 ,1,2,2,1,22【迷津指点】若函数yfx为增函数，则其与反函数的交点必在直线yx上，此时只需联立函数方程与方程yx，即可确定函数与其反函数的交点坐标，若函数的减函数且其与反函数相交，则其与直线yx有且只有一个交点，若有其它交点，必其两两关于直线

yx对称，此时只有联立函数与其反函数的方程方能正确求得其交点坐标。

【适用性练习】若点（2，

14）既在函数y＝2

127ax＋b的图象上，又在它的反函数的图象上，则

107a=___________，b=___________.(答案：－【易错点17】易忽略换元性前后的等价性 例18、已知sinxsiny13 )

求sinycos2x的最大值

13【易错点诊断】此题学生都能通过条件sinxsiny将问题转化为关于sinx的函数，进而利用换元的思想令tsinx将问题变为关于t的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成错解， 解析：由已知条件有siny得2313sinx且siny13sinx1,1（结合sinx1,1）

22sinx1，而sinycoxs=

213sinxcosx=sinxsinx23令

22222tsinxt1则原式=ttt1根据二次函数配方得：当t即

3333sinx23时，原式取得最大值

49。

【迷津指点】解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问

题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，

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可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 【适用性练习】

（1）已知f(1cosx)sin（2）不等式答案：a18x2x,求

fx的解析式（答：

2f(x)x2x,x[2,242 2]）

>ax＋3的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。

2,b36（提示令换元xt原不等式变为关于t的一元二次不等式的解集为

2,b）

【易错点18】转化不等价(利用反函数法求函数值域)

例19、函数yxx2a2(a0)的值域为 （ ）

A、(,0)(0,) B、[a,) C、(,0] D、[a,0)[a,) 【易错点诊断】要求原函数的值域可转化为求反函数的定义域。因为反函数f1(x)xa2x22，所以x0，故选A。 22xa，两解析：本题的失误在于转化不等价。事实上，在求反函数时，由yx边平方得(yx)xa，这样的转化不等价，应加上条件yx，即y而解得，ya或ay0，故选D。 【适用性练习】 ①求函数fxsin2xsinx1cosx222ya2y22，进

11的值域(提示:将函数化简后得fx2cosx,但

221,4) 22易在变化前后将定义域视为1,1,实事上cosx1,答案:②（06江苏卷）设a为实数，设函数f(x)a1x21x1x的最大值为g(a)。（Ⅰ）设t＝1x1x，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t) 解析：（Ⅰ）令t1x1x要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,

2∴t2221x2[2,4],t≥0 ①，t的取值范围是[2,2].由①得1x∴m(t)=a(

12t1)+t=

212t1

212atta,t[2,2]

2【易错点19】特殊性与一般性的关系

例20、（02全国理）设a为实数，函数fxxxa1，xR讨论函数fx的

2奇偶性。

【易错点诊断】此题在讨论函数的奇偶性的过程中，考生可能知道当a0时函数为非奇非偶函数，但不知如何表述自已的判断而造成失分。因此面对一个数学结论，要肯定它，就要给予证明，要否定它，只需举出一个反例即可。

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解析：由于fxxxa1，故（1）当a0时fxfx，函数fx为2偶函数；（2）当a0时，由于faa2a1，而fa2a2显然fafa1，

且fafa，故函数为非奇非偶函数。综上所述可知当a0时函数fx为偶函数；当a0时，函数为非奇非偶函数。

【迷津指点】解题过程中要注意运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，，由此判明选项真伪的方法，如说明函数不具有奇偶性或单调性只由举出一个反例即可。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。 【适用性练习】

（1）（2000全国）已知数列cn,其中cn2n3n,且数列cn1pcn为等比数列.求常数p

答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根据等比中项的性质建立关于p的方程，再说明p值对任意自然数n都成立）

（2）函数fxMsinx0在区间a,b上是增函数,且faM,fbM,则函数gxMcosx在a,b上（）

A、增函数 B、是减函数 C、可以取得最大值M D、可以取得最小值-M 答案：C（提示：根据特殊与一般的关系可以令M1,0,区间a,b为问题转化为确定gxcosx在区间,上的问题）

22,，则22（3）（2005广东）对于函数fx满足：当x,时，f2xf2x且f7xf7x，在闭区间0,7上只有f1f30，试判断函数fx的奇偶

性。（提示：此题给出了函数的两个等式，由此两个等式可分别推出函数关于直线x2,x7对称，由经验可知函数一定为周期函数，从周期出发，借助f1f30可以求出一些函数值，据此可发现函数的奇偶性，略解：由于在闭区间0,7上只有f1f30，所以f3f70，显然f3f3且f3f3，故函数为非奇非偶函数） （4）试确定函数fx而当x21sinxcosx1sinxcosx的奇偶性（提示:易知当x2时,函数无定义,

时函数有意义,故函数为非奇非偶函数）

【易错点20】有关分数指数幂的运算 例21、化简a

6112

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【易错点诊断】易忽略分数指数幂的运算法则适用的前提条件。 解析：解析：a611212a6a。

n【迷津指点】在应用分数指数幂的性质运算时一定要注意条件amamn条件为na0m,nQ，已知中a可能为小于零的实数故应讨论。此外象对am=a仅当a0时mn才有ma4nam2n，若a0时不一定成立，并且m,n不能随意约分如：1324332。 【适用性练习】在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是 （ ）

1A、(-x)0.5= -x (x≠0) B、6y2y3(y0)C、．()y3434x344(yx)(xy0)D、x3133x

解析:()yx()4xyy3()(xy0)，故C选项正确. x【易错点21】有关根式运算 例22、求满足下列条件的x值：nn4x1432x132。

【易错点诊断】在化简a时，由于根据根式本身的制约，a可以取一切实数，所以化简结果应视n的奇偶性而定，若n为奇数，结果应为a；若n为偶数，则结果为|a|。 解析：原式=x12x12，故当x1时，解得x故方程的解为2,4343，当x1时，解得x2，

。

nn【迷津指点】对根式的化简与运算常涉及两种形式的运算一种是：形如：a式子对aR都有意义，在计算时，要注意na一定等于a，例如322,n32222，an为奇数一般地有：a，另一种是形如：an为偶数nnann式子中若n为奇数则aR或n为偶数必有a0，此时一定有【适用性练习】 （1）化简

ab114323ann=a. ab2（a＞0，b＞0）的结果是___________________.

ba(a4b2)3

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121311104解析：原式=

a2b[(ab)3]2ab2b()3a11=

a2ba6b327=

a62b37=

ab.

a3b31a3b322（2）化简1aa1a2(答案:a4) 1