问题1:对曲线f(x y)=0如何求它关于某点A ( u0 v0 ) 对称的曲线方程?
问题2:对曲线f(xy)=0如何求它关于某直线ax+by+c=0(a、b不同时为0) 对称的曲线方程?
对问题1 我们得出了下面的结论1； 对问题2 分直线的斜率存在与不存在两种情况分别给出了下面的结论2和结论3.
结论1 :曲线f (xy)=0关于某点A (u0v0) 对称的曲线方程是f(2u0-x2v0-y)=0.
证明: 设P(x y) 关于A (u0v0)对称的点为p′(x′y′) 则x + x′=2u0y + y′= 2v0.
从而解得:x= 2u0-x′y=2v0-y′.
故f (xy)=0关于点A(u0v0) 对称的曲线方程为f(2u0-x′2v0-y′) =0 即f(2u0 - x2v0-y)= 0。
特别地曲线f(xy)=0关于原点对称的曲线方程是f (- x- y) = 0.
结论2 :曲线f(xy)=0关于直线x=u0对称的曲线方程是f (2u0-xy)=0.
证明:由P(xy) 关于直线x = u0 对称的点为P′(2u0-x y) 即得证.
结论3 :曲线f(xy) =0关于直线y = kx + b对称的曲线方程是:
证明: k = 0 的情形容易证明下就k 不为0 的情形予以证明.设P( x y) 关于直线y = kx + b对称的点为P′( x′y′) 则
从而解得
故f ( x y) = 0 关于直线y = kx + b 对称的曲线方程为
特别地曲线( x y) = 0 关于x 轴对称的曲线方程是f ( x - y) = 0 、关于y 轴对称的曲线方程是f ( - x y) = 0 、关于直线y = x 对称的曲线方程是f ( y x) =0 、关于直线y = - x 对称的曲线方程是f ( - y - x) =0.
上述三个结论的证明都具有共性 就是先找出任意点关于某已知点或某已知直线对称的点的坐标. 如果能记住上述三个结论应用起来特别方便；如果没有记住也可以仿照上述证明找出任意点关于已知点或已知直线对称的点的坐标. 再代入f ( x y) = 0 即可.
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